数列
1.1数列的概念
预习课本P3~6,思考并完成以下问题
(1)什么是数列?数列的项指什么?
(2)数列的一般表示形式是什么?
(3)按项数的多少,数列可分为哪两类?
(4)数列的通项公式是什么?数列的通项公式与函数解析式有什么关系?
1.数列的概念
(1)定义:按一定次序排列的一列数叫作数列.
(2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项.
(3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n…,简记为数列{a n}.数列的第1项a1,也称首项;a n是数列的第n项,也叫数列的通项.
[点睛]
(1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置.
(2)项a n与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次.
(3){a n}与a n是不同概念:{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…;而a n表示数列{a n}中的第n 项.
2.数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列.
3.数列的通项公式
如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式.
[点睛]
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N +或它的有限子集{1,2,3,…,n }为定义域的函数解析式.
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 4.数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种:列表法、图像法、解析法.1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同.( ) (2)数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列.( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√
2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1-(-1)n +1
2,则该数列的前4项依次为( )
A .1,0,1,0
B .0,1,0,1 C.12,0,1
2
,0 D .2,0,2,0
解析:选B 把n =1,2,3,4分别代入a n =1-(-1)n +
12中,依次得到0,1,0,1.
3.已知数列{a n }中,a n =2n +1,那么a 2n =( ) A .2n +1 B .4n -1 C .4n +1
D .4n
解析:选C ∵a n =2n +1,∴a 2n =2(2n )+1=4n +1. 4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x 的值是( ) A .12 B .13 C .15
D .16
解析:选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,
∴?
????
x -10=5,21-x =6,∴x =15.
[典例] (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3;(3)0,1,2,3,4,…; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…;(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合,不是数列;
(2)(3)(4)(5)是数列.
其中(3)(4)是无穷数列,(2)(5)是有穷数列.
下列说法中,正确的是( ) A .数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}
B .数列1,3,5,7,9,…的通项公式可记为a n =2n +1
C .数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015,2 014,2 013是相同的数列
D .数列{a n }的通项公式a n =
n +2 017n +2 016,则它的第k 项是1+1
k +2 016
解析:选D 数列与数的集合的概念不同,A 不正确;当n ∈N +时,没有第一项1,所以B 不正确;C 中两个数列中数的排列次序不同,故是不同的数列,所以选D.
[典例] (1)22-12,32-13,42-14,52-1
5,…;
(2)-12,16,-112,1
20,…;
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,….
[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.
分子中的22,32,42,52
恰是分母的平方,-1不变,故它的一个通项公式为a n =(n +1)2-1n +1
.
(2)该数列各项符号是正负交替变化的,需设计一个符号因子(-1)n ,分子均为1不变,分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5,
则它的一个通项公式为a n =(-1)n 1
n (n +1).
(3)0.9=1-0.1,0.99=1-0.01, 0.999=1-0.001, 0.999 9=1-0.000 1, 而0.1=10
-1,
0.01=10
-2,
0.001=10
-3,
0.000 1=10-
4,
∴它的一个通项公式为a n =1-10-
n .
写出下列数列的一个通项公式: (1)0,3,8,15,24,…; (2)12,2,92,8,25
2,…; (3)112,223,334,44
5
,….
解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是a n =n 2-1.
(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:12,42,92,162,252,…,
所以它的一个通项公式为a n =n 2
2
.
(3)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n ,分数部分与序号n 的关系为n
n +1,故所求的数
列的一个通项公式为a n =n +n
n +1=n 2+2n n +1
.
[典例] n n (1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗?若是,应是第几项?若不是,请说明理由. [解] (1)∵a n =3n 2-28n , ∴a 4=3×42-28×4=-64, a 6=3×62-28×6=-60.
(2)令3n 2-28n =-49,即3n 2-28n +49=0, 解得n =7,或n =7
3(舍).
∴-49是该数列的第7项, 即a 7=-49.
令3n 2-28n =68,即3n 2-28n -68=0, 解得n =-2,或n =34
3
. ∵-2?N +,34
3?N +
,∴68不是该数列的项.
已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍. (1)求这个数列的第4项与第25项;
(2)253和153是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? 解:(1)由题设条件,知a n =n +2n . ∴a 4=4+2×4=10,a 25=25+2×25=55.
(2)假设253是这个数列中的项,则253=n +2n ,解得n =121.∴253是这个数列的第121项. 假设153是这个数列中的项,则153=n +2n ,解得n =721
4,这与n 是正整数矛盾,∴153不
是这个数列中的项.
层级一 学业水平达标
1.数列的通项公式为a n =???
3n +1,n 为奇数,
2n -2,n 为偶数,
则a 2·a 3等于( )
A .70
B .28
C .20
D .8
解析:选C 由a n =?
????
3n +1,n 为奇数,
2n -2,n 为偶数,得a 2=2,a 3=10,所以a 2·a 3=20.
2.下列叙述正确的是( ) A .同一个数在数列中可能重复出现
B .数列的通项公式是定义域为正整数集N +的函数
C .任何数列的通项公式都存在
D .数列的通项公式是唯一的
解析:选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N +或它的有限子集,选项B 错误;并不是所有数列都有通项公式,选项C 错误;数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成a n =(-1)n ,也可以写成a n =(-1)n +
2,选项D 错误.故选A.
3.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n -50,则-8是该数列的( ) A .第5项 B .第6项 C .第7项
D .非任何一项
解析:选C 由n 2-n -50=-8,得n =7或n =-6(舍去). 4.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( ) A .a n =2n -1 B .a n =(-1)n (1-2n ) C .a n =(-1)n (2n -1) D .a n =(-1)n (2n +1)
解析:选B 当n =1时,a 1=1排除C 、D ;当n =2时,a 2=-3排除A ,故选B. 5.在数列-1,0,19,1
8,…,n -2n 2,…中,0.08是它的( )
A .第100项
B .第12项
C .第10项
D .第8项
解析:选C 由a n =
n -2n 2,令n -2n 2=0.08,解得n =10或n =5
2
(舍去). 6.数列1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式为________. 解析:由a 1=20,a 2=21,a 3=22,a 4=23,…易得a n =2n -
1.
答案:a n =2n -1
7.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项.
解析:由题意知,数列的通项公式a n =n (n +1),令a n =n (n +1)=600,解得n =24或n =-25(舍去).
答案:24
8.已知曲线y =x 2+1,点(n ,a n )(n ∈N +)位于该曲线上,则a 10=________. 解析:∵点(n ,a n )位于曲线y =x 2+1上,∴a n =n 2+1,故a 10=102+1=101. 答案:101
9.根据下面数列{a n }的通项公式,写出它的前5项. (1)a n =n 2-12n -1;(2)a n =sin n π
2
;(3)a n =2n +1.
解:(1)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列{a n }的前5项为0,1,85,157,8
3.
(2)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列{a n }的前5项为1,0,-1,0,1. (3)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列{a n }的前5项为3,5,9,17,33. 10.在数列{a n }中,a 1=2,a 17=66,通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 2 016;
(3)2 014是否为数列{a n }中的项?
解:(1)设a n =kn +b (k ≠0),则有?
???
?
k +b =2,17k +b =66,
解得k =4,b =-2. ∴a n =4n -2.
(2)a 2 016=4×2 016-2=8 062.
(3)令2 014=4n -2,解得n =504∈N +, ∴2 014是数列{a n }的第504项.
层级二 应试能力达标
1.数列2,0,4,0,6,0,…的一个通项公式是( )
A.a n=n
2[1+(-1)
n]
B.a n=n+1
2[1+(-1)
n+1]
C.a n=n
2[1+(-1)
n+1]
D.a n=n+1
2[1+(-1)
n]
解析:选B经验证可知B符合要求.
2.已知数列2,-5,10,-17,26,-37,…,则下列选项能表示数列的通项公式的是( ) A.a n=(-1)n n2+1 B.a n=(-1)n+1(n2+1)
C.a n=(-1)n(n2+1) D.a n=(-1)n+1(n2-1)
解析:选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1,且奇数项是正的,偶数项是负的,∴通项可以写成a n=(-1)n+1(n2+1).
3.数列2,5,22,11,…,则25是该数列的( )
A.第6项B.第7项
C.第10项D.第11项
解析:选B数列2,5,22,11,…的一个通项公式为a n=3n-1(n∈N+),令25=3n-1,得n=7.故选B.
4.设a n=1
n+1+1
n+2+
1
n+3+…+
1
2n(n∈N+),那么a n+1-a n等于( )
A.1
2n+1 B.1
2n+2
C.1
2n+1+
1
2n+2 D.
1
2n+1-
1
2n+2
解析:选D∵a n=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n,
∴a n+1=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+
1
2n+1
+
1
2n+2
,
∴a n+1-a n=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
=
1
2n+1
-
1
2n+2
.
5.已知数列{a n}的通项公式a n=n2-4n-12(n∈N+),则
(1)这个数列的第4项是________;
(2)65是这个数列的第________项.
解析:(1)由a4=42-4×4-12=-12,得第4项是-12;
(2)由a n=n2-4n-12=65,得n=11或n=-7(舍去),
∴65是第11项.
答案:(1)-12 (2)11
6.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有________个点.
解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n 个图中点的个数为(n -1)n +1.
答案:n 2-n +1
7.根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项公式. (1)-3,0,3,6,9,…;
(2)7,77,777,7 777,77 777,…; (3)2,0,2,0,2,0,…;
(4)12,14,-58,1316,-2932,61
64
,…. 解:(1)a 1=-3+0×3,a 2=-3+1×3,a 3=-3+2×3,a 4=-3+3×3,…. ∴a n =-3+(n -1)×3=3n -6(n ∈N +). (2)a 1=79×(10-1),a 2=7
9(102-1),
a 3=79(103-1),a 4=7
9×(104-1),….
∴a n =7
9
×(10n -1)(n ∈N +).
(3)a 1=1+1,a 2=1-1,a 3=1+1,a 4=1-1,…. ∴a n =1+(-1)n -1(n ∈N +).
(4)a 1=-2-32,a 2=22-322,a 3=-23-3
23,a 4=24-324,….
∴a n =(-1)
n 2n
-3
2n
(n ∈N +).
8.写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式,并验证2 563是否是该数列中的一项.
解:该数列的项为13+1×2,13+2×3,13+3×4,….故其通项公式可以为a n =13+n (n +1)(n ∈N +).
令13+n (n +1)=2 563,则n 2+n =2 550. 解得n =50或n =-51(舍去). ∴2 563是该数列中的第50项.
1.2 数列的函数特性
预习课本P6~8,思考并完成以下问题
(1)什么数列是递增数列?
(2)什么数列是递减数列?
(3)常数列是什么样的数列?
[新知初探]
数列的单调性
(1)一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n,那么这个数列叫作递增数列.
(2)一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项,即a n+1 (3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫作摆动数列. (4)如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列. [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个数列,如果它不是递增数列,就是递减数列.( ) (2)数列是特殊的函数,因此其图像是连续不断的曲线.( ) (3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性.( ) 答案:(1)×(2)×(3)√ 2.已知数列{a n}满足a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是( ) A.递增数列B.递减数列 C.常数列D.不能确定 解析:选A由条件得a n+1-a n=3>0可知a n+1>a n,所以数列{a n}是递增数列. 3.已知递减数列{a n}中,a n=kn(k为常数),则实数k的取值范围是( ) A.R B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0] 解析:选C a n +1-a n =k (n +1)-kn =k <0. 4.设a n =-n 2+10n +11,则数列{a n }的最大项为( ) A .5 B .11 C .10或11 D .36 解析:选D ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5)2+36, ∴当n =5时,a n 取得最大值36. [典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n = 2 2n -9 ,画出它的图像,并判断增减性. [解] 图像如图所示,该数列在{1,2,3,4}上是递减的,在{5,6,…}上也是递减的. 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,作出该数列的图像并判断该数列的增减性. 解:分别取n =1,2,3,…,得到点(1,1),(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图,它的图像是直线y =2x -1上的一些等间隔的点. 由图像可知该数列为递增数列. [典例] 已知数列{a n }的通项公式a n =n n 2 +1 ,试判断该数列的增减性. [解] a n +1-a n =n +1(n +1)2+1-n n 2+1 =1-n 2-n [(n +1)2+1](n 2+1) . 因为n ∈N +,所以1-n 2-n <0, 所以a n +1-a n <0, 即a n +1 [活学活用] 写出数列1,24,37,410,5 13,…的通项公式,并判断它的增减性. 解:该数列的通项公式为a n =n 3n -2 , ∴a n +1-a n =n +13(n +1)-2-n 3n -2 = -2 (3n +1)(3n -2) . ∵n ∈N +,∴(3n +1)(3n -2)>0, ∴a n +1 1.已知数列{a n }的通项公式a n =(n +1) ??? ?1011n (n ∈N +),试问数列{a n }有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由. 解:法一:假设数列{a n }中存在最大项. ∵a n +1-a n =(n +2)????1011n +1-(n +1)????1011n =????1011n ·9-n 11, 当n <9时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =9时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >9时,a n +1-a n <0,即a n +1a 11>a 12…, 所以数列中有最大项,最大项为第9、10项,且a 9=a 10=1010 11 9. 法二:假设数列{a n }中有最大项,并设第k 项为最大项,则????? a k ≥a k -1, a k ≥a k +1 对任意的k ∈N +且k ≥2 都成立. 即?? ? (k +1)????1011k ≥k ??? ?1011k -1,(k +1)????1011k ≥(k +2)??? ?1011k +1 , ∴??? 10 11(k +1)≥k , k +1≥10 11 (k +2), 解得9≤k ≤10. 又k ∈N +, ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项, 且a 9=a 10=101011 9. 题点二:由数列的单调性求参数问题 2.已设数列{a n }的通项公式为:a n =n 2+kn (n ∈N +),若数列{a n }是单调递增数列,求实数k 的取值范围 . 解:法一:∵数列{a n }是单调递增数列, ∴a n +1-a n >0(n ∈N +)恒成立. 又∵a n =n 2+kn (n ∈N +), ∴(n +1)2+k (n +1)-(n 2+kn )>0恒成立. 即2n +1+k >0. ∴k >-(2n +1)(n ∈N +)恒成立. 而n ∈N +时,-(2n +1)的最大值为-3(n =1时), ∴k >-3.即k 的取值范围为(-3,+∞). 法二:结合二次函数y =x 2+kx 的图像,要使{a n }是递增数列,只要a 1-3, 所以k 的取值范围为(-3,+∞). 题点三:数列与函数的综合应用 3.已知函数f (x )=2x -2-x ,数列{a n }满足f (log 2a n )=-2n . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明数列{a n }是递减数列. 解:(1)∵f (x )=2x -2- x ,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n -2-log 2a n =-2n , ∴a n -1 a n =-2n , ∴a 2n +2na n -1=0,解得a n =-n ±n 2+1. ∵a n >0,∴a n =n 2+1-n ,n ∈N +. (2)证明:a n +1a n =(n +1)2+1-(n +1) n 2+1-n = n 2+1+n (n +1)2+1+(n +1) <1. ∵a n >0,∴a n +1 层级一 学业水平达标 1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A .1,12,13,1 4,… B .sin π7,sin 2π7,sin 3π 7,… C .-1,-12,-14,-1 8 ,… D .1,2,3,…,21 解析:选C A 是递减数列,B 是摆动数列,D 是有穷数列,故选C. 2.已知数列{a n }的通项公式是a n =n -1 n +1 ,那么这个数列是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列 解析:选A a n = n -1n +1=1-2 n +1 ,随着n 的增大而增大. 3.数列{a n }中,a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是( ) A.121 4 B .30 C .31 D .32 解析:选B a n =-n 2+11n =-????n -1122+1214, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时,a n 取最大值30,故选B. 4.数列{a n }中,a 1=1,以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2给出,则a 3+a 5等于( ) A.25 9 B.2516 C.6116 D.3115 解析:选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3=94. 同理a 5=25 16,∴a 3+a 5 =94+2516=61 16 . 5.已知数列{a n }满足a 1>0,且a n +1=n n +1a n ,则数列{a n }的最大项是( ) A .a 1 B .a 9 C .a 10 D .不存在 解析:选A ∵a 1>0且a n +1=n n +1a n ,∴a n >0,a n +1a n =n n +1<1,∴a n +1 6.若数列{a n }的通项公式为a n = k 3n (k >0,且k 为常数),则该数列是________(填“递增”“递减”)数列. 解析:a n +1a n =k 3n +1·3n k =13<1.∵k >0,∴a n >0, ∴a n +1 7.数列{-2n 2+9n +3}中最大项的值为________. 解析:由已知a n =-2n 2+9n +3=-2????n -942+105 8.由于n 为正整数,故当n 取2时,a n 取到最大值13. ∴数列{-2n 2+9n +3}的最大项为a 2=13. 答案:13 8.数列{a n }中,a n =n 2 n 2+1,则数列{a n }的最小项的值为________. 解析:∵a n +1-a n =(n +1)2(n +1)2+1-n 2 n 2+1 =(n +1)2(n 2+1)-n 2[(n +1)2+1][(n +1)2+1](n 2 +1)=2n +1[(n +1)2+1](n 2+1)>0. ∴a n 2. 答案:12 9.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来, (1)a n =(-1)n +2; (2)a n =n +1 n . 解:(1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1. (2)a 1=2,a 2=32,a 3=43,a 4=54,a 5=6 5 .图像如图2. 10.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n +20. (1)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值; (2)数列{a n }有没有最大项?若有,求出最大项,若没有说明理由. 解:(1)因为a n =n 2-21n +20=????n -2122-3614,可知对称轴方程为n =21 2=10.5.又因n ∈N +,故n =10或n =11时,a n 有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90. (2)由(1)知,对于数列{a n }有:a 1>a 2>…>a 10=a 11 层级二 应试能力达标 1.函数f (x )定义如下表,数列{x n }满足x 0=5,且对任意的自然数均有x n +1=f (x n ),则x 2 017=( ) A .1 C .4 D .5 解析:选B 根据定义可得出:x 1=f (x 0)=2,x 2=f (x 1)=1,x 3=f (x 2)=5,x 4=f (x 3)=2,…,所以周期为3,故x 2 017=x 1=2. 2.对任意的a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到的数列满足a n +1>a n (n ∈N *),则函数y =f (x )的图像是( ) 解析:选A 据题意,由关系式a n +1=f (a n )得到的数列{a n },满足a n +1>a n ,即该函数y =f (x )的图像上任一点(x ,y )都满足y >x ,结合图像,只有A 满足,故选A. 3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=a n -3 3a n +1(n ∈N +),则a 20=( ) A .0 B .- 3 C. 3 D.32 解析:选B 由a 1=0,可求a 2=a 1-33a 1+1=-3,a 3=a 2-33a 2+1=3,a 4=a 3-3 3a 3+1 =0,…,可知周期为3,所以a 20=a 2=- 3. 4.已知a n =n -98 n -99,则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A .a 1,a 30 B .a 1,a 9 C .a 10,a 9 D .a 10,a 30 解析:选C ∵a n = n -99+(99-98)n -99=99-98 n -99 +1, ∴点(n ,a n )在函数y = 99-98 x -99 +1的图像上, 在直角坐标系中作出函数y = 99-98 x -99 +1的图像, 由图像易知,当x ∈(0,99)时,函数单调递减. ∴a 9 当x ∈(99,+∞)时,函数单调递减,∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以,数列{a n }的前30项中最大的项是a 10,最小的项是a 9. 5.已知数列{a n }的通项a n = na nb +c (a ,b ,c 都是正实数),则a n 与a n +1的大小关系是_______. 解析:∵a ,b ,c 均为实数,f (x )=ax bx +c =a b +c x 在(0,+∞)上是增函数,故数列a n =an bn +c 在n ∈N +时为递增数列,∴a n 答案:a n +1>a n 6.已知函数f (x )=???? ? x +12,x ≤12 ,2x -1,12 若数列{a n }满足a 1= 7 3 ,a n +1=f (a n ),n ∈N +,则a 2 015+a 2 016=________. 解析:a 2=f ????73=73-1=4 3; a 3=f ????43=43-1=13; a 4=f ????13=13+12=56; a 5=f ????56=2×56-1=23; a 6=f ????23=2×23-1=13 . 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列. ∴a 2 015+a 2 016=a 5+a 3=1. 答案:1 7.已知函数f (x )=x -1 x ,设a n =f (n )(n ∈N +), (1)求证:a n <1; (2)数列{a n }是递增数列还是递减数列?为什么? 解:(1)证明:a n =f (n )=n -1n =1-1 n <1. (2)数列{a n }是递增数列,理由如下: ∵a n +1-a n =(n +1)-1n +1 -n -1n =????1-1n +1-????1-1n =1 n (n +1)>0, ∴a n +1>a n , ∴{a n }是递增数列. 8.数列{b n }的通项公式为b n =na n (a >0),问:{b n }是否存在最大项?并说明理由. 解:b n +1-b n =(n +1)a n + 1-na n =a n [(n +1)a -n ] =a n [(a -1)n +a ]. 当a >1时,b n +1-b n >0,故{b n }为递增数列,无最大项; 当a =1时,b n +1-b n =1,故{b n }不存在最大项; 当0 b n +1-b n =a n (a -1)????n +a a -1=a n (a -1)??? ?n -a 1-a . ∵0 a 1-a 有相反的符号. 由于n 为变量,而 a 1-a 为常数,设k 为不大于a 1-a 的最大整数, 则当n ≤k 时,b n +1-b n ≥0; 当n >k 时,b n +1-b n <0,