北师大高中数学必修二课后作业26圆与圆的位置关系 含解析

课后作业(二十六)

(时间45分钟)

学业水平合格练(时间20分钟)

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()

A．内切B．相交

C．外切D．相离

[解析]圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝(2－0)2＋(－1－0)2＝5，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1

[答案] B

2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[解析]因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2.

[答案] B

3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()

A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0

C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0

[解析]AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.

[答案] C

4．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6

B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6

C．(x－4)2＋(y－6)2＝36

D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36

[解析]由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得a2＋9＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.

[答案] D

5．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()

A．4 B．4 2

C．8 D．8 2

[解析]因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，

所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．

设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，

则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，

即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.

所以a＋b＝10，ab＝17，

所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.

所以|C1C2|＝2(a－b)2＝32×2＝8.

[答案] C

6．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C 的方程是__________________．

[解析] 设圆C 的半径为r ，

圆心距为d ＝(4－0)2＋(－3－0)2＝5，

当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4，

当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6，

∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16

或(x －4)2＋(y ＋3)3＝36.

[答案] (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36

7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.

[解析] 将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y ＝1a ，

圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a ＝

22－(3)2＝1，所以a ＝1.

[答案] 1

8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．

[解析] 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，

将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝

0.

[答案] x 2＋y 2－34x －34y －114＝0

9．求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．

[解] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，

则????? a ＝b ①b ＝3 ②

a 2＋

b 2＝r ③

由①②③得??? a ＝b ＝3，r ＝32∴(x －3)2＋(y －3)2＝18.

10．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．

[解] 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，

即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，①

已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②

②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，所以5－4－5＋r 2＝0，所以r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.

应试能力等级练(时间25分钟)

11．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，n ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠?，则实数b 的取值范围是( )

A ．[－3 2，3 2]

B ．[－3,3]

C ．(－3,3 2]

D ．[－3 2，3)

[解析] 由M ∩N ≠?，知直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)相交，所以画图(图略)可知－3

[答案] C

12．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，圆O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0.由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是_____________．

[解析] 圆O 的圆心为O (0,0)，半径r ＝2；⊙O ′的圆心为O ′(4,0)，半径r ′＝6，设点P (x ，y )，由切线长(用勾股定理表示

切线长)相等得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，即x ＝32，这就是动点P

的轨迹方程．

[答案] x ＝32

13．已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，定点A (4,0)，则过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程为___________．

[解析] 设动圆圆心为P (x ，y )．因为动圆过定点A ，所以|P A |即为动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|P A |＋2.

当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|P A |－2.

综合这两种情况，得||PO |－|P A ||＝2，

即|x 2＋y 2－

(x －4)2＋y 2|＝2，化简可得(x －2)2－y 23＝1. [答案] (x －2)2－y 23＝1

14．点M 在圆心为C 1的方程x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心为C 2的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0上，求|MN |的最大值．

[解] 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.

C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，

|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.

因此，|MN |的最大值是13＋5.

15．已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝

9.

(1)画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程；

(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B .直线P A ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？

(3)求直线AB 的方程．

[解] (1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32，

∴Q (4,2)．

PQ 中点为Q ′? ????1，－12，半径为r ＝|PQ |2＝612， 故以Q ′为圆心的圆的方程为

(x －1)2＋? ??

??y ＋122＝614.圆如图所示． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴P A ⊥AQ (如图所示)

∴P A 是⊙Q 的切线，同理PB 也是⊙Q 的切线．

(3)将⊙Q 与⊙Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0.

此即为直线AB 的方程．