解三角形专题
1、在ABC ?中,已知内角3
A π
=
,边BC =设内角B x =,面积为y .
(1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值.
3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2
1
222ac b c a =-+ (1)求B C
A 2cos 2
sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,
2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?,且//m n 。
(I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。
5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值.
6、在ABC ?中,cos A =
,cos B =.
(Ⅰ)求角C ; (Ⅱ)设AB =ABC ?的面积.
7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r
,
(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值.
8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。
9、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知1
1tan ,tan 2
3
A B ==,且最长边的边长为l.求:
(I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长.
10、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5,c =7,且
.2
7
2cos 2sin 42
=-+C B A (1) 求角C 的大小; (2)求△ABC 的面积.
11、已知△ABC 中,AB=4,AC=2,ABC S ?= (1)求△ABC 外接圆面积. (2)求cos(2B+
3
π
)的值.
12、在ABC ?中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,(2,)b c a =-m ,(cos ,cos )A C =-n ,且⊥m n 。
⑴求角A 的大小; ⑵当22sin sin(2)6
y B B π
=++取最大值时,求角B 的大小
13、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=?=? (Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若k c 求,2=的值.
14、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且
c o s c o s B C b
a c
=-
+2. (I )求角B 的大小; (II )若b a c =+=134,,求△ABC 的面积.
15、(2009全国卷Ⅰ理) 在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
16、(2009浙江)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足25cos
2A = 3AB AC ?=u u u r u u u r
.
(I )求ABC ?的面积; (II )若6b c +=,求a 的值.
17、6.(2009北京理)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=
,
4
cos ,35
A b ==
(Ⅰ)求sin C 的值; (Ⅱ)求ABC ?的面积.
18、(2009全国卷Ⅱ文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
,求B.
19、(2009安徽卷理)在?ABC 中,sin()1C A -=, sinB=1
3
.
(I )求sinA 的值 , (II)设AC=6,求?ABC 的面积.
20、(2009江西卷文)在△ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,6
A π
=
,
(13)2c b +=.
(1)求C ; (2)若13CB CA ?=+u u u r u u u r
,求a ,b ,c .
21、(2009江西卷理)△ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
(1)求,A C ; (2)若33ABC S ?=+,求,a c . 21世纪教育网
22、(2009天津卷文)在ABC ?中,A C AC BC sin 2sin ,3,5=== (Ⅰ)求AB 的值。 (Ⅱ)求)42sin(π
-A 的值。
23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若223a b bc -=,sinC=23sinB ,则A=
(A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
24.(2010年高考全国2卷理数17)(本小题满分10分)
ABC ?中,D 为边BC 上的一点,33BD =,5sin 13B =,3
cos 5
ADC ∠=,求AD
25.(2010年高考浙江卷理科18)在ABC V 中,角A ,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos2C= -1
4
。 (Ⅰ)求sinC 的值; (Ⅱ)当a=2,2sinA=sinC ,求b 及c 的长。
26、(2010年高考广东卷理科16)
已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4. (1) 求()f x 的最小正周期; (2) 求()f x 的解析式; (3) 若f (23α +12π)=12
5
,求sin α.
27、(2010年高考安徽卷理科16)(本小题满分12分)
设ABC ?是锐角三角形,,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长,并且
22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ
=+-+。
(Ⅰ)求角A 的值; (Ⅱ)若12,AB AC a ==u u u r u u u r
g ,b c (其中b c <)。
答案:
1. 解:(1)ABC ?的内角和A B C π++=
Q
3A π
=
203B π
∴<<
sin 4sin sin BC
AC B x
A ==Q 12
sin sin()23y AB AC A x x π∴=?=-
2(0)3x π
<<
(2)y =
Q 21
sin(
)(sin )322x x x x x π-=+
26sin cos x x x =+7)2)
6666x x ππππ=-+-<-<
当
262x ππ
-=
即3x π=时,y 取得最大值 2、解:(1)由正弦定理有:
)60sin(|
|120sin 1sin ||0
0θθ-==AB BC ; ∴θsin 120sin 1
||0
=BC ,
00120sin )60sin(||θ-=AB ;
∴→
→?=BC
AB f )(θ21)60sin(sin 340?-?=
θθθ
θθsin )sin 21cos 23
(32-=
)30(61)62sin(31π
θπθ<<-+= (2)由
6562630π
πθππθ<
+<<; ∴1)62sin(21≤+<πθ;∴)
(θf ]
61,0(∈ 3、解:(1) 由余弦定理:conB=1
4
sin
2
2A B
++cos2B= -14
(2)由
.415sin ,41cos ==
B B 得 ∵b=2,
a 2
+c 2
=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC=12
acsinB ≤315
(a=c 时取等号)
故S △ABC 的最大值为315
4、(1)解:m ∥n
2sinB(2cos2B
2-1)=-3cos2B
2sinBcosB =-3cos2B
tan2B =- 3
∵0<2B <π,∴2B =2π3,∴锐角B =π
3
(2)由tan2B =- 3 B =π3或5π
6
①当B =π
3时,已知b =2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac ≥2ac -ac =ac(当且仅当a =c =2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB =3
4ac ≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3
……1分
②当B =5π
6时,已知b =2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+3ac ≥2ac +3ac =(2+3)ac(当且仅当a =c =6-2时等号成立) ∴ac ≤4(2-3) ……1分
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB =1
4ac ≤2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为2- 3 注:没有指明等号成立条件的不扣分.
5、解:(I )由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,
,
0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则
因此
.
31
cos =B (II )解:由2cos ,2==?B a 可得,
,,0)(,
12,cos 2,
6,3
1
cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a =c = 6
6、
(Ⅰ)解:由
cos A =
,cos B =,得02A B π??∈ ?
??、,
,所以sin sin A B =
=
因为
cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=
且0C π<< 故.
4C π
=
(Ⅱ)解:
根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C B
C ?=?==
所以ABC ?的面积为16
sin .
2
5AB AC A ??= 7、解:(1)由m//n 得0cos 1sin 22
=--A A ……2分
即01cos cos 22
=-+A A
1cos 21
cos -==
∴A A 或
1cos ,-=?A ABC A 的内角是Θ舍去 3π
=∴A
(2)a c b 3=+Θ 由正弦定理,
23sin 3sin sin =
=+A C B
π
32
=+C B Θ
23)32sin(sin =-+∴B B π
23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即
8、解:由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin
有
23
sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=
==-C C C C C 或所以
由
3,23sin ,,13,4π==
<==C C a c c a 则所以只能有,
由余弦定理
31,034cos 22
222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当
.3sin 21
,133sin 2
1
,3=?=
==?=
=C ab S b C ab S b 时当时
9、解:(I )tanC =tan[π-(A +B )]=-tan (A +B )11
tan tan 231111tan tan 123A B A B +
+=-=-
=---?
∵0C π<<, ∴
34C π
=
(II )∵0 ,最长边长为c 由 1tan 3B = ,解得sin B = 由sin sin b c B C = ,∴ 1sin sin c B b C ?= == 10、解:(1) ∵A+B+C=180° 由 27 2cos 2cos 4272cos 2sin 422 =-=-+C C C B A 得 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+? C C 整理,得01cos 4cos 42 =+-C C 解 得: 21 cos = C ……5分 ∵?<1800C ∴C=60° (2)解:由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC ,即7=a2+b2-ab ∴ ab b a 3)(72 -+= 由条件a+b=5得 7=25-3ab ab=6 ∴ 23 323621sin 21=??== ?C ab S ABC 11 、解:依题意, 11sin 42sin 22ABC S AB AC A A A = ?=??==V , 所以 3A π = 或 23A π = (1)当 3A π = 时, ,△ABC 是直角三角形,其外接圆半径为2, 面积为2 24ππ= 当 23A π= 时,由余弦定理得22222cos 164828 3BC AB AC AB AC π =+-=++=g , BC=2△ABC 外接圆半径为 R=2sin 3BC A = , 面积为283π (2)由(1)知 3A π = 或 23A π= , 当 3A π = 时, △ABC 是直角三角形,∴ 6B π = , cos(2B+3π)=cos 21 32π=- 当23A π= 时, 由正弦定理得,2,sin sin 14B B =∴= , cos(2B+3π)=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π =(1-2sin2B)cos 3π-2sinBcosBsin 3π = 222111(1)21427?-?-=- 12、解:⑴由⊥m n ,得0=g m n ,从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --= 2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-= Q ,(0,)A B π∈,∴ 1 sin 0,cos 2B A ≠= ,∴ 3A π= (6分) ⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin 666y B B B B B πππ =++=-++ 112cos 21sin(2)26B B B π =+ -=+- 由(1)得, 270,2,366662B B ππππππ << -<-<=∴2B -时, 即 3B π = 时,y 取最大值2 13、解:(I )B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =?=?Θ B ac A bc cos cos =∴?=?又 B A A B cos sin cos sin =∴ 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B A B A B A =∴<-<-ππΘ ABC ?∴为等腰三角形. (II )由(I )知b a = 22cos 2 222c bc a c b bc A bc = -+?==?∴ 2=c Θ 1=∴k 14、解:(I )解法一:由正弦定理a A b B c C R s i n s i n s i n ===2得 a R A b R B cR C ===222s i n s i n s i n ,, 将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B A C =-+=-+22得 即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++= ∵A B C B C A A B A ++=+=+=π,∴,∴sin()sin sin cos sin 20 ∵ s i n c o s A B ≠,∴, 01 2=- ∵B 为三角形的内角,∴ B = 23π. 解法二:由余弦定理得 c o s c o s B a c b a c C a b c a b =+-= +-22222222, 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b a c =-++-+-=-+2222222 222 得× 整理得a c b a c 222 +-=- ∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=- 222221 2 ∵B 为三角形内角,∴ B = 2 3π (II )将b a c B =+==1342 3,,π代入余弦定理b a c a c B 222 2=+-c o s 得 b a c a c a c B 22 22=+--()c o s , ∴131621123 =--=a c a c (),∴ ∴ S a c B A B C △==123 43s i n . 15、分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 22 2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在 已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理 有:222222 3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=g g 化简并整理得:222 2()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍). 解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22 2a c b -=,0b ≠。 所以2cos 2b c A =+…………………………………① 又sin cos 3cos sin A C A C =,sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+= sin()4cos sin A C A C +=,即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b B C c =,故4cos b c A =………………………② 由①,②解得4b =。 16、解析:(I )因为 25cos 25A =,234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==,又由3AB AC ?=u u u r u u u r , 得cos 3,bc A =5bc ∴=,1 sin 2 2ABC S bc A ?∴== 21世纪教育网 (II )对于5bc =,又6b c +=,5,1b c ∴==或1,5b c ==,由余弦定理得 2222cos 20a b c bc A =+-=,25a ∴= 21世纪教育网 17、【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵A 、B 、C 为△ABC 的内角,且 4 ,cos 3 5B A π = = , ∴ 23 ,sin 35C A A π= -=, ∴ 231343sin sin sin 32C A A A π+?? =-=+= ???. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 3343 sin ,sin 5A C +== , 又∵ ,3 3 B b π = =,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 ∴ sin 6 sin 5b A a B = =. ∴△ABC 的面积 1163433693sin 32251050S ab C ++= =???=. 18、解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三 角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=23 (负值舍掉),从而求出B=3π。 解:由 cos (A -C )+cosB=3 2及B=π-(A+C )得 cos (A -C )-cos (A+C )=3 2, cosAcosC+sinAsinC -(cosAcosC -sinAsinC )=3 2, sinAsinC=3 4. 又由2 b =a c 及正弦定理得21世纪教育网 2 sin sin sin ,B A C = 故 23sin 4B = , 3sin B = 或 3 sin B =(舍去), 于是 B=3π 或 B=23π . 又由 2 b a c =知a b ≤或c b ≤ 所以 B=3π 。 19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小题满分12分 解:(Ⅰ)由 2C A π-= ,且C A B π+=-,∴42B A π=- ,∴2sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴ 2 11 sin (1sin )23A B =-= ,又sin 0A >,∴3sin 3A = (Ⅱ)如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A = ∴ 3 6sin 332 1sin 3 AC A BC B ?= = =,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 32261633333= ?+?= ∴ 116 sin 63232223ABC S AC BC C ?= ??=???= 20、解:(1)由(13)2c b += 得 13sin 22sin b B c C =+= 则有 55sin() sin cos cos sin 666sin sin C C C C C π ππ π- --= =1313cot 2 222C +=+ 得cot 1C = 即 4C π = . (2) 由13CB CA ?=+u u u v u u u v 推出 cos 13ab C =;而 4C π=, 即得2 132ab =+ 则有 2 132(13)2sin sin ab c b a c A C =+?? +=???=?? 解得 2 132a b c ?=?? =??=?? 21、解:(1) 因为 sin sin tan cos cos A B C A B += +,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B += +, 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, A B C 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π = ,所以. 23B A π+= 又因为 1sin()cos 2B A C -== ,则6B A π-=,或56B A π -=(舍去) 得 5,4 12A B π π= = (2) 162 sin 3328ABC S ac B ac ?+= ==+, 又sin sin a c A C = , 即 23 2 2a c = ,21世纪教育网 得22,2 3.a c == 22、【解析】(1)解:在ABC ? 中,根据正弦定理,A BC C AB sin sin = ,于是 522sin sin ===BC A BC C AB (2)解:在ABC ? 中,根据余弦定理,得AC AB BC AC AB A ?-+= 2cos 2 22 于是 A A 2 cos 1sin -==55 , 从而 53 sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 102 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 23、【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得:23c b =,所以由于余弦定理得: 222cos 2b c a A bc +-==222(3)cos 2b c b bc A bc +-+= =232c bc bc -= 2 =2,所以A=30°,选A 。 【最新】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.设函数())cos(2)f x x x ??=+++(||)2 π ?<,且其图像关于直线0x =对 称,则( ) A .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2 π 上为增函数 B .()y f x =的最小正周期为 2π,且在(0,)4 π 上为增函数 C .()y f x =的最小正周期为π,且在(0,)2 π 上为减函数 D .()y f x =的最小正周期为2π,且在(0,)4 π 上为减函数 【答案】C 【解析】 试题分析:())cos(2)f x x x ??=+++2sin(2)6 x π ?=++,∵函数图像关于直 线0x =对称, ∴函数()f x 为偶函数,∴3 π ?=,∴()2cos 2f x x =,∴22 T π π= =, ∵02 x π << ,∴02x π<<,∴函数()f x 在(0, )2 π 上为减函数. 考点:1.三角函数式的化简;2.三角函数的奇偶性;3.三角函数的周期;4.三角函数的单调性. 2.已知函数sin(),0 ()cos(),0 x a x f x x b x +≤?=?+>?的图像关于y 轴对称,则sin y x =的图像向左平移 ( )个单位,可以得到cos()y x a b =++的图像( ). A . 4 π B . 3 π C . 2 π D .π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件确定,a b 关系,再化简()cos y x a b =++,最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0 ,0 sin x a x f x cos x b x ?+≤?=?+>??的图像关于y 轴对称,所以 2017高考真题解三角形汇编 1.(2017北京高考题)在△ABC 中,A ∠ =60°,c =37 a . (Ⅰ)求sin C 的值; (Ⅱ)若a =7,求△ABC 的面积. 2.(2017全国卷1理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ ABC 的面积为2 3sin a A (1)求sin B sin C ; (2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 3.(2017全国卷1文科)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,c ,则C =B A .π 12 B .π6 C .π4 D .π3 4.(2016全国卷2理科)ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=. (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.(2017全国卷2文科16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6.(2017全国卷3理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A cos A =0,a b =2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积. 7.(2017全国卷3文科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。已知 C =60°,b c =3,则A =_________。 8.(2017山东高考题理科)在C ?AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若 C ?AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A , 解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P 专题精选习题----解三角形 1.在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知b a c B C A -= -2cos cos 2cos . (1)求A C sin sin 的值; (2)若2,41 cos ==b B ,求ABC ?的面积S . 2.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 2sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值. 3.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+π ,求A 的值; (2)若c b A 3,31 cos ==,求C sin 的值. 4.ABC ?中,D 为边BC 上的一点,5 3cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD . 5.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41 cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ?的周长; (2)求)cos(C A -的值. 6.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且241 b a c =. (1)当1,45 ==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围. 7.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值; (2)求C B sin sin +的最大值. 8.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知 412cos -=C . (1)求C sin 的值; (2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长. 9.在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足 3,5522cos =?=A . (1)求ABC ?的面积; (2)若6=+c b ,求a 的值. (数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么? 一、选择题:(每小题5分,计40分) 1.已知△ABC 中,a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于( ) (A )135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.在ABC ?中,,75,45,300===C A AB 则BC =( ) A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A = 3 π ,a =3,b =1,则c =( ) (A )1 (B )2 (C )3—1 (D )3 4.在中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 a c b +-=,则角B 值为( ) A.6 π B. 3π C.6 π或56π D. 3 π或23π 5.在△ABC 中,若 C c B b A a cos cos cos = =,则△ABC 是( ) (A )直角三角形. (B )等边三角形. (C )钝角三角形. (D )等腰直角三角形. 6.ABC ?内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( ) A . 14 B .3 4 C 7.在ABC ?中,已知B A cos sin 2=ABC ?一定是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 8.△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为2 3 ,那么b =( ) A .2 31+ B .31+ C .2 32+ D .32+ 二.填空题: (每小题5分,计30分) 9.在△ABC 中,AB =1, B C =2, B =60°,则AC = 。 10. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知3,30,a b c ===? 则A = . 11.在ABC ?中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是___ __. 12.在ABC △中,若1tan 3 A = ,150C =o ,1BC =,则AB =________. 13.在△ABC 中,三个角A ,B ,C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为 . 14.在ABC ?中,若120A ∠=o ,5AB =,7BC =,则ABC ?的面积S=_______ 三.解答题: (15、16小题每题12分,其余各题每题14分,计80分) 2019年高考试题汇编:解三角形 1.(2019?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a sin A﹣b sin B=4c sin C,cos A=﹣,则=() A.6B.5C.4D.3 2.(2019?北京)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β,图中阴影区域的面积的最大值为() A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ 3.(2019?新课标II)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 4.(2019?浙江)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=. 5.(2019?新课标II)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B =,则△ABC的面积为. 6.(2019?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B =4a sin C. (Ⅰ)求cos B的值; (Ⅱ)求sin(2B+)的值. 7.(2019?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C. 8.(2019?江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值; (2)若=,求sin(B+)的值. 9.(2019?北京)在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cos B=﹣. (Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B﹣C)的值. 10.(2019?新课标Ⅲ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a sin=b sin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解三角形单元测试题 一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .2 三角函数与解三角形高考试题精选 一.解答题(共31小题) 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+. (Ⅰ)证明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值. 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2﹣b2﹣c2).(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. (Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=C. (1)求tanC的值;(2)若a=,求△ABC的面积. 5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=. (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB. 6.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC的长;(2)求sin2C的值. 7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣. (Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值. 8.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积. 9.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,求cosA 与a的值. 10.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(Ⅰ)求sin∠CED的值;(Ⅱ)求BE的长. 11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B;(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小. 12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2. 解三角形专题 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1 222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中,cos A = ,cos B =. (Ⅰ)求角C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r , (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==,且最长边的边长为l.求: (I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长. 解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为△AB C 外接圆半径)。 2、变形公式:(1)化边为角:2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === (2)化角为边:sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === (3)::sin :sin :sin a b c A B C = (4)2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式:21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 二、余弦定理 1、余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角;(解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(解唯一): (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1). 解三角形练习题及答案 解三角形习题及答案 、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为(). A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2、在厶ABC中,下列等式正确的是(). A. a : b=Z A :Z B B . a : b= sin A : sin B C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B 1 : 2 : 3,则它们所对的边长之比为( 3、若三角形的三个内角之比为 A. 1 : 2 : 3 B . 1 : 3 : 2 C . 1 : 4 : 9 D . 1 :;』2 : 3 4、在厶ABC中,a= V5 , b= 尿,/ A= 30 °贝卩c等于(). A. 2 5 B. --:5C . 2 ;5或■、5 D. . 10或■,5 5、已知△ ABC中,/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形 状大小(). A .有一种情形B.有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在厶ABC 中,若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是(). A .锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( ) A.—一 2 B. 1 2 C. 1 2 n 3 D.— — 8、化简1 T:等于( ) A. 3 B.二 C. 3 D. 1 2 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos a —cos B 二丄,sin a —sin 3 =丄,贝S cos (a —B )= . 2 3 10、在厶ABC 中,/ A= 105° / B= 45° c=忑,贝S b= _____________ . a + b + c 你在厶ABC 中,/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ? 12、在厶ABC中,若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ . 班别:__________ 姓名: _____________ 序号:_______ 得分: _______ 9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________ 三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题 解三角形测试题 一、选择题: 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于() A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1,b=2,∠A=30°C.a=1,b=2,∠A=100°D.b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中,有() A.cosA>sinB且cosB>sinA B.cosA A . )sin(sin sin αββα-a B .)cos(sin sin βαβ α-?a C . )sin(cos sin αββα-a D .) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 ( ) A .a (km) B .3a(km) C .2a(km) D .2a (km) 二、填空题: 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中,若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2-c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A -B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题: 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =- B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2-2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C 解三角形习题及答案 一、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2、在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3 ∶2 C .1∶4∶9 D .1∶ 2∶3 4、在△ABC 中,a =5 ,b = 15,∠A =30°,则c 等于( ). A .2 5 B .5 C .2 5 或5 D .10或5 5、已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形 状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为??-?? A.23- B.21- C.2 1 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 ( ) A B C .3 D .1 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos α-cos β=2 1,sin α-sin β=3 1,则cos (α-β)=_______. 10、在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 11、在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则C B A c b a sin sin sin ++++= . 12、在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值等于 . 班别: 姓名: 序号: 得分: 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、(12分)已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形. 14、(14分)已知2 1 )tan(=-βα,7 1tan -=β,求)2tan(βα-的值 解三角形高考真题汇总 1 / 3 2017高考真题解三角形汇编 1.(2017北京高考题)在△中,A ∠ =60°,37 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若7,求△的面积. 2.(2017全国卷1理科)△的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△的面积为 2 3sin a A (1)求; (2)若61,3,求△的周长. 3.(2017全国卷1文科)△的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=,2 ,则 A . π 12 B . π6 C . π4 D . π3 4.(2016全国卷2理科)ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=. (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.(2017全国卷2文科16)△的内角的对边分别为,若2,则 6.(2017全国卷3理科)△的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 0, 2. (1)求c ;(2)设D 为边上一点,且⊥ ,求△的面积. 7.(2017全国卷3文科)△的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。已知60° 3,则。 8.(2017山东高考题理科)在C ?AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若 C ?AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A , 则下列等式成立的是( ) (A )2a b = (B )2b a = (C )2A =B (D )2B =A 9.(2017山东高考题文科)在△中,角的对边分别为,已知36AB AC ?=-△3,求A 和a . 第一章 解三角形 一、选择题 1.己知三角形三边之比为 5∶ 7∶8,则最大角与最小角的和为 ( ) . A . 90° B . 120° C .135° D . 150° 2.在△ ABC 中,下列等式正确的是 ( ) . A . a ∶ b =∠ A ∶∠ B C . a ∶ b =sin B ∶ sin A B .a ∶ b = sin A ∶ sin B D . asin A = bsin B 3.若三角形的三个内角之比为 1∶ 2∶ 3,则它们所对的边长之比为 ( ) . A . 1∶ 2∶3 B .1∶ 3 ∶ 2 C . 1∶ 4∶9 D . 1∶ 2 ∶ 3 4.在△ ABC 中, a = 5 , b = 15 ,∠ A = 30°,则 c 等于 ( ) . A . 2 5 B . 5 C .2 5 或 5 D . 10 或 5 5.已知△ ABC 中,∠ A = 60°, a = 6 , b = 4,那么满足条件的△ ABC 的形状大小 ( ) . A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6.在△ ABC 中,若 a 2 + b 2- c 2 < 0,则△ ABC 是( ) . A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7.在△ ABC 中,若 b = 3 , c = 3,∠ B = 30°,则 a =( ) . A . 3 B . 2 3 C . 3 或 2 3 D . 2 8.在△ ABC 中, a ,b , c 分别为∠ A ,∠ B ,∠ C 的对边.如果 a , b , c 成等差数列, ∠ B = 30°,△ ABC 的面积为 3 ,那么 b = ( ) . 2 1 3 B . 1+ 3 2 3 D . 2+ 3 A . 2 C . 2 9.某人朝正东方向走了 x km 后,向左转 150°,然后朝此方向走了 3 km ,结果他离出 发点恰好 3 km ,那么 x 的值是 ( ) . 全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 (2019全国2卷文)8.若x 1=4π,x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= A .2 B .3 2 C .1 D . 1 2 答案:A (2019全国2卷文)11.已知a ∈(0, π 2),2sin2α=cos2α+1,则sin α= A .15 B C D 答案:B (2019全国2卷文)15.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________. 答案:4 3π (2019全国1卷文)15.函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________. 答案:-4 (2019全国1卷文)7.tan255°=( ) A .-2 B .- C .2 D . 答案:D (2019全国1卷文)11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ,4 1cos -=A ,则b c =( ) A .6 B .5 C .4 D .3 答案:A (2019全国3卷理) 18.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 2 A C a b A +=. (1)求B ; (2)若△ABC 为锐角三角形,且1c =,求△ABC 面积的取值范围. (1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sin sin 2 A C B +=. 由180A B C ++=?,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222 B B B =. 因为cos 02 B ≠,故1 sin =22B ,因此60B =?. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积ABC S ?. 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+. 由于△ABC 为锐角三角形,故090A ?<,090C ?<. 由(1)知120A C +=?,所以3090C ?<,故122 a < 必修5第一章《解三角形》练习题 1.△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求AC的长及△ABC的面积. 2.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA,试判断△ABC的形状. 3. 如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B在北偏东75°,航行8海里到达C处,望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险? 4.如图,货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为152o的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122o.半小 时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32o.求此时货轮与灯塔之间的距离. 5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km(千米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为150,经过4秒)后又看到山顶的俯角为 450,求山顶的海拔高度(取2=1.4,3=1.7). 图1 图2 A 6. 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南 )10 2 (cos = θθ方向300km 的海面P 处,并以/h 的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km ,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时? O P θ 45° 东 西 北 东 第十二讲 解三角形 2019年 1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ; (2 2b c +=,求sin C . 解:(1)由已知得,故由正弦定理得. 由余弦定理得. 因为,所以. (2)由(1)知, , 即,可得. 由于,所以,故 . 2.(2019全国Ⅱ理 15)ABC △的内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a c B == =,则ABC △的面积为__________. 解析:由余弦定理有, 因为,,,所以, 所以, 222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22 b c a A bc +-==0180A ??<<60A ?=120B C ?=-() sin 1202sin A C C ?+-=1sin 2sin 222 C C C ++=()cos 602C ?+=-0120C ??<<()sin 602 C ?+=()sin sin 6060C C ??=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+4 =2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3 B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 2 ABC S ac B c B ===△ 3.(2019全国Ⅲ理18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin sin 2A C a b A +=. (1)求B ; (2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解析(1)由题设及正弦定理得. 因为,所以. 由,可得,故. 因为,故,因此. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形,故,,由(1)知,所以,故 . 因此,面积的取值范围是 . 4.(2019江苏12)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边 AB 上,BE =2EA , AD 与 CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?= ?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AB AC 的值是 . 解析 设, sin sin sin sin 2 A C A B A +=sin 0A ≠sin sin 2 A C B +=180A B C ?++=sin cos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B =cos 02B ≠1sin 22 B =60B =?AB C S = △()sin 120sin 1sin sin 2 C c A a C C ?-===ABC △090A ?<090C ?<120A C +=?3090C ?<122a <高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》分类汇编附解析
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