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《数值计算方法》试题集及答案修订

《计算方法》期中复习试题

一、填空题：

1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

?≈3

_________

)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25

2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2

x 的系数为，

拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，

)2)(1(21

)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=

x x x x x x x L

3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；

答案

)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---

5、对1)(3

++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；

6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为

( 1

2+-n a b )；

8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为

( 0.15 )；

11、两点式高斯型求积公式?1

d )(x

x f ≈(

?++-≈1

)]

321

3()3213([21d )(f f x x f )，代数精

度为( 5 )；

12、为了使计算 32)1(6

)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该

表达式改写为

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式

19992001-改写为 199920012

+ 。

13、用二分法求方程01)(3

=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在

区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、计算积分?1

.0d x

x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为

0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

15、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿

插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、求积公式

?∑=≈b

a k n

k k x f A x x f )(d )(0

的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，

具有( 12+n )次代数精度。 17、已知

f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求

d )(x

x f ≈( 12 )。

18、设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。

19、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分

（ 10 ）次。

20、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2

33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则

a =( 3 )，

b =（ 3 ），

c =（ 1 ）。

21、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

k k

x l

0)(( 1 )，

∑==

k k j

k x l

x 0

)((

x )，当

≥n 时

++∑=)()3(20

x l x x

k k n

k k ( 32

4++x x )。

22、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

23、改变函数f x x x ()=+-1 (x >

>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=

。

24、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需

要对分 10 次。

25、设

()???≤≤+++≤≤=21,10,22

3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= 3 , b= -3 , c= 1 。

26、若用复化梯形公式计算?

e x ，要求误差不超过6

10-，利用余项公式估计，至

少用 477个求积节点。

27、若

321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。 28、数值积分公式1

18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为

2 。

选择题

1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。

A ． 2

B ．5

C ． 3

D ． 4 2、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ．观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6

B ． 5

C ． 4

D ． 7 4、用 1+x 近似表示e x

所产生的误差是( C )误差。 A ．模型 B ．观测 C ．截断 D ．舍入

5、用1+3x

近似表示3

1x 所产生的误差是( D )误差。

A ．舍入

B ．观测

C ．模型

D ．截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8

7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 9、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0

的根是( B )。

(A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，

(B)

)!1()

()()()()1(+=

-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x －x1)(x －x2)…(x－xn －1)(x －xn)，

(D) )

()!1()

()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ

12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列

{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，

并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)1

1:,1

12-=-=

+k k x x x x 迭代公式

(B)

21211:,11k

k x x x x +=+

=+迭代公式

(C)

/12123)

1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式

(D)

11:,12

3+++==-+k k k

k x x x x x x 迭代公式

14、在牛顿-柯特斯求积公式：

∑=-≈b

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中，当系数)(n i C 是负值时，

公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ，

23、有下列数表

所确定的插值多项式的次数是（）。

（1）二次；（

2）三次；（3）四次；（4）五次

15、取1732.≈计算4

1)x =，下列方法中哪种最好？（）

(A)28- (B)24(-； (C ；。

26、已知

21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为

( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

16、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）

(A)5； (B)4； (C) 3； (D ) 2。

17、形如112233()()()()

f x dx A f x A f x A f x ≈++?

的高斯（Gauss ）型求积公式的代数精

度为（）

(A)9； (B)7； (C ) 5； (D) 3。

18Newton 迭代格式为( )

(A)

132k k k x x x +=

+；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。

19、用二分法求方程32

4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为

1102

ε-=?，

则对分次数至少为( )

(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。

20、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数，则

()i

k kl k ==

∑( )

(A)x ；（B ）k ；（C ）i ；（D ）1。

33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度

(A )5； (B)4； (C)6； (D)3。

21、已知

21224()()()x x S x x a x b x ?≤≤=?-+-+≤≤?是三次样条函数，则,a b 的值为( )

(A )6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

35、已知方程3

250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是

( )

(A)1k x +=

(B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D)

1225

32k k k x x x ++=-。 22、由下列数据

确定的唯一插值多项式的次数为( )

(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

23、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( )

(A)8； (B )9； (C)10； (D)11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）

1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，

，Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( )

2、

用1-22

x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( )

3、

))(()

)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ? )

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结

果。 ( ? )

5、矩阵A =?

???? ?

?-521352113具有严格对角占优。 ( ) 四、计算题：

1、求A 、B 使求积公式?-+-++-≈1

1)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽

量高,并求其代数精度；利用此公式求

1dx

x I (保留四位小数)。

答案：2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

???

??=+=+32212222B A B A 得98,91==B A

求积公式为

)]21

()21([98)]1()1([91)(1

1f f f f dx x f +-++-=?- 当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4

)(x x f =时，左=52，右=31。所以代

数精度为3。

2、已知

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求

)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：

)53)(43)(13()

5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2

)(3------+------=x x

x x x x x L

差商表为

5、已知

求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f 的近似值。答案：解：

正规方程组为

???

?=+==+41

34103101510520

120a a a a a

6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解：应选三个节点，使误差

尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果

596274.063891.0sin ≈，

且

7、构造求解方程0210=-+x e x

的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收

敛性，并将根求出来，4

110||-+<-n n x x 。

答案：解：令

010)1(,

02)0(,210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x

且

010e )(>+='x

x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为

则当)1,0(∈x 时

)e 2(101

)(x x -=

?，

10e |)(|<≤-='x x ?

故迭代格式

收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：

且满足

6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .

10、已知下列实验数据

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：当0

d e 1

0?有一位整数.

要求近似值有5位有效数字，只须误差

(11021

)(-?≤

f R n .

由

)(12)()(

)

(1ξf n a b f R n ''-≤，只要

即可，解得

所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。

12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x

x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式

)(2x P ,并估计误差。

解：

)15.0)(05.0()

1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----?

+----?

=--x x e x x e x P

又

|)(|max ,)(,)(]

1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x

故截断误差

|)1)(5.0(|!31

|)(||)(|22--≤

-=-x x x x P e x R x 。

14、给定方程

01e )1()(=--=x

x x f 1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

解：1）将方程

01e )1(=--x

x （1）改写为

x -=-e 1 （2）

作函数1)(1-=x x f ，x

x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。

2) 将方程（2）改写为 x

x -+=e 1

构造迭代格式 ??

?=+=-+5.1e 101x x k x k ),2,1,0(Λ=k

计算结果列表如下：

3) x x -+=e 1)(?，x

x --='e )(?

当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ，且

所以迭代格式 ),2,1,0()(1Λ==+k x x k k ?对任意]2,1[

0∈x 均收敛。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

解：3是03)(2

=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为

n n n n x x x x 23

=+，即

)

,2,1,0(2321Λ=+=+n x x x n n n

取x 0=1.7, 列表如下：

16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?

--+-+?+------?

=x x x x x x x L

17、n =3,用复合梯形公式求x

d e 10

?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：

7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210

310

≈+++?-=

≈?T x x

x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f

至少有两位有效数字。

20、（8分）用最小二乘法求形如2

bx a y +=的经验公式拟合以下数据：

解：

},1{2

x span =Φ 解方程组

y A AC A T

T =

其中

??????=3529603339133914A A T ?

?????=7.1799806.173y A T

解得：

???

???=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx

-1

时，试用

余项估计其误差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

解：

001302.07681

81121)(12][022==??≤''--

=e f h a b f R T η

22、（15分）方程013

=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

31+=x x 对应迭代格式31

1+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式n n x x 111

+=+；（3）

13-=x x 对应迭代格式13

1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛

格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。

解：（1）32

1(31

)(-+='）x x ?，

118.05.1<='）（?，故收敛；（2）

x x x 1

121)(2+

='?，117.05.1<='）（

?，故收敛；（3）23)(x x ='?，

15.135.12>?='）（?，故发散。

选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，

32476.15=x ，32472.16=x

25、数值积分公式形如

?'+'++=≈1

)

1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精

度尽量高；（2）设]1,0[)(4

C x f ∈，推导余项公式?-=1

()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

解：将3

2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得：

201,301,207,203-====

D B B A

构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足???

='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x

则有：?=1

03)()(x S dx x xH ， 2

2)4(3

)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ

27、（10分）已知数值积分公式为：

)]

()0([)]()0([2)(''20

h f f h h f f h

dx x f h

-++≈?

λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代

数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(=x f 显然精确成立；

x x f =)(时，]

11[]0[22220

-++==?h h h

h xdx h

λ；

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

数值计算方法试题及答案

【数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值分析试题及答案

一、填空题( 每题6分，共30分) 1、辛普生求积公式具有 3 次代数精度，其余项表达式为 4(4) ()(),(,)1802 b a b a f a b ζζ--- ∈。 2、2 ()1,f x x =+则[1,2,3]1,[1,2,3,4]0f f ==。 3、设()(0,1,2 )j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ()j i l x =1,,0,i j i j =??≠?(,0,1,2 )i j n =；0 ()n j j l x ==∑ 1 。 4、设()(0,1,2 )j l x j n =是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为至少是n ；插值型求积公式中求积系数j A = ()b k a l x dx ? ；且0 n j j A ==∑ b-a 。 5、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 2.7183 和 8.0000 。二、计算题(每题10分,共计60分,注意写出详细清晰的步骤) 1、已知函数()y f x =的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x ，并计算1()2 P =的值近似值。（注：要求给出差商表）解：差商表

由牛顿插值公式： 323332348 ()()21,33 141181 ()()2()() 12 232232 p x N x x x x p == -++≈=-++= 求它的拟合曲线（直线）。解：设y a bx =+则可得 530052.90 300220003797a b a b +=?? +=? 于是 1.235,0.15575a b ==，即 1.2350.15575y x =+。 4、已知012113 ,,,424 x x x = == (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式 1 0120 113 ()()()()424 f x dx A f A f A f ≈++? ； (2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算1 20 x dx ? 。解：(1)所求插值型的求积公式形如： 1 0120 113 ()()()()424 f x dx A f A f A f ≈++?

数值计算方法试题

数值计算方法试题重庆邮电大学数理学院一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, ,

5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度至少具有,,,次代数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、

5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题格式 1、是,,,阶方法二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉格朗日插值多项式为。答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为

011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解：设则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，

数值计算方法试题一

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（），c =（）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5