求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法
二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．
我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 1.1 二面角的相关概念
新教材]1[在二面角中给出的定义如下：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的
平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：
二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.
2. 二面角的求解方法
对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：
一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.
2.1 定位二面角的平面角，求解二面角
二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在
60
的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且
线段10=AB ，试求：
（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．
分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出
60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．
根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，
EB
CD //，连结BC 、
AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角β
α--a α图1
的平面角．以下求解略．
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 . 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC
中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A1EF 的位置，使二面角A1-EF-B 成直二面角，连 接A1B 、A1P.
(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F 的余弦值 tan ∠COC 1=2
分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△
PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=8
7
-。 2011广东高考理18.(本小题满分13分)
如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60?
，PA PD ==分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 解：(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，
在Rt PGA ?中
，2
217
()24
PG =
-=；在R t
B G
?中，22213
1()24
BG =-=；
在PGB ?
中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==?.
例
2 在如图
3
所示的三棱锥
P-ABC
中，
AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面角P-BC-A 的大小.
解：作BC 中点D ，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC ，知PD ⊥BC,AD ⊥BC,
又有面PBC 与面ABC 共棱可得∠PDA 为二面角.P-BC-A 的平面角.而AB=2,BC=22,易知AD=PD=2,在RT ?PAD 中，
2
1
2cos 222=?-+=∠AD PD PA AD PD PDA
所以二面角P-BC-A 的大小为?
60.
M A
F
A 1
Q
P
C
E
C
B
P
E
F 图2(2)
图2(1)
Q
G
P
A
Ｓ
B
Ｓ
C
Ｓ
D
Ｓ
F
E P
B
A
D
C
图3
图4 B 1
A
α β
A 1
B l E
F 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角
此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.
例2 如图，在平面β
内有一条直线AC 与平面α成
30，AC 与棱BD 成
45，求平面α与平面β的二
面角的大小．
分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．
总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．
（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BD AF ⊥”、“连结EF ”、“证明
BD EF ⊥”．
例3(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：
(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的大小. 分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.
作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.
依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=
22，A 1F=2
3，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =6
3
例2．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
证（1）略
解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以
CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB
A
图3
α
β
P
B
l
C
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
P
E
A B
C
F E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中
,OB =在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵
11OP OF CC C F =
∴2OP ==
, 在Rt △OPF 中
,BP ===
cos 7OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C
. 练习2（2008天津）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．
已知
60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．
（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角A BD P --的大小为4
39
arctan
） 例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，1O 为面1111D C B A 中心，求二面角111D AC O --的大小. 解：在正方体1111D C B A ABCD -中1111C A D B ⊥,且1111D B C A ⊥,?11D B 面1111D C B A ,故11D B ⊥1AC ，1111C A D B ⊥ 又?111,AC C A 面11A AC ,可知11D B ⊥11A AC
过1D 作11AC M D ⊥于M ，连接M O 1则由三垂线（逆）定理可知
11MO D 为二面角111D AC O --的平面角.不妨令21=AA ， 于是，有632
1=M D ,21=OO ,361=M O ，可得
2
1
cos 1111==∠M D M O MO D
所以二面角111D AC O --的大小为?
60
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角
1
A 1
D 1
C 1
B A
D
C
B
1
O M
图5
例3 如图
1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果
n APB =∠，试
求二面角βα--CD 的平面角．分析：
⊥
?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD
PA PA βα平面PAB ．
因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角，
n AEB -=∠180（如图2）．
注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明CD EB ⊥，及A E B P 为平面图形，这样做起来比较麻烦．
例4 已知斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面1AB 与平面1AC 构成的二面角的平面角为
30
，平面1AB 与平
面1BC 构成的二面角为
70．试求平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．
分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两
两构成的二面角的平面角．
总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别
为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．
例4空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别
为4、3、
3
39
2，求二面角βα--l 的大小. 分析与略解：如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.
分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=
3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=3
3
5. 因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得
AB 2
=AC 2
+BC 2
-2·AC ·BCcos θ=PA 2
+PB 2
-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=2
1
-
，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o . 例5 如图7,在正三棱柱111C B A ABC -中,截面EC A 1⊥侧面1AC ,若
111B A AA ⊥,求平面EC A 1与平面111C B A 所成二面角（锐角）的大小.
解: 设G AC C A =11 . 因为面G C A 11与面1AC 重合,
由题意面
P
图5
β
α
l
C
B
A
1
A 1
C A
C
G
E
B
G C A 11⊥面EC A 1，而1A 为面EC A 1与面111C B A 相交于棱上一点且G C A A 111面∈，所以面G C A 11为所求二面角
的一垂面，11C GA ∠为所求二面角的平面角.
在正三棱柱111C B A ABC -中,111B A AA =,可知 ?
=∠4511C GA
故所求二面角的大小为?
45.
四、平移平面法（无棱的一种）
例5 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为1AA 的中点，H 为1CC 上的点，且211：
：=H C CH ．设正方体的棱长为a ，求平面EH D 1与底面1111D C B A 构成的锐角的正切．
分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D ，在这种情况下，寻找二面角
的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面
角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．
如图，过点E 作11//D A EM 与D D 1相交于M 点，过M 点作11D C MN ⊥，与H D 1相交于N 点．可证平面
//EMN 平面1111D C B A ．这样，求平面EH D 1与平面1111D C B A 的二面角的平面角就转化
为求平面EH D 1与平面EMN 的二面角的平面角．显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作EN MF ⊥，F 为垂足，连结F D 1，可证EN F D ⊥1．则FM D 1∠为本题要寻找的二面角．
例6（本题关键在利用平移棱的垂线进行解题） 在正三棱柱111C B A ABC -中,D 是AC 的中点，
11BC AB ⊥,求二面角C BC D --1的大小.
解:作E BC AE 于⊥且交BD 于F,则AE ⊥平面C C BB 11，连接E B 1,B C 1，并记它们的交点为O 连接OF ，由
FA
EF
C B BE OB OE ==111，知A B OF 1//. 由11BC AB ⊥知OF ⊥1BC ,OE ⊥1BC ，而BEO CBC E BB ∠-=∠=∠?
9011,RT ?E BB 1～RT ?1BCC ,
因此B B BE CC BE BC BB 111==故有2
22
1BC BE BC BB =?=
1
A 1
C 1
B A O
C
B
F
D
E
图8
2222
2
12
14
3
)2(2BC BC BC BE B B E B =+=+= 可得 ?=∠=∠451A EB EOF
故二面角C BC D --1的大小为?
45.
例7 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC
的中点，试求面ED B 1与平面11A ABB 所成二面角的大小.
解: 取11D A 中点F ，连FD,FB;
取AD 中点K 连接A ?K,BK,A ?B.显然,DE ?BF 为平行四边形.因为
A ?K//FD,KB//DE,知平面A ?KB//平面DE
B ?F 。
取A ?B 中点O,连接OK,OA, 由A ?K=BK,A ?A=BA 知，
OK ⊥A ?B,OA ⊥A ?B 故∠AOK 为二面角的平面角.
4
3
,212222
2
=-===OB BK OK OB OA
可得3
6cos =
∠AOK 故平面ED B 1与平面11A ABB 所成二面角的大小为3
6arccos
. 五、找垂面，作垂线
例6 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 为棱AD 的中点，求平面
CB C B 11和平面M BC 1所构成的锐二面角的正切．
分析：平面AC 与二面角C BC M --1的一个面C B 1垂直，与另一个平面
1C MB 相交，过M 点作BC MP ⊥，垂足为P ，过P 作BC PN ⊥，交1C B 于N 点，连结MN ，由三垂线定理可
证1BC MN ⊥，则MNP ∠为二面角C BC M --1的平面角．
总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直
平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．
再如图，要找βα--a 所构成的二面角的平面角，可找平面βγ⊥，且b =αγ ，l =βγ ，过b 上任何一点A 作l AB ⊥，垂足为B ，过B 作α⊥BC ，垂足为C ，连结AC ，可证ACB ∠为βα--a 的平面角．
六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角 1．三线合一
1
A 1
D 1
C 1
B A
D
C
B
K
图9
E
F
O
例7 如图，空间四边形ABCD 中，3==AD AB ，4==CD BC ，2=BD ，5=AC ．试求C
BD A --二面角的余弦值．
分析：如图1，AD AB =，CD BC =，则△ABD 和△BDC 为等腰三角形．过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，
连结CE ．根据三线合一，且E 为BD 中点，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．
2．全等三角形
例8 如图，已知空间四边形ABCD ，6==BC AB ，4==DC AD ，
8=BD ，6=AC ．试求C BD A --的余弦值．
分析：过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据已知条件，△AED 和
△CED 全等，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．
3．二面角的棱蜕化成一点
例9 如图，四棱锥BCED A -中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ABC 为正三角形．
（1）若BD EC BC ==时，求面ADE 与面ABC 的夹角； （2）若BD EC BC 2==时，求面ADE 与面ABC 的夹角．
分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，但面ADE 与面ABC
与面DC 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；
（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC 与DE 互相平行，所以肯定有过A 且平行于DE 的一条交线．
可过A 作DE AM //，平面ADE 与平面ABC 的交线即为AM ．过A 作DE AN ⊥于N ，过A 作BC AF ⊥于F ．可证AM AN ⊥，AM AF ⊥，则NAF ∠为面ADE 与面ABC 的夹角．
如图，DE 与C B 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长
ED 、CB 相交于G 点，连结AG ．AG 即为平面ADE 与平面ABC 的交线，通过一些
关系可证CAE ∠为平面ADE 与平面ABC 的夹角．
通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问
α
D A
M 图6
E C
B C 1
A 1
B 1 H G
题就会迎刃而解．
七、 面积法（不作二面角求法）
如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为θ，则在Rt △COC 1中，cos BD
C CB
D S S BD O C BD
CO O C CO 1112
121
??=??==θ，在某些情
况下用此法特别方便.
例5 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，
BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的大小.
分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB 1、CC 1取BD=CE=AA 1，
则△A 1B 1C 1≌△A 1DE ，可求得A 1B=2，A 1C 1=5，B 1C 1=2，所以等腰△
A 1
B 1
C 1的面积为
415，又正△ABC 的面积为43.设所求二面角的大小为θ，则cos θ=5
5 例4．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，
AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一
对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于是得到下面解法。
解：（Ⅰ）证略
（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：
2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，2==EC AE 则
1222121=?=?==?CE AE S S ACE 射， 3622
121=?=?==?EB AE S S ABE
原 设二面角B AP C --的大小为?，则33
3
1
cos ===
原
射S S ?
A B E
P
A 1
D 1
B 1
C 1
E
D B
C
A
∴二面角B AP C --的大小为3
3arccos
=? 练习4： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.
分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB 1E 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影是三角形A 1B 1C 1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。
（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=3
2
）.
例10 求正四面体任意两个面所成二面角的大小.
解: 如图13，正四面体S-ABC,由正四面体的对称性,不妨求侧面与底面所成二面角的大小.易知
SBC SAB SAB ABC S S S S ????===
而S 的射影为ABC ?的中心，所以
COA BOC AOB S S S ???==
于是有3
1
S ′cos =++===
??????SCA SBC SAB ABC SBC BOC S S S S S S S θ 故正四面体任意两面所成二面角的大小为3
1
arccos .
例11 如图14,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为CC ?中点，F 在BB ?上,且BF=
3
1
BB ?,求平面A ?EF 在底面ABCD 所成二面角的余弦值. 解:如图14所示，在正方体1111D C B A A B C D -中，ACB ABCD EF A ??内的射影为在底面1.
由射影面积公式知53
53
6'cos 1=
==
??EF A ABC S S S S θ故所求二面角的余弦值为
53
53
6. 八、将无棱二面角转化为有棱二面角
直接作出无棱二面角的棱，将无棱二面角转化为有棱二面角，按有棱二面角来处理，作棱有两种常用的方法：
①作交线，由交点得棱；② 作平行线，即为棱.
例3（2008湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
1
A 1
D 1
C 1
B A
D C
B
E
图14
F
图13
C
B A
O S
（Ⅱ）求平面P AD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
分析：本题的平面P AD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略
解: （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面P AB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△P AF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面P AD和平面PBE所成二面角的平面角（锐
角）.
在等腰Rt△P AF中，
2
AG PA
==
在Rt△P AB中，
5
AP AB
AH
PB
====
所以，在Rt△AHG中，
sin
5
AH
AGH
AG
∠===
故平面P AD和平面PBE
所成二面角（锐角）的大小是arcsin
5
练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，
侧面BCC1B1⊥底面ABC。
（1）求证：AC1⊥BC；
（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。
提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L
（答案：所成的二面角为45O）
如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点P，图中没有给出二面角的棱.
此时,若在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行,则过P分别作这两条直线的垂线PQ和PR,则∠QPR就是二面角的平面角.
例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为a,求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.
解: 如图，过P点作AB
l//,则PAB
l面
?.
故在P-ABCD中有CD
l
AB
l//
,
//.
所以,l
PAB
PCD
D
l=
?面
知面
面
,
PC.
作AB中点E,CD中点 F.连接PE,PF.易知PE⊥AB,PE⊥l,又
PF⊥CD,PF⊥l,可知∠EPF为所求二面角的平面角.
由条件PE=PF=a
EF
a=
,
2
3
，得到
6
1
2
cos
2
2
2
=
?
-
+
=
∠
PF
PE
EF
PF
PE
EPF
A
B
C
E
D
P
F
G
H
A
C B
B1
C1
A1
L
l
F
E
D
C
A B
故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为
6
1. 九、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
若二面角βα--l 两个半平面α,β的法向量分别为→
→
21,n n 且知道二面角βα--l 为锐角（钝角），则
的平面角二面角其中βαθθθ--??-
=??=
→
→
→
→
→
→
→
→
l n n n n n n n n 为),cos (cos 2
1212
121.
定理1 设二面角βα--l 为θ，
F l BF E l AE l B B l A A 于于⊥⊥?∈∈∈，;,,,βα，则，有
→
→
→
→???=
FB
EA FB EA θcos
文
]
5[给出另一结论：
定理 2 如图19，空间任一条直线L,A,B 是直线L 上的两个点，M 是空间任一点,MN ⊥L 于N,则
→
→
→
→→
→??-
=AB AB
AB AM AM NM 2
利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的
平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N 坐标的判断.
例14
]
5[如图20,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 坐在平面相垂直，
1,2==AF AB ,M 是线段EF 中点，求二面角A-DF-B 的大小.
解: 如图建立空间直角坐标系
xyz C -，则),0,2,0(),0,2,2(B A
图18
图19
z
图20
)1,2,2(),0,0,2(F D .
作AM ⊥DF 于M,BN ⊥DF 的延长线于N,则→
→
NB MA 与所成的角θ的大小与二面角A-DF-B 的大小相等.
)3
2,32,
0(2
-=?-
=-=→
→
→
→→
→→→DF DF
DF DA DA DM DA MA )3
2
,32,
2(2
--=?-
=-=→
→
→
→→
→→→DF DF
DF DB DB DN DB MA NB 2
1cos =
?=
→
→
→
→NB
MA NB MA θ
故二面角A-DF-B 的大小为?
60.
例12 如图15,在矩形ABCD 外存在一点P ，使PA ⊥面ABCD ，PA=PB=1,BC=2.求二面角B-PC-D 的大小.
解:由题意建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,0) P(0,0,1) B(1,0,0) C(1,2,0) D(0,2,0)，设面PAC 的法向量为),,(1111z y x n =→
,面PCD 的法向量),,(2222z y x n =→
则有由 ?????=?=?0
11
n PB n )1,0,1(1=?→
n 及 )2,1,0(0
222
=??????=?=?n PC n PD n 得5
10
cos 2
121=
??=
→
→
→
→n n n n θ 注意到B-PC-D 为钝角，故B-PC-D 的大小为5
10arccos
-π. 例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值。
现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A 为坐标原点。设
，
1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F
.21121M ??? ?
?，，
（I ）()，，，解：101B -= ()，
，，110-=
.2
1
221
00=?++=
=
于是
所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为0
60.
（II ）证明：，，，由??
? ??=21121 ()，，，101CE -= ()0AM CE 020AD =?=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?
.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?
（III ）?????=?=?=.
0D 0)(CDE E u u z y x u ，
，则，，的法向量为解：设平面
.111(1.00），，，可得令，
于是==?
??=+-=+-u x z y z x
又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v
练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为?，试判断θ与?的大小关系，并予以证明.
分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1⊥平面BC C 1 B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。
（答案：2
2
arcsin
c
a a +=φ）
总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。
十、其他（有关二面角的最值问题等）
求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题. 例6 二面角α-l -β的大小是变量)2
0(π
θθ<
<，点B 、C 在l
上，A 、D 分别在面α、β内，且AD ⊥BC ，AD 与面β成6
π
角，若
△ABC 的面积为定值S ，求△BCD 面积Q 的最大值.
α
E
D
C
B
A l
β
分析与略解：如图9，作AE ⊥BC 于E ，连DE ，则由AD ⊥BC 得 BC ⊥平面ADE ，则DE ⊥BC ，∠AED=θ，∠ADE=
6
π. 在△AED 中，由正弦定理得6
sin )
6sin(ππ
θ+
=AE
DE
，所以)6sin(2,6
sin )
6sin(πθππ
θ+=+
=S Q S Q ， 则当3
π
θ=
时，有Q max =2S.
△BCD 和△ABC 有公共的底边BC ，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.
《平面与平面的位置关系》中的《二面角》
《二面角》教案 云南玉溪工业财贸学校 魏华新 一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。 二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。 三、教学过程： （一）、二面角 1、提示问题产生的背景： 问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？ 问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？ 通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领
会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。 问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？ 创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。 问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？ 引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。 由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
(完整版)异面角,线面角,二面角
B 1 D 1 A D C 1 B C A 11.如图,在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1中 ，B 1C 和 C 1 D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则 异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 (A) 46 (B).36 (C).62 (D).63 2.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 3.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 46． 4. .如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角;30 (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.30 D B P C A C B A D C 1 D 1A 1B 1 C B
1．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB 为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P． （1）求证：面ABP⊥面ABC； （2）求二面角C-BP-A的余弦值． 1、证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD?面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD． △BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC， 由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形． 设1 BC=，则 3 CE=， 1 2 DE=， 1 3 2 cos 3 3 DE CED CE ∠===．2．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC ＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．求证： （1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．（3）若a AC a AB a AD3 , ,= = =，求二面角A DC B- -的正弦值
用向量法求二面角的平面角教案
用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020
第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，
二面角及其平面角
二面角及其平面角 [引言] 二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法. [概念] 由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面. 图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成 [二面角的度量] 以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直 二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角 [二面角的平面角作法] 做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考 1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角. 2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角 图2 二面角的平面角的三种作法 [例题1]
已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小 此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步： 1、找到或作出题目中二面角的平面角 2、证明1中的角为所求二面角 3、计算出角的大小 一“作”二“证”三“计算” 下面给出参考解法 解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1） 由三垂线定理得AD⊥l ∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2） ∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离 ∴AO=2√3，AD=4 在Rt△ADO中 ∴sin∠ADO=√3/2 ∵二面角的范围是[0,π] 故∠ADO=60° 即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3） 需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出. [思考] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离. [拓展延伸] 以下内容供有余力的同学参考 面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面
二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角 的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法． 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求： （1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决 了这个问题，这道题也就解决了一半． 根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小． 分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角 的平面角． 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用 三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角 例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角． 分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）． 注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明 图1 图2
怎样找二面角的平面角
6.怎样找二面角的平面角 一、当图中明显给出二面角的棱时 1、利用定义 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，求平面BD A 1与平面BD C 1所成的二面角的余弦值。 2、利用三垂线定理和逆定理 当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。 在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AB =2， ∠ABC =30°，求二面角 P -BC -A 的大小。 3、借助垂直平面 通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角 设在棱形ABCD 中，,3 A π ∠=P A ⊥平面ABCD ，且12 AP AB = =，求二面角B -PC -D 的大小。
二、当图中未给出二面角的棱时 一、若给出了两个平面的公共点 ①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。 过正方形ABCD的顶点A，作线段P A 平面ABCD，若P A=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。 ②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。 已知正三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 的侧棱BB 1 ，CC 1 上分别有点D,E使EC=BC=2DB 求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。 ③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝a，求平面PBA 与平面PDC所成二面角的大小。
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
高中数学《二面角的平面角及求法》练习
高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面； 若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝． （1）求证：平面； （2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值； （3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论； （2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将 ，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示． （1）试判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值．
8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面 上的投影为直线与的交点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 9. （ （1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面； 求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝． （1）证明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．
二面角的平面角的五种基本图形及作法
二面角的的五种基本图形及其平面角的作法 舒云水 求二面角的关键是要准确作出二面角的平面角，下面介绍二面角的五种基本图形及其平面角作法﹒ 在具体立体几何题中二面角常以图1的形式给出，二面角A- -的两个面以三角形（下文称为面三角形）的形式出现，分BC D 析好这两个面三角形的图形性质特点，是作好二面角的平面角的关键．还有一条线也是非常重要的，这条线是两个面三角形不在二面角棱上的另一个顶点（如图1中的A、D）的连线（下文称为顶点连线）﹒为了叙述方便，将两个面三角形的公共边称为棱底边，图1中 的线段BC为二面角D -的棱底边﹒ BC A- 图 图 1 图 2 图 3 图4 图5 图6 图7 图8 1. 基本图形一：两个面三角形都是以棱底边为底边的等腰三角形﹒ 如图2，在二面角D BD=﹒根据等腰三 AB=，CD BC A- -中，AC
角形的性质：底边上的中线与高重合，取底边BC的中点E，连结 AE、ED，则AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面 BC 角﹒ 2.基本图形二：两个面三角形关于棱底边对称全等﹒ 如图3，在二面角D A- -中，⊿ABC?⊿DBC，A与D是对应 BC 点﹒因为两个三角形对称全等，过A作AE⊥BC于E，连结DE，则 DE⊥BC，∠AED为二面角D A- -的平面角﹒ BC 3. 基本图形三：顶点连线垂直于二面角的一面﹒ 如图4，在二面角D -中，AD ⊥平面BCD，过D作DE⊥BC A- BC 于E，连结AE，根据三垂线定理知AE⊥BC，∠AED为二面角-的平面角﹒这种情况在高考题中出现最多﹒ A- BC D 4. 基本图形四：二面角的一个面三角形顶点（不在二面角棱上的顶点）也在的第三个平面内，第三个平面与二面角的另一面垂直﹒ 如图5，二面角D -的面三角形ABC的顶点A在第三个平 BC A- 面ABD内，平面ABD⊥平面BCD，根据平面ABD⊥平面BCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BCD﹒下一步作法同基本图形三： 过垂足E作EG⊥BC于G，连结AG，则∠AGE为二面角D A- -的 BC 平面角﹒ 5. 基本图形五：无棱二面角﹒ 如图6，两个面三角形只有一个公共点在棱上，这种图形要作二面角的平面角，关键是要作出二面角的棱﹒下面分两种情况谈作棱问题﹒
最新版,二面角求法与经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法 面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点?对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们 并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 1.1二面角的相关概念 新教材⑴在二面角中给出的定义如下： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的 平面角中去研究?教材如下给出了二面角的平面角的概念： 二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平 面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角? 2.二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角 形的边角问题加以解决?定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介 绍? 2.1定位二面角的平面角，求解二面角 二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点?已知A和B到棱的距离分别为2和4,且 线段AB =10 ,试求： (1 )直线 AB 与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
二面角求法及经典题型归纳
- 1 - αβa O A B 二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A 的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
平面与平面所成的角教学设计
第九章立体几何 933 平面与平面所成的角 【教学目标】 1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小. 2?从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程. 3?培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想. 【教学重点】 二面角的定义. 【教学难点】 找出二面角的平面角. 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法?由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用.
精品文档 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.我 们约定，二面角 :-的大小范围是0°w : < 180° .平 面角是直角的二面角叫做直二面角. 解在正方体ABCDABCD 中，因为 ABL 平面 ADDA , 所以 ABL AD, ABL AD 因此.DAD 即为二面角 D -ABD 的平面角. 由于△ DAD 是等腰直角三角形，因此 .DAD= 45°, 所以二面角 D -ABD 的大小为45°. 练习 1 .一个平面垂直于二面角的棱， 它和二面角的 两个面的交线组成的角就是二面角的平面角，对 吗？为什么？ 2 .如图所示，在正方体 ABCDABCD 中，求 二面角A -ABD 的大小. 1.二面角，二面角的平面角的定义. 2 .会求二面角的平面角. 教材P133练习A 组第1 , 2题. 教材P133练习B 组第1, 2题（选做） 第九章立体几何 例 如图，已知正方体 ABCDABCD ,求二面 角D -ABD 的大 小. 师：所求二面角是 哪两个平面所成的角？ 其平面角是哪一个？如 何求出平面角的大小？ 用问题引导 学生分析解题 思路，尤其注重 分析如何找出 二面角的平面 角，为练习中的 题目做铺垫. 师生合作共同完 成. 学习新知 后紧跟练习有 利于帮助学生 更好的梳理和 总结本节所学 内容.有利于教 师检验学生的 掌握情况.
求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案
§2.3.2求二面角——平面与平面 所成的角 一、教学目标 1、知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。 重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计 （一）创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ （二）研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出： （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学α 例题：课本P.72例3 图2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。 （四）运用反馈，深化巩固 问题：课本P.73的探究问题 做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。