第六章线性空间练习题参考答案1

高中空间向量试题

高中空间向量试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3 1 21++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平 面EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．

空间分析复习重点

空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。 常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布

线性空间与欧几里得空间

线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且

线性空间试题.doc

向量空间 一 判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,, ,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0, ,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,, ,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,, ,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ). (11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,, ,n βββ与12,, ,n ααα等价, 则 12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ). (12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若 12dim dim dim s V V V n ++ +=, 则12s V V V ++ +为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++ +. 若 121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++ += 则12s V V V ++ +为直和.

第六章线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间练习题参考答案 一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2, ,}n i W a x x x P i n =∈= 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++. 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基 123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是 321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上

空间向量及立体几何练习试题和答案解析

. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，

∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．

线性空间和欧式空间

第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。

第六章 线性空间

第六章 线性空间测验 一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝ ， 的一组基是 ___________ _. 2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________. 3、已知是数域P中的一个固定的数，而 是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________. 4、设是数域P上的维列向量空间，记 则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T ＝__________，而在基下的坐标是__________. 6、在中, 在基的坐标是________________. 7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐标____________. 8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题 1、 设，则是的子空间. 2、已知为上的线性空间，则维(）＝2. 3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝. 5、设是线性空间的子空间，如果但则必有 三、计算题 1、设，，其中 ，，；， 求与的基和维数。 2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵， 在基下的坐标，其中 四、证明题 1、前4个埃尔米特多项式为1， ，和，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构成的一组基． 2、在中，令 证明： (1) 都是的子空间；(2) 3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令

证明：1、2皆为的子空间，且

空间向量与立体几何测试题及答案

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+= ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果122212 2833e e e e e e =+=+=- ，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ

7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则 c = ．

第一章 线性空间与线性变换概述

第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．

高中空间向量试题

高二数学单元试题 1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A ． 1 B ． 51 C ． 53 D ． 5 7 2．已知与则35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 3．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．3121++ =D ．3 1 3131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ） A ． 0° B ． 45° C ． 90° D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．3 7．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则?→ ?AB +1 ()2 BD BC +等于（ ） A ．?→ ?AG B ． ?→ ?CG C ． ?→ ?BC D ．21?→? BC 8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A ． +-a b c B ．-+a b c C ． -++a b c D ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( ) A ．715(,,)222- B ． 3(,3,2)8- C ． 107(,1,)33- D ．573(,,)222 - 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=?，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4， E 、 F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面 EFG 的距离为（ ） A ． 1010 B ． 11112 C ． 5 3 D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ． 14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ． 15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()??=??a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,??d b ＝ ．

空间向量及其运算测试题

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形

高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

空间计量经济学模型归纳

空间计量经济学模型 空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关 模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f g 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑: 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑: 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相 关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()21, 0,4u n y Wy N I ρεδ?=: (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型 当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++: (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型 当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+=: （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型 当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+: （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型 当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM

第六章线性空间自测练习

第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {

空间向量测试题

空间向量练习 1．在空间直角坐标系中，点()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是 A. ()123-，， B. ()123--，， C. ()123--，， D. ()123--，， 2．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v ，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v ，则 （ ） A. l ⊥α B. l l ?α D. A 、C 都有可能 3．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组． （1）()1,2,1a =v ， ()1,2,3b =-v ．（2）()8,4,6a =-v ， ()4,2,3b =-v ． （3）()0,1,1a =-v ， ()0,3,3b =-v ．（4）()3,2,0a =-v ， ()4,3,3b =-v ． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4．若ABCD 为平行四边形，且()4,1,3A ， ()2,5,1B -， ()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为（ ）． A. ()1,13,3-- B. ()2,3,1 C. ()3,1,5- D. 7,4,12??- ??? 5．如上图，向量1e u v ， 2e u u v ， a v 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a v 用基底1e u v ， 2 e u u v 表示为( ) A. 1e u v ＋2e u u v B. 21e u v －2e u u v C. －21e u v ＋2e u u v D. 21e u v ＋2e u u v 6．已知A (4，6)， 33,2B ?? - ???，有下列向量：①()14,9a =v ；②97,2b ?? = ???v ；③14 ,33c ??=-- ???v ； ④()7,9c =-v 其中，与直线AB 平行的向量( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于( ) A. B. ) C. D. 8．已知向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，使a ⊥r b r 成立的x 与使//a r b r 成立的x 分别为（ ） A. 10,63- B. -10,63- 6 C. -6, 10,63- D. 6,- 10,63- 9．若a r =(2，3)， b r =()4,1y -+，且a r ∥b r ，则y =（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 10．已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=r r ，以a b r r 、为邻边的平行四边形的面积（ ） A. 65 B. 65 C. 4 D. 8 11．如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在OA 上，且2OM MA =u u u u r u u u r ， N 为BC 中点，则MN u u u u r 等于（ ） A. 121232a b c -+ B. 211322a b c -++ C. 112223a b c +- D. 221332a b c +- 12．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是 （ ） A. ()3,2,4-- B. ()3,2,4-- C. ()3,2,4-- D. ()3,2,4-

欧式空间中线性变换和正交变换的关系

欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词：欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满足： （1）V ∈+βα，（关于加法封闭） （2）αββα+=+，（交换律） （3）） （）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元） （5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元） （6）V k ∈?α（关于数乘封闭） （7）αα=?1 （8）αα）（）（kl l k = （9）αααl k l k +=+）（ （10）βαβαk k k +=+）（ 则称V 为数域P 上的线性空间。 定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有 （1）()()()A A A αβαβ+=+ （2）()()A k kA αα?= 则称A 为V 上的线性变换。 定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，

线性空间试题

向量空间 一 判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈o 作成实数域R 上 的向 量 空 间 . ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈o 作成实数域R 上 的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑L 为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈L 为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n αααL 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n αααL 线 性 表 示 , 则 12,,,n αααL 是 V 的一组基. ( ).

(11) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββL 与12,,,n αααL 等价, 则 12,,,n βββL 也是 V 的一个基. ( ). (12) 3 x 关于基 332,,1,1 x x x x x +++的坐标为 (1,1,0,0) . ( ). (13)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L .若12dim dim dim s V V V n +++=L , 则 12s V V V +++L 为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若121230,()0,V V V V V =+=I I 121,()0,S s V V V V -+++=L L I 则12s V V V +++L 为直 和. ( ). (15) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0}, i j j i V V ≠=∑I 则 12s V V V +++L 为直和. ( ). (16)设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 若(){0},, i j V V i j =≠I 则 12s V V V +++L 为直和. ( ). (17) 设12,,,s V V V L 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++L . 零向量表法是唯一 的, 则12s V V V +++L 为直和. ( ). (18) 设12,,,n αααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个 基是12(),(),,()n f f f αααL . ( ).