建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

[学习目标]

1.能表述建立数学模型的方法、步骤；

2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非

预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；

3.能表述数学建模的分类；

4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；

5.培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤

—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱〞系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为根底运用统计分析方法，按照事先确定的准那么在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．

可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,假设需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理根本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，那么可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从

§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．

图16-5 建模步骤示意图

模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能无视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.

模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或局部失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出条件那样．

模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原那么是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.

模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．

模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时那么可能要给出数学上的最优决策或控制，不管哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．

模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比拟，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者局部不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．

模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。

应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么清楚．建模时不应拘泥于形式上的按部就班，本书的建模实例就采取了灵活的表述方式．

二、数学模型的特点

我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。数学模型有许多优点，也有弱点。建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数学模型的假设干特点，以期在学习过程中逐步领会．模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易到达通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用〞也相当高，而高“费用〞不一定与复杂模型取得的“效益〞相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用〞与“效益〞之间做出折衷和抉择．

模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学开展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．

模型的强健性模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测

数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．

模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．模型的非预制性虽然已经开展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)．在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生．

模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更

全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未到达实用的程度，对问题的研究也是有利的。

模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出假设干条普遍适用的建模准那么和技巧．有入说。建模目前与其是一门技术、不如说是一种艺术．是技艺性很强的技巧．经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大．

模型的局限性这里有几方面的含义．第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被无视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的．第二，由于人们认识能力和科学技术包括数学本身开展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型．如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像生铁冶炼过程，需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果．专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻辑思维过程，建立假设干规那么和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并做出判断．专家系统可以看成计算机模拟的新开展．第三，还有些领域中的问题今天尚未开展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统．

建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可无视的作用。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜想、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性〞地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处．历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律．当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟．相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素．所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式(Team work)越来越受到重视．

前面说过，建模可以看成一门艺术．艺术在某种意义下是无法归纳出几条准那么或方法的．一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的

实践．类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目．

三、数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种．

1.按照模型的应用领域(或所属学科)分．如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些那么形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等．

2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分．如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等．

按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的根本数学知识在各个不同领域中建模．

3.按照模型的表现特性又有几种分法：

确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的开展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．

静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化．

线性模型和非线性模型取决于模型的根本关系，如微分方程是否是线性的．离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连

续的．

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法．

4.按照建模目的分．有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等．

5.按照对模型结构的了解程度分．有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型．这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的微妙．白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经根本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了．灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做．至于黑箱那么主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象．有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理．当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的开展，箱子的“颜色〞必然是逐渐由暗变亮的．

建立数学模型的方法和步骤

建立数学模型的方法和步骤

1. 模型准备

要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

2. 模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

3. 模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

4. 模型求解

可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

5. 模型分析

对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近上下各不同〞，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否到达更高的档次。还要记住，不管那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

例题：一个笼子里装有鸡和兔假设干只，它们共有8 个头和22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？

解：设笼中有鸡x 只，有兔y 只，由条件有

x+y=8

2x+4y=22

求解如上二元方程后，得解x=5,y=3，即该笼子有鸡5 只，有兔3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。

根据例题可以得出如下的数学建模步骤：

1〕根据问题的背景和建模的目的做出假设〔此题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外〕

2〕用字母表示要求的未知量

3〕根据的常识列出数学式子或图形〔此题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有2 只脚，兔有4 只脚〕

4〕求出数学式子的解答

5〕验证所得结果的正确性

这就是数学建模的一般步骤。

建立数学模型的方法步骤特点及分类

§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份

数学建模知识点总结

数学建模知识点总结 本文对数学建模的知识点进行总结，旨在帮助读者快速了解数学建模的核心概念和方法。 一、数学建模的基础知识 1. 数学建模的定义：数学建模是通过数学方法解决实际问题的过程，包括问题的分析、建立数学模型、求解模型、结果的分析和验证等步骤。 2. 常用的数学模型：常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、离散模型、连续模型等，不同类型的模型适用于不同的问题。 3. 数学建模的步骤：数学建模一般包括问题的形式化、模型的建立、模型的求解、模型的验证和结果的分析等步骤，每个步骤都需要仔细思考和合理选择方法。 二、数学建模的常用方法

1. 数理统计方法：数理统计是数学建模中常用的方法之一，通 过对问题数据的统计分析来获得问题的特征和规律，从而建立数学 模型。 2. 最优化方法：最优化是数学建模中求解优化问题的常用方法，通过选择合适的优化目标函数和约束条件，求解出问题的最优解。 3. 微分方程方法：微分方程是数学建模中描述变化和关系的常 用工具，通过建立微分方程模型，可以有效地描述问题的动态变化 情况。 4. 图论方法：图论是数学建模中研究图结构和图算法的重要分支，通过构建问题的图模型，可以利用图论的方法解决相关问题。 5. 随机过程方法：随机过程是数学建模中研究随机事件发生的 规律和模式的数学工具，通过建立随机过程模型，可以对问题进行 概率分析和预测。 三、数学建模的案例应用

1. 交通流量预测：通过建立交通流量模型，预测不同时间段和不同路段的交通流量，以便制定合理的交通管理策略。 2. 股票价格预测：通过建立股票价格模型，预测未来股票价格的变动趋势，为投资者提供参考和决策依据。 3. 环境污染控制：通过建立环境污染模型，分析污染源和传播规律，提出合理的环境保护措施和污染治理方案。 4. 生产优化调度：通过建立生产优化模型，分析生产过程中的瓶颈和制约因素，优化生产调度方案，提高生产效率。 5. 疾病传播模拟：通过建立疾病传播模型，分析疾病传播的潜在风险和影响因素，制定合理的防控措施。 以上仅是数学建模的一些应用案例，数学建模的应用领域非常广泛，涉及到生物、经济、环境、工程等多个领域。 四、数学建模的发展趋势

数学建模的五个步骤

数学建模的五个步骤 数学建模是指利用数学方法来解决实际问题的过程。它在现代科学研究、工程技术等领域都有广泛的应用。数学建模的过程可以分为五个步骤，包括问题理解、建立模型、模型求解、模型评价和结果解释。下面将详细 介绍这五个步骤。 第一步：问题理解 问题理解是数学建模的第一步，也是至关重要的一步。正确的问题理 解能够确保后续建模过程的准确性和有效性。在问题理解阶段，研究者需 要明确问题的背景和要求，确定问题的范围和目标，以及搜集相关的实验 数据和文献资料。这些信息将有助于研究者在后续的建模过程中更好地进 行模型的构建和求解。 第二步：建立模型 建立模型是数学建模的核心步骤，它是将实际问题转化为数学问题的 过程。在建立模型时，研究者需要根据问题的特点和要求，选取合适的数 学方法和工具，构建数学模型。数学模型可以是代数方程、差分方程、微 分方程、最优化问题等等。模型的构建需要充分考虑实际问题中的各种因 素和假设条件，并进行适当的抽象和简化。此外，研究者还需要对所选用 的数学模型进行合理的验证和修正。 第三步：模型求解 模型求解是数学建模中的关键步骤之一、在模型求解过程中，研究者 需要选择合适的求解方法和算法，使用计算机软件或手工计算来解决所建 立的数学模型。求解的过程中，研究者需要考虑求解的效率和精度，以及 结果的可靠性和实用性。

第四步：模型评价 模型评价是对所建立的数学模型进行有效性和可行性的评估。在模型 评价过程中，研究者需要利用实验数据和实际情况进行模型的验证和检验。评价的指标可以是模型的拟合度、预测精度、稳定性等等。通过模型评价 的结果，可以对模型进行合理的调整和改进，以便更好地解决实际问题。 第五步：结果解释 结果解释是数学建模的最后一步，也是将数学模型的结果转化为实际 应用的关键一步。在结果解释过程中，研究者需要将模型的结果与实际问 题进行对比和分析，解释模型的意义和结论，提出相应的建议和策略。结 果解释的目的是使模型的结果能够被决策者、管理者和其他利益相关方所 理解和接受，并能够指导实际问题的解决和处理。 总结起来，数学建模的五个步骤为问题理解、建立模型、模型求解、 模型评价和结果解释。这些步骤需要研究者综合运用数学理论和实践经验，灵活应用数学方法和工具，建立合理的数学模型，并通过有效的求解和评 价方法来解决实际问题。数学建模的过程是一个既有挑战性又具有创造性 的过程，它能够促进科学研究和技术发展的进步，为社会经济的可持续发 展做出重要贡献。

数学建模的几个过程

数学建模的几个过程 数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。下面将详细介绍这四个过程。 一、问题建模： 问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。具体步骤如下： 1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。 2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。 3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。 二、模型建立： 模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。具体步骤如下： 1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。 2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。

3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。 三、模型求解： 模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。具体步骤如下： 1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。 2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。 3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。 四、模型验证： 模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。 1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。 2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。 3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱〞系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为根底运用统计分析方法，按照事先确定的准那么在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,假设需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理根本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，那么可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能无视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或局部失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出条件那样．

数学建模：学习数学建模的基本方法和步骤

数学建模：学习数学建模的基本方法和步骤 介绍 数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，它在科学研究、工程设计以及社会问题分析等领域具有广泛的应用。本文将介绍数学建模的基本方法和步骤，帮助读者了解如何使用数学建模来解决实际问题。 基本概念 1.数学建模的定义：数学建模是指通过抽象、假设和计算等方式，将实际问 题转化为数学问题，并利用数学工具和技术对其进行求解与分析的过程。 2.数理统计与优化理论：在进行数学建模时，常常需要运用到统计理论与优 化理论，其中统计理论主要用于数据的处理与分析，而优化理论则用于求解最优化问题。 数学建模的基本步骤 1.问题定义：明确所要解决的实际问题，并对重要概念进行定义与描述。 2.建立模型：根据实际情况选择合适的数学工具与方法，构造出能够代表实 际问题特征的数学模型。 3.模型验证：通过数据分析、样例检验以及与实际情况的对比，评估所建立 模型的准确性和有效性。 4.模型求解：利用数学工具和方法对建立好的数学模型进行计算与求解，并 得到结果。

5.结果分析：对模型求解结果进行分析和解释，从中获取有关实际问题的信 息。 6.结论揭示：根据模型求解结果和分析结论，得出对实际问题的相关结论与 建议。 数学建模的常见方法 1.数量关系模型：使用公式、方程和函数等数学表达式来描述变量之间的数 量关系。 2.图论与网络流模型：利用图论中的图和网络流等概念与方法，分析问题中 不同事物之间的连接关系与流动问题。 3.分类模型与回归分析：通过分类方法和回归分析技术，研究变量之间的相 关性、预测未知数据、识别规律等问题。 4.最优化模型：引入优化理论中的最优化概念，寻找使目标函数取得极值或 满足一定约束条件时所需要的最优解。 数学建模的应用领域 1.自然科学领域：物理学、生物学、地球科学等领域中经常需要运用数学建 模的方法来解决复杂问题。 2.工程技术领域：机械、电气、航空等工程技术领域，数学建模常用于设计 优化、参数拟合和系统控制等问题。 3.经济金融领域：经济学、金融学中，数学建模可以用于预测市场变化、评 估风险和优化投资组合等方面。

数学建模步骤

数学建模步骤 数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的方法。下面将介绍数学建模的步骤。 一、问题的提出 数学建模的第一步是确定问题的范围和目标。问题的提出需要从实际问题出发，明确解决的问题是什么。例如，设计一个航空航天器、预测未来气候变化等。要求问题清晰明确、具有可行性和实用性。 二、建立模型 建立模型是数学建模的核心。模型是指将实际问题抽象成为数学模型，通过数学语言和符号表达出来。建立模型需要根据问题的特征和要求，选择合适的数学方法和理论，构建出合理的数学模型。常用的数学方法包括微积分、概率论、统计学、最优化、动力系统等。 三、求解模型 求解模型是指通过数学方法对建立的数学模型进行求解，得到问题的解答。在求解模型时，需要根据实际情况选择适当的数值计算方法、数值计算软件等。常用的数值计算方法包括迭代法、差分法、有限元法等。求解的结果需要进行验证和

分析，以确保解的正确性和合理性。 四、模型的评价 模型的评价是对建立的数学模型进行评估，判断模型的适用性和可靠性。评价模型需要考虑模型的合理性、可行性、稳定性、准确性等方面。评价的结果用于改进和优化模型，或者选择更合适的数学方法和理论。 五、应用模型 应用模型是指将建立好的数学模型应用到实际问题中，得到解决方案。应用模型需要将建立好的数学模型与实际场景结合起来，进行具体的应用。在应用模型时，需要考虑模型的实用性、可行性、成本效益等方面。 六、模型的优化 模型的优化是指对已经建立好的数学模型进行优化和改进，以提高模型的精度和效率。模型的优化需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的优化方法和技术。常用的优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、神经网络等。 总之，数学建模是一种复杂的过程，需要全面考虑问题的各个方面，运用多种数学方法和技术，以达到解决实际问题的目的。

数学建模的方法和步骤

数学建模的方法和步骤 数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描 述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求 解的过程。数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。 一、数学建模的方法 数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。数学建模方法可分为以下几类： 1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事 物之间的关系量化为一种数学模型。 2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据， 然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。 3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立 一个数学模型。 4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。 二、数学建模的步骤 数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据 一些经验和规律推导出一个可行的模型。数学建模步骤通常分为以下几步：

1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。 2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。 3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。 4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。 5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。 总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。数学建模的有效性是通过模型的检验和验证来实现的，而数学建模的可持续性需要运用科技创新和不断超越自己的思考方式，加深对问题的理解，提高模型描述问题的准确度和逼真度。

建立数学模型的方法步骤特点及分类

建立数学模型的方法步骤特点及分类 方法： 1.归纳法：通过观察和分析问题的特点，总结规律，建立数学模型。 这种方法适用于一些具有规律性的问题。 2.拟合法：通过收集和分析实际数据，找到数据之间的关系，并用数 学函数来拟合数据，建立数学模型。这种方法常用于实际问题中的数据分 析和预测。 3.分析法：通过对问题进行分析，找出问题的关键因素和数学关系， 建立数学模型。这种方法适用于复杂和抽象的问题。 步骤： 1.确定问题：明确问题的背景、条件和目标。 2.收集数据：收集相关的实际数据，了解问题的现状。 3.建立假设：对问题进行分析，提出一些可能的假设。 4.建立模型：根据问题的性质和假设，选择合适的数学方法和函数， 建立数学模型，将实际问题转化为数学问题。 5.求解模型：通过数学计算和推理，解决建立的数学模型，得出结论。 6.模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较和分析，检验模型的 准确性和可靠性。 7.结果解释：将模型的结果解释给决策者或用户，提供对问题的认识 和决策依据。

特点： 1.抽象性：数学模型对实际问题进行了抽象和简化，从而能够更好地 描述和解决问题。 2.精确性：数学模型具有精确的语言和推理，能够给出准确的数值结果。 3.可行性：数学模型能够通过计算和推理得出结果，帮助解决实际问题。 4.替代性：数学模型可以替代实验或观测，节省时间和成本。 分类： 1.数量模型：用数学表达式和符号来描述问题的数量关系，包括线性 模型、非线性模型、离散模型、连续模型等。 2.质量模型：用数学方法描述问题的质量关系，包括概率模型、统计 模型、优化模型等。 3.动态模型：描述问题随时间变化的规律和趋势，包括微分方程模型、差分方程模型、随机过程模型等。 4.静态模型：描述问题的状态和平衡点，包括线性规划模型、非线性 规划模型、输入输出模型等。 总之，建立数学模型是解决实际问题的重要方法之一、根据问题的性 质和要求，选择合适的建模方法和模型类型，通过建立、求解和验证数学 模型，可以得出有关问题的结论和解决方案。

常见的建立数学模型的方法

常见的建立数学模型的方法 1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。 常见的建立数学模型的方法 1 原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。 模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。 数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。 数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。 二、教学模型的分类

数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。 常见的建立数学模型的方法 3 1.类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。 2.量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。 在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。 量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度

数学建模步骤及过程

数学建模步骤及过程 以数学建模步骤及过程为标题，写一篇文章。 一、引言 数学建模是一种通过数学方法解决实际问题的过程。它将实际问题抽象化，转化为数学模型，并利用数学工具进行分析和求解。本文将介绍数学建模的一般步骤及具体过程。 二、问题定义 数学建模的第一步是明确问题，并将问题转化为数学语言。在这一步，需要仔细研究问题的背景和条件，并明确问题的目标和约束。通过对问题进行分析和理解，确定所要建立的数学模型的类型。 三、建立数学模型 在问题定义的基础上，需要建立数学模型来描述问题。数学模型由变量、参数和约束等组成。变量是模型中需要求解的未知量，参数是已知的常数，约束是模型中的限制条件。根据问题的特点，可以选择不同的数学方法和工具，如微积分、线性代数、概率论等来建立模型。 四、模型求解 建立数学模型后，需要对模型进行求解。求解的方法根据模型的类型和复杂程度而定。可以采用解析解法、数值解法或优化算法等来求解模型。在求解过程中，需要选择合适的算法，并进行计算和验

证。 五、模型分析 在模型求解完成后，需要对结果进行分析和评估。分析结果的合理性和可行性，并与实际问题进行比较。如果结果符合实际情况，那么模型就是有效的。如果结果与实际情况存在差异，需要对模型进行调整和改进。 六、模型验证 为了保证模型的准确性和可靠性，需要对模型进行验证。验证的方法可以是对模型进行实验或与实际数据进行比较。通过验证可以检验模型的有效性，并发现模型中存在的不足和改进的空间。 七、模型应用 经过验证的模型可以应用于实际问题中。根据模型的结果和分析，可以得出问题的解决方案，并进行决策和实施。在应用过程中，需要考虑模型的局限性和可行性，并及时进行调整和优化。 八、模型评价 在模型应用的过程中，需要对模型进行评价。评价的指标可以是模型的精确度、稳定性、可解释性等。通过评价可以判断模型的优劣，并为后续的建模工作提供参考。 九、总结

构建小学数学模型的基本步骤与技巧

构建小学数学模型的基本步骤与技巧 数学模型是数学与实际问题相结合的产物，它能够帮助我们更好地理解和解决 实际问题。在小学阶段，培养学生的数学建模能力对于他们的数学学习和综合素质的提高都具有重要意义。本文将介绍构建小学数学模型的基本步骤与技巧。 一、明确问题 构建数学模型的第一步是明确问题。在小学数学教学中，问题通常是以文字形 式出现的，学生需要仔细阅读并理解问题的含义。在明确问题时，学生需要思考问题的背景、条件和要求，以便能够准确地把握问题的关键点。 例如，一个典型的问题是：“小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有 多少个苹果？”在明确问题时，学生需要理解问题的背景是小明和小红有苹果，条 件是小明有5个苹果，小红有3个苹果，要求是计算他们一共有多少个苹果。 二、建立数学模型 在明确问题后，学生需要根据问题的特点和要求，建立相应的数学模型。数学 模型是数学符号和表达式的组合，它能够准确地描述问题的关系和规律。建立数学模型的关键是将问题中的信息转化为数学符号，并建立符合问题要求的数学关系。 以前面的问题为例，学生可以将小明有的苹果数表示为x，小红有的苹果数表 示为y，他们一共有的苹果数表示为x+y。因此，数学模型可以表示为x+y=5+3=8。 三、解决数学模型 建立数学模型后，学生需要解决数学模型，即求解模型中的未知数。解决数学 模型的方法有多种，包括代入法、消元法、图像法等。根据问题的特点和要求，选择合适的方法进行求解。

对于前面的问题，学生可以通过代入法求解。假设小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入数学模型x+y=8，得到2+6=8，符合题意。因此，小明有2个苹果，小红有6个苹果。 四、检验解答 解决数学模型后，学生需要对解答进行检验，以确保解答的准确性和合理性。检验解答的方法有多种，包括代入原问题、逻辑推理、实际操作等。 对于前面的问题，学生可以通过代入原问题进行检验。代入小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入原问题“他们一共有多少个苹果”，得到2+6=8，与前面的解答一致。因此，解答正确。 五、拓展应用 构建数学模型的基本步骤与技巧掌握后，学生可以进一步拓展应用，将数学模型应用到其他实际问题中。通过不断练习和实践，学生可以提高数学建模的能力，培养解决实际问题的能力。 例如，学生可以通过类似的方法解决其他关于苹果数量的问题，如“小明有x 个苹果，小红有y个苹果，他们一共有多少个苹果？”通过建立数学模型x+y=？，求解未知数，得到解答。 总结起来，构建小学数学模型的基本步骤包括明确问题、建立数学模型、解决数学模型和检验解答。在实践中，学生可以通过不断练习和拓展应用，提高数学建模的能力，培养解决实际问题的能力。数学模型的构建不仅能够帮助学生更好地理解和解决实际问题，还能够培养他们的逻辑思维和创新能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。

数学模型的建立方法

数学模型的建立方法 数学模型是将现实问题抽象化、定量化和数学化的过程，它可以帮助我们理解问题的本质、预测未知情况、优化决策等。下面是一个数学模型的建立方法的详细介绍： 1.明确问题：首先需要明确问题的背景、目标和约束条件。例如，我们可能需要建立一个模型来优化供应链管理问题，那么我们需要明确我们的目标是什么，有哪些约束条件。 2.收集数据：为了建立数学模型，我们需要收集相关的数据。这包括实地调研、文献研究、统计数据等。数据的质量和数量对模型的建立和准确性非常重要。 3.建立假设：建立数学模型需要做出适当的假设，以简化问题的复杂性。假设应该基于对问题的理解和实际情况。例如，在优化调度模型中，常见的假设包括可行解、稳定环境、线性关系等。 4.确定变量和关系：接下来，我们需要确定模型中的变量和它们之间的关系。变量是描述问题状态和属性的因素。关系是变量之间的数学表达式或约束条件。我们可以使用数学公式、方程、不等式等来描述变量和关系。 5.建立数学模型：根据前面的步骤，我们可以构建数学模型。数学模型可以分为多种类型，包括代数模型、几何模型、概率模型等。根据问题的性质和需求选择合适的数学模型。 6.求解和优化：建立数学模型后，我们需要求解模型以获得有关问题的信息。这可以通过数学分析、符号计算和算法求解等方法来实现。通过求解模型，我们可以获得问题的最优解、稳定解、灵敏度分析等。

7.模型验证和修正：验证模型的准确性和适用性非常重要。我们可以使用现有的数据进行模拟和实验，将模型的结果与实际情况进行对比和验证。如果模型结果不符合预期，我们需要对模型进行修正和改进。 8.模型应用：最后，根据模型的结果，我们可以进行相应的决策和行动。数学模型提供了对问题的深入理解和预测能力，可以指导实际环境中的决策和行动，从而达到优化和改善问题的目的。 总结起来，数学模型的建立需要明确问题、收集数据、做出假设、确定变量和关系、建立模型、求解和优化、模型验证和修正以及模型应用。这些步骤相互依赖和互为补充，需要综合运用数学、统计、优化等方法和工具来完成。

数学模型的建立

数学模型的建立 引言 数学模型是将现实世界中的实际问题转化为数学形式的表示。通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析问题，并提供解决方案。本文将讨论数学模型的基本概念、建立过程以及一些常用的建模方法。 数学模型的基本概念 数学模型是一种以数学符号和方程组的形式来描述现实问题的工具。它由变量、参数、约束条件和目标函数组成。变量表示问题中的待求量，参数表示问题中的已知量，约束条件表示问题中的限制条件，目标函数表示问题中的目标。 数学模型的建立过程 数学模型的建立通常包括以下几个步骤： 1. 研究问题：首先，我们需要深入研究和了解问题的背景和相关知识，明确问题的目标和要求。

2. 定义变量和参数：根据问题的特点，我们需要定义适当的变 量和参数来表示问题中的各个要素。 3. 建立方程或不等式：根据问题的描述和已知条件，我们可以 建立方程或不等式来描述问题中的关系。 4. 添加约束条件：将问题中的限制条件加入到模型中，确保模 型的可行性和准确性。 5. 确定目标函数：根据问题的目标，确定一个合适的目标函数，以便我们可以通过最大化或最小化目标函数来求解问题。 6. 解模型并验证：使用合适的数学工具和方法求解模型，并验 证模型的解是否符合实际情况。 常用的建模方法 建立数学模型的方法多种多样，常见的建模方法包括： - 数理统计方法：通过收集和分析数据，利用统计学方法建立 数学模型。

- 最优化方法：使用最优化理论和方法，通过最大化或最小化 目标函数来建立模型。 - 离散事件模拟方法：将连续事件转化为离散事件，使用模拟 技术来解决问题。 - 动态系统建模方法：将问题描述为动态系统，通过建立微分 方程和差分方程来建模。 - 概率模型方法：通过概率论的知识，建立和分析随机现象的 数学模型。 结论 数学模型的建立是解决实际问题的重要工具。通过合理的建模 方法和技巧，我们可以更好地理解问题，并提供有效的解决方案。 不同的问题需要选择适合的建模方法，根据实际情况进行灵活应用。建立数学模型需要综合运用数学、统计学和实际领域的知识，从多 个角度综合分析问题，得出准确的结果。