水力学典型例题分析

例题1

在旋转锥阀与阀座之间有厚度为1δ，动力粘度为μ的一层油膜，锥阀高为h,上、下底半径分别为1r 和2r 。

试证明，锥阀以角速度ω旋转时，作用在锥阀上的阻力矩为：

2222

121212()()()r r r r r r h T πμω++-+=

〔解〕证明：

任取r 到r+dr 的一条微元锥面环带，在半径r 处的速度梯度是

δ

ωγ

，切应力ωγτμδ=，

假定锥面上的微元环形面积为dA ，则作用在锥阀微元环带表面上的微元摩擦力是dF=τdA

微元摩擦力矩 dT=τdA ?r

下面讨论dA 的表达式，设半锥角为θ,显然，由锥阀的几何关系可得 2

2

2121)(h

r r r r Sin +--=

θ

θ

ππθSin rdr dA rdr dASin 22=

=

∴ dr r Sin rdA dT 3

2θ

δπμωτ=

= ()

1

1

2

2

44123

2sin 2sin r r r

r

r r T dT r dr πμωπμωδθδθ

-=

=

=

?? 将)(4

24

1r r -进行因式分解，并将Sin θ的表达式代入化简整理上式可得 2

222121212()()()2T r r r r r r h πμωδ

=

++-+ 例题2

盛有水的密闭容器，其底部圆孔用金属圆球封闭，该球重，直径D=10cm ，圆孔直径d=8cm ，水深H 1=50cm 外部容器水面低10cm ，H 2=40cm ，水面为大气压，容器内水面压强为p 0

求：

(1)当p 0也为大气压时，求球体所受的压力； (2)当p 0为多大的真空度时，球体将浮起。

解：

(1)计算p 0=p a 时，球体所受的水压力

因球体对称，侧向水压力相互抵消，作用在球体上仅有垂直压力。

如解例题2(a)图，由压力体的概念球体所受水压力为

()()?

?????--=??????--=46

4622132213d H H D d H H D P γπγππ ())(205.0408.04.05.06

1.014.3980023↑=???

????--??=N

(2)计算密闭容器内的真空度 设所求真空度为Hm(水柱)高，欲使球体浮起，必须满足由于真空吸起的“吸力”+上举力=球重，

如解例题2(b)图所示，即有平衡式

6.19205.04

2

=+d H πγ

()

()m d H 39.008

.014.398004

205.06.194205.06.192

2=???-=-=γπ γ

K

P ≥ p K ≥9800×=3822N/m

2

当真空度p K ≥3822N/m 2

时，球将浮起。

例题3

管道从1d 突然扩大到2d 时的局部水头损失为j h '，为了减小水头损失的数值，在1d 与2d 之间再增加一个尺寸为d 的管段，试问：(1)d 取何值时可使整体的损失为最小；(2)此时的最小水头损失j h 为多少?

〔解〕(1)根据已知的圆管突然扩大局部水头损失公式

g

V V h j 2)('2

21-=

根据连续方程2211A V A V =，增加直径为d 的管段后，仍满足2211A V VA A V == 由此可得

22

112211)(,)(d d V V d d V V

== (4-1) 在1d 与2d 之间加入直径为d 的管段后，水头损失j h 应该是两个突然扩大的局部水头损失之和，

即

g

V V g V V h j 2)

(2)(2

221-+

-=

[]

V V V V V V V g

2222122

122221-+-+=

?????

?-+-+=))((2)()(2)(21211221212121V V V V V V V V

V V g

V

将(4-1)式代入

????

?

?--++=

2122121421212

1)()(2)(2)()(12d d d d d d d d d d g

V h j 求导数 ??

????++-=

---322

41

3215412

14482d d d d d d d g

V dd dh j

???

??

?++-=--22122132121)(12)4(2d d d d d d g V

当

0=dd dh j 时，j h 取得极小值

令

0=dd

dh j ，则

??

?

??=++-==--0)(12)(002212

213d d d d d d 不合题意，舍去 22

121)(1)(

2d d

d d += 2

2

212

2

212

2d d d d d += 22

21

212d

d d d d +=

(4-2)

(2)求j h 的极小值

[]

2221min )()(21

v v v v g

h j -+-=

将211)(

d d V V =及222)(d

d

V V =代入上式，则

22

22

12min

11221()()2j

d d h V V V V g d d ????????=-+-??????????????

再将(4-2)式代入并整理可得

??

????--+-=22

2212

12222222212221min

)12()2((21d d d d V d d d V g h j 利用(4-1)式，则 ??

????-+-=2212221221min

)1(4)1(421V V V V V V g h j

g

V V V V V V g 2)(21)(41)(4121221221221-?=??

????-+-=

'min

2

1j j h h =

加中间段所得的损失正是原来突然扩大不加中间段时损失的一半，由此可见，逐渐扩大比突然扩大的损失要小得多。

例题4

比重S=，运动粘度ν=0.125cm 2

/s 的油在粗糙度△=0.04mm 的钢管中流动，管径d=300mm ，

流量Q=100l/s,试确定：

(1)流动型态；(2)沿程阻力系数λ(3)粘性底层厚度δ(4)管壁上的切应力0τ 〔解〕首先判别流态 2000339533

.010125.01

.0444

>=????==

=

-ππνν

d Q Vd

R e

紊流 (1)假定光滑紊流区，用布拉修斯公式计算λ值，即

粘性底层厚度 0233.08.3225

.0==

e

R d

δ 粘性底层厚度 mm m R d e 9.110898.10233

.0339533.08.328.323≈?=?=

=

-λ

δ

由于

3.002.09

.104

.0<==

?

δ

，流动处于紊流光滑区，前述假定正确。 (2)沿程阻力系数λ= (3)粘性底层厚度δ=1.9mm (4)管壁处的切应力

2*20

)(8181A

Q S V ρλλρτ== 89.4)3

.01.04(100085.00233.08122

0=??????=πτ2

/m N 例题5

两水池的水位差H=24m ，中间由四段管道连接，如图所示。已知水池水位保持不变，管长 l 1=l 2=l 3=l 4=100m ，管道直径d 1=d 2=d 4=100mm ，d 3=200mm ，沿程阻力系数

,02.0,025.03421====λλλλ阀门局部阻力系数 ζ

=30，其余局部阻力忽略不计。

试求： (1)管道中的流量

(2)如果关闭阀门，流量如何变化

〔解〕将阀门处的局部水头损失折合成第3管段适当长度L e 上的沿程水头损失，则

ζ g V 22

3=3λ2

332e l v d g

令 33

d l

e λζ=

，故 3

3

λζd l e = 沿程水头损失 2

5

2282Q d

g l g d V l h f πλλ=??= 令 5

28d

g l

S πλ=

，管道摩阻 2SQ h f =

先求出每条管道的摩阻值 7.206561

.08.9100

025.0885

25

1

2111

=????=

=

ππλd g l S S 3332

525

3

0.2

80.02(10030)

8()

0.022065.679.80.2e l l g d

λππ??+?+=

=

=??

可见 S 1=S 2=S 4=10 S 3

(1)求管道通过的流量

根据连续方程 Q 1=Q 4=Q 2+Q 3=Q (4-1) 2管与3管并联 2f h =3f h

2

33222Q S Q S = 10

3233

2Q

S S Q Q == (4-2) 将(4-2)式代入(4-1)式，得

Q Q Q =+3310

1

Q Q 76.03= (4-3) Q Q 24.02= (4-4) 在图示的复杂管道中

421f f f h h h H ++=

2

42

222

1Q S Q S Q S ++= 2

42

21)24.0(Q S S S +?+=

）（124.017.206562

2++?=Q

2

23.42503Q =

s l Q /76.2323

.4250324

==

所以

s

l Q Q s l Q Q s

l Q Q /06.1876.0/70.524.0/76.2332

41======

(2)当关闭了管中的阀门，流量如何变化阀门全部关闭后，成为三条管道串联，即 Q Q Q Q ===421 242221421Q S Q S Q S h h h H

f f f ++=++=

因为 7.20656421===S S S 所以 2

7.206563Q H ?= 42

10873.37

.20656324

-?=?=

Q

s l Q /68.19=

可见，关闭阀门后，虽然2管的流量增大了，但1管和4管的流量减小，使得从水池A 到水池B 的输水能力降低了。

例题6

梯形断面土渠，通过的流量Q=s m /3

，底坡i=

550

1

，边坡系数m=。 砂质粘土，粗糙系数n=，当渠道中水深为～1.0m 时不冲允许流速V ′=1.0m/s ，不淤允 许流速V ″=0.4m/s ，试按宽深比β=设计断面尺寸。 〔解〕当渠道中形成均匀流时 Q=AC

Ri

面积 A=（b +m h ）h =（+）h=2

h 湿周 χ= b+2h

21m +=+2h 25.11+=

水力半径 R =χA =

h h h 587.011.50.32

= 谢才系数 C=n

1

61

R

Q=A n 132R i =?2

h ?

025

.01?32

?550

1=3

8

h 3

8=

587.3Q = 21.0587

.375

.0=

h=0.56m b=βh= ?=0.84m 校核渠道允许流速 A= ?2= 2

m =

V A Q =797.0941

.075.0=s m / '

"

V V V << 断面平均流速在允许流速范围之内。

例题7

证明：当断面比能E s 及渠道断面形式，尺寸(b 、m)一定时，最大流量相应的水深是临界水深。

证明 2

2

2

22gA

Q h g

V h E s

αα+

=+

= （4---1）

)(22

2

h E gA Q s -=

α

（4---2）

当E s 一定时，断面形式，尺寸一定，A=f(h)，上式为Q=F(h)，绘出Q ～h 关系曲线见6-3-4图。由图可知，Q=F(h)取得极大值，将(4-2)式对h 取一阶导数，可得 ])(2[222A h E dh

dA

A g dh dQ Q S --=α 令

)(,0h F Q dh

dQ

==取得极大值，只能 ,0)(22=--A h E dh dA A S 因为,B dh

dA

=则

0)(2=--A h E B s 将(4-1)式代入上式，可得

23

Q A g B

α=

(4-3)式即为水流作临界流时临界水深关系式，可见，当断面比能Es 一定，断面形状、尺寸一定时，最大流量时的水流作临界流，水深即为临界水深h s ，即

k

k B A g

Q 3

2max

=α （4-3） 5、某矩形断面渠道，底宽b=2m ，试确定： (1)流量Q=2m 3

/s 时的临界水深及最小断面比能 (2)断面比能Es=1m 时的临界水深及最大流量 〔解〕(1)当Q=2m 3/s 时

当Q 一定时，断面比能最小时的水深为临界水深 2

2

2

22gA

Q h g

V h E s

αα+

=+

= （5-1）

将上式对h 取一阶导数，并令

0=dh

dE s

，Es 取得极小值，此时临界水深满足 323

32

)(k k k k h b b

bh B A g Q ===α

g

q gb

Q h

k

2

2

2

3αα=

=

22

3

32

1.020.459.82k q

h m g

α?==

=?

最小断面比能

7.025.045.0)

45.02(8.9220.145.022

2

2

min

=+=????+=+=g V h E K k s α (2)当Es=1m 时 ，流量最大时的水深为临界水深，由(5-1)式可得 )(222

h E A g

Q s -=

α

将上式对h 取一阶导数，并令

0=dh

dQ

，Q 取得极大值，此时临界水深满足

3232k k

k m

h b B A g

Q ==α 2

23gb Q h m

k

α=

(5-3)

因为 222

22k

m

k k k s gA

Q h g

V h E αα+

=+

= (5-4)

联立求解(5-3)式和(5-4)式，可得

s m Q m h k /43.3,67.03

max ==

k h =0.67m ，max Q =3.43m 3/s

故临界水深为0.67m ，最大流量为3.43m 3

/s 。

《流体力学》典型例题

《例题力学》典型例题 例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度 δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。 解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du U dy τμ μδ =＝ 又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即： gsin 0m S θτ-?= ()32 4 gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010 m U S θδμ--?????==≈????? 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=?的油，若轴的转速200rpm n =。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。 解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力 ()60d d n d u y πτμ μδ =＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=?= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：

()()3 223 22 3 230230603.140.360.732001600.231050938.83(W) d d n d n n l P M F dl πππμωτπδ -==??=??= ???= ? ?= 例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。 解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ω ω μ μ πδ δ == 2d d 2d r T F r r r ω μπδ =?= 4 2 420 d d 232d d d T T r r πμωπμωδδ===? 4 32d T πμωδ= 例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。 水

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

物体的受力分析及典型例题

物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质

量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。

典型相关分析及其应用实例

摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用

ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life. 【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications

流体力学典型例题及答案

1.若流体的密度仅随( )变化而变化，则该流体称为正压性流体。 A.质量 B.体积 C.温度 D.压强 2.亚声速流动，是指马赫数( )时的流动。 A.等于1 B.等于临界马赫数 C.大于1 D.小于1 3.气体温度增加，气体粘度( ) A.增加 B.减小 C.不变 D.增加或减小 4.混合气体的密度可按各种气体( )的百分数来计算。 A.总体积 B.总质量 C.总比容 D.总压强 7.流体流动时，流场各空间点的参数不随时间变化，仅随空间位置而变，这种流动称为( ) A.定常流 B.非定常流 C.非均匀流 D.均匀流 8.流体在流动时，根据流体微团( )来判断流动是有旋流动还是无旋流动。 A.运动轨迹是水平的 B.运动轨迹是曲线 C.运动轨迹是直线 D.是否绕自身轴旋转 9.在同一瞬时，流线上各个流体质点的速度方向总是在该点与此线( ) A.重合 B.相交 C.相切 D.平行 10.图示三个油动机的油缸的内径D相等，油压P也相等，而三缸所配的活塞结构不同，三个油动机的出力F1，F2，F3的大小关系是(忽略活塞重量)( ) A.F 1=F2=F3 B.F1>F2>F3 C.F1F2 12.下列说法中，正确的说法是( ) A.理想不可压均质重力流体作定常或非定常流动时，沿流线总机械能守恒 B.理想不可压均质重力流体作定常流动时，沿流线总机械能守恒 C.理想不可压均质重力流体作非定常流动时，沿流线总机械能守恒 D.理想可压缩重力流体作非定常流动时，沿流线总机械能守恒 13.在缓变流的同一有效截面中，流体的压强分布满足( ) A.p gρ +Z=C B.p=C C. p gρ + v g C 2 2 = D. p gρ +Z+ v g C 2 2 = 14.当圆管中流体作层流流动时，动能修正系数α等于( )

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

中学物理受力分析经典例题__物理受力分析

中学物理受力分析经典例题 1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体. 2.对下列各种情况下的物体A 进行受力分析 3. 对下列各种情况下的物体A 进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑. 4.对下列各种情况下的A 进行受力分析（各接触面均不光滑） （1）沿水平草地滚动的足球 V （3）在光滑水平面上向右运动的物体球 （2）在力F 作用下静止水 平面上的物体球 F （4）在力F 作用下行使在 路面上小车 F V v （5）沿传送带匀速运动的物体 （6）沿粗糙的天花板向右运动的物体 F>G F A V （2）沿斜面上滑的物体A （接触面光滑） A V （1）沿斜面下滚的小球， 接触面不光滑. A V （3）静止在斜面上的物体 A （4）在力F 作用下静止在斜面上的物体A. A F （5）各接触面均光滑 A （6）沿传送带匀速上滑的 物块A A F 1）A 静止在竖直墙面上 A v （2）A 沿竖直墙面下滑 A （4）静止在竖直墙轻上的物体A F A （1）A 、B 同时同速向右行使向 B A F F B A （2）A 、 B 同时同速向右行 使向 （6）在拉力F 作用下静止 在斜面上的物体A F A （5）静止在竖直墙轻上的物体A F A

5．如图所示，水平传送带上的物体。 （1）随传送带一起匀速运动 （2）随传送带一起由静止向右起动 6．如图所示，匀速运动的倾斜传送带上的物体。 （1）向上运输 （2）向下运输 7.分析下列物体A 的受力：（均静止） （4）静止的杆，竖直墙面光滑 A （5）小球静止时的结点A A （6）小球静止时的结点A A α B A B A （光滑小球A ） A B α

水力学——经典题目分析

题一 年调节水库兴利调节计算 要求：根据已给资料推求兴利库容和正常蓄水位。 资料： (1) 设计代表年(P=75%)径流年内分配、综合用水过程及蒸发损失月分配列于下表1，渗漏损失以相应月库容的1%计。 (2) 水库面积曲线和库容曲线如下表2。 (3) V 死 =300万m 3。 表1 水库来、用水及蒸发资料 (P=75%) 表2 水库特性曲线 解：（1）在不考虑损失时，计算各时段的蓄水量 由上表可知为二次运用，)(646031m V 万=，)(188032m V 万=，)(117933m V 万=， )(351234m V 万=，由逆时序法推出)(42133342m V V V V 万兴=-+=。采用早蓄方案，水库月 末蓄水量分别为： 32748m 、34213m 、、34213m 、33409m 、32333m 、32533m 、32704m 、33512m 、31960m 、 3714m 、034213m 经检验弃水量=余水-缺水，符合题意，水库蓄水量=水库月末蓄水量+死V ，见统计表。 （2）在考虑水量损失时，用列表法进行调节计算： 121()2V V V =+，即各时段初、末蓄水量平均值，121 ()2A A A =+，即各时段初、末水面积 平均值。查表2 水库特性曲线，由V 查出A 填写于表格，蒸发损失标准等于表一中的蒸发量。 蒸发损失水量：蒸W =蒸发标准?月平均水面面积÷1000 渗漏损失以相应月库容的1%，渗漏损失水量=月平均蓄水量?渗漏标准 损失水量总和=蒸发损失水量+渗漏损失水量 考虑水库水量损失后的用水量：损用W W M +=

多余水量与不足水量，当M W -来为正和为负时分别填入。 （3）求水库的年调节库容，根据不足水量和多余水量可以看出为两次运用且推算出兴利库容)(44623342m V V V V 万兴=-+=，)(476230044623m V 万总=+=。 （4）求各时段水库蓄水以及弃水，其计算方法与不计损失方法相同。 （5）校核：由于表内数字较多，多次运算容易出错，应检查结果是否正确。水库经过充蓄和泄放，到6月末水库兴利库容应放空，即放到死库容330m 万。V '到最后为300，满足条件。另外还需水量平衡方程 0=---∑∑∑∑弃 损 用 来 W W W W ，进行校核 010854431257914862=---，说明计算无误。 (6)计算正常蓄水位，就是总库容所对应的高程。表2 水库特性曲线，即图1-1,1-2。得到Z ～F ，Z ～V 关系。得到水位865.10m ，即为正常蓄水位。表1-3计入损失的年调节计算表见下页。 图1-2 水库Z-V 关系曲线 图1-1 水库Z-F 关系曲线

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3

X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。

初中物理受力分析习题

初中物理受力分析典型例题 【1】如图，一根细线拴着一只氢气球A ，试画出A 所受的力的示意图。 【2】试画出下图中斜面上木块A 的受力示意图。 【3】如图所示，物体A 、B 各重10N 、20N ，水平拉力F1 ＝ 2N ，F2＝4N ，物体保持静止， 则A 、B 间的静摩擦力大小为________N ，B 与地面间的摩擦力大小为________N 。 ） 【7】如图所示，小王在探究“力和运动的关系”的实验中，他将物体M 放在水平桌面上， 两边用细线通过滑轮与吊盘相连．若在左盘中放重为G 的砝码，右盘中放重为2G 的砝码时， 物体M 能以速度v 向右作匀速直线运动.如果左、右盘中的砝码不变，要让物体M 能在水平 桌面上以2v 的速度向左作匀速直线运动，则应在左盘中再加上砝码，所加砝码的重为(吊盘 重、滑轮与细线间和滑轮与轴间摩擦不计) （ ） A 、G B 、2G C 、3 G D 、4 G 【8】如图所示，纸带穿过打点计时器（每隔一定时间在纸带上打下一个点）与一木块左端 相连，木块在弹簧测力计作用下沿水平桌面（纸面）向右运动时，就能在纸带上打出一系列

的点。图10中①和②是打点计时器先后打出的两条纸带，与其对应的测力计的示数分别为F1、F2，木块运动的速度分别为v1、v2，那么 A．F1＜F2，v1＜v2 B．F1=F2，v1＜v2 C．F1=F2，v1＞v2 D．F1＞F2，v1＞v2 、B A B C D 1 的缘故；但自行车运动会越来越慢，最后停下来，这是由于自行车受到了2 __________N；若使物体竖直向下匀速运动，则向上的拉力应为_______N。 3、用弹簧测力计拉着重200N的物体在水平桌面上做匀速直线运动，当速度为4m/s时，弹簧测力计的示数为20N，若速度为1m/s时，该物体受到的摩擦力为 N，合力为______N，若将拉力增大，当弹簧测力计的示数变为30N时，物体受到的摩擦力为_________N，此时物体受到的合力为_________N. 4、空降兵在降落伞打开后的一段时间力将匀速下落，它的体重为650N，伞重200N，若人受到的阻力忽略不计，则伞对人的拉力为 N，伞受到的阻力为 N。

典型相关分析SPSS例析

典型相关分析 典型相关分析（Canonical correlation ）又称规则相关分析，用以分析两组变量间关系的一种方法；两个变量组均包含多个变量，所以简单相关和多元回归的解惑都是规则相关的特例。典型相关将各组变量作为整体对待，描述的是两个变量组之间整体的相关，而不是两个变量组个别变量之间的相关。 典型相关与主成分相关有类似，不过主成分考虑的是一组变量，而典型相关考虑的是两组变量间的关系，有学者将规则相关视为双管的主成分分析；因为它主要在寻找一组变量的成分使之与另一组的成分具有最大的线性关系。 典型相关模型的基本假设：两组变量间是线性关系，每对典型变量之间是线性关系，每个典型变量与本组变量之间也是线性关系；典型相关还要求各组内变量间不能有高度的复共线性。典型相关两组变量地位相等，如有隐含的因果关系，可令一组为自变量，另一组为因变量。 典型相关会找出一组变量的线性组合**=i i j j X a x Y b y =∑∑与 ，称 为典型变量；以使两个典型变量之间所能获得相关系数达到最大，这一相关系数称为典型相关系数。i a 和j b 称为典型系数。如果对变量进 行标准化后再进行上述操作，得到的是标准化的典型系数。 典型变量的性质 每个典型变量智慧与对应的另一组典型变量相关，而不与其他典型变量相关；原来所有变量的总方差通过典型变量而成为几个相互独立的维度。一个典型相关系数只是两个典型变量之间的相关，不能代

表两个变量组的相关；各对典型变量构成的多维典型相关，共同代表两组变量间的整体相关。 典型负荷系数和交叉负荷系数 典型负荷系数也称结构相关系数，指的是一个典型变量与本组所有变量的简单相关系数，交叉负荷系数指的是一个典型变量与另一组变量组各个变量的简单相关系数。典型系数隐含着偏相关的意思，而典型负荷系数代表的是典型变量与变量间的简单相关，两者有很大区别。 重叠指数 如果一组变量的部分方差可以又另一个变量的方差来解释和预测，就可以说这部分方差与另一个变量的方差之间相重叠，或可由另一变量所解释。将重叠应用到典型相关时，只要简单地将典型相关系数平方（2 CR）,就得到这对典型变量方差的共同比例，代表一个典型变量的方差可有另一个典型变量解释的比例，如果将此比例再乘以典型变量所能解释的本组变量总方差的比例，得到的就是一组变量的方差所能够被另一组变量的典型变量所能解释的比例，即为重叠系数。 例1：CRM（Customer Relationship Management）即客户关系管理案例，有三组变量，分别是公司规模变量两个（资本额，销售额），六个CRM实施程度变量（WEB网站，电子邮件，客服中心，DM 快讯广告Direct mail缩写，无线上网，简讯服务），三个CRM绩效维度（行销绩效，销售绩效，服务绩效）。试对三组变量做典型相关分析。

数值分析典型例题

数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0(

高中物理受力分析(动态平衡问题)典型例题(含答案)【经典】

知识点三：共点力平衡（动态平衡、矢量三角形法） 1．(单选)如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕 O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是()．答案B A．F1先增大后减小，F2一直减小 B．F1先减小后增大，F2一直减小 C．F1和F2都一直减小 D．F1和F2都一直增大 2、（单选）(天津卷，5)如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平， 此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是()．答案D A．F N保持不变，F T不断增大 B．F N不断增大，F T不断减小 C．F N保持不变，F T先增大后减小 D．F N不断增大，F T先减小后增大 3．（单选）如图所示，一光滑小球静止放置在光滑半球面的底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢地 推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，木板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是()．答案B A．F1增大，F2减小B．F1增大，F2增大 C．F1减小，F2减小D．F1减小，F2增大 4、（单选）如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加 上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为()．答案B A．F cos θB．F sin θ C．Ftan θD．F cot θ 5．(单选)如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在地面上，一质量为m的小木块在水平力F的作用下静止在斜面上．若只改变F的方向不改变F的大小，仍使木块静止，则此时力F与水平 面的夹角为()．答案A A．60°B．45° C．30°D．15° 6．（多选）一铁架台放于水平地面上，其上有一轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直，现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止，则在这一 过程中()．答案：AD A．细线拉力逐渐增大B．铁架台对地面的压力逐渐增大 C．铁架台对地面的压力逐渐减小D．铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大 7、（多选）(苏州调研)如图所示，质量均为m的小球A、B用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O点，在外力F的作用下，小球A、B处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA与竖直 方向的夹角θ保持30°不变，则外力F的大小()．答案BCD A．可能为 3 3 mg B．可能为 5 2 mg C．可能为2mg D．可能为mg 8、（单选）如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上．现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使 其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动．在这一过程中，水平拉力F、环 与杆的摩擦力F摩和环对杆的压力F N的变化情况是()．答案D A．F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大B．F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变 C．F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小D．F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变

受力分析经典题型

专练3 受力分析物体的平衡 一、单项选择题 1．如图1所示，质量为2 kg的物体B和质量为1 kg的物体C用轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上．再将一个质量为3 kg的物体A轻放在B上的一瞬间，弹簧的弹力大小为(取g＝10 m/s2)( ) A．30 N B．0 C．20 N D．12 N 答案 C 2．(2014·上海单科，9)如图2，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A 向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为F N，在运动过程中( ) A．F增大，F N减小B．F减小，F N减小 C．F增大，F N增大D．F减小，F N增大 解析 对球受力分析，受重力、支持力和拉力，根据共点力平衡 条件，有：F N＝mg cos θ和F＝mg sin θ，其中θ为支持 力F N与竖直方向的夹角；当物体向上移动时，θ变大，故 F 变小，F变大；故A正确，BCD错误． N 答案 A 3．(2014·贵州六校联考，15)如图3所示，放在粗糙水平面上的物体A上叠放着物体B.A和B之间有一根处于压缩状态的弹簧，物体A、B均处于静止状态．下列说法中正确的是( ) A．B受到向左的摩擦力B．B对A的摩擦力向右 C．地面对A的摩擦力向右D．地面对A没有摩擦力

解析弹簧被压缩，则弹簧给物体B的弹力水平向左，因此物体B平衡时必受到A对B水平向右的摩擦力，则B对A的摩擦力水平向左，故A、B均错误；取A、B为一整体，因其水平方向不受外力，则地面对A没有摩擦力作用，故D正确，C错误． 答案 D 4．图4所示，物体A置于水平地面上，力F竖直向下作用于物体B上，A、B 保持静止，则物体A的受力个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析利用隔离法对A受力分析，如图所示． A受到重力G A，地面给A的支持力N ，B给A的压力N B→A， 地 B给A的摩擦力f B ，则A、C、D错误，B正确． →A 答案 B 5．(2014·广州综合测试)如图5所示，两梯形木块A、B叠放在水平地面上， A、B之间的接触面倾斜．A的左侧靠在光滑的竖直墙面上，关于两木块的受 力，下列说法正确的是( ) A．A、B之间一定存在摩擦力作用 B．木块A可能受三个力作用 C．木块A一定受四个力作用 D．木块B受到地面的摩擦力作用方向向右 解析A、B之间可能不存在摩擦力作用，木块A可能受三个力作用，选项 A、C错误，B正确；木块B也可能不受地面的摩擦力作用，选项D错误． 答案 B 6．(2014·佛山调研考试)如图6所示是人们短途出行、购物的简便双轮小车，若小车在匀速行驶的过程中支架与水平方向的夹角保持不变，不计货物与小车间的摩擦力，则货物对杆A、B的压力大小之比F A∶F B为( )