第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换
初等行变换
1 对调两行,记作 (r i r j ) 。
2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素,记作 (r i k ) 。
3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去,记作 (r i
kr j ) 。 初等列变换: 把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“ r ”换成
“ c ”。
扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换, 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。
矩阵等价 如果矩阵 A
经有限次初等变换变成矩阵 B ,就称矩阵 A 与 B 等价。 等价
关系的性质
( 1)反身性 A~A
(2)对称性 若 A ~ B ,则 B~ A;
(3)传递性 若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。(课本 P59)
行阶梯形矩阵: 可画出一条阶梯线,线的下方全为零, 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线 (每段竖线的长度为一行) 后面的第一个元素为非零元, 也是非零行 的第一个非零元。
行最简形矩阵: 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在的列的其他元
素都为 0.
为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设 A 与 B 为 m × n 矩阵,那么
标准型 :对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如
E r
O
的矩阵,称
mn
r
(1)A: B 存在m阶可逆矩阵P,使PA B;
c
(2)A~ B 存在n阶可逆矩阵Q,使AQ B;
(3)A: B 存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ B;
初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
初等矩阵的性质
设A是一个m×n 矩阵,则
(1)对A施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵;
r
即A~B 存在m阶可逆矩阵P,使PA B;
(2)对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵;
即A~B 存在n阶可逆矩阵Q,使AQ B;
(3)A~B 存在m阶可逆矩阵P,及n阶可逆矩阵Q,使PAQ B;
(4)方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。
(5)A可逆的充分必要条件是 A ~ E。(课本
P?)
初等变换的应用
( 1)求逆矩阵:
初等行变换1
(A|E) E|A 1或A初等列变换
E
1
。
E
A1
(2)求A-1B :
r
A(A,B) ~ (E,P),即(A| B) 行E|A1B ,则P=A-1B。或
A初等列变换E.
B BA1
第二节矩阵的秩
矩阵的秩任何矩阵A m n,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩
阵中非零行的行数是唯一确定的。 (非零行的行数即为矩阵的秩)
矩阵的秩在矩阵A中有一个不等于 0的r 阶子式D,且所有r + 1 阶子式(如果存在的话)全等于 0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A的秩,记作R(A). 规定零矩阵的秩,R(0)=0.
说明
1. 矩阵A m× n,则R( A) ≤ min{ m,n};
2. R(A) = R( A T);
3. R(A)≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;
4. R(A)≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零.
满秩和满秩矩阵矩阵 A a ij ,若R(A) m,称 A为行满秩矩阵;若R(A) n,
mn
称 A 为列满秩矩阵;若A为n阶方阵,且R(A) n,则称A为满秩矩阵。
若n阶方阵A满秩,即R( A) n A 0; A 1必存在;A为非奇异阵;
A必能化为单位阵E n,即A~ E n.
矩阵秩的求法
定理 1 矩阵A经过有限次行 ( 列)初等变换后其秩不变。即若A~B,则R(A)=R(B)。
矩阵A m×n,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形,则非零行的行数就是A的秩。(证明课
本 P? )
推论若P、Q可逆,则R(PAQ) R( A) (课本 P? ) 矩阵秩的性质总结
(1) 0 R(A m n) min{ m,n} (2) R(A T) R(A) (3)若A~ B,则R A R B
(4) 若P、Q可逆,则R(PAQ) R(A)
(5) max{ R( A), R(B)} R(A,B) R(A) R(B) 特别当B b为非零列向量时,有R(A)
R(A,b) R(A) 1.
(6) R(A B) R(A) R(B) (7) R(AB) min{ R(A),R(B)}.
(8) 若A m n B n l O,则R(A) R(B) n.
(9)设AB=O ,若A为列满秩矩阵,则B=O(矩阵乘法的消去率) 。(课本 P71)
第三节线性方程组的解
a11x1 a12x2 L a1n x n b1
线性方程组a21x1 a22x2 L a2n x n b2
21 1 22 2 2n n 2如果有解,则称其为相容的,否则称为不相容L L L L L L L L
a m1x1 a m2x2 L a mn x n
b m
定理 2 n 元齐次线性方程组Ax=0
(1)R(A) = n Ax=0 有唯一解,零解
(2)R(A) < n Ax=0 有非零解 .
定理 3 n 元非齐次线性方程组Ax b
( 1) 无解的充分必要条件是R(A) R(A, b)
( 2) 有唯一解的充分必要条件是R(A) R(A,b) n
( 3) 有无限多接的充分必要条件是R(A) R(A,b) n (证明课本 P71)
基础解系齐次线性方程组Ax 0的通解具有形式x c1 1 c2 2(c1, c2为任意常数 ) ,称通解式x c1 1 c2 2 c1,c2为任意常数中向量1, 2 构成该齐次线性方程组的基础解系。
线性方程组的解法齐次线性方程组:将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵,判断是否有非零解 . 若有
非零解,化成
行最简形矩阵,写出其解;齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为n-R( A) ,齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组:将增广矩阵B=( A, b) 化成行阶梯形矩阵,判断其是否有解.若有解,化成行最简形矩阵,写出其解;在求解过程中,一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。
非齐次线性方程组解的通解具有形式x c1 1 c2 2 *( c1, c2为任意常数 ) ,不带参数
部分*是非齐次方程组的一个解;带参数部分c1 1 c2 2 的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
定理矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,B)
定理设AB C,则R(C) min{ R( A), R(B)}
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要:矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨,详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上,首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用,如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合,凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词:矩阵初等变换;最大公因式;线性相关性;二次型;空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中,矩阵理论是高等代数的重要组成部分,矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受,同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外,还有大量的各种各样的,表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现:矩阵的初等变换。 因此,对矩阵初等变换方法及应用进行探讨,无疑是十分必要和重要的。 目前,有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论,但比较零散。在研读文献的基础上,对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘,使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij (i =1,2, ,j =1,2,n , )排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵,简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分,因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行(列)变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行(列)的位置,记为j i r r ? )(j i c c ?; (2)把某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,记为j i kr r + )(j i kc c +; (3)用一个非零常数k 乘以某一行(列),记为i kr )(i kc ,k ≠0; 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置,得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ; (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行,得
沪教版四年级上册数学知识点第一章复习与提高 一、加法和减法 (1)加法:求两个数的和的运算。 ①加数+加数=和 ②一个加数=和—另一个加数 (2)减法:已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。 ①被减数—减数=差 ②被减数=差+减数 ③减数=被减数—差 (减法是加法的逆运算) 二、乘法与除法 (1)乘法:求几个相同加数和的简便运算。 ①因数×因数=积 ②一个因数=积÷另一个因数 (2)除法:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 ①被除数÷除数=商 ②被除数=商×除数 ③除数=被除数÷商 (除法是乘法的逆运算) 三、分数 (1)进一步直观认识几分之一、几分之几,能根据直观图的阴影部分写出分数。(2)通过直观图初步认识相等的分数。
(2)我们就来试读这些数:2300――23002――2300230――230023000 (3)一亿五千万写作: 二十六亿零三百万写作: 一百零五亿四千零二十万写作: 七千六百五十亿零五十八万写作: 三)多位数的改写知识点: 1、改写以“万”或“亿”为单位的数的方法。以“万”为单位,就要把末尾的四 个0去掉,再添上万字;以“亿”为单位,就要把末尾八个0去掉,再添上亿字。 2、改写的意义。为了读数、写数方便。 二、四舍五入法 四舍五入法:如果被省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小(≤4),就把尾数都舍去(即“四舍”);如果尾数的最高位上的数是5或者比5大(≥5),去掉尾数后,要向它的前一位进1(即“五入”)。 如精确到万位,只看千位,精确到亿位,只看到千万位。后面还学习了“去尾法” 以及“进一法”,注意区分它们之间的区别。 三、平方千米 边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。清楚平方厘米、平方分米、平方米、平方千米之间的转换进率。 1 km2=1000000 m 2 1 m2=100 dm2 1 dm2=100 cm2 四、吨的认识 吨一般形容较重物体,清楚克、千克、吨单位之间的换算。 注意:做填空题经常遇到不同单位的两个量之间的加减计算转换成同一单位的两个量之间的加减计算。 1 kg=1000 g 1 吨(t)= 1000 千克(kg)= 1000000 g 五、从毫升到升 1 L(升)=1000 mL(毫升) 第三章分数的初步认识(二)
第一单元 一、多音字 漂禁吐盛数散撒落倒扎横 二、词语解释 雀跃:高兴得像雀儿一样地跳跃 迫不及待:急迫得不能再等待 吉祥如意:幸运、符合心意 诗情画意:诗画般的美好意境。形容风光或景物很美 小心翼翼:形容举动十分谨慎,一点不敢疏忽大意 兴高采烈:兴致高,情绪热烈 忘乎所以:由于过度兴奋或骄傲自满而忘记一切 望而却步:看到了就停步不前。形容在艰难险阻面前向后退缩,不敢勇往直前杂草丛生:指各种野草聚集在一起 三、近义词 盼望——渴望欣喜——高兴照耀——照射 嗔怪——责怪包含——包括匆忙——急忙 长进——进步愉悦——愉快飘散——飞散
集合——聚拢品尝——品味翱翔——飞翔 消逝——消失顾忌——顾虑绝妙——奇妙 允许——许可 四、反义词 沉睡——苏醒明丽——暗淡温馨——冷静 迫不及待——慢条斯理集合——分散喜欢——讨厌 凉丝丝——热腾腾水灵——干枯纯洁——污浊 生气——高兴允许——禁止 五、词语积累 象声词:叮叮咚咚滴滴答答哗啦哗啦淅沥淅沥啪啦啪啦一、多音字 差闷背难没担兴强 二、词语解释 火辣辣:形容激动得情绪,文中形容因羞愧而脸上发烧良师益友:使人得到教益和帮助的好老师、好朋友 一本正经:形容很规矩、很庄重 静悄悄:形容非常安静,没有声音
沉默不语:不说话 诚挚:诚恳真挚 芬芳扑鼻:香气冲鼻而来,形容香气很浓 滂沱大雨:形容雨下得很大 大雨如注:形容雨下得很大 三、近义词 聪明——聪慧认真——仔细特意——特地赞美——称赞诧异——惊异尴尬——难堪苦恼——烦恼绝交——断交裁决——判决诚挚——真挚宽裕——宽绰援助——帮助照料——照顾保卫——保护纤弱——弱小 四、反义词 整洁——脏乱纯真——虚伪保守——公开赞美——批评错误——正确苦恼——快活静悄悄——闹哄哄热烈——冷淡甜蜜——苦涩宽裕——拮据善良——凶恶弱小——强大勇敢——懦弱纤弱——强壮 五、词语积累 多音字 都切间喝将调丧强称相教重监 六、词语解释 起死回生:救活垂危的人。形容医术高明 死而复生:指快要死的人又奇迹般地活过来
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行,记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素,记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去,记作。 初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与等价。 等价关系的性质 (1)反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;()对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C ()传递性若则。(课本P59) 行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵:行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型:对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵,称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵,那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵,使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵,及阶可逆矩阵,使 初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵,则 (1)对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵; ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵,使 (2)对A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵; 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵,及阶可逆矩阵,使 (4)方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 (5)~r A A E 可逆的充分必要条件是。(课本P ? ) 初等变换的应用 (1)求逆矩阵:()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 (2)求A -1B :A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行,则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
沪教版四年级上册语文 各单元知识点整理 一、给加点的字选择正确的读音 因材施教(jiào)教(jiāo)书育人处(chǔ)事为(wéi)人 白桦(huà)淙淙(cóng)舔水(tiǎn)榛子(zhēn) 二、多音字组词 (1)处(chǔ)(设身处地))(2)为(wèi)(因为) (chù)(好处)(wéi)(为难) (3)称(chēng)(称呼) (4)中(zhōng)(中间) (chèn) (称职) (zhong)(中奖) (5)正(zhēng)(正月) (6)泊(bó)(停泊) (zhèng)(正襟危坐)(pō)(湖泊) (7)强(qiáng)(强壮) (8)差(chāi)(差事) (qiǎng)(勉强)(chà)(差劲) (jiàng)(倔强)(cī)(参差不齐) (9)落(luò)(落叶) (10)着(zhe)(看着) (là)(落下)(zhuó)(穿着) (11)率(shuài)(率领) (zháo)(着急) (lǜ)(效率) (zhāo)(着数) (12)闷(mēn)(闷热) (13)薄(bó)(薄雾) (mèn)(闷闷不乐)(báo)(薄片) (bò)(薄荷 (14)号(hào)(口号) (háo)(风号浪吼) 三、积累词语 近义词: 聆听(倾听)喧闹(嘈杂)宽恕(宽容)叮嘱(嘱咐) 微不足道(微乎其微)央求(哀求)悲戚(悲伤) 照例(按例)慈祥(慈爱)笑吟吟(笑嘻嘻)念头(想法) 特别(特殊)顽皮(调皮)尖锐(锐利)猛烈(激烈) 健壮(结实)勇猛(勇敢)期盼(期盼)阻挡(阻止) 享受(享用)安宁(宁静)惊愕(惊讶)诡秘(秘密) 本事(本领)清楚(清晰)兴许(也许)径直(笔直) 变幻(幻化)呈现(显现)格外(特别) 反义词: 贫穷(富有)勇敢(胆小)谦虚(骄傲)聪明(愚笨) 糊涂(明白)清楚(模糊)笔直(弯曲)平坦(崎岖) 寒冷(炎热)特殊(普通)否认(承认)虚弱(强壮) 允许(拒绝)隐瞒(坦白)平稳(动荡)洁白(漆黑) 欢乐(痛苦)战争(和平)粗壮(纤细)颤动(镇定) 盛夏(严冬)零落(盛开)繁多(稀少) 理解词意: 身临其境:形容自己仿佛亲身到了那个境地中去。 引人入胜:引人进入佳境(指风景或文章等)形容亲身来到某种境地。 娓娓动听:说起来很生动,让人爱听。形容谈论不倦或说话动听。 有教无类:不管什么人都可以受到教育,不因为贫富,贵贱,智愚,善恶等原因把一些人排除在教
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换;§3.2 初等矩阵 教学目的和要求:(1)理解矩阵的初等变换,理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念. (2)掌握用初等变换求逆矩阵的方法. (3)理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点:矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点:矩阵的初等变换、初等矩阵的性质. 教学方法与手段:从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手,引出矩阵的初等变换的定义;初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关,三种初等变换对应着三种初等矩阵;从分析初等矩阵的性质出发,推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法.传统教学,教练结合 课时安排:2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换,它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时,我们对其行(列)作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换,称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→. 定义2 等价矩阵:若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???. 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性:A A ? (2) 对称性:n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性:n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即 是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0,则称矩阵为行最简形矩阵.
四年级上册成语分类 一、ABCD shēn lín qí jìnɡjiárán ?r zhǐyǐn r?n rùshanɡtiān zī cōnɡmínɡyīn cái shī jiào ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yuǎn jìn w?n mínɡyán jǐn zhuānɡzh?nɡh?yán yuasabùzhī hǎo dǎi p?bùjídài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yā quawúshēnɡzhanɡzhōnɡxiàhuái xùrìdōnɡshēnɡwēi bùzúdào kū xiào bùd?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jīnɡhuānɡshī cu?zhùr?n w?i laqiān lǐ zhī yáo měi jiǔ jiā yáo bú sùzhī ka( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qiān zhēn wàn quaw?i zhuī dǔ jiéfēnɡyǔjiāo jiāchánɡtúbáshayī shān lán lǚ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qǔzhī bújìn h?nɡqíshùbāquán sh?n ɡuàn zhùzhuànɡliaxī shēnɡánɡshǒu tǐnɡxiōnɡ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jū ɡāo lín xiàfěn shēn suìɡǔjiān qiánɡbùqūjīnɡtiān d?nɡdìqìzhuànɡshān hé( ) ( ) ( ) ( ) ( ) shíyǐn shíxiàn shuānɡl?nɡxìzhūlínɡl?nɡduō zīxiān yàn duō cǎi suān tián k?kǒu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r?n shēnɡdǐnɡfai shuǐtiān xiānɡjiēqít?u bìnɡjìn shān bēnɡdìliafēnɡpínɡlànɡjìnɡ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fēnɡhào lànɡhǒu màn tiān juǎn dìánɡshǒu dōnɡwànɡqǐfúdànɡyànɡjiárán ?r zhǐ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xìbō rú lín ( ) 二、AABC wěi wěi d?nɡtīnɡhā hā dàxiào miàn miàn xiānɡqùpín pín fā shayǎn yǎn yìxī ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yī yī bùshěbó bó shēnɡjījǐnɡjǐnɡyǒu tiáo jīn jīn yǒu wai xǔxǔrúshēnɡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) chún chǔn yùd?nɡyánɡyánɡd?yì ( ) ( ) 三、ABCC chuī yān niǎo niǎo fēnɡch?n púpúhēi yān ɡún ɡǔn qìshìxiōnɡxiōnɡjīn ɡuānɡshán shǎn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ɡuǒ shí léi léi bái fàcānɡcānɡyìlùn fēn fēn ( ) ( ) ( ) 四、AABB xī xī hā hāchí chí yí yíchōu chōu yē yēbān bān bó bóyùyùcōnɡcōnɡ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mìmìc?nɡc?nɡyán yán shi shíhào hào dànɡdànɡɡōnɡɡōnɡjìnɡjìnɡ ( ) ( ) ( ) ( ) 五、ABB xiào yín yín shī lùlùhōnɡlōnɡl?nɡlǜyínɡyínɡyuán hū hūhuǒ làlà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 六、ABAC y?u xiānɡy?u cuìshíyǐn shíxiàn y?u s?nɡy?u ruǎn y?u xiānɡy?u cuìru?yǐn ru?xiàn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r?n shān rén hǎi yǒu shēnɡyǒu sayǒu shān yǒu shuǐyǒu shǐ yǒu zhōnɡyǒu zī yǒu wai ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 / 8
六年级下册 知识点总结 一、有理数 1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。(三要素) 数轴上的点从左到右依次增大,正数大于零,零大于负数,正数大于负数。 2、相反数:绝对值相等,只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 0的相反数还是0,也可以说成0的相反数是它本身(会出填空,选择) 3、绝对值:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。记做|a|。 0和正数(非负数)的绝对值是它本身,绝对值最小的数是 0 (填 空,选择) 由绝对值的定义可得:|a-b|表示数轴上a 点到b 点的距离。(计算) 4、倒数:1除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。 如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。(填空,选择) 1和-1的倒数是它本身(0不可以作为除数)(会出填空,选择) 5、有理数的乘方:求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。 一般地,记作,a 叫做底数,n 叫做指数。(填空) 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0 的任何正整数次幂都是0。(计算) (计算)结果分别为16和-16 (0)0(0) (0)a a a a a a >??==??-