(完整word版)0-1背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业

实验题目：0-1背包问题求解方法综述

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0—1背包问题求解方法综述

【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题,现实生活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型，刻划了最优解的结构特征，建立了求最优值的递归关系式.最后对四种算法从不同角度进行了对比和总结。

【关键词】：0-1背包问题;蛮力解法；动态规划算法;贪心算法；回溯解法。

0.引言

0—1背包问题是指给定n个物品，每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1，2，…,n），再给定一个背包，其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量，且价值之和最大。单个物品要么装入，要么不装入.很多问题都可以抽象成该问题模型，如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛，不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进，提出一种求解0-1背包问题的算法，该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。

1。0-1背包问题描述

0-1背包问题（KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域，如项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中.本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。

为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法.解决背包问题的算法有最优算法和启发式算法［2］,最优算法包括穷举法、动态规划法、分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子算法等一些智能算法。

0-1背包问题一般描述为:给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w （i)，其价值为v(i ），背包的容量为c 。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大?

在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择,即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次,也不能只装入部分的物品i 。因此,该问题称为0—1背包问题。

此问题的形式化描述是,给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，,要求找出一个n 元0—1向量

n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得c x w i i i ≤∑=n

1

，而且i n

i i x v ∑=1

达到最大。

数学模型：∑=n

i i i x v 1

max

约束条件：

c x w i i i ≤∑=n

1

， n i x i

≤≤∈1},1,0{

2。0—1背包问题的求解算法

2.1蛮力算法（brute force method ) 2.1.1基本思想：

对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0—1向量组成,可用子集数表示.在搜索解空间树时,深度优先遍历,搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值,然后记录遍历过的最大价值. 2。1。2代码实现: ＃include #include

#define N 100 //最多可能物体数

struct goods //物品结构体

{

int sign；//物品序号

int w; //物品重量

int p; //物品价值

}a［N]；

bool m（goods a，goods b）

｛

return （a。p/a。w）〉(b。p/b.w）；

}

int max(int a，int b）

{

return a

}

int n,C，bestP=0,cp=0，cw=0;

int X[N],cx[N];

/*蛮力法求解0/1背包问题*/

int Force（int i）

｛

if（i>n-1)｛

if（bestP〈cp＆＆cw+a［i］.w〈=C）{

for （int k=0;k

bestP=cp；

｝

return bestP;

｝

cw=cw+a[i]。w;

cp=cp+a[i］.p;

cx[i]=1；//装入背包

Force(i+1）;

cw=cw-a[i］。w;

cp=cp—a［i].p;

cx[i］=0; //不装入背包

Force（i+1）；

return bestP；

}

int KnapSack1（int n,goodsa[],int C,int x[］)｛

Force(0）;

return bestP；

｝

int main（)

{

goods b[N］；

printf(”物品种数n：”);

scanf（"％d”,&n)；//输入物品种数

printf（”背包容量C：”)；

scanf(”%d"，&C)；//输入背包容量

for (int i=0；i〈n;i++) //输入物品i的重量w及其价值v

{

printf("物品%d的重量w［%d]及其价值v［%d]：",i+1，i+1，i+1）;

scanf("％d%d",&a[i].w，&a［i］。p)；

b[i]=a[i］;

}

int sum1=KnapSack1(n，a，C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题

printf(”蛮力法求解0/1背包问题：\nX=[ ");

for（i=0；i〈n;i++)

cout〈

printf("] 装入总价值％d\n”,sum1);

bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化

｝

2.1。3复杂度分析：

蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：2^n

2.2贪心算法（Greedy algorithm）

贪心算法通过一系列的选择来得到问题的解.贪心选择即它总是做出当前最好的选择［4］。贪心选择性质指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优选择，这是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

贪心算法每次只考虑一步，每一步数据的选取都必须满足局部最优条件。在枚举剩下数据与当前已经选取的数据组合获得的解中,提取其中能获得最优解的唯一的一个数据，加入结果数据中,直到剩下的数据不能再加入为止[6］。贪心算法不能保证得到的最后解是最佳的，也不能用来求最大或最小解问题，只能求满足某些约束条件的可行解范围。 2。2.1算法设计

用贪心算法解决0—1背包问题一般有以下三种策略:

价值最大者优先：在剩余物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，若背包有足够

的容量，以此策略，然后是下一个价值最大的物品.但这种策略背包的承重量不能够得到有效利用，即得不到最优解。例如：n=3，w=[50,20，20]，v=［10，7，7]c=55，得到的解是x=［1，0,0],这种方案的总价值为10，而最优解为[0，1,1],总价值为14。

重量最小者优先：在剩余物品中,选择可以装入背包的重量最小的物品。但这种策略，不

能保证重量小的是最有价值的,也不能得到最优解。例如：n=2，w=［10,20]，v=[5,100］，c=25,得到的解为x=［1，0］，而最优解是[0，1]。

单位价值最大者优先：根据价值与重量的比值i v /i w ，即单位价值，在剩下的物品中依次

选取比值最大的物品装入背包。这种策略也不能得到最优解。例如：n=3,w=[20,15,15］,v=[40,25,25],i v /i w =[2,5/3,5/3］，c=30,得到的解x=［1,0,0],而最优解是[0,1,1］。但它是直觉上的一个近似解。本文讨论该策略.

策略3的具体步骤为：

第一步：计算每个物品的价值比i r =i v /i w ，i=1,2，…，n 。 第二步：对物品的价值比非递增排序。

第三步：重复下面操作，直到有序列表中留下物品。如果列表中的当前物品能够装入背包，就将它放入背包中，否则，处理下一个物品. 2.2。2 编程实现

＃include"stdafx。h”

#include

#include〈time.h〉

＃include

using namespacestd;

#define max 100 //自定义物品最大数void package(int v[],int w[］,int n，int c) //定义包函数

｛

doublea[max］；

inti,totalv=0，totalw=0，index［max］；

for（i=0;i〈n；i++）

{

a［i］=（double)v［i］/w[i]；//单位价值计算

index［i]=i;

}

for(i=1;i

｛

for(int j=0;j

｛

if(a[j］〈a[j+1］）//进行循环判断

｛

double b=a［j];

a[j]=a［j+1］;

a[j+1]=b；

int c=v［j];

v［j］=v［j+1］;

v［j+1］=c；

int d=w［j];

w［j］=w[j+1];

w［j+1］=d；

int e=index［j];

index[j］=index[j+1］;

index［j+1］=e；

｝

}

}

cout〈<"单位价值：”; //输出单位价值for（i=0；i〈n;i++）

｛

cout<

｝

cout〈〈endl〈〈”物品价值：”; //输出物品价值for（i=0；i

{

cout〈

｝

cout〈

for(i=0；i〈n;i++）

｛

cout<〈w［i]〈<”\t"；

}

cout〈

doublex［max]=｛0｝;

i=0；

while(w[i］〈=c）

｛

x［i］=1;

c=c-w[i];

i++;

}

cout<〈"所选择的商品如下：”〈〈endl;

cout<<"序号i:\t重量w：\t价格v:\t"<〈endl; //输出所选择的商品for(i=0；i〈n；i++)

{

if(x[i］==1）｛

totalw=totalw+w［i]；

totalv=totalv+v［i];

cout<〈index［i]+1〈<"\t"〈〈w[i］<<"\t”〈

｝

}

cout〈〈"背包的总重量为:"<〈totalw〈

｝

int main(void）//主函数定义

｛

LARGE_INTEGER begin,end,frequency;

QueryPerformanceFrequency(&frequency）；

srand（time(0）);

int n，i，x[max］；

int v[max］，w［max］,W；//变量的定义cout<<”请输入物品种数n和背包容量W：”；

cin>>n>〉W；

for(i=0;i

x[i]=0；//物品选择情况表初始化为0 for(i=0；i

｛

v［i］=rand()%1000；

w［i］=rand（）％1000;}

cout〈<"商品的重量和价值如下：”〈〈endl;

for(int i=0；i

｛cout<

cout〈

｝

QueryPerformanceCounter(&begin）；

package（v,w，n,W)；//函数的调用

QueryPerformanceCounter（＆end)；

cout〈〈"时间："

〈<（double)（end.QuadPart—begin。QuadPart）/ frequency.QuadPart

<<”s”〈

｝

2。2。2运行结果

贪心算法求解0/1背包问题的时间复杂度为:(nlogn)

2.3 动态规划算法（Dynamic Programming）

20世纪50年代，美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理,把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用个阶段之间的关系,逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划［3]。动态规划是基于递归的,通常不是一个解决KP有效的方式，因为空间消耗非常大,和最坏的和最好的计算工作通常是相同的[7］。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将带求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划法求解的问题,经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法解决这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费指数时间。然而,不同子问题的数目常常只有多项式量级.在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。如果我们能够保证已解决的子问题的答案，而在需要时找出已求出的答案，这样就可以避免大量的重复计算，从而达到多项式时间算法。为了达到此目的可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思想。具体的动态规划算法多种多样,但它们有相同的填表格式.

动态规划算法适用于解最优化问题。通常可按以下4个步骤设计：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征.

（2）递归地定义最优值.

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

（4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解.

步骤（1）~(3)是动态规划算法的基本步奏。在需要求出最优值的情形，步骤（4）可以省去。若需要求出问题的最优解，则必须执行步骤（4)。此时，在步骤(3）中计算最优解时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中,根据所记录的信息,快速构造出一个最优解.

使用动态规划求解问题,最重要的就是确定动态规划3要素：(1）问题的阶段;（2)每个阶段的状态;(3)从前一个阶段转化后一个阶段之间的递推关系[4]。

2.3。1分析最优解的性质,刻画最优解的结构特征——最优子结构性质分析

设），，，（n x x x 21所给0-1背包问题的一个最优解，则），，（n x x x 32是下面相应子问题的一个最优解：

目标函数：i n

i i x v ∑=2max

约束条件：

)2}(1,0{,112

n i x x w c x

w i n

i i

i ≤≤∈-≤∑=

证明：若），，（n x x x 32不是上述子问题的一个最优解，而），，，（n 32y y y 是他的最优解。由此可知，i i i n i i x v y v ∑∑>=n

2

且c y w x w i n

i i ≤+∑=2

11.因此

c

y w x w x v y v x v i n

i i i

n

i i n i i ≤+>+∑∑∑===2

111

1211

这说明），，，（n y y x 21是原问题的一个更优解，从而），，，（n y y y 21不是所给原问题的最优解，产生矛盾.

所以），，（n x x x 32是上述子问题的一个最优解.

2。3.2递归关系

由于0-1背包问题的解是用向量），，，（n x x x 21来描述的。因此，该问题可以看做是决策一个n 元0—1向量），，，（n x x x 21.对于任意一个分量i x 的决策是“决定i x =1或i x =0，i=1,2，…,n 。对1-i x 决策后，序列)(121-i x x x ，，

， 已被确定，在决策i x 时，问题处于下列两个状态之一： （1）背包容量不足以装下物品i ，则=0，装入背包的价值不增加； （2）背包容量足以装入物品i,则=1，装入背包的价值增加i v 。 在这种情况下，装入背包的价值最大化应该是对决策后的价值。 设所给0-1背包问题的子问题

n

k i x j x

w x v k k

n

i

k k

n

i

k k

k ≤≤∈≤∑∑==，，)1,0(max

的最优值为m(i ，j)，即m （i ，j)是背包容量为j ，可选择的物品为i,i+1,…，n 时0-1背包问题的最优值。由0—1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m （i ，j ）的递归式为:

n n n

i i i i w j v w j w j v w j i m j i m w j j i m j n m j i m ≥<≤≥+-++<≤+==，，00)

}(),1(),,1(max{)

0)(,1({),({),(

2。3。3算法设计

基于上面的讨论，求解0—1背包的动态规划算法步骤如下:

步骤1:当)1(n i w i ≤≤为正整数时,用数组w ［n ］来存放n 个物品的重量；数组v[n ］来存放n 个物品的价值,背包容量为c ，数组M[n+1］［c+1］来存放每一次迭代的执行结果；数组x ［n]用来存储所装入背包的物品状态；

步骤2：初始化。数组M 的第0行第0列全部设置为0；

步骤3:循环阶段。按式（5）确定前i 个物品能够装入背包的情况下得到的最优值； 步骤3-1：i=1时,求出M ［1］［j ］，1≤j ≤c ； 步骤3-2：i=2时，求出M ［2]［j]，1≤j ≤c; ……

步骤3-n:i=n 时，求出M ［n ］[c]。此时，M ［n ］［c ］便是最优值；

步骤4：确定装入背包的具体物品。从M[n ］[c]的值向前推,如果M ［n ］［c ］〉M[n-1］［c]，表明第n 个物品被装入背包,则n x =1，前n-1个物品没有被装入背包，则n x =0，前n-1

个物品被装入容量为c 的背包中。以此类推,知道确定第1个物品是否被装入背包为止。由此，得到下面的关系式:

如果M ［i ］[j]=M[i —1][j],说明第i 个物品没有被装入背包,则i x =0； 如果M ［i]［j ］>M[i-1]［j ］,说明第i 个物品被装入背包,则i x =1，j=j —i w 。

按照上述关系式,从M ［n ］[c ］的值向前倒推，即j 初始为c,i 初始为n ，即可确定装入背包的具体物品。

上述算法需要O （nc ）时间计算时间。不过上述算法有2个明显的确点.一是算法要求所给物品的重量i w (1≤i ≤n ）是整数;二是当背包容量c 很大时,算法需要的计算时间较多. 2.2。2运行结果

贪心算法求解0/1背包问题的时间复杂度为:O （nm ） 2。4 回溯法（Backtracking) 2。4。1回溯法0-1背包问题的实现

回溯法是一种系统地搜索问题解答的方法.为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间，这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的)。一旦定义了解空间的组织方要选择一

个对象的子集，将它们装人背包，以便获得的收益最大,则解空间应组织成子集树的形状.首先形成一个递归算法，去找到可获得的最大收益。然后，对该算法加以改进，形成代码。改进后的代码可找到获得最大收益时包含在背包中的对象的集合。

左子树表示一个可行的结点，无论何时都要移动到它,当右子树可能含有比当前最优解还优的解时,移动到它。一种决定是否要移动到右子树的简单方法是r为还未遍历的对象的收益之和，将r加到cp（当前节点所获收益）之上，若( r+cp) <=bestp（目前最优解的收益)，则不需搜索右子树.一种更有效的方法是按收益密度vi/wi对剩余对象排序，将对象按密度递减的顺序去填充背包的剩余容量。

2.4。2 编程实现如下

＃include”stdafx。h”

#include

#include

#include

＃include〈Windows。h〉

using namespace std;

＃defineN 100 //最多可能物体数

structgoods //物品结构体

｛

int sign；//物品序号

int w；//物品重量

int p；//物品价值

｝a［N］,b[N］；

bool m(goods a,goods b）

｛

return （a。p/a.w）〉(b.p/b。w）;

｝

int max1(int a，intb）//最大函数定义

｛

return a〈b?b:a；

｝

int n，W,bestP=0，cp=0，cw=0；

int X[N],cx［N]；//变量定义

int BackTrack(int i）

{

if（i>n—1){

if（bestP〈cp)｛

for （int k=0；k

bestP=cp;

}

returnbestP;

｝

if（cw+a[i］.w<=W)｛//进入左子树

cw=cw+a[i］。w；

cp=cp+a［i].p；

cx[a[i]。sign］=1; //装入背包

BackTrack(i+1）；

cw=cw-a[i].w；

cp=cp—a［i].p；//回溯,进入右子树

}

cx[a[i].sign]=0；//不装入背包BackTrack（i+1);

return bestP;

｝

void KnapSack3（intn，goods a[］，int C，intx［]）

{

int totalW=0;

for（inti=0;i〈n；i++）

{

x[i］=0;

a[i].sign=i;

}

sort(a,a+n，m); //将各物品按单位重量价值降序排列BackTrack(0);

cout〈<”所选择的商品如下：”〈

cout〈<”序号i:\t重量w:\t价格v：\t"<

for(int i=0;i

{

if（X[i]==1）{

cout<〈i+1<<”\t”;totalW+=b［i]。w；

cout<〈b[i］.w<<"\t”;

cout<

｝

}

cout<〈"放入背包的物品总重量为:"<

cout<

cout<〈”放入背包的物品总价值为："〈

}

int main(）//主函数的定义

｛

LARGE_INTEGER begin，end，frequency；QueryPerformanceFrequency(＆frequency）；

srand（time（0）)；

cout<<"请输入物品种数n和背包容量W:"；

cin>>n>>W;

for (inti=0;i

｛

a［i].w=rand(）％1000;

a［i].p=rand(）％1000；

b[i]=a[i]；

｝

cout<<"物品的重量和价值分别如下：”<〈endl;

for （inti=0；i

(完整word版)算法设计与分析复习题目及答案(word文档良心出品)

一。选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、在下列算法中有时找不到问题解的是（ B ）。 A、蒙特卡罗算法 B、拉斯维加斯算法 C、舍伍德算法 D、数值概率算法 5. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ B ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（C ） A 数值概率算法 B 舍伍德算法 C 拉斯维加斯算法 D 蒙特卡罗算法 11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ）

《算法分析与设计》期末考试复习题纲(完整版)

《算法分析与设计》期末复习题 一、选择题 1.算法必须具备输入、输出和（ D ）等4个特性。 A．可行性和安全性 B．确定性和易读性 C．有穷性和安全性 D．有穷性和确定性 2.算法分析中，记号O表示（ B ），记号Ω表示（ A ） A.渐进下界 B.渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 3.假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。在某台计算机上实现并 完成概算法的时间为t秒。现有另一台计算机，其运行速度为第一台的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题（ B ）解题方法：3*2^n*64=3*2^x A．n+8 B．n+6 C．n+7 D．n+5 4.设问题规模为N时，某递归算法的时间复杂度记为T(N)，已知T(1)=1， T(N)=2T(N/2)+N/2，用O表示的时间复杂度为（ C ）。 A．O(logN) B．O(N) C．O(NlogN) D．O(N2logN) 5.直接或间接调用自身的算法称为（ B ）。 A．贪心算法 B．递归算法 C．迭代算法 D．回溯法 6.Fibonacci数列中，第4个和第11个数分别是（ D ）。 A．5，89 B．3，89 C．5，144 D．3，144 7.在有8个顶点的凸多边形的三角剖分中，恰有（ B ）。

A．6条弦和7个三角形 B．5条弦和6个三角形 C．6条弦和6个三角形 D．5条弦和5个三角形 8.一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。 A．重叠子问题 B．最优子结构性质 C．贪心选择性质 D．定义最优解 9.下列哪个问题不用贪心法求解（ C ）。 A．哈夫曼编码问题 B．单源最短路径问题 C．最大团问题 D．最小生成树问题 10.下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A．备忘录法 B．动态规划法 C．贪心法 D．回溯法 11.下列算法中不能解决0/1背包问题的是（ A ）。 A．贪心法 B．动态规划 C．回溯法 D．分支限界法 12.下列哪个问题可以用贪心算法求解（ D ）。 A．LCS问题 B．批处理作业问题 C．0-1背包问题 D．哈夫曼编码问题 13.用回溯法求解最优装载问题时，若待选物品为m种，则该问题的解空间树的结点 个数为（）。 A．m! B．2m+1 C．2m+1-1 D．2m 14.二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A．分治策略 B．动态规划法 C．贪心法 D．回溯法 15.下列不是动态规划算法基本步骤的是（ B ）。P44 A．找出最优解的性质 B．构造最优解 C．算出最优解(应该是最优值) D．定义最优解

动规-背包九讲完整版

背包问题九讲 v1.0 目录 第一讲 01背包问题 第二讲完全背包问题 第三讲多重背包问题 第四讲混合三种背包问题 第五讲二维费用的背包问题 第六讲分组的背包问题 第七讲有依赖的背包问题 第八讲泛化物品 第九讲背包问题问法的变化 附：USACO中的背包问题 前言 本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。 背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。 读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。 你现在看到的是本文的1.0正式版。我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。 目录 第一讲 01背包问题 这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。 第二讲完全背包问题 第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。

第三讲多重背包问题 每种物品有一个固定的次数上限。 第四讲混合三种背包问题 将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。 第五讲二维费用的背包问题 一个简单的常见扩展。 第六讲分组的背包问题 一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。 第七讲有依赖的背包问题 另一种给物品的选取加上限制的方法。 第八讲泛化物品 我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。 第九讲背包问题问法的变化 试图触类旁通、举一反三。 附：USACO中的背包问题 给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。 联系方式 如果有任何意见和建议，特别是文章的错误和不足，或者希望为文章添加新的材料，可以通过https://www.sodocs.net/doc/ff19248191.html,/user/tianyi/这个网页联系我。 致谢 感谢以下名单： ?阿坦 ?jason911 ?donglixp

2009中级软考软件设计师下午(Word版)

中级软件设计师2009下半年下午试题 试题一 阅读以下说明和数据流图，回答问题1至问题4。 [说明] 现准备为某银行开发一个信用卡管理系统CCMS，该系统的基本功能为： 1．信用卡申请。非信用卡客户填写信用卡申请表，说明所要申请的信用卡 类型及申请者的基本信息，提交CCMS。如果信用卡申请被银行接受，CCMS将记录该客户的基本信息，并发送确认函给该客户，告知客户信用卡的有效期及信 贷限额：否则该客户将会收到一封拒绝函。非信用卡客户收到确认函后成为信 用卡客户。 2．信用卡激活。信用卡客户向CCMS提交激活请求，用信用卡号和密码激活该信用卡。激活操作结束后，CCMS将激活通知发送给客户，告知客户其信用卡 是否被成功激活。 3．信用卡客户信息管理。信用卡客户的个人信息可以在CCMS中进行在线管理。每位信用卡客户可以在线查询和修改个人信息。 4．交易信息查询。信用卡客户使用信用卡进行的每一笔交易都会记录在CCMS中。信用卡客户可以通过CCMS查询并核实其交易信息(包括信用卡交易记 录及交易额)。 下图(a)和(b)分别给出了该系统的顶层数据流图和0层数据流图的初稿。 1、根据说明，将图(a)中的E1～E3填充完整。 2、图(a)中缺少三条数据流，根据说明，分别指出这三条数据流的起点和终点。(注：数据流的起点和终点均采用图中的符号和描述) 3、图(b)中有两条数据流是错误的，请指出这两条数据流的名称，并改正。(注：数据流的起点和终点均采用图中的符号和描述) 4、根据说明，将图(b)中P1～P4的处理名称填充完整。 试题二 阅读下列说明，回答问题1至问题3。 [说明] 某公司拟开发一多用户电子邮件客户端系统，部分功能的初步需求分析结果如下： (1) 邮件客户端系统支持多个用户，用户信息主要包括用户名和用户密码，且系统中的用户名不可重复。 (2) 邮件账号信息包括邮件地址及其相应的密码，一个用户可以拥有多个邮件地址 (如userl@https://www.sodocs.net/doc/ff19248191.html,)。 (3) 一个用户可拥有一个地址簿，地址簿信息包括联系人编号、姓名、电话、单位地址、邮件地址1、邮件地址2、邮件地址3等信息。地址簿中一个联系人只能属于一个用户，且联系人编号唯一标识一个联系人。

(完整word版)文献综述规范及范文(写法及格式参考范本).docx

毕业论文 ( 设计 ) 文献综述撰写规范 为了培养学生独立从事学术研究的能力，特别是培养学生检索、搜集、整理、综合利用学术文献资料，根据所研究课题对文献资料进行有效的归纳、分析、总结的能力，提高独立工作能力和科研能力，并为科研活动奠定扎实的基础，本科毕业生在完成毕业论文（设计）的同时必须相应完成一篇文献综述。 一、文献综述的基本要求 1.毕业论文（设计）文献综述是指学生在毕业论文（设计）研究课题或研 究题目（初步）确定后，通过搜集、整理、阅读国内外相关学术文献资料，就与 该课题或题目直接相关的主要研究成果、学术意义、研究方法、研究动态、最新 进展等问题进行归纳总结、综合分析后所做的简要评述。 2.毕业论文（设计）文献综述所评述的学术文献必须与学生所撰写论文保持大体上的一致，必须对可能影响所撰写论文主要论点、政策建议或反驳依据等主要 学术结论的相关文献及其主要论断做出清晰、准确、流畅的说明，必须保证综述 本身结构的完整性，能够反映学生的利用学术文献的综合能力。 3.毕业论文（设计）文献综述是学生撰写毕业论文（设计）过程的有机组成部分，必须在论文指导教师的指导下完成；文献综述必须按学校要求的基本规范撰写；论文类题目提交 3000 字左右的文献综述，设计类题目提交 2000 字左右的设计方 案报告；文献综述的成绩综合纳入学生毕业论文（设计）成绩之中，未 完成毕业论文（设计）文献综述的学生不得参加毕业论文（设计）答辩。 二、文献综述的基本格式 文献综述是针对某一研究领域或专题搜集大量文献资料的基础上，就国内外在 该领域或专题的主要研究成果、最新进展、研究动态、前沿问题等进行综合分析而写成的、能比较全面的反映相关领域或专题历史背景、前人工作、争论焦点、研究 现状和发展前景等内容的综述性文章。“综”是要求对文献资料进行综合分析、归 纳整理，使材料更精练明确、更有逻辑层次；“述”就是要求对综合整理后的文献 进行比较专门的、全面的、深入的、系统的评述。 1.毕业论文（设计）文献综述是一篇相对独立的综述性学术报告，应该包 括题目、前言、正文、总结等几个部分。

(完整word版)算法设计与分析课程的心得体会

《算法设计与分析》课程的心得体会 以最少的成本、最快的速度、最好的质量开发出合适各种各样应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则，设计出高效率的程序。一个高效的程序不仅需要编程技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的算法。这正是计算机科学领域里数据结构与算法设计所研究的主要内容。一些著名的计算机科学家认为，算法是一种创造性思维活动，并且处于计算机科学与技术学科的核心。 在计算机软件专业中算法分析与设计是一门非常重要的课程，很多人为它如痴如醉。很多问题的解决，程序的编写都要依赖它，在软件还是面向过程的阶段，就有程序=算法+数据结构这个公式。算法的学习对于培养一个人的逻辑思维能力是有极大帮助的，它可以培养我们养成思考分析问题，解决问题的能力。 如果一个算法有缺陷，或不适合某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂性和时间复杂度来衡量。算法可以使用自然语言、伪代码、流程图等多种不同的方法来描述。 计算机系统中的操作系统、语言编译系统、数据库管理系统以及各种各样的计算机应用系统中的软件，都必须使用具体的算法来实现。 算法设计与分析是计算机科学与技术的一个核心问题。因此，学习算法无疑会增强自己的竞争力，提高自己的修为，为自己增彩。 那么，什么是算法呢？算法是指解决问题的方法或过程。算法

满足四个性质，即输入、输出、确定性和有限性。为了了解算法，这个学期马老师带我们走进了算法的世界。 马老师这学期提出不少实际的问题，以及解决问题的算法。我在此只说比较记忆深刻的问题，即0-1背包的问题。 0-1背包问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。 首先，0-1背包问题具有最优子结构性质和子问题重叠性质，适于采用动态规划方法求解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的，若用分治法解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费过多的时间。动态规划法又和贪婪算法有些一样，在动态规划中，可将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则便做出一个不可撤回的决策，而在动态规划中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。 用动态规划法解决问题的思路如下： 最优决策序列由最优决策子序列组成。假设f (i,y)表示剩余容

(完整版)算法设计与分析考试题及答案

一、填空题（20分） 1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。 2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法 好坏的标准是______________________。 3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 ____________________________________。 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。 9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。 10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。

2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。 3.若n=4，在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为a i和b i，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求4个作业的最优调度方案，并计算最优值。 4.使用回溯法解0/1背包问题：n=3，C=9，V={6,10,3}，W={3,4,4},其解空间有长度为3的0-1向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发，左1右0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。 5.设S=｛X1，X2，···，X n｝是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素X，返回的结果有两种情形，（1）在二叉搜索树的内结点中找到X=X i，其概率为b i。（2）在二叉搜索树的叶结点中确定X∈（X i，X i+1），其概率为a i。在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素X i的结点深度为C i；叶结点（X i，X i+1）的结点深度为d i，则二叉搜索树T的平均路长p为多少？假设二叉搜索树T[i][j]=｛X i，X i+1，···，X j｝最优值为m[i][j]，W[i][j]= a i-1+b i+···+b j+a j，则m[i][j](1<=i<=j<=n)递归关系表达式为什么？ 6.描述0-1背包问题。 三、简答题（30分） 1.流水作业调度中，已知有n个作业，机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为a i和b i，请写出流水作业调度问题的johnson法则中对a i和b i的排序算法。（函数名可写为sort(s,n)）

(完整word版)0-1背包问题求解方法综述

算法分析与设计大作业 实验题目：0-1背包问题求解方法综述 组员: 班级： 指导老师：

0—1背包问题求解方法综述 【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题,现实生活中的很多问题都可以以它为模型。本文首先对背包问题做了阐述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型，刻划了最优解的结构特征，建立了求最优值的递归关系式.最后对四种算法从不同角度进行了对比和总结。 【关键词】：0-1背包问题;蛮力解法；动态规划算法;贪心算法；回溯解法。 0.引言 0—1背包问题是指给定n个物品，每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1，2，…,n），再给定一个背包，其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量，且价值之和最大。单个物品要么装入，要么不装入.很多问题都可以抽象成该问题模型，如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛，不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进，提出一种求解0-1背包问题的算法，该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。 1。0-1背包问题描述 0-1背包问题（KP01)是一个著名的组合优化问题。它应用在许多实际领域，如项目选择、资源分布、投资决策等。背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中.本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。

算法设计与分析论文

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MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 4 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 4 \h \* MERGEFORMAT 贪心算法 ——不在贪心中爆发，就在贪心中灭亡 武汉理工大学计算机科学与技术学院班 摘要 本文介绍贪心算法的基本意义以及算法的使用范围，并通过具体的案例来分析贪心算法的具体应用，从而指出其特点和存在问题。 关键字：贪心算法，贪心策略，TSP、0/1背包 引言 我们用了13周的时间学完了《算法设计与分析》这本书。这本书中涵盖了大量的常见算法，包括蛮力法、分治法、动态规划法、贪心算法等等。我最有印象的就是贪心算法。贪心算法是一种有合理的数据组织和清晰高效的算法，它简单有效。下面我们来详细解读一下这个算法。 贪心算法的含义 贪心算法可以简单描述为:对一组数据进行排序，找出最小值，进行处理，再找出最小值，再处理。也就是说贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望得到结果是最好或最优的算法。 贪心算法的基本思想 贪心算法，法如其名，每次都贪心的选取当前最优解，一旦确定了当前解，不管将来有什么结果，之后都不会再修正，这一点与动态规划法比起来稍有逊色。如果一个问题的最优解只能用蛮力法穷举得到，则贪心法不失为寻找问题近似最优解的一个较好办法。

人教版七年级下册数学期末不等式与不等式组应用题训练(word版 无答案)

人教版七年级下册数学期末不等式与不等式组应用题训练 1．为丰富学生的校园生活，某中学准备从体育用品商店，一次性购买若干个篮球和足球，其中每个篮球和足球的单价分别相同．若购买3个篮球和2个足球共440元，购买2个篮球和3个足球共410元． （1）篮球、足球的单价各是多少元； （2）根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过8000元，则该校最多可以购买多少个篮球？ 2．甲乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费． （1）曹碾同学想购买一个80元的球，李彤同学想买30元的洗涤液，通过计算说明曹碾和李彤同学在这两家商场购买两样东西花费最多是多少元？最少是多少元？ （2）王灿同学想在这两家商场购买多于100元的商品，请你帮他设计一下购买方案，使得花费最少． 3．为进一步提升我市城市品质、完善历史文化街区功能布局，市政府决定实施老旧城区改造提升项目．振兴渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方44吨，4辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方62吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共12辆参与运输工作，若每次运输土方总量不小于78吨，且小型渣土运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？请通过计算后列出所有派车方案．

回溯算法——0-1背包问题

实验目的是使学生消化理论知识，加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法的实现及其应用，培养学生独立编程和调试程序的能力，使学生对算法的分析与设计有更深刻的认识。 上机实验一般应包括以下几个步骤： （1）、准备好上机所需的程序。手编程序应书写整齐，并经人工检查无误后才能上机。 （2）、上机输入和调试自己所编的程序。一人一组，独立上机调试，上机时出现的问题，最好独立解决。 （3）、上机结束后，整理出实验报告。实验报告应包括：题目、程序清单、运行结果、对运行情况所作的分析。 实验八 回溯算法——0-1背包问题 一、实验目的与要求 1. 熟悉0-1背包问题的回溯算法。 2. 掌握回溯算法。 二、实验内容 用回溯算法求解下列“0-1背包”问题： 给定n 种物品和一个背包。物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 三、实验步骤 1. 理解算法思想和问题要求； 2. 编程实现题目要求； 3. 上机输入和调试自己所编的程序； 4. 验证分析实验结果； 5. 整理出实验报告。 实验提示： （1）回溯算法求解0-1背包问题分析 回溯法通过系统地搜索一个问题的解空间来得到问题的解。为了实现回溯，首先需要针对所给问题，定义其解空间。这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。 然后组织解空间。确定易于搜索的解空间结构。典型的组织方法是图或树。一旦定义了解空间的组织方法，即可按照深度优先策略从开始结点出发搜索解空间。并在搜索过程中利用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树，用目标函数剪去得不到最优解的子树，避免无效搜索。用回溯法解题的步骤： 1）针对所给问题定义问题的解空间； 2）确定易于搜索的解空间结构； 3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效的搜索。 0-1背包问题的数学描述为：n 个物品，物品i 的重量是w i 、其价值为v i ，其中0≤i ≤n-1，背包的容量为C 。用x i 表示物品i 被装入背包的情况，如果物品Pi 被选中，则x i =1；否则x i =0。求满足目标函数∑-=⨯=10max n i i i v x F 和约束方程C w x n i i i ≤⨯∑-=1 0的物品组合（x 0，x 1，x 2，…，x n-1) 与相应的总价值V 。 1）针对所给问题定义问题的解空间。 根据上述0-1背包问题的数学描述，解向量可以表示成X={ x 0，x 1，x 2，…，x n-1) | x i =1或x i =0} 。若n = 3 ， 则此0-1背包问题的解空间为 {(0，0，0)，(0，0，1) ，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}。 2）确定易于搜索的解空间结构。

算法的五个重要的特征

1、算法的五个重要的特征：确定性、能行性、输入、输 出、有穷性/有限性。 2、表示算法的语言主要有：自然语言、流程图、盒图、 PAD图、伪代码、计算机程序设计语言 3、算法分析有两个阶段：事前分析和时候测试。 4、衡量算法有几个方面：时间和空间。。。 5、渐进意义下的符号的意义:记：算法的计算时间为 f(n), 数量级限界函数为g(n),其中，n是输入或输出规模的某种测度。f(n)表示算法的“实际”执行时间—与机器及语言有关。g(n)是形式简单的函数，如nm，logn，2n，n!等。是事前分析中通过对计算时间或频率计数统计分析所得的与机器及语言无关的函数。 以下给出算法执行时间：上界（О）、下界（Ω）、“平均”（）的定义。 定义1.1 如果存在两个正常数c和N0,对于所有的N ≥N0，有|f(N)|≤C|g(N)|，则记作：f(N)= O(g(N))。 1)当说一个算法具有O(g(n))的计算时间时，指的就是 如果此算法用n值不变的同一类数据在某台机器上运行时，所用的时间总是小于g(n)的一个常数倍。 2)g(n)是计算时间f(n)的一个上界函数，f(n)的数量级 就是g(n)。 Eg : 因为对所有的N≥1有3N≤4N，所以有3N=O(N); 因为当N≥1时有N+1024≤1025N，所以有N+1024=O(N); 因为当N≥10时有2N2+11N-10≤3N2,所以有 2N2+11N-10=O(N2) 因为对所有N≥1有N2≤N3,我们有N2=O(N3) 作为一个反例N3≠O(N2),因为若不然，则存在正的常数C 和自然数N0,使得当N≥N0，有N3≤CN2,即N≤C。显然，当取N=max{N0,C+1}时这个不等式不成立，所以N3≠O(N2) 多项式定理: 定理1.1 若A(n) = amnm+…+a1n+a0是一个m次多项式，则有A(n)=Ο(nm) 即：变量n的固定阶数为m的任一多项式，与此多项式的最高阶nm同阶。 证明：取n0=1,当n≥n0时，有|A(n)|≤|am|nm+…+|a1|n+|a0| ≤(|am|+|am-1|/n+…+|a0|/nm) nm ≤(|am|+|am-1|+…+|a0|) nm 令c= |am|+|am-1|+…+|a0| 定理得证。 符号O运算性质：(f,g为定义在正数集上的正函数) （1）O(f)+O(g)=O(max(f,g)) （2）O(f)+O(g)=O(f+g) （3）O(f)O(g)=O(fg) （4）如果g(N)=O(f(N))，则O(f)+O(g)=O(f) （5）O(Cf(N))=O(f(N))，其中C是一正常数。 （6）f=O(f) 定理 1.2 如果f(n) =am nm+.+a1n+a0 且am > 0，则f(n)=Ω(nm )。 该定义的优点是与O的定义对称，缺点是f(N)对自然数的不同无穷子集有不同的表达式，且有不同的阶时，不能很好地刻画出f(N)的下界。比如当 100 N为正偶数 f(N)= 6N2 N为正奇数按照定义，得到f(N)=Ω(1),这是个平凡的下界，对算法分析没有什么价值。 “平均情况”限界函数 定义1.3 如果存在正常数c1，c2和n0，对于所有的n ≥n0，有c1|g(N)| ≤|f(N)| ≤c2|g(N)| 则记作f(N)= (g,(N)) 含义： 算法在最好和最坏情况下的计算时间就一个常数因子范围内而言是相同的。可看作：既有f(N)=Ω(g(N))，又有f(N)=Ο(g(N)) 【例1.8】循环次数直接依赖规模n－变量计数之一。(1) x=0;y=0; (2) for(k=1;k<=n;k++) (3) x++; (4) for(i=1;i<=n;i++) (5) for(j=1;j<=n;j++) (6) y++; 该算法段的时间复杂度为T(n)=Ο(n2)。 当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。【例1.9】循环次数间接依赖规模n-变量计数之二。(1) x=1；(2) for(i=1；i<=n；i++) (3) for(j=1；j<=i；j++) (4) for(k=1；k<=j；k++) (5) x++； 该算法段中频度最大的语句是(5)，从内层循环向外层分析语句(5)的执行次数：算法段的时间复杂度为：T(n)=O(n3/6+低次项)=O(n )。 b.算法的时间复杂度与输入实例的初始状态有关。 这类算法的时间复杂度的分析比较复杂，一般分最好情况（处理最少的情况),最坏情况(处理最多的情况)和平均情况分别进行讨论。 【例1.10】在数值A[0..n-1]中查找给定值K：(1) i=n-1； (2) while( i>=0 and A[i]<>k ) (3) i=i-1；(4) return i； 此算法的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A

2019-2020学年高中数学浙江专版选修2-3学案：第一章 1.2 1.2.1 第二课时 排列的综合应用 Word版含解析

第二课时排列的综合应用 [典例]用 (1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位偶数． [解](1)第一步，排个位，有A13种排法； 第二步，排十万位，有A14种排法； 第三步，排其他位，有A44种排法． 故共有A13A14A44＝288个六位奇数． (2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类． 第一类，当个位排0时，有A55个； 第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个． 故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)． 法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况． 故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)． (3)分三种情况，具体如下： ①当千位上排1,3时，有A12A13A24个． ②当千位上排2时，有A12A24个． ③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个； 形如41××的有A12A13个； 形如43××的只有4 310和4 302这两个数． 故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．

[一题多变] 1．[变设问]本例中条件不变，能组成多少个被5整除的五位数？ 解：个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A45个；若个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数． 2．[变设问]本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项？ 解：由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，所以240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项． 3．[变条件，变设问]用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数． 解：本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24； 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有A13＝3(种)方法． 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1，3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有A13＝3(种)． 十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可， 有A33＝6(种)． 根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为 A13·A13·A33＝54. 由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)． 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问

高中数学人教B版选修1-1学案：第一单元 疑难规律方法 第一章 Word版含答案

1解逻辑用语问题三绝招 1．利用集合——理清关系 充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下： ①A是B的充分条件，即A⊆B. ②A是B的必要条件，即B⊆A. ③A是B的充要条件，即A＝B. ④A是B的既不充分也不必要条件， 即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素． 或 例1“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

解析设命题p ：“x 2－3x ＋2≥0”，q ：“x ≥1”对应的集合分别为A 、B ，则A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x ≥1}，显然“A B ，B A ”，因此“x 2－3x ＋2≥0”是“x ≥1”的既不充分也不必要条件． 答案既不充分也不必要 2．抓住量词——对症下药 全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药． 例2(1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________． (2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析(1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1. 命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1. (2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0， 即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)． 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4. 答案(1)(－∞，－1](2)(－∞，－1]∪[2,4] 点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．等价转化——提高速度 在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真． 例3设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0， x －2y ＋6≥0， q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取 值范围． 分析“q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ⊆∁R B 出发解题．

(适用于新高考新教材) 高考解答题专项五 第1课时 定点与定值问题 Word版含解析

高考解答题专项五 圆锥曲线中的综合问题 第1课时 定点与定值问题 1.(2020全国Ⅰ,理20)已知A ,B 分别为椭圆E :x 2 a 2+y 2=1(a>1)的左、右顶点,点G 为椭圆E 的上顶点,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8.点P 为直线x=6上的动点,PA 与椭圆E 的另一交点为C ,PB 与椭圆E 的另一交点为D. (1)求E 的方程; (2)证明:直线CD 过定点. 2.(2021湖北十一校联考)已知动点P 在x 轴及其上方,且点P 到点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1. (1)求点P 的轨迹C 的方程; (2)若点Q 是直线y=x-4上任意一点,过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ,QB ,其中A ,B 为切点,试证明直线AB 恒过一定点,并求出该点的坐标.

3.(2021湖南长郡中学模拟)设A,B为双曲线C:x 2 a2−y2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点,直线l过右焦点F 且与双曲线C的右支交于M,N两点,当直线l垂直于x轴时,△AMN为等腰直角三角形. (1)求双曲线C的离心率; (2)已知直线AM,AN分别交直线x=a 2 于P,Q两点,当直线l的倾斜角变化时,以线段PQ为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 4.(2021河南洛阳一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且 |PF|=5. (1)求抛物线C的方程; (2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两个不同的点(均与点P不重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.

(完整word版).1算法设计与分析课程期末试卷-A卷(自测)

华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2008学年第一学期考试科目：算法分析与设计 考试类型：（闭卷）考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、选择题（20分，每题2分） 1.下述表达不正确的是。 A．n2/2 + 2n的渐进表达式上界函数是O(2n) B．n2/2 + 2n的渐进表达式下界函数是Ω(2n) C．logn3的渐进表达式上界函数是O(logn) D．logn3的渐进表达式下界函数是Ω(n3) 2.当输入规模为n时，算法增长率最大的是。 A．5n B．20log2n C．2n2D．3nlog3n 3.T（n）表示当输入规模为n时的算法效率，以下算法效率最优的是。 A．T（n）= T（n – 1）+1，T（1）=1 B．T（n）= 2n2 C．T（n）= T（n/2）+1，T（1）=1 D．T（n）= 3nlog2n 4.在棋盘覆盖问题中，对于2k×2k的特殊棋盘（有一个特殊方块），所需的L型骨牌的个数是。A．（4k– 1）/3 B．2k /3 C．4k D．2k

5.在寻找n个元素中第k小元素问题中，若使用快速排序算法思想，运用分治算法对n个元素进行划分， 应如何选择划分基准？下面答案解释最合理。 A．随机选择一个元素作为划分基准 B．取子序列的第一个元素作为划分基准 C．用中位数的中位数方法寻找划分基准 D．以上皆可行。但不同方法，算法复杂度上界可能不同 6.有9个村庄，其坐标位置如下表所示： 现在要盖一所邮局为这9个村庄服务，请问邮局应该盖在才能使到邮局到这9个村庄的总距离和最短。 A．（4.5，0）B．（4.5，4.5） C．（5，5）D．（5，0） 7.n个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小，水桶必须打满水，水流恒定。如下说 法不正确？ A．让水桶大的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小 B．让水桶小的人先打水，可以使得每个人排队时间之和最小 C．让水桶小的人先打水，在某个确定的时间t内，可以让尽可能多的人打上水 D．若要在尽可能短的时间内，n个人都打完水，按照什么顺序其实都一样 8.分治法的设计思想是将一个难以直接解决的大问题分割成规模较小的子问题，分别解决子问题，最后将 子问题的解组合起来形成原问题的解。这要求原问题和子问题。 A．问题规模相同，问题性质相同B．问题规模相同，问题性质不同

(完整word版)《算法设计与分析》考试题目及答案

《算法分析与设计》期末复习题 一、 选择题 1。应用Johnson 法则的流水作业调度采用的算法是(D ） A. 贪心算法 B. 分支限界法 C.分治法 D. 动态规划算法 2.Hanoi 塔问题如下图所示。现要求将塔座A 上的的所有圆盘移到塔座B 上，并仍按同样顺序叠置。移动圆盘时遵守Hanoi 塔问题的移动规则.由此设计出解Hanoi 塔问题的递归算法正确的为：(B ） Hanoi 塔 A 。 void hanoi(int n ， int A ， int C, int B) ｛ if (n > 0) B 。 void hanoi(int n, int A, int B ， int C ） { if (n 〉 0) C. void hanoi （int n ， int C, int B, int A) ｛ if （n > 0）

3。 动态规划算法的基本要素为(C ） A. 最优子结构性质与贪心选择性质 B ．重叠子问题性质与贪心选择性质 C ．最优子结构性质与重叠子问题性质 D 。 预排序与递归调用 4。 算法分析中，记号O 表示（B)， 记号Ω表示(A)， 记号Θ表示(D)。 A 。渐进下界 B 。渐进上界 C.非紧上界 D.紧渐进界 E 。非紧下界 5. 以下关于渐进记号的性质是正确的有：（A ） A 。f (n)(g(n)),g(n)(h(n))f (n)(h(n))=Θ=Θ⇒=Θ B 。 f (n)O(g(n)),g(n)O(h(n))h(n)O(f (n))==⇒= C 。 O(f （n)）+O(g(n ）) = O （min ｛f(n ）,g(n ）｝） D 。 f (n)O(g(n))g(n)O(f (n))=⇔= 6。 能采用贪心算法求最优解的问题，一般具有的重要性质为：（A ） D. void hanoi （int n, int C ， int A ， int B) ｛ if (n > 0）