对角占优矩阵的判定条件

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/9412579219.html,

对角占优矩阵的判定条件

作者：田素霞

来源：《科技视界》2014年第26期

【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果.

【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件

对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。

设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji

定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵.

定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵.

定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中：

设A=（a■）∈C■，把A分块为：

这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n

定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且：

则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵.

设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下：

引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.

圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

Gerschgorin 圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用 【摘要】：利用 Gerschgorin 圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。 关键词：Gerschgorin 圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值 Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally dominant matrix An Yu Shuan （University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731） Abstract ：Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple ． Key words ：Gerschgorin theorem ；matrix ；diagonlly dominant matrice ；eigenvalue 1 引言及预备知识 Gerschgorin 圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中．本文利用 Gerschgorin 圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程． 定义[1] 设n n ij a A ×)(=，若∑≠≥n i j j ij i ii a A R a ,1== )( )n 21 =( ，，i ，则称A 为对角占优的；若∑ ≠n i j j ij i ii a A R a ,1== )(> )n 21=( ，，i ，则称为严格对角占优的。 Gerschgorin 圆盘定理[2] 设 n n ij a A ×)(=是复方阵，记∑ ≠n i j j ij i a A R ,1== )(， {} )(-=A R a z C z G i ii i ≤∈ )n 21=( ，，i ，则A 的任意特征值一定属于n 个圆盘的并 集 n i i G A G 1 == )(；若在)(A G 中，有k 个互相连通且与其余k -n 个不相交，则 A 恰有k 个 特征值含在此k 个圆盘组成的区域内。 ２ 主要结果及证明 定理 1 严格对角占优矩阵的特征值全不为零． 证明：假设矩阵A 有某一个特征值0=λ，则由Gerschgorin 圆盘定理可知，必有某个i ，使得)(≤A R a i ii ，与矩阵A 严格对角占优即)(>A R a i ii 相矛盾，因此严格对角占优矩阵的特征值全不为零。 定理 2 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。 证明：由定理1可知，严格对角占优矩阵A 的特征值全不为零，则0=AX 只有零解， 否则必有一个特征值为0，由0=AX 只有零解可得0≠ det A ，从而A 为非奇异矩阵。 定理 3 设n n ij a A ×)(=严格对角占优实方阵，且0>ij a ，则 A 的任一特征值的实部必

对角占优矩阵的判定条件

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/9412579219.html, 对角占优矩阵的判定条件 作者：田素霞 来源：《科技视界》2014年第26期 【摘要】本文介绍了α-对角占优矩阵的概念，给出了广义严格对角占优矩阵新的判定条件，改进和推广了先前有关文献的相应的结果. 【关键词】广义对角占优矩阵;α-对角占优矩阵;判定条件 对角占优矩阵及M-矩阵是计算数学和矩阵理论研究的重要课题之一。本文利用α-对角占优矩阵给出了广义对角占优矩阵和分块对角占优矩阵的判定条件，改进和推广了文1-3的结果。 设A=（a■）∈C■，N={1，2，…n}=N■∪N■，N■∩N■=Φ，记∧■（A）=■a■，Si（A）=■aji 定义1 设A=（a■）∈C■，若aii>∧■（A）（？坌■∈N），则称A为严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵. 定义2 设A=（a■）∈C■，若存在α∈（0，1]使aii>α∧■（A）+（1-α）S■（A）（？坌■∈N），则称A为严格α-对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵. 定义3 设A=（a■）∈Z■=（a■）│a■≤0，i≠j;i，j∈N，若A=sI-B，s>ρ（B），其中：B为非负矩阵，ρ（B）为B的谱半径，则称A为非奇异M-矩阵;若A的比较矩阵M（A）=（mij）为非奇异M-矩阵，则称A为非奇异H-矩阵，其中： 设A=（a■）∈C■，把A分块为： 这里A■（1≤i≤k）为ni阶方阵，■n■=n 定义4 设A=（a■）∈C■，分块如（1），若A■（1≤i≤k）均非奇异，且： 则称A为块对角占优矩阵;如果（2）的所有不等号为严格不等式，则称A为块严格对角占优矩阵;若存在正对角矩阵X使得AX为块严格对角占优矩阵，则称A为广义块对角占优矩阵. 设A=（a■）∈C■，分块如（1），且A■（1≤i≤k）均非奇异，构造B如下： 引理1[1] 设A=（a■）∈C■，若A为严格α-对角占优矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵.

有标题 对角占优矩阵的性质及其应用

本科生毕业论文(设计) 题目：对角占优矩阵的性质及其应用 学生姓名：付艳 学号： 200810010212 指导教师：邹庆云 专业班级：数学与应用数学 完成时间： 2012年5月

目录 0引言 (1) 1主要结果 (2) 1.1 对角占优矩阵奇异性 (2) 1.2对角占优矩阵行列式 (3) 1.3对角占优矩阵其逆矩阵对角占优性 (4) 1.4对角占优矩阵其他相关性质 (5) 1.5关于矩阵对角占优性在矩阵分解方面的应用 (9) 1.6关于矩阵对角占优性在利用迭代法解线性方程方面的应用 (11) 结论 (14) 参考文献 (14) 致谢 (15)

对角占优矩阵的性质及其应用 数学与应用数学专业学生：付艳 指导教师：邹庆云 摘要：本文根据严格对角占优矩阵、不可约对角占优等概念，讨论了对角占优矩阵的若 干性质及其应用，而对角占优矩阵有强、弱之分，本文主要以严格对角占优矩阵为研究 对象，适当的给出了不可约对角占优矩阵的一些性质。本文主要研究了对角占优矩阵的 奇异性、行列式、特征值、以及其逆矩阵的对角占优性，同时研究了矩阵对角占优性在 利用迭代法求解线性方程组，以及进行矩阵LU 分解等方面的应用。 关键词：对角占优矩阵，奇异性，迭代收敛性，行列式，特征值。 Abstract ：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominant concepts discussed diagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the application. Keywords ：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue. 0 引言 各类对角占优矩阵是数值代数和矩阵分析研究中的重要课题之一，19世纪末，人们 在研究行列式的性质和值的计算时，就注意到“对角占优”这一性质，而对于对角占优 矩阵的一些性质在数值计算、矩阵分解方面具有重要作用，因此，对对角占优矩阵性质 及其应用的探讨成为许多国内外学者的主要研究课题。 定义1 若A 是n n ?矩阵，且满足ii ij j i a a ≠≥∑ ()ii ij j i a a ≠>∑（1,2,,i n =…），则称A 为 对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。