近世代数试题库

近世代数

一、单项选择题

1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ）

A 、{1，2，3，4}

B 、{2，3，6，7}

C 、{2，3}

D 、{1，2，3，5，6，7} 答案：C

2、循环群与交换群关系正确的是（ ）

A 、循环群是交换群

B 、交换群是循环群

C 、循环群不一定是交换群

D 、以上都不对 答案：A

3、下列命题正确的是（ ）

A 、n 次对换群n S 的阶为!n

B 、整环一定是域

C 、交换环一定是域

D 、以上都不对 答案：A

4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H 是G 的子群，那么 A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH =

B 、 H a H aH ∈?=

C 、 H b a bH aH ∈?=-1

D 、

以上都对

答案：D

5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f :a→10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ）

A 、单射

B 、满射

C 、一一映射

D 、既非单射也非满射 答案：D

6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A

7、整环（域）的特征为（ ）

A 、素数

B 、无限

C 、有限

D 、或素数或无限 答案：D

8、若S 是半群,则( )

A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)c

B 、任意,,S b a ∈都有ab=ba

C 、必有单位元

D 、任何元素必存在逆元 答案：A

9、在整环Z 中，6的真因子是（ ） A 、1,6±± B 、2,3±± C 、1,2±± D 、3,6±± 答案：B

10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A

11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）

A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；

B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；

C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；

D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

答案：B

12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A 、在整数集Z 上，ab

b

a b a +=

； B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；

C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；

D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D

13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

A 、不适合交换律；

B 、不适合结合律；

C 、存在单位元；

D 、每个元都有逆元。 答案：C

14、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

A 、0和x -；

B 、1和0；

C 、k 和k x 2-；

D 、k -和)2(k x +-。 答案：D

15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A

16、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）

A 、6；

B 、24；

C 、10；

D 、12。 答案：B

17、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

A 、f 的同态核是1G 的不变子群；

B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；

C 、1G 的子群的象是2G 的子群；

D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D

18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） A 、若a 是零元，则b 是零元； B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 、 若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C

19、下列正确的命题是（ ）

A 、欧氏环一定是唯一分解环；

B 、主理想环必是欧氏环；

C 、唯一分解环必是主理想环；

D 、唯一分解环必是欧氏环。 答案：A

20、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ） A 、()()()F I I E I E :::=； B 、()()()I E F I E F :::=； C 、()()()I F F E F I :::=； D 、()()()F I I E F E :::= 答案：D

二、填空题

1、集合A 的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。 答案：传递性

2、设A,B 都为有限集，且,,n B m A ==则=?B A （ ）. 答：mn

3．设R 是集合A ＝｛平面上所有直线｝上的关系：

121l Rl l ?∥2l 或21l l = （A l l ∈21,），则R （ ）等价关系。

答：是

4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n

=的充要条件是（ ）。

答：n m

5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（ ）。

答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1

6、n 次对称群n S 的阶是（ ）。 答：!n

7、设G 是有限群，H 是G 的子群，且H 在G 中的指数为n ，则=G （ ）。

答：H n

8、设G 是一个群,e 是G 的单位元，若,G a ∈且a=a,则（ ） 答：a=e

9、最小的数域是（ ）。 答：有理数域

10、设集合A=｛1,2｝,则A ×A=（ ）,2A ＝（ ）。 答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝

11、设f 是A 的一个变换，A S ?，则()[]S f f 1

-（ ）()[]S f

f

1

-。

答：?

12、设21,R R 是集合A 上的等价关系，21R R （ ）等价关系。 答：是

13、若群G 中每一个元素x 都适合方程e x n

=，则G 是（ ）群。

答：交换群

14、n 阶群G 是循环群的充要条件是（ ）。 答：G 中存在n 阶的元素

15、设1,G G 是有限循环群，,,1n G m G ==则1G 是G 的同态象的充要条件是

（ m n ）。 答：m n

16、如果环R 的乘法满足交换律，即,a b R ?∈，有ab ba =，则称R 为（）环 答：交换环

17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（ ）环。 答：数环

18、设有限域F 的阶为81，则的特征=p （ ）。 答：3

19、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ ）。 答：25

20、一个有单位元的无零因子（ ）称为整环。 答：交换环

21、如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a （ ）。 答：6

22.剩余类加群Z 12有 （ ）个生成元. 答：6

23、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是（ ） 答：n/(k,n)（(k,n)表示k 和n 的最大公约数） 24、6阶循环群有 （ ）个子群. 答：3

26、模8的剩余类环Z 8的子环有（ ） 个. 答：6

27、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B （ ）。 答：()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--

28、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1（ ）。 答：a

29、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A （ ）。 答：φ

31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（ ）同构。 答：变换群

32、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π（ ）。

答：()13524

33、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为（ ）。

答：R y x ay x i i i i ∈∑,,

34、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且

仅当I 是（ ）。 答：一个最大理想

35、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果（ ）。 答：p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子

36、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果（ ）。 答：E 的每一个元都是F 上的一个代数元

三、判断题

1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ × ）

2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ × ）

3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1

-f 。

（ √ ）

4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ √ ）

5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ × ）

6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（ √ ）

7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ √ ）

8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ √ ）

9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ × ）

10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z

同构的子域，这里Z 是整

数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ × ）

四、解答题

1、A={数学系的全体学生}，规定关系R ：

同在一个班级与b a aRb A b a ?∈,,，证明R 是A 的一个等价关系。 答案：自反性： 自己与自己显然在同一个班级

对称性：若a 与b 同在一个班级,显然b 与a 同在一个班级

传递性：若a 与b 同在一个班级, b 与c 同在一个班级,显然a 与c 同在一个班级.

2、在R 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？

（等式右边指的是普通数的运算）

答：因为对于R c b a ∈?,,，有()()c ab b a c b a ++=

()()c ab b a c ab b a ++++++=abc bc ac c ab b a ++++++=， ()()bc c b a c b a ++= ()()bc c b a bc c b a ++++++=

abc bc ac c ab b a ++++++=

根据实数的加法与乘法的运算率得

()()c b a c b a =。

又a b ba a b ab b a b a =++=++=。

ab b a b a ++=

所以，R 的代数运算 既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合{}{},,,,,,A a b c d B c d e ==，求,,,()()A B A B A B A B B A --- 。 答案：{}{},,,,,,,A B c d A B a b c d e ==

{}{},,()(),,A B a b A B B A a b e -=--=

4、设()()()()()(){}132,123,23,13,12,13==S G ，()(){}12,1=H ，求G 关于子群H 的左陪集分解。

答：()H H H ==)12(1，

()()(){}123,13)123(13==H H ， ()()(){}132,23)132(23==H H 。

因而，G 关于子群H 的左陪集分解为 ()H H H G )23(13 =。

5、设半群()?,S 既有左单位元e ，又有右单位元f ，证明f e =，而且是S 的唯一单位元。

答：证明e ef =（因f 是右单位元），f ef =（因e 是左单位元），得f e =； 若S 还有单位元1e ，则11e ee e ==，故e 是S 的唯一单位元。

6、对于下面给出的Z 到Z 的映射,,f g h

:3,

:31,:32;f x x g x x h x x ++

计算,,,,f g g f g h h g f g h 。 答案：

:93,:91,:97;:95,:2721.f g x x g f x x g h x x h g x x f g h x x +++++

7、设H 是G 的不变子群，则G a ∈?，有H aHa =-1

。

答：因H 是G 的不变子群，故对于G a ∈?，有Ha aH =，于是

()()()

H He aa H a Ha a aH aHa =====----1111。

8、设0是环R 的零元，则对于R a ∈?，000=?=?a a 。 答：因为R a ∈，有

a a a a ?+?=?+=?00)00(0，

由于R 关于加法作成群，即R 对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去a ?0，得00=?a 。同理可得00=?a 。

9、如果半群G 有一个左单位元e ，并且对于G a ∈?，存在左逆元G a ∈-1

，使得

e a a =-1，则G 是一个群。

答：G a ∈?，由条件知，有左逆元G a ∈-1，使得e a a =-1

，而对于1-a 在G 中也

存在左逆元'

a ，使得e a a =-1

'，则有

()()

e a a ea a a a a a aa a a aa e aa ======--------1'1'11'11'11))(( 所以，a 的左逆元1

-a 也是a 的右逆元，即a 在G 中有逆元1

-a ，

又由于()()

a ea a aa a a a ae ====--1

1，知e 是G 的单位元。故G 是一个群。

10、证明R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法左消去律成立。

答：设环R 没有左零因子，如果有ac ab =，则有

0)(=-=-c b a ac ab ，

当0≠a 时，由于R 没有左零因子，得0=-c b ，即c b =，R 中关于乘法左消去律成立。

反之，若在R 中关于乘法左消去律成立，如果0≠a ，有0=ab ，即

00?==?a b a ，左消去a 得0=b ，即R 中非零元均不是左零因子，故R 为

无零因子。

11、若21,I I 是R 的两个理想，则

{}22112121,I x I x x x I I ∈∈+=+也是R 的一个理想。 答：R r I I y x ∈?+∈?,,21，则有

2121,y y y x x x +=+=，),;,(222111I y x I y x ∈∈，从而 212211)()(I I y x y x y x +∈-+-=-； 212121)(I I rx rx x x r rx +∈+=+=； 212121)(I I r x r x r x x xr +∈+=+=。 所以，21I I +是R 的一个理想。

12、设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3==S G ,)}12(),1{(=H ,则H 是G 的一个子群，写出G 关于H 的所有左陪集的分解. 答案：H H H ==)12()1(,

H H )123()}123(),13{()13(==, H H )132()}132(),23{()23(==,

因而，G 关于H 的左陪集的分解为.

H H H G )23()13(??=

13、在Q 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？

2b b a =

答：取,3,2,1===c b a 则()933232122=== ，()819313212

2=== 又1112,42212

2==== 。

所以，Q 的代数运算 既不满足结合率，又不满足交换率。

14、设()()()()()(){}132,123,23,13,12,13==S G ，()(){}12,1=H ，求G 关于子群H 的右陪集分解。

答：()()(){}12,1)12(1==H H ，

()()(){}132,13)132(13==H H ， ()()(){}123,23)123(23==H H 。 因而，G 关于子群H 的右陪集分解为 ())23(13H H H G =。

15、设S 是有单位元e 的半群，S a ∈，若a 有左逆元1a ，又有右逆元2a ，则a 是可逆元，且21a a =是a 的唯一的逆元。

答：证明由条件知，,,21e aa e a a ==则有()(),11212122a e a aa a a a a ea a ===== 若c b ,都是a 的逆元，同理有()()c ec c ba ac b be b ===== 故a 有唯一的逆元。

16、设R 是环，则R b a ∈?,，有)()()(ab b a b a -=-=-。

答：由00)()(=?=+-=+-b b a a ab b a ，得

b a ab )()(-=-，

同理，由00)()(=?=+-=+-a b b a ab b a ，得

)()(b a ab -=-。

17、设H 是G 的子群，若对于G a ∈?，H h ∈?，有H aha ∈-1

，则H 是G 的不

变子群。

答：任取定G a ∈，对于aH ah ∈?，由于H aha ∈-1

，则存在H h ∈1，使得

Ha aH Ha a h ah h aha ??∈=?=-111；

Ha ha ∈?，由于H a h a aha ∈=----1

111)(，故存在H h ∈2，使得

aH Ha aH ah ha h ha a ??∈=?=-221。

因此，对于G a ∈?，有Ha aH =。故H 是G 的不变子群。

18、如果G 是半群，则G 是群的充分必要条件是：G b a ∈?,，方程b ax =和b

ya =在G 中有解。

答：必要性。因G 是群，则G a ∈?在G 中有逆元1

-a ，则

G ba b a ∈--11,，分别代入方程b ax =和b ya =，有

()()b eb b aa b a a ===--11，()()

b be a a b a ba ===--11，

即1

1,--ba b a 分别为方程b ax =和b ya =的解。

充分性。因G 是半群，则是非空集合，取定G a ∈，则方程a ya =在G 中有解e ，即存在G 中的元素e ，使得a ea =。

下证e 是G 的左单位元。G b a ∈?,，方程b ax =和在G 中有解c ，即b ac =， 于是()()b ac c ea ac e eb ====，则e 是G 的一个左单位元。

又G a ∈?，方程e ya =在G 中有解'a ，即e a a ='，得'

a 是a 的一个左逆元。从而

得G 中的每一个元素a 都有左逆元。故G 是群。

19、证明R 为无零因子环的充分必要条件是在环R 中关于乘法右消去律成立。 答：设环R 没有左零因子，则也无右左零因子。于是由ca ba =，得

a c

b ca ba )(-=-，

当0≠a 时，由于R 没有右零因子，得0=-c b ，即c b =，R 中关于乘法右消去律成立。

反之，若在R 中关于乘法右消去律成立，如果0≠a ，有0=ba ，即

a a

b ?==?00，右消去a 得0=b ，即R 中非零元均不是右零因子，故R 为

无零因子。

20、设R 为交换环，R a ∈，{}0=∈=ax R x I a ，证明：a I 是R 的理想。 答：（1）a I b a ∈?,，则0,0==bx ax ，从而0=-bx ax ，0)(=-x b a 即a I b a ∈-。

（2）R r I a a ∈?∈?,，有0=ax ，由于R 为交换环，从而000====r axr r rax ，即a I ra ar ∈,。 因此a I 是R 的理想。

21、G =（z ，+），对G 规定结合法“ ”

2a b a b =+- 证明 (,)G 是一个群。

证明："" 为G 的一个二元运算显然，设,,a b c 是G 中任意三个元，

()(2)(2)2a b c a b c a b c =+-=+-+-

=(2)2(2)()a b c a b c a b c +-+-=+-= 。G 中结合法"" 满足结合律。 又2G ∈ ，易知2是(,)G 的单位元。a G ?∈，直接验算得4a -是a 在(,)G 中

的逆元。

所以(,)G 是一个群。

22、设G 是非Abel 群，证明存在非单位元a,b ，a ≠b 使ab=ba 。

证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G 是非Abel 群，必有阶数大于2的元素a ，因而a ≠a -1，取b= a -1，则ab=ba 。

23、设H ≤G ，a,b ∈G ，证明以下命题等价： （1）a -1b ∈H,(2)b ∈aH,(3)aH=bH,(4)aH ∩bH ≠?。 证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。

（1）=>（2）：a -1b ∈H => a -1b=h => b=ah => b ∈aH 。 （2）=>（3）：b ∈aH => bh ∈aH => bH 属于aH ，另一方面，

b ∈aH => b=ah => a=bh -1 => aH 属于 bH ，综上得aH=bH 。

（3）=>（4）：aH=bH 显然有aH ∩bH ≠?。

（4）=>（1）：aH ∩bH ≠? => 存在 h 1,h 2∈H 使 ah 1=bh 2 => a -1b= h 1h 2-1=> a -1b ∈H 。

24、叙述群的定义。

答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。

25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。

答：加群Zn与Z。

26、整数环的商域（分式域）是什么域？

答：有理数域。

27、证明有理数域不包含真子域。

答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续

近世代数期末考试试卷及答案Word版

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

多所高校近世代数期末考试题库[]

多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

近世代数的有关题型

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》 习题答案与解答

引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数练习题题库

近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数习题解析

近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题 1.剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群. 4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。 8、9-置换??? ? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 10. 24Z 中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。 12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。 13. 在整数环Z 中，23+=__________________； 14、n 次对称群S n 的阶是_____. 15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________. 18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个. 20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域?n 是_________. 23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8 a =_______________。 25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n =___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.

《近世代数》模拟试题及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213, ,0101c d cd ?? ??== ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

近世代数模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数练习试题试题库完整

§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ο”：a οb=ab(a,b ∈Z)，则“ο”是Z 的一个二元运算。 （ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有 =?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。 2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个. 2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个. 2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： _____________________________________________。 2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。 2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等 价类。则[][]?=b a ______________。 2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么 =j i A A I ______________。 2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ?2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。 2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出 M 的所有不同的等价类的个数是______________。 2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ?秩(A)= 秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。 2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如 下：A~B ?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。 2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ?秩(A)=秩(B),则由”~”确定 的等价类有_____________________个。

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。