圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
Gerschgorin 圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
【摘要】：利用 Gerschgorin 圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。 关键词：Gerschgorin 圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值
Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally
dominant matrix
An Yu Shuan
（University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731）
Abstract ：Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple ．
Key words ：Gerschgorin theorem ；matrix ；diagonlly dominant matrice ；eigenvalue
1 引言及预备知识
Gerschgorin 圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中．本文利用 Gerschgorin 圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程．
定义[1]
设n n ij a A ×)(=，若∑≠≥n
i
j j ij
i ii a
A R a ,1==
)( )n 21
=( ，，i ，则称A 为对角占优的；若∑
≠n
i
j j ij i ii a A R a ,1==
)(> )n 21=( ，，i ，则称为严格对角占优的。
Gerschgorin 圆盘定理[2]
设 n n ij a A ×)(=是复方阵，记∑
≠n
i
j j ij i a A R ,1==
)(，
{}
)(-=A R a z C z G i ii i ≤∈ )n 21=( ，，i ，则A 的任意特征值一定属于n 个圆盘的并
集 n
i i
G
A G 1
==
)(；若在)(A G 中，有k 个互相连通且与其余k -n 个不相交，则 A 恰有k 个
特征值含在此k 个圆盘组成的区域内。
２ 主要结果及证明
定理 1 严格对角占优矩阵的特征值全不为零．
证明：假设矩阵A 有某一个特征值0=λ，则由Gerschgorin 圆盘定理可知，必有某个i ，使得)(≤A R a i ii ，与矩阵A 严格对角占优即)(>A R a i ii 相矛盾，因此严格对角占优矩阵的特征值全不为零。
定理 2 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。
证明：由定理1可知，严格对角占优矩阵A 的特征值全不为零，则0=AX 只有零解，
否则必有一个特征值为0，由0=AX 只有零解可得0≠
det A ，从而A 为非奇异矩阵。 定理 3 设n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，且0>ij a ，则 A 的任一特征值的实部必
大于零．
证明：设矩阵n n ij a A ×)(=，R a ij ∈，bi a λ+=为A 的任一特征值，由Gerschgorin
圆盘定理可知，）（A R ≤--i bi a a ii ，则2i 2
2))A (R (+
-≤）（）（bi a a ii ，因此）
（A R ≤-i a a ii ，又因为n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，所以)(>A R a i ii ，由于0>ii a ，因此必有0>a 。
定理 4 设n n ij a A ×)(=为严格对角占优实方阵，且0>ii a ，则0>det A 。
证明：令xB D x f +=)(，[0,1]∈x ，其中：)a ,diag(a D nn ,2211 a =；
D A B -=。则)(x f 为[0,1]上的连续实变值函数，易见0>=
)0(∏1
=n
i ii
a
f ，若0 由根的存在性定理可知，必存在(0,1)∈ξ，使得0=+=)(B ξD ξf 。由于n n ij a A ×)(=严格对角占优，则∑∑ ≠≠n i j j ij n i j j ij i ii a ξa A R a ,1=,1=≥= )(>，即B ξD +亦为严格对角占优，由定 理3可知0≠ )(ξf ，与0=)(ξf 相矛盾，因此0>det =)1(A f 。 定理 5 主对角元为正的严格对角占优实对称阵的任何主子式必大于零。 证明：由于严格对角占优对称阵的任何主子式仍为严格对角占优的，因此由定理4可知其必大于零。 定理 6 若)(∈)(=×C M a A n n n ij 为严格对角占优矩阵，则矩阵A I 1 -H -的所有特征值的模小于1，其中)a ,diag(a H nn ,2211 a =。 证明：?????? ??? ? ??------ =00 0H -2122 2222111111121 - nn n nn n n n a a a a a a a a a a a a A I ，记B A I =H -1-，则∑ ≠n i j j ii ij i a a B R ,1== )(。由于A 为严格对角占优的，即∑ ≠n i j j ij ii a a ,1=> ，则1<)(B R i 。设λ为 A I 1-H -的任一特征值，则由 Gerschgorin 圆盘定理知，() B R λi <，则1<λ 定理 7[3] 若)(∈)(=×C M a A n n n ij 为严格对角占优矩阵，则()() ∏n i ii a A 1 =i A R -≥ det 。 证明：设n 21λλλ，，， 为A 的n 个特征值， 由Gerschgorin 圆盘定理的第２部分， 在)(A G 中， 若有k 个互相连通且与其余k n -个不相交，则 A 恰有k 个特征值含在此k 个圆 盘组成的区域内，另k -n 个特征值含在k -n 个圆盘内，即每个特征值λ必属于某个圆盘，n 个特征值恰属于n 个圆盘，因此)(≤-a A R λi ii )n 21=( ，，i ，从而)(-a A R λi ii ≤， ）（A R -a >ii λ，又因为n 21=detA λλλ ，所以()() ∏n i ii a A 1 =i A R -≥det 。 由上所述，利用Gerschgorin 圆盘定理可以得到严格对角占优矩阵的许多重要结论，而且其推导过程也十分简捷。由此可见，Gerschgorin 圆盘定理是矩阵中的一个十分重要的定理，其应用也非常广泛。 参考文献 [1] 屠伯埙，徐诚浩，王芬．高等代数学[M]．上海：上海科学技术出版社，1987 [2] 刘丁酉．矩阵分析[M]．武汉：武汉大学出版社，2003 [3] 王松桂，吴密霞，贾忠贞．矩阵不等式[M]．北京：科学出版社，2006 矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme． 信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4， 2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑）。 鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 信息论基础理论与应用考试题及答案 信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑， 则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约 为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1， 即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位 二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概 率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验 概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷 积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4， 2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑）。 《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月 Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015 中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用 Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application §9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。 定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R 第二章习题及参考解答 注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由 于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。 （2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12 矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出 （b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我 们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电 流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵 在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵 在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为： ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵 在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选 “矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名) 相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X 有限元法理论及应用大作业 1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？ 答：有限元分析的主要步骤主要有： （1）结构的离散化，即单元的划分； （2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （3）等效节点载荷计算； （4）整体分析，建立整体刚度方程； （5）引入约束，求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。 题2图 答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则: 1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似 3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同 4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。 （c）中没有考虑对称性，单元边差很大。 3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？ 题3图 答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。 答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？ (1). ?????++=++=2 65432 21),(),(y x y x v y x y x u αααααα (2). ?????++=++=2 65242 3221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。 信息论基础理论与应用测验题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即 （11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =?? ==-??? ?∑） 。 毕业设计（论文）材料之二（2） 本科毕业设计(论文)开题报告 题目：矩阵的特征值与特征向量 的理论与应用 课题类型：科研□ 论文√ 模拟□ 实践□ 学生姓名：王家琪 学号：3090801105 专业班级：数学091 学院：数理学院 指导教师：万上海 开题时间：2013年3月16日 2013 年3月15日 开题报告内容与要求 一、毕业设计（论文）内容及研究意义（价值） 矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。 随着计算机的迅速发展 , 现代社会的进步和科技的突飞猛进 , 高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透 , 它的作用越来越为世人所重视。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量；而在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n阶矩阵A的特征值与特征向量.从理 论上来讲,只要求出线性变换A的特征值与特征向量,就可知矩阵A的特征值与特征向量,反之亦然。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。 物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。又特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，给出一种能够迅速找出特征值和特征向量以及它们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方。 二、毕业设计（论文）研究现状和发展趋势（文献综述） 汤正华[1]在2008年讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。 李延敏[2]在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。 赵院娥、李顺琴[3]在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。邵丽丽[4]在2006年通过对n阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对n阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。 黄金伟[5]在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。向以华[6]在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。 张红玉[7]在2009年通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论。王英瑛[8]在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法。 夏慧明、周永权[9]在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。郭华、刘小明[10]在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。 岳嵘[11]在2007年通过对已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及 k 个特征向量，给出矩阵A的计算公式，并给出证明及应用举例。 1 贤锋[12]在2006年通过建模实例介绍了最大特征值及特征向量的应用。 王秀芬[13]在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量 矩阵奇异值分解在图像压缩上的应用 摘要 矩阵的奇异值理论提出至今己经有很长的一段时间。奇异值分解理论由Beltrami和Jordan于十九世纪七十年代提出至今，由于其内在的一些良好特性，奇异值分解正成为应用数学和数学模型领域的一个极有价值的工具。奇异值分解在很多领域得到了应用，它在数据挖掘及搜索引擎中被用来对数据库文件进行规类，近年来，它在图像压缩方面的应用也越来越受到相关学者的重视。 关键字：图像压缩；奇异值分解 第一章总论 数字图像处理技术中的数字图像压缩，或者叫图像编码。二维形式呈现的数字图像，其信息量很大，给传输、处理、储存、显示等都带来了不少的问题。另一方面，图像中又有很多冗余信息，根据香农(Shannon)的率失真理论。无论在传输或者储存时，都可对数字图像进行一定方式编码，删除其中冗余信息，实现不失真压缩，或在容许失真限度内进行有失真压缩，以换取更大的压缩率。对于供人观看的图像，如电视信号，这时人是通信系统中的一环，人的视觉特征，如掩盖效应，对灰度分辨率和空间分辨率的有限性等，也可以用来为压缩服务。数字图像以数据矩阵形式储存在存储器中，这就使得通过操作数据矩阵的方式压缩图像成为可能。事实上矩阵的奇异值本身具有可降维的特性，若能合理的利用矩阵奇异值的这一特性，SVD方法在图像压缩领域必将会有广阔的应用前景。 矩阵的奇异值分解(SVD)目前在信号处理、模式分析等领域得到了较为广泛的应用。由于数字图像矩阵通常是由数据量较大的阵列矩阵所构成，这就给基于SVD变换的算法构造添加了很大的难度，所以SVD变换目前在数据压缩领域得到的应用还不是很多，从SVD变换算法的研究着手，研究大矩阵奇异值的分布情况以及他们在图像恢复时所起到的作用，并在此基础上展开对SVD变换算法在数据压缩领域应用的研究，构造能将SVD变换实际应用到数据压缩领域的快速、高效的算法是十分必要的。 浅析矩阵论的发展和应用 摘要：矩阵是数学中的一个重要的基本概念。起初的矩阵式作为线性代数中的一个小分支慢慢发展而来的，但随着其在图论、代数、组合数学和统计上的广泛应用，使之逐渐成为数学中一个不可替代的组成部分，并发展为一个独立的分支。矩阵理论体系的形成，也推广了矩阵论在不同领域的发展和应用。本文从矩阵论发展过程的角度出发，浅析了矩阵论在不同领域的应用。关键字：矩阵论，矩阵分解，实际应用 1矩阵论的发展 “Matrix”这一词语由西尔维斯特首先使用的，但是他并没有给出明确的概念。矩阵的现代概念在19 世纪初期逐渐形成。19世纪初期，德国数学家高斯、爱森斯坦等已经使用了矩阵中的有关线性变换和矩阵乘积等的相关知识。矩阵（Matrix）的明确概念是由英国数学家凯莱在1858年在著作《关于矩阵理论的研究报告》中给出的。在这份报告中，凯莱率先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，他被认为是矩阵论的创立者，并为矩阵理论的发展奠定了良好的基础。随后，弗罗伯纽斯等人逐渐完善了矩阵的理论体现形成了矩阵的现代理论[1]。 然而，矩阵理论思想的萌芽却由来已久。早在公元前1世纪的《九章算术》中[2]，矩阵形式解方程组已经运用的相当成熟，但也仅仅是作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并未建立起独立的矩阵理论。直到18世纪和19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中的应用日益广泛并为矩阵的发展提供了良好的条件。矩阵理论的早起的概念是独立于矩阵理论本身而存在的，它从不同的领域和思想研究中的逐步发展，并逐步形成了后来的矩阵理论。首先是在17世纪的欧洲，克莱姆和范德蒙等数学家将行列式在线性方程组的求解中做了极大的应用，并最终形成现代矩阵论中的克莱姆法则和范德蒙行列式。到18世纪末，拉格朗日、达朗贝尔等数学家将矩阵（此时矩阵的概念还没有明确提出）的维度空间从单维扩展到了四维或者n维，并提出了n个变量（12,n x x x）的二次型。直到19世纪的初期，伴随着行列式理论的蓬勃发展，与矩阵理论密切相关的线性空间、线性变换理论等也趋于成熟。但是在1844年之前n维空间的概念一直未能从代数中独立出来。在此之前，它一直被认为是符号化的算术。n维空间概念的真正脱离出来成为一个脱离空间直观的纯数学概念是以1844格拉斯曼发表的《张量演算》为节点的。19世纪初到19世纪3、40年代，以柯西、雅可比、凯莱以及哈密顿等人为代表的数学家都为矩阵理论的形成和发展做了很多突出的贡献。 《矩阵理论》知识重点 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2） 广义逆在多元分析中的应用 刘雯雯信通院学号：B098035 摘要：多元分析的一个重要内容就是研究随机向量之间的关系，在一元统计中，用相关系数来描述随机变量之间的关系，Hotelling[1]和张尧庭教授[2]先后定义了度量两个随机向量相关程度的数量指标，并称之为广义相关系数。这一章主要利用Moore-Penrose广义逆矩阵来引人了随机向量之间的相关系数—广义相关系数，并探讨了随机向量的典型相关系数和广义相关系数之间的关系。 关键词：特征值广义相关系数典型相关系数正交阵可逆矩阵 1.引言 矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵. 在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家 C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,J.J.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1 858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dya ds))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上 习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出2 3 ,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 1122111 11 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-?????? ??=+==?? ???????? n ∑。 2．设112 2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===???? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112 222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1 i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -?????? ===?????? --?????? 。 注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， “矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械电子工程类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名) 最小二乘法问题 摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。而要发现这些规律必须借助一定的手段。矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。 关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法 正文 一、引言 最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。 本文讨论的问题如下： 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据： 矩阵论在电路网络分析中的应用 摘要：电路网络分析中，运用矩阵论的相关知识可以直观的解决一些复杂问题， 比如所在支路存在无伴电压源的情况，而且矩阵运算方便进行计算机算法，在解决含大量节点的电路时是人工计算无法比拟的。若电路中存在无伴电压源支路时，由于该支路的导纳为无穷大，这给节点电压方程和割集方程的建立带来困难。解决这一问题的方法之一是将无伴电压源的支路电流也作为网络变量。因此，在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电流作为未知量。所述的支路电流包括无伴电压源支路电流和直接求解的支路电流。 改进节点法 将网络的支路划分为三类，一类是一般支路，另两类是无伴电压源支路和直接求电流的支路。后两类支路都可以以二端元件作为一条支路，支路电压和支路电流选择关联参考方向。 网络中的支路编号按照一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路，可将网络的关联矩阵A 写成如下分块矩阵形式： [] E x A A A A = 式中 A 是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵。E A 是反映无伴电压源支 路与节点之间的关联关系子阵。x A 是反映直接求电流支路与节点之间关联关系子阵。 将支路电流向量和支路电压向量也按同样的顺序分块： []0()()()()T b E x I s I s I s I s = []0()() () ()T b E x U s U s U s U s = 根据基尔霍夫电流定律，有 []00 ()()0()E x E x I s A A A I s I s ?? ??=?? ???? 00A ()()()0E E x x I s A I s A I s ++= 根据基尔霍夫电压定律,有矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文
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