α—严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理

牛顿迭代法文献综述

“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。

圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

Gerschgorin 圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用 【摘要】：利用 Gerschgorin 圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。 关键词：Gerschgorin 圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值 Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally dominant matrix An Yu Shuan （University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731） Abstract ：Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple ． Key words ：Gerschgorin theorem ；matrix ；diagonlly dominant matrice ；eigenvalue 1 引言及预备知识 Gerschgorin 圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中．本文利用 Gerschgorin 圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程． 定义[1] 设n n ij a A ×)(=，若∑≠≥n i j j ij i ii a A R a ,1== )( )n 21 =( ，，i ，则称A 为对角占优的；若∑ ≠n i j j ij i ii a A R a ,1== )(> )n 21=( ，，i ，则称为严格对角占优的。 Gerschgorin 圆盘定理[2] 设 n n ij a A ×)(=是复方阵，记∑ ≠n i j j ij i a A R ,1== )(， {} )(-=A R a z C z G i ii i ≤∈ )n 21=( ，，i ，则A 的任意特征值一定属于n 个圆盘的并 集 n i i G A G 1 == )(；若在)(A G 中，有k 个互相连通且与其余k -n 个不相交，则 A 恰有k 个 特征值含在此k 个圆盘组成的区域内。 ２ 主要结果及证明 定理 1 严格对角占优矩阵的特征值全不为零． 证明：假设矩阵A 有某一个特征值0=λ，则由Gerschgorin 圆盘定理可知，必有某个i ，使得)(≤A R a i ii ，与矩阵A 严格对角占优即)(>A R a i ii 相矛盾，因此严格对角占优矩阵的特征值全不为零。 定理 2 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。 证明：由定理1可知，严格对角占优矩阵A 的特征值全不为零，则0=AX 只有零解， 否则必有一个特征值为0，由0=AX 只有零解可得0≠ det A ，从而A 为非奇异矩阵。 定理 3 设n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，且0>ij a ，则 A 的任一特征值的实部必

牛顿迭代法

牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：

对角占优矩阵的判定条件

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/b711404642.html, 对角占优矩阵的判定条件 作者：田素霞 来源：《科技视界》2014年第26期 【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果. 【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件 对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。 设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji 定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵. 定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵. 定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中： 设A=（a■）∈C■，把A分块为： 这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n 定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且： 则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵. 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下： 引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.

有标题 对角占优矩阵的性质及其应用

本科生毕业论文(设计) 题目：对角占优矩阵的性质及其应用 学生姓名：付艳 学号： 200810010212 指导教师：邹庆云 专业班级：数学与应用数学 完成时间： 2012年5月

目录 0引言 (1) 1主要结果 (2) 1.1 对角占优矩阵奇异性 (2) 1.2对角占优矩阵行列式 (3) 1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4) 1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5) 1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9) 1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用 (11) 结论 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)

对角占优矩阵的性质及其应用 数学与应用数学专业学生：付艳 指导教师：邹庆云 摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若 干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究 对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的 奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在 利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU 分解等方面的应用。 关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。 Abstract ：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application. Keywords ：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue. 0 引言 各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们 在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优 矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。 定义1 若A 是n n ?矩阵，且满足ii ij j i a a ≠≥∑ ()ii ij j i a a ≠>∑（1,2,,i n =…），则称A 为 对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。

实验二迭代法初始值与收敛性 (3)

实验二：迭代法、初始值与收敛性 一：实验要求 考虑一个简单的代数方程 210,x x --= 针对上述方程，可以构造多种迭代法，如211111,1,n n n n n x x x x x +++=-=+ =记录各算法的迭代过程。 二：实验要求及实验结果 （1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计 一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。 （2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？ 实验内容： ⅰ）对211n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=x^2-1 clear n=30; x=-0.5; x1=x^2-1; for i=1:n x1=x1^2-1; xx(i)=x1; end m=linspace(0,29,n); plot(m,xx) title('x=-0.5') x=-0.6 x=1.6 如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。

分析：2()1n g x x =-，'()2g x x =，要想在某一邻域上'()21,[1,1]g x x x =，此时n x 相当于是在[1.65,]+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。 ⅲ）对1n x +=n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=sqrt(1+x)

迭代收敛性的例题

例 设0,0>x a ，证明迭代公式a x a x x x k k k k ++=+2213)3(是计算a 的3阶方法，并计算31)(lim k k k x a x a --+∞→。 证明 显然当0,0>x a ，),2,1(0 =>k x k ， 令a x a x x x ++=223) 3()(?，则2222)3()(3)(a x a x x +-==' ?。 则0>?x ，可使1)(<'x ?，即迭代收敛。设*x x k →，则有 a x a x x x ++=2*2**3) 3(，解之得a a x -=,,0*，取a x =*。则 31)(lim k k k x a x a --+∞→=323)(33lim k k k k k x a a x ax x a -++-∞→=)3()()(lim 233a x x a x a k k k k +--∞→=a x k k +∞→231lim =a 41 故迭代是3阶收敛。 例 已知迭代公式4 2321 --=+k k k x x x 局部收敛于方程4232--=x x x 的根1*=x ，证明该迭代公式平方收敛。 证法一：迭代函数423)(2--=x x x ?，经计算22)2(234)(-+-='x x x x ?，0*)(='x ?， 3) 2(1)(-=''x x ?，而0*)(≠''x ?，有定理2-4知，迭代公式平方收敛。 证法二：由于1lim *==∞→x x k k ，则1-=k k x e 。于是 =-=++111k k x e 4 242)1(1423222-=--=---k k k k k k x e x x x x 从而 021421l i m l i m 21≠=-=∞→+∞→k k k k k x e e 。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

§3.4 牛顿迭代法 牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。 3.4.1 牛顿迭代法 用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式： 1设 ],[)(2 b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2) )((''))((')()(2 0000x x f x x x f x f x f -+ -+=ξ 略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：) )((')()(000x x x f x f x f -+≈。 由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)， )(')(000x f x f x x -= 即可构造出迭代格式(假定≠ )('k x f 0)： )(') (1k k k k x f x f x x - =+ 公式(3.4.1) 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{ k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。 2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线 性化近似函数)(x l ＝) )((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝ )(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图 所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法 也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由 k x 得到 1 +k x ，从几何图形上看，就是过点 )) (,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有 1 )()('+-= k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： ) (')(1k k k k x f x f x x - =+。 3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造： )()()(x f x k x x x -==? )0)((≠x k 作为方程求解的迭代函数。因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=? 而且 ) ('x ?在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=α?

牛顿迭代法收敛定理

关于牛顿迭代法的课程设计实验指导 非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。 一、牛顿迭代法及其收敛速度 牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为 )()()()(000x f x x x f x f '-+≈ 由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f 求解，得 ) ()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。设x n 是方程解x *的近似，迭代格式 ) ()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是收敛速度快，具有二阶收敛。以著名的平方根算法为例，说明二阶收敛速度的意义。 例1．已知4.12≈，求2等价于求方程f (x ) = x 2 – 2 = 0的解。由于x x f 2)(='。 应用牛顿迭代法，得迭代计算格式 )/2(2 11n n n x x x +=+，（n = 0，1，2，……） 取x 0= 1.4为初值，迭代计算3次的数据列表如下 图1 牛顿迭代法示意图

牛顿迭代法

实验十七 牛顿迭代法 【实验目的】 1． 了解牛顿迭代法的基本概念。 2． 了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求方程0123=-++x x x 的近似根，误差不超过3 10-。 【实验准备】 1．牛顿迭代法原理 设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大. 设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得 ) (')(0001x f x f x x - = 重复这一过程,得到迭代格式 ) (')(1n n n n x f x f x x -=+ 这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为 ) (')()(x f x f x x g - =. 2. 牛顿迭代法的几何解析 在0x 处作曲线的切线，切线方程为))((')(000x x x f x f y -+=。令0=y ，可得切线与x 轴的交点坐标) (')(0001x f x f x x - =，这就是牛顿法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线法”。

图17.1 牛顿迭代法 3．牛顿迭代法的收敛性 计算可得2)] ('[)(")()('x f x f x f x g - =,设*x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则 0)]('[)(")()('2**** =-=x f x f x f x g , 故在* x 附近,有1)('