高三数学书本知识整理(代数部分)

高三数学书本知识整理(代数部分)

一、集合与简易逻辑

1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性?

2. 对集合A、B，AI B 时，你是否注意到“极端”情况：A 或B ;求集合

的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

3. 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

为2n，2n 1，2n 1，2n 2.

4. “交的补等于补的并，即C u(AI B) C u AUC u B ”；“并的补等于补的交，即

C u(AU B) C U AI C U B

5. 集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

注意：区分集合中元素的形式：如： A {x|y x2 2x 1} ；B {y|y x2 2x 1}；

2 O 2

C {( X, y) | y x 2x 1}

D {x| x x 2x 1} ；

E {(x, y) |y x 2x 1,x Z,y Z}；

2 2 y

F {(x, y) | y x 2x 1} ；

G {z| y x 2x 1, z }

x

6. 符号“，”是表示元素与集合之间关系的，符号“，”是表示集合与集合之间关系的。

7. 判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其

否命题是等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

8. 判断命题充要条件的三种方法：(1)定义法；(2)利用集合间的包含关系判断，若A B，

则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B则A是B的充要条件；(3)等价法：即利用等价关系"A B B A"判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法；

9. 反证法：当证明“若p，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q则p ”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；

2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；

3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾;

2、导出与假设相矛盾的命题;

3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

10. 书本重要习题：

习题1.3 7 ，8 习题1.5 7 习题1.7 2 ，3，4

复习参考题一(A)11, 12, 13 (B)1,2, 3, 6

二、函数

1?指数

式、

对数式，

m ___ . m

a石n^，a n L a log

a

N N

a n

a b N log a N b(a 0,a 1,N 0)，.

a01，log a1 0，log a a 1，Ig 2 lg5 1，log e X In x，

log a b logc b，.

log

a m b—log a b

.

log c a m

2.(1)映射是“’全部射出’加’一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，但第二个集合

B中的元素不一定有原像( A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个)；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”.

(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.

(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像

(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域?求一个函数的反

函数，分三步：逆解、交换、定域(确定原函数的值域，并作为反函数的定义域) .

注意：① f (a) b f 1(b) a ，f[ f 1(x)] x ，f 1[ f (x)] x ，但

1 1

f[f (x)] f [f(X)].

②函数y f(x 1)的反函数是y f 1(x) 1，而不是y f lx 1).

(5)函数解析式的求法：①定义法(拼凑) ：②换元法：

③待定系数法：④赋值法：

(6)函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

f(x) ax2bx c, x (m, n)的形式；

②逆求法(反求法)：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，

得出y的取值范围；常用来解，型如：y ax b

,x (m, n)；

cx d

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

vanTm-ri-vrTi—rnn—mrnrB-rrrvi-srflri

k

⑥基本不等式法：转化成型如：y x (k 0)，利用平均值不等式公式来求值域；

x

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

3?单调性和奇偶性

判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x) ± f(-x)=0或丄3 1 (f(x)工0);

f(x)

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同?偶函数在关于原点

对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反?单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数

注意：(1)确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称?确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等?

对于偶函数而言有：f( X) f (x) f(|x|).

LJ1T1= L? r r F 'L TILL LI r F" 'L EF-n ” 'L ' Z'll'

(2) 若奇函数定义域中有0,则必有f(0) 0.即0 f (x)的定义域时，f(0) 0是f(x)

为奇函数的必要非充分条件?

(3) 确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法(取值、作差、鉴定) 、导

数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等?

(4) 函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件

(5) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数

的和(或差)” ?

(6) 函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有

f (x) 0(x {0})有反函数；既奇又偶函数有无穷多个( f (x) 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个

数集)?

(7) 复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外” .

复合函数要考虑定义域的变化。 (即复合有意义)

( 8)导数与函数的单调性的关系

㈠f (x) 0与f(x)为增函数的关系.

3

f (x) 0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f (x) x在(,)上单

调递增，但f (x) 0,.?.f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

㈡f (x) 0 时，f (x) 0与f(x) 为增函数的关系。

若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0 ，即抠去了分界点，此时f(x) 为增函数，就一定有f (x) 0。???当f (x) 0时，f (x) 0是f(x)为增函数的充分

必要条件。

㈢f (x) 0 与f(x) 为增函数的关系。

f(x) 为增函数，一定可以推出f (x) 0 ，但反之不一定，因为f (x) 0 ，即为

f (x) 0或f (x) 0 。当函数在某个区间内恒有f (x) 0 ，则f(x) 为常数，函数不

具有单调性。???f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

㈣单调区间的求解过程，已知y f(x)

(1)分析y f (x)的定义域；

( 2)求导数y f (x)

( 3)解不等式f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间

( 4)解不等式f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函