常见算法问题- 第一讲集合及其运算

算法常见问题

考纲解读：了解算法的含义；理解流程图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解常用的基本算法语句：输入、输出、赋值、条件、循环.

1、某程序的伪代码下图所示，则程序运行后的输出结果为 ．

2．右上图的算法流程图中，当输入n=70时，则输出的n= ； 当

输入n=60时，则输出的n= 。

3．运行下面的伪代码，其输出结果为 。

4、执行右边的程序框图，若4p =， 则输出的S = ．

5、执行右边的程序框图，则输出的S=

.

6、阅读下列程序: Read S ←1

For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End

输出的结果是 。

7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________

开始 S ←1 I ←3 While S ≤1000 S ←S*I I ←I+2 End while Print I 夯实基础

例1、（1）程序框图（即算法流程图）如下左所示，其输出结果a是_______

（2）某算法的程序框如上中图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ .

（3）已知函数2

log2

22

x x

y

x x

≥

?

=?

-<

?

，上右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值

y的程序框图，①处应填写；②处应填写。

（4）阅读下左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是

（5）如图，该程序运行后输出的结果为 .

合作探究

例2 （1）右上程序所确定的函数表达式为y=_________

(2)根据给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f Read x If Then

x 0

≤ ()x x f 4← Else

()x x f 2

← If

End ()x

f int Pr (3)以下伪代码： Read x

If x ≤-1 Then

()f x ←x +2

Else If -1

()f x ←2x

Else ()f x ← 2x -+

End If

Print ()f x

根据以上伪代码，若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．

例3、分段函数定义为???≤->-=)

0(1)

0(122x x x y ，对于输入的x 值，输出相应的y 值，请画出程

序框图，并写出相应的用基本语句编写的程序。 程序框图： 程 序：

例4、设计一个伪代码算法，求使2

2

2

2

1232009n +++>……+成立的n 的最小正整数值，并画出其流程图。

重点是能读懂算法语言与程序框图，写出输出结果

1、如下左图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=

2、某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行

了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为x 1…x n (单位：吨)，根据下种图所示的程序框图，若n=2,且x 1，x 2 分别为1,2，则输出地结果s 为 .

3、下右图是求222123+++2…+100的值的程序框图，则正整

数n = ．.

4、随机抽取某产品n 件，测

得其长度分别为12,,n a a a …，则图3所示的程序框图输出的

s =______________

5、某店一个月的收入和支出总共记录

了 N 个数据1a ，2a ，。。。N a ，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入_______和

___________

6、根据下面算法，则运行后输出的结果是________

实际体验

小结提升

6、设数列}{n a 满足11=a ，n a a n n =-+1，右图是求数列

}{n a 前30项和的算法流程图．

(ⅰ)把算法流程图补充完整：

①处的语句应为_____________________________， ②处的语句应为_____________________________． (ⅱ)根据流程图写出伪代码．

7、按右图所示的程序框图操作：

（1）写出输出的数所组成的数集．若将输出的数按照输出的顺序从前往后依次排列，则得到数列{}n a ，请写出数列{}n a 的通项公式；

（2）如何变更A 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}2n 的前7项？

（3）如何变更B 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}32n -的前7项？

7、根据流程图,将输出的x 值依次记为122011,,,.x x x ???

122008,,,x x x ???的通项公式； n n a nx =,用基本语句设计求*

1(,2011)n

n k k S a n N n ==

∈≤∑的程序。.

6

、根据如图所示的流程图，将输出的a 的值依次分别记为

122011, , , , , n a a a a ，将输出的b 的值依次分别记为

122011, ,

, ,

, n b b b b ．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；

（Ⅱ）依次在k a 与1k a +中插入1k b +个3，就能得到一个新数

列{}n c ，则4a 是数列{}n c 中的第几项？

（Ⅲ）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，问是否存在这样的正整

数m ，使数列{}n c 的前m 项的和2011m S =，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．

计算方法_习题第一、二章答案..

第一章 误差 1 问3.142，3.141，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65… 记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7 22. 由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。 由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 223102 1||1021--?≤-

集合的基本运算

《集合的基本运算》教学设计 课题：集合的基本运算 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修一 一、教学内容的地位、作用分析 集合是学生升入高中以后学习的第一个内容，不仅是高中数学内容的一个基础，也为以后其他内容的学习提供了帮助。集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容，在现代数学理论体系中的占有基础性的地位。我们学会集合的基本内容后，不仅可以用集合语言表示有关数学对象，也为后面函数概念的描述打下了基础。 本节《集合的基本运算》是集合这一节里面的核心内容。本节的主要内容是交集、并集、补集的概念及交、并、补的运算，要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并、补的含义，可以培养学生数形结合的数学思想。同时这一部分不仅是考查的重点知识，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为知识的载体出现。 二、学情分析 学生在小学和初中已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合等，对集合有了一个大概的了解。 进入高中以后，学习的第一个内容便是集合。通过《集合的含义与表示》的学习，学生们知道了集合的概念，和其确定性、无序性和互异性三个特征，了解了元素与集合之间的关系（元素属于集合或元素不属于集合），同时学会了列举法和描述法两种表示方法。通过《集合间的基本关系》的学习，我们明确学习了集合与集合的关系，包括包含关系（子集和真子集），相等关系，并规定了不含任何元素的集合叫做空集。同时，在节当中，我们引入了Venn图这个工具，对中集合的运算的学习也提供了帮助。 三、教学目标和重点、难点分析 教学目标

知识目标：（1）理解两个集合之间并集的概念，会求两个简单集合的并集； （2）理解两个集合之间交集的概念，会求两个简单集合的交集； （3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用； （4）在解题过程中能灵活选择应用数轴或Venn图. 能力目标：（1）通过Venn图的使用和数轴的使用，让学生们领悟数形结合的数学思想； （2）通过给出集合作为例子，让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的定义，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展； （3）讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力. 情感目标：（1）通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，从中了解数学的重要意义 和应用的广泛程度，从而增加学生学习数学的兴趣； （2）另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣，利于学生间的合作交流与和谐相处. 教学重点：（1）并集、交集的概念及其运算； （2）学会使用Venn图和数轴来表示集合间的关系及运算. 教学难点：弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系 教学方法：讲授式、情景式、合作式 教具学具：幻灯片 四、教学策略分析 本节课的教学难点是弄清并集、交集的概念，符号之间的区别与联系，针对这一教学难点，我们采取下面几个策略进行突破： 1、通过分组讨论，将并集、交集三个内容的概念，符号表示以及Venn图表示进行比较，让学生归纳总结出其中的异同点，从而巩固三个概念的记忆，同时了解这三者之前的区别与联系。 2、通过同一例题给定的两个集合，分别问这两个集合的交集和并集，通过计算过程与

第一讲 集合及集合的表示

集合及集合的表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“?”表示元素与集合之间的关系． 2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等． 【要点梳理】 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用. 要点一：集合的有关概念 1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集. 3．关于集合的元素的特征 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合. 4．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A ? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A 5．集合的分类 (1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：?. (2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集. (3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. 6．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 要点二：集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合. 1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合. 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x， x2+y2}，…； 3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上 表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 要点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，

计算方法上机作业

计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级： 上课班级：

说明： 本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7.11.0，运行平台为Windows 7。 1. 对以下和式计算： ∑ ∞ ? ?? ??+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n ，要求： ① 若只需保留11个有效数字，该如何进行计算； ② 若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算； （1） 算法思想 1、根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为： 1421114 16818485861681 n n n a n n n n n ε??= ---<< ?+++++??； 2、为了保证计算结果的准确性，写程序时，从后向前计算； 3、使用Matlab 时，可以使用以下函数控制位数： digits(位数)或vpa(变量，精度为数) （2）算法结构 1. ;0=s ?? ? ??+-+-+-+= 681581482184161n n n n t n ； 2. for 0,1,2,,n i =??? if 10m t -≤ end; 3. for ,1,2,,0n i i i =--??? ;s s t =+

（3）Matlab源程序 clear; %清除工作空间变量 clc; %清除命令窗口命令 m=input('请输入有效数字的位数m='); %输入有效数字的位数 s=0; for n=0:50 t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); if t<=10^(-m) %判断通项与精度的关系break; end end; fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值 for i=n-1:-1:0 t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); s=s+t; %求和运算 end s=vpa(s,m) %控制s的精度 （4）结果与分析 当保留11位有效数字时，需要将n值加到n=7， s =3.1415926536； 当保留30位有效数字时，需要将n值加到n=22, s =3.14159265358979323846264338328。 通过上面的实验结果可以看出，通过从后往前计算，这种算法很好的保证了计算结果要求保留的准确数字位数的要求。

1.1.3集合的基本运算教案

1.1.3 集合的基本运算 学习目标： （1）理解交集与并集的概念； （2）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法； （3）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使 学生认识由具体到抽象的思维过程； （4）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养 成良好的学习习惯。 教学重点：交集和并集的概念 教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 合作探究展示： 一、 问题衔接 我们知道两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算， 两个集合是否也可以“相加”呢？ 思考（P8思考题），引入并集概念。 二、新课教学 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并 集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合 （重复元素只看成一个元素）。 例题（P 8-9例4、例5） 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分） 还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集 （intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 A ∪B B A ?

第1讲 集合及其运算

第一讲集合及其运算 主讲老师：徐剑 教学目标 1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号； 2. 能使用数轴分析、Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 教学重难点 1.会求简单集合间的并集、交集；理解补集的含义并会求补集. 一、课前预习 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：、、． (2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：、、． A∩A＝；A∩?＝； A∪A＝；A∪?＝； A∩(?U A)＝；A∪(?U A)＝；?U(?U A)＝. 二、例题解析 1、集合的含义 例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．6 D．9

(2)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( ) A ．1或－1 B ．1或3 C ．－1或3 D ．1，－1或3 (3)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________． 2、集合的基本关系 例2 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝1－x 2}，则 ( ) A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P (2)设A ＝{1，4，2x }，B ＝{1，x 2}，若B ?A ，则x ＝________． 3、集合的基本运算 例3 (1)设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<. 求A ∩B 、A ∪B 、?U A 、?U B 、(?U A )∩(?U B )、(?U A )∪(?U B )、?U (A ∪B )、?U (A ∩B ). (2)已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠?，A ∩(?U B )={1,2}， 求集合A 、B . (3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 三、课后作业 1. 如果集合A ={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ）. A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 2. 集合A ={x |x =2n ，n ∈Z }，B ={y |y =4k ，k ∈Z }，则A 与B 的关系为（ ）. A ．A ≠ ?B B ．A ≠?B C ．A =B D ．A ∈B . 3. 满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 个. 4. 设集合2{|3}M y y x ==-，2{|21}N y y x ==-，则M N = . 5.设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的取值范围．

集合的基本运算

集合的基本运算 各位评委好！ 我说课的内容是普通高中课程标准试验教科书高一年级《数学必修一》第一章第三节集合的基本运算，此内容为本节的第1课时。 我说课主要分为以下几个环节教材分析、说教法、说学法、教学过程四个部分： 一、教材分析： 1、本节在教材的地位与作用 本课时内容主要包括集合的两种基本运算----并集和交集，是对集合基本知识的深入研究，在此之前，学生已学习了集合的概念和基本关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用，本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础数形结合的思想方法对学生今后的学习中有着铺垫的作用。根据教材结构及内容以及教材地位和作用，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标的要求，据此我确定以下教学目标 2、教学目标 （1）知识与技能目标：根据集合的图形表示，理解并集与交集的概念，掌握并集 和交集的表示法以及求解两个集合并集与交集的方法。（2）过程与方法目标：通过复习旧知，引入并集与交集的概念，培养学生观察、 比较、分析、概括的能力，使学生的认知由具体到抽象的 过程。 （3）情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们用数学 解决实际问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自 主探究的数学精神以及合作交流的意识。 根据上述地位与作用的分析及教学目标，我确定了本节课的教学重点及难点 3、教学重点与难点 教学重点：并集与交集的概念的理解，以及并集与交集的求解。 教学难点：并集与交集的概念的掌握以及并集与交集的求解各自的区别和联系。 为了突出重点和难点，结合我班学生的实际情况，接下来谈谈本节课的教法及学法 二、说教法： 考虑到学生刚刚学习了集合以及集合的基本关系，作为后一节内容，学生在理解上是没有障碍的，因此我将这样设计教学方法： 本节课采用学生广泛参与，师生共同探讨的教学模式，对集合的基本关系适当的复习回顾以作铺垫，对交集与并集采用文字语言，数学语言，图形语言的分析，以突出重点，分散难点，通过启发式，观察的方法与数学结合的思想指导学生学习。 三、说学法： 根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知

集合及其运算

第一讲 集合及其运算 ● 知点 考点 答点 （1）子集——集合问题的核心 研究集合，说到底是在研究集合的子集。全集只是一个概念，如实数集R 。 真正有实际意义的事，是在R 上研究方程或不等式的解集，函数的定义域或值域，参数的取值范围等。这些，都是在研究R 的某个子集。 【例1】设集合A ={x |2232+-x x =1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ?B ？ 【思考】 集合A 、B 都是用“陈述法”表示的方程的解集，为了比较A 和B 的关系，先考虑将A 和B 分别化简。 【解答】 易得集合A ={1，2}。B ={－1，1，a }，欲得A ?B ，必须且只须a =2。 【归纳】 已知A 是B 的子集，求“母集”B 中常数a 应满足的条件。逆向运用子集的定义，常采用“比较法分析法”。 （2）交集——两集合间的“且运算” 【例2】设集合A ={x |2232+-x x ≤1}，B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，A ∩ B ={1}？ 【思考】 A 是不等式的解集，B 是方程的解集。已知A 和B 的交集，求B 中参数满足的条件，先考虑将A 和B 分别化简。 【解答】 易得A ={x |1≤x ≤2}，B ={－1，1，a }，欲使A ∩B ={1}，必须有a ?(]2,1。即a >2或－1＜a ≤1 或a ＜－1。 【归纳】 比较分析法是分析法和比较法的综合运用。分析法“由果索因”，比较法可以逆用概念或定义将交集定义中的“且”字法则化。 （3）并集——两集合间的“或运算” 【例3】设集合A ={x |2232+-x x ≥1}，B ={x | |x －a |>0}，当a 为何值时，A ∪B =A ？ 【解答】 欲使A ∪B =A ，则有B ?A ，易得A ={x |x ≤1或x ≥2}，B ={x |x ≠a ，a ∈R }，欲使A ∪B =A ，必须有a ∈（1，2）。 【说明】 本题中的集合B ，容易误解为在R 上去掉一个单元素a ，即 B =()),(+∞?∞-a ，a ，实际上a 是个变数，当a ∈（1，2）时，B =(][)A ,, =+∞?∞-21 （4）补集——全集对子集的“差运算” 【例4】设集合B ={x | （x －a ）（x 2－1）=0}，当a 为何值时，R B ={x | x 2≠1，0}？

计算方法上机作业

计算方法第四次上机报告 2.用欧拉方法解初值 y’=10x(1-y) 0<=x<=1 Y(0)=0 取步长h=0.1,保留5位有效数字，并与准确解相比较 分析：该题目考察欧拉方法解初值问题 程序如下： function Heun(a,b,y0,n) h=(b-a)/n;x=a:h:b; y=y0*ones(1,n+1); for j=2:n+1 yp=y(j-1)+h*f(x(j-1),y(j-1)); yc=y(j-1)+h*f(x(j),yp); y(j)=1/2*(yp+yc); end for k=1:n+1 fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n',k-1,x(k),k-1,y(k)); end function z=f(xx,yy) z=10*xx*(1-yy); 运行结果： >> Heun(0,1,0,10) x[0]=0.000000 y[0]=0.000000 x[1]=0.100000 y[1]=0.050000 x[2]=0.200000 y[2]=0.183000

x[3]=0.300000 y[3]=0.362740 x[4]=0.400000 y[4]=0.547545 x[5]=0.500000 y[5]=0.705905 x[6]=0.600000 y[6]=0.823543 x[7]=0.700000 y[7]=0.901184 x[8]=0.800000 y[8]=0.947627 x[9]=0.900000 y[9]=0.973290 x[10]=1.000000 y[10]=0.986645 >> 分析： 该结果与准确结果相比比较接近，但是有一定的误差。 6.用四阶龙格—库塔公式解第三题中的初值问题，取步长h=0.2，保留五位有效数字。 题目目的分析： 该题考查四阶龙格-库塔方法和改进欧拉方法求解精确度问题。 程序： 改进欧拉法： function Heun(a,b,y0,n) h=(b-a)/n;x=a:h:b; y=y0*ones(1,n+1); for j=2:n+1 yp=y(j-1)+h*f(x(j-1),y(j-1)); yc=y(j-1)+h*f(x(j),yp); y(j)=1/2*(yp+yc); end for k=1:n+1 fprintf('x[%d]=%f\ty[%d]=%f\n',k-1,x(k),k-1,y(k)); end

常见算法问题- 第一讲集合及其运算

算法常见问题 考纲解读：了解算法的含义；理解流程图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解常用的基本算法语句：输入、输出、赋值、条件、循环. 1、某程序的伪代码下图所示，则程序运行后的输出结果为 ． 2．右上图的算法流程图中，当输入n=70时，则输出的n= ； 当 输入n=60时，则输出的n= 。 3．运行下面的伪代码，其输出结果为 。 4、执行右边的程序框图，若4p =， 则输出的S = ． 5、执行右边的程序框图，则输出的S= . 6、阅读下列程序: Read S ←1 For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I Print S End for End 输出的结果是 。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_____________ 开始 S ←1 I ←3 While S ≤1000 S ←S*I I ←I+2 End while Print I 夯实基础

例1、（1）程序框图（即算法流程图）如下左所示，其输出结果a是_______ （2）某算法的程序框如上中图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________________________ . （3）已知函数2 log2 22 x x y x x ≥ ? =? -< ? ，上右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值 y的程序框图，①处应填写；②处应填写。 （4）阅读下左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是 （5）如图，该程序运行后输出的结果为 . 合作探究

例2 （1）右上程序所确定的函数表达式为y=_________ (2)根据给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f Read x If Then x 0 ≤ ()x x f 4← Else ()x x f 2 ← If End ()x f int Pr (3)以下伪代码： Read x If x ≤-1 Then ()f x ←x +2 Else If -1-=) 0(1) 0(122x x x y ，对于输入的x 值，输出相应的y 值，请画出程 序框图，并写出相应的用基本语句编写的程序。 程序框图： 程 序： 例4、设计一个伪代码算法，求使2 2 2 2 1232009n +++>……+成立的n 的最小正整数值，并画出其流程图。

计算方法上机实习题大作业(实验报告).

计算方法实验报告 班级： 学号： 姓名： 成绩： 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 （1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； （2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 （3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤： 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算

#include #include void main() { double sum=0; int n=1; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0)printf("sun[%d]=%-30f",n,sum); if(n>=10000)break; n++; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); } b.逆序计算 #include #include void main() { double sum=0; int n=10000; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0) printf("sum[%d]=%-30f",n,sum); if(n<=1)break; n--; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); } （3）实验结果及分析： 程序运行结果： a.顺序计算

AA第一讲 集合的概念及运算

第一讲集合的概念及运算 考点解读 【基础性考点知识突破】 一、集合的含义及表示方法 1．元素与集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合． 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质 集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性． (1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征． (2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素． (3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序． 3．集合的表示 集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征． 4．元素与集合的关系 “属于”或“不属于”，记为“”或“?”． 二、集合与集合之间的关系 1．集合与集合之间的关系 (1)包含关系 子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，显然A?A，??A. (2)相等关系 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B. 对于两个集合A与B，如果A?B，同时B?A，那么集合A与集合B相等，记作A=B． (3)真子集关系

对于两个集合A 与B ，若A ?B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论： ①对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，B ?C ，则A ?C ； ②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ． (4)不包含关系 用表示 2．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作?． 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集． 3．有限集的子集、真子集的个数 关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的 个数有2n 个，即02C C C 2n n n n n ++???+=（个），非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个， 三、集合的交、并、补集的运算 1．交集 (1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. (2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)； A ∩?=?；(A ∩B )?A ；(A ∩B )?B ； 若A ?B ，则A ∩B =A ． 2．并集 (1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. (2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)； A ∪?=A ；A ?(A ∪ B )；B ?(A ∪B )； 若A ?B ，则A ∪B =B ． 3．补集 (1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给

(完整word版)计算方法习题集及答案.doc

习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。

(完整版)数值计算方法上机实习题答案

1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;

第1讲 集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A}

常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错．

计算方法上机作业集合

第一次&第二次上机作业 上机作业： 1.在Matlab上执行：>> 5.1-5-0.1和>> 1.5-1-0.5 给出执行结果，并简要分析一下产生现象的原因。 解：执行结果如下： 在Matlab中，小数值很难用二进制进行描述。由于计算精度的影响，相近两数相减会出现误差。 2.（课本181页第一题） 解：（1）n=0时，积分得I0=ln6-ln5，编写如下图代码

从以上代码显示的结果可以看出，I 20的近似值为0.7465 （2）I I =∫I I 5+I 10dx,可得∫I I 610dx ≤∫I I 5+I 10dx ≤∫I I 510dx,得 16(I +1)≤I I ≤15(I +1),则有1126≤I 20≤1105, 取I 20=1 105 ,以此逆序估算I 0。代码段及结果如下图所示

（3）从I20估计的过程更为可靠。首先根据积分得表达式是可知，被积函数随着n的增大，其所围面积应当是逐步减小的，即积分值应是随着n的递增二单调减小的，（1）中输出的值不满足这一条件，（2）满足。设I I表示I I的近似值，I I-I I=(?5)I(I0?I0)(根据递推公式可以导出此式),可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所以顺序估计时，算法不稳定性逐渐增大，逆序估计情况则刚好相反，误差不断减小，算法逐渐趋于稳定。 2.（课本181页第二题）

（1）上机代码如图所示 求得近似根为0.09058 （2）上机代码如图所示 得近似根为0.09064；

（3）牛顿法上机代码如下 计算所得近似解为0.09091 第三次上机作业上机作业181页第四题 线性方程组为 [1.13483.8326 0.53011.7875 1.16513.4017 2.53301.5435 3.4129 4.9317 1.23714.9998 8.76431.3142 10.67210.0147 ][ I1 I2 I3 I4 ]=[ 9.5342 6.3941 18.4231 16.9237 ] （1）顺序消元法 A=[1.1348,3.8326,1.1651,3.4017;0.5301,1.7875,2.5330,1.5435; 3.4129, 4.9317,8.7643,1.3142;1.2371,4.9998,10.6721,0.0147]; b=[9.5342;6.3941;18.4231;16.9237]; 上机代码（函数部分）如下 function [b] = gaus( A,b )%用b返回方程组的解 B=[A,b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);

西交计算方法A上机大作业

计算方法A 上机大作业 1. 共轭梯度法求解线性方程组 算法原理：由定理3.4.1可知系数矩阵A 是对称正定矩阵的线性方程组Ax=b 的解与求解二次函数1()2 T T f x x Ax b x =-极小点具有等价性，所以可以利用共轭梯度法求解1()2 T T f x x Ax b x = -的极小点来达到求解Ax=b 的目的。 共轭梯度法在形式上具有迭代法的特征，在给定初始值情况下，根据迭代公式： (1)()()k k k k x x d α+=+ 产生的迭代序列(1)(2)(3)x x x ，，，... 在无舍入误差假定下，最多经过n 次迭代，就可求得()f x 的最小值，也就是方程Ax=b 的解。 首先导出最佳步长k α的计算式。 假设迭代点()k x 和搜索方向()k d 已经给定，便可以通过()()()() k k f x d φαα=+的极小化 ()()min ()()k k f x d φαα=+ 来求得，根据多元复合函数的求导法则得: ()()()'()()k k T k f x d d φαα=?+ 令'()0φα=，得到: ()() ()()k T k k k T k r d d Ad α=，其中()()k k r b Ax =- 然后确定搜索方向()k d 。给定初始向量(0)x 后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第一次迭代取搜索方向(0) (0)(0)(0)()d r f x b Ax ==-?=-。令 (1)(0)00x x d α=+ 其中(0)(0)0(0)(0) T T r d d Ad α=。第二次迭代时，从(1) x 出发的搜索方向不再取(1)r ，而是选取(1) (1)(0)0d r d β=+，使得(1)d 与(0)d 是关于矩阵A 的共轭向量，由此可 求得参数0β: