晶体对称性和晶体结构分类

上讲回顾

?确定原胞和基矢的一般步骤和原则

?密堆积

?配位数

10.107.0.68/~jgche/晶体对称性和晶体结构分类1

本讲内容

?晶格的其他性质和表示

*晶列及晶向指数

*晶面及晶面指数

?晶体宏观对称性？

*晶体对称操作

#除平移外，转动、滑移、反演等

*晶体按对称性分类

#七大晶系

#十四种Bravais格子

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第9讲、晶体对称性和晶体结构分类

1.组成化合物的原子半径与堆积结构

2.原子结合与晶体结构

3.晶列和晶向指数

4.晶面和晶面(Miller)指数

晶体对称性

6.晶体分类和Bravais格子

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1、组成化合物的原子半径与堆积结构

sc CsCl

fcc NaCl

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一些属NaCl和CsCl结构的化合物

NaCl LiF KCl AgF MgO MgS CaO CsCl CsCl CsBr CsI TlCl TlBr

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2、原子结合与晶体结构

?闪锌矿结构

?纤锌矿结构

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属金刚石和闪锌矿结构化合物

Diamond Diamond

Si

Ge

-Sn

ZnS

III-V: GaAs

GaP

InAs II-VI: ZnS

HgSe

CdTe

CuF

AgI

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属六角ZnS化合物

?Crystals a (A) c (A) ZnO 3.25 5.12

ZnS 3.81 6.23 ZnSe 3.98 6.53 ZnTe 4.27 6.99?Crystals a (A) c (A) SiC 3.25 5.21 h diamond 2.52 4.12 CdS 4.13 6.75 CdSe 4.30 7.02

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晶体对称性和晶体结构分类13

重要性质

1.每一晶面上二维周期性地排列着无穷多个格

点

2.每一晶面都有无限多与之平行的晶面

*这些互相平行的晶面构成一族晶面族

*同族晶面上的格点具有相同的二维周期性

3.每族晶面必将所有的格点包含无遗

*晶格中所有的格点都在同一晶面族内

4.同族晶面中，相邻晶面的面间距相等，记为d

*面间距大的晶面族，面上格点的密度较高。？5.对任一晶格，都有无限多族具有这样性质的

晶面

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晶体结构的对称性

晶体的对称性 1. 晶体的宏观和微观对称性 晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。有四种类型的对称操作和对称元素 旋转旋转轴 反映反映面(镜面) 反演对称中心 旋转反演反轴 由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。有三种类型的对称操作和对称元素 平移点阵 螺旋螺旋轴 滑移滑移面 2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理 晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。晶体中点阵与对称元素的制约关系为： 对称面和对称轴的取向定理 在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平 行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂 直，并与一组平面点阵平行。(对称轴包括旋转轴、反轴和螺 旋轴；对称面包括反映面、滑移面)

?对称轴的轴次定理 在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6 这五种。 3. 7个晶系和32个晶体点群 ?根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。 晶体特征对称元素 立方晶 系 四个按立方体的对角线取向的3重轴 六方晶 系 唯一的6重轴 四方晶 系 唯一的4重轴 三方晶 系 唯一的3重轴 正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称 面 单斜晶 系 一个2重轴或对称面 三斜晶 系 无 ?由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、 3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所 以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素： 1、2、3、4、6、m、i、。 ?与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。 ?对于晶体点群，除了用和分子点群一样的符号(Sch?nflies)表示外，还用晶体点群的国际上通用的符号——国际符号表示。国

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 31 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→，

如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换： ???? ? ???????? ??=????? ??z y x a a a a a a a a a z y x 3332 31232221131211，，， 其中，M 为正交矩阵，???? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a M 对称中心和反演（i ） 取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -， x - ???? ? ??=1-0001-0001-M 对称面和反映（m ） 以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ， ， ???? ? ??=1-00010001M n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） n 次旋转对称轴（n 或者n C ） 若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 2014020231 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→， 如果这导致 ） r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：

1第一章 晶体的结构及其对称性

第一章 晶体的结构及其对称性 复习思考题 1、凝聚态物质包括哪些？ 2、固体可分为哪些类型？ 3、简要说明固体物质的结构特点。 4、什么是晶格？什么是晶体结构？ 5、常见的晶体结构有哪些？ 6、什么是配位数？简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构中原子的配位数分别是多少？ 7、试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 8、举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？ 9、什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？ 10、什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？ 11、什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？ 12、对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？ 13、按通常约定，画图表示sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。 14、按通常约定，写出sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞体积。 15、什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？ 16、sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？ 17、简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。 18、三维bcc 和fcc 点阵的维格纳-塞茨（W-S ）元胞分别是什么形状？ 19、什么是晶列？什么是晶向指数？ 20、在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。 21、什么是晶面？ 22、试证明用方向余弦和截距标志晶向是等价的。 23、试证明有理指数定律。 24、试证明晶面指数h 1、h 2、h 3必为互质的整数。 25、试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。 26、晶面指数和密勒指数有什么不同？ 27、什么是正空间？什么是倒空间？ 28、什么是正点阵？什么是倒点阵？ 29、试推导正点阵的傅里叶变换)(k ρ的具体形式。 30、由正点阵的基矢1a 、2a 、3a 定义的动量空间基矢是什么？ 31、试证明倒点阵的元胞体积反比于正点阵的元胞体积。 32、试证明正点阵的一族晶面(h 1h 2h 3)垂直于倒格矢332211b h b h b h K h ++=，且晶面间距h h h h K d π2321=

晶体结构分析中的无序 绝对结构和

晶体结构分析中的无序、绝对结构和孪晶 一、晶体结构分析中的无序 1、有序：分子结构在晶体中的排列符合所属空间群的对称性和晶体结构的周期性（完美晶体）。 A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A B B A A 2、无序：分子结构或结构的一部分在晶体中的排列不符合所属空间群的对称性或晶体结构的周期性（缺陷晶体，严重时即为非晶）。 3、结构解析中的无序（局部无序）：分子结构的大部分有序，而小部分呈现统计 性无序。 4、无序的种类 （1）占有率无序 A 、 同一套等效位置统计性地被不同的原子占据，总占有率为1。矿物晶体中离子的掺杂现象就属于这种情况。 A B C D A B C D A B C D A'B C D A B C D A'B C D A'B C D A'B C D B C D A' B 、晶体中的一套等效位置被统计性地部分占据，总占有率小于1。结构中非配位水分子经常出现这种情况。

A B C D A B C D A B C D B C D A B C D B C D B C D B C D B C D C 、由于晶体中任何一个位置及其周围一定范围（位阻范围）内只能同时容纳一个原子，因此若两个或两个以上的原子位于这样的范围内，则其总占有率应小于或等于其中任何一个原子的理论最高占有率，即这些原子不能同时出现在同一位置的位阻范围内。处理结构中非配位水分子时，要特别注意这一点。 不同位置的理论最高占有率： 一般位置：1 特殊位置（位于对称元素上的位置），其理论最高占有率小于1。 a 、2次轴上的位置：0.5 b 、3次轴上的位置：0.33333 c 、4次轴上的位置：0.25 d 、6次轴上的位置：0.166667 e 、对称面上的位置：0.5 ……………………. ……………………. ** 特别要注意：一旦指认原子后，WinGX 程序会自动给出该特殊位置的最高理论占有率。 例1、两个处于普通位置（理论最高占有率为1）的氧原子间的距离为例： 埃) 两个氧原子任何情况下不能同时存在的区域： 0.0—1.4?：两个原子距离比形成共价键时还短，因此不能同时存在。

晶体学课后习题答案

第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?准晶体是一种什么物态? 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体， 即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。晶体具有 远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也 没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之 间。 2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗?为什么? 答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满 足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。 3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定 的。现分别变述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别 与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地 形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶 体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的 性质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现 在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的 结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的 温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。 f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。 4.找出图1-2a中晶体平面结构中的相当点并画出平面空间格子（即面网）。 答：取其中一个Si原子为研究对象，找出其相当点并画出其空间格子（见下图）