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高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版

第12讲幂函数、函数与方程

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）

一、幂函数的定义与性质

1．幂函数的定义

一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.

如y=x 2,y=x 2

1,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像

我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.

我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此.

用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2

1,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象.

列表:

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1.

图2-3-1

幂函数的性质小结：

（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；

（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.

特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大.

当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.

（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.

在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

二、函数和方程

１．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.

２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点

零点存在性定理：

①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.

②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

的根.我们把它叫做零点存在性定理.

给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤： 1°确定区间［a,b ］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε. 2°求区间(a,b)的中点c. 3°计算f(c):

a.若f(c)=0，则c 就是函数的零点；

b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c 〔此时零点x 0∈(a,c)〕；

c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c 〔此时零点x 0∈(c,b)〕. 4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．小贴士：

由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，

而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.

（添加2条以上，加粗，宋体5号）

1、从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.

2、结合函数图象性质判断方程根的个数

３、用二分法求方程的近似解

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

【例1】

判断下列函数哪些是幂函数.

①y=0.2x ;②y=x -3;③y=x -2;④y=x 5

1. 【例2】

求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.

（1）y=x 3

2,（2）y=x 2

3 ,（3）y=x -2.

【例3】

证明幂函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.

【例4】已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.

(1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点;

(3)函数有四个零点.

【例5】若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的

取值范围.

【例6】若方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围.

【练1】下列幂函数为偶函数的是( )

A ． 12

y x = B ．

y = C ．

2y x = D ． 1y x -=

【练2】设

11,1,,32

α⎧⎫

∈-⎨⎬

⎩

⎭，则使函数y x α

=的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )

A ． 1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

【练3】函数2

(4)y x =+的递减区间是( )

A ． (－∞，－4)

B ． (－4，＋∞)

C ． (4，＋∞)

D ． (－∞，4)

【练4】幂函数的图象过点

(2,)

4，则它的单调递增区间是( ) A ． (0，＋∞) B ． [0，＋∞) C ． (－∞，0) D ． (－∞，＋∞)

【练5】设α∈{－2，－1，－12

，13

，12

，1,2,3}，则使()f x x α

=为奇函数且在(0，＋∞)上单

调递减的α的值的个数是( ) A ． 1 B ．

C ． 3

D ． 4

【练6】幂函数()f x x α

=满足1x >时()1f x >，则α满足条件 ( )

A ．1α>

B ．01α<<

C ．0α

> D ．0α>且1α≠

【练7】函数2

()(5)m f x m m x

-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x )是增函数，试

确定m 的值．

【练8】已知函数22

()(2)m m f x m m x

+-=+，m 为何值时，()f x 是：

(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数？

【练9】已知点2)在幂函数()f x 的图象上，点1

(2,)4

-在幂函数()g x 的图象上，问当x

为何值时，(1)()()f x g x >；(2)()()f x g x =；(3)()()f x g x <．

【练10】已知幂函数

39()m y x m N -*=∈)的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随

x 的增大而减小，求满足(1)(32)33

m m

a a +-

<--的a 的范围．

【练1】关于x 的函数(1)y x α

=-(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，1

)的图象恒过点

_________

【练2】已知2.4 2.5αα

>，则α的取值范围是________．【练3】函数1

()(1)(1)f x x x =-+-的定义域为________．

【练4】幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是________．

【练5】设(0,1)x ∈)时，

()p

y x p R =∈的图象在直线y x =的上方，则p 的取值范围是________．

【练6】下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )

A ．13

y x = B ．12

y x -=

C ．5

3y x

D. 23

y x =

【练7】函数()2

f x -=0x ，则0x 必属于区间( )

A ．1(0,)3

B ．11(,)32

C ．1

(,1)2

D ．(1,2)

【练8】以下关于函数y x α

=当0α=时的图象的说法正确的是( )

A ．一条直线

B ．一条射线

C ．除点(0,1)以外的一条直线

D ．以上皆错

【练9】已知幂函数()f x 的图象经过点(2,

，则(4)f 的值为 ( ) A ． 16 B ．

116

C ．

D ． 2 【练10】

已知幂函数的图象

23(,0)m m y x m Z x --=∈≠与),x y 轴都无交点，且关于y 轴

对称，则m 为( )

A ． -1或1

B ． -1,1或3

C ． 1或3

D ． 3

【练1】证明函数f(x)=x+

-3在(0，+∞)上恰有两个零点.

【练2】分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y ＝x -1,y ＝x -2,y=x -3;②y ＝x

21-,y ＝x

;

③y=x,y=x 2,y=x 3;④y=x 2

1,y ＝x 3

1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝

⎛

⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )

A.1

4 B ．4 C.22

D. 2

2．若函数f (x )是幂函数，且满足

f 4f 2＝3，则f (1

)的值为( )

A ．－3

B ．－1

C ．3

D.1

3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为

( )．

A ．[2－2，2＋2]

B ．(2－2，2＋2)

C ．[1,3]

D ．(1,3)

4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x ，x >0，

x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－

对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．

A ．{1,2}

B ．{1,4}

C ．{1,2,3,4}

D ．{1,4,16,64} 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．

其中正确的有________．

8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 9．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．

10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，

则m 的取值范围是________．

11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．

12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足10，求实数a 的取值范围．

14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)

(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．

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高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版

第12讲幂函数、函数与方程（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、幂函数的定义与性质 1．幂函数的定义一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 如y=x 2,y=x 2 1,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2 1,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表:

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1. 图2-3-1 幂函数的性质小结：（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）；（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大. 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大. （3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 二、函数和方程１．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点零点存在性定理： ①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

高一数学教案：幂函数教案

高一数学教案：幂函数教案【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：幂函数教案希望能为您的提供到帮助。本文题目：高一数学教案：幂函数教案教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用. 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质. 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律. 教学程序与环节设计：材料一：幂函数定义及其图象. 一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种形式定义的函数，引导学

生注意辨析. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律. (1) ;(2) ;(3) ; (4) ;(5) . 定义域值域奇偶性单调性定点解]○1列表(略) ○2图象师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性. 师生共同分析，强调画图象易犯的错误. 材料二：幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1， 1); (2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;

高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练 1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A.f (x )=3x 2 B.f (x )=√x C.f (x )=1 x 4 D.f (x )=x -3 f (x )=3x 2,不是幂函数; 函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1 x 4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数; 函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C . 2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域为(0,+∞) D.在(0,+∞)上单调递增 f (x )=x α (α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2 α =√2,∴α=1 2,∴幂函数 f (x )=x 1 2.∵ 1 2 >0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 1 2的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知 a=1.212,b=0.9-1 2,c=√1.1,则( ) A.c0,且1.2>10 9>1.1, ∴1.21 2 > (109)1 2 >1.112,即 a>b>c.

【学生版】高一数学必修1(指、对、幂函数)

高一数学必修 1 第二章基本初等函数指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． ◆ 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂：正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m ；)1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3） s r r a a ab =)(．),,0(R s r a ∈> （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；【课堂例题】例1、设d c b a ,,,都是不等于1的正数，x x x x d y c y b y a y ====,,,，在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是 d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D < <<. 例2 、计算：21343 101.016])2[()8 7 (064.075.030++-+----- = 例3、函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值比最小值大 2 a ，求a 的值．例4、已知函数17 62)2 1(+-=x x y （1）求函数的定义域及值域；（2）确定函数的单调区间．例5、已知函数3 )2 1121( )(x x f x +-=；（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性；（3）证明：0)(>x f ．【课堂练习】 1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成 511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个 2．在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是 3．若01<<-x ，那么下列各不等式成立的是

高一数学必修1《幂函数》教案

高一数学必修1《幂函数》教案教学目标： 1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。 2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。教学重点： 1. 幂函数的定义和性质。 2. 画出幂函数的图象。 3. 不等式解法。教学难点： 1. 幂函数的图象，如何画出图象。 2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。教学方法： 1. 归纳法。 2. 演示法。 3. 分组讨论法。

教学内容：一. 幂函数 1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数 f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。 2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当01时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当01时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。（2）当0

高一数学必修一幂函数定义、图象和性质的知识点总结

1 幂函数一、幂函数定义及解析式特点 1.定义：一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。 2.解析式特点：①系数为1；②底为自变量；③指数为常数。 3.幂函数的指数除了可以取整数外，还可以取其他实数。二、幂函数的图象 1.幂函数主要以1 1,2,3,,12 α=-为代表，来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的大致图象和图象的性质。 2.在同一坐标系中画出y x =,2y x =, 3 y x =,12 y x =,1y x -=的图象，如下图：三、幂函数图象特点 1.根据幂函数y x α =的图象可得到以下结论：（1）幂函数在()0,+∞都有定义，且都过 ()1,1点，不一定过()0,0点。（2）幂函数都过第一象限，不过第四象限；（3）当0α>时，在第一象限都是增函数；当0α<时在第一象限都是减函数。 2.（1）当0α<时，幂函数在第一象限是减函数，且和1 y x = 在第一象限的图象大致相同；（2）当0α>时，函数在第一象限是增函数，且在第一象限的大致图象的特点可细分为两种情况： ①01α<<时,幂函数的图象在第一象限“趴着增”,且在()0,1内，图象在直线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。 ②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线 y x =的下方增，在()1,+∞图象在直线y x =的上方增。四、幂函数的作图技巧画幂函数y x α =的图象，可按以下步骤进行。第一步，根据解析式求定义域；第二步，根据幂函数在第一象限的特点画出第一象限的图象；第三步，根据函数的奇偶性，结合函数的定义域画出其他部分的图象。五、幂函数定义域的解法技巧幂函数y x α=的定义域由幂指数α决定。 1.当N α+∈时，定义域为R 。 2.当0α=或α取负整数时，定义域为 ()(),00,-∞+∞。 3.当α为最简分数时，要把幂函数解析式化成根式形式后，再求定义域。六、幂函数在解不等式中的应用. 指数相同的两个实数比较大小，可以先构造幂函数，然后利用幂函数的单调性、奇偶性比较大小。如：比较()31.5-和()3 1.4-，可以构造幂函数3 y x =，为定义域R 上的增函数，∵ 1.5 1.4 -<-，∴()() 1.5 1.4f f -<-，即 ()()3 3 1.5 1.4-<-。七、幂函数和指数函数的解析式区别比较。 1.幂函数：y x α =（自变量在底数位置，次数为常数） 2.指数函数：x y a =（自变量在次数位置，底数为常数）

高中数学幂函数解题技巧

高中数学幂函数解题技巧幂函数是高中数学中常见的一种函数类型，它的形式为y = ax^n，其中a和n 是常数，x是自变量。在解题过程中，我们需要掌握一些技巧，以便更好地应对各种题目。一、确定幂函数的基本性质在解题之前，我们首先要了解幂函数的基本性质。幂函数的图像通常呈现出以下几种特点： 1. 当n为正数时，幂函数的图像在第一象限中递增，并且通过原点(0,0)。当n 为负数时，幂函数的图像在第一象限中递减，并且通过原点(0,0)。 2. 当n为偶数时，幂函数的图像在第一和第四象限中对称。当n为奇数时，幂函数的图像在第一和第三象限中对称。 3. 当a大于1时，幂函数的图像在y轴的右侧递增。当0

这个例题展示了如何利用幂函数的性质将方程转化为等指数的形式，从而解得方程的解。例题2：已知函数y = 3^x，求解方程3^(x+1) = 27。解析：首先，我们可以将27写成3的幂次形式，即27 = 3^3。因此，原方程可以转化为3^(x+1) = 3^3。根据幂函数的性质，当底数相等时，指数也相等。因此，我们可以得到x + 1 = 3，进而得到x = 2。这个例题展示了如何利用幂函数的性质将方程转化为等指数的形式，并通过解方程得到解。例题3：已知函数y = 4^x，求解方程4^(2x+1) = 64。解析：首先，我们可以将64写成4的幂次形式，即64 = 4^3。因此，原方程可以转化为4^(2x+1) = 4^3。根据幂函数的性质，当底数相等时，指数也相等。因此，我们可以得到2x + 1 = 3，进而得到x = 1。这个例题展示了如何利用幂函数的性质将方程转化为等指数的形式，并通过解方程得到解。三、总结通过以上的例题，我们可以总结出解决幂函数题目的一些技巧： 1. 利用幂函数的性质，将方程转化为等指数的形式，从而简化解题过程。 2. 注意幂函数的图像特点，根据图像来判断函数的递增递减性和对称性。 3. 当幂函数的底数为2时，可以利用二进制的特点进行转化和计算。在实际解题过程中，我们需要根据具体题目的要求灵活运用这些技巧，从而更好地解决幂函数相关的问题。

数学中的函数与方程之幂函数

数学中的函数与方程之幂函数在数学中，函数和方程是基础且核心的概念。其中，幂函数作为函数的一种形式，具有重要的理论意义和实际应用价值。本文将对数学中的函数与方程之幂函数进行探讨和论述。一、函数与方程的概念在数学中，函数是一个独特的映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。函数可以表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量，即通过自变量x的取值确定因变量f(x)的值。方程则是等式的一种特殊形式，它表达了两个函数相等的关系。二、幂函数的定义与性质 1. 幂函数的定义：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是实数。a称为幂指数，x称为底数。幂函数的定义域可以是实数集（当a 为有理数）或正实数集（当a为无理数）。 2. 幂函数的性质：幂函数的性质与幂指数a的正负和零有关。当a 为正数时，幂函数呈现递增的趋势；当a为负数时，幂函数呈现递减的趋势；当a为零时，幂函数为常函数。三、幂函数与其他函数的关系 1. 幂函数与线性函数：当幂指数a为1时，幂函数即为线性函数。线性函数是函数中最简单的形式，表达了自变量与因变量之间的简单线性关系。

2. 幂函数与指数函数：当底数x为正数且幂指数a为实数时，幂函数即为指数函数。指数函数表达了幂指数的重复乘法的关系。 3. 幂函数与对数函数：幂函数和对数函数是互为反函数的关系。对数函数是指数函数的逆运算，用来求解指数方程。四、幂函数的应用幂函数在实际生活中有许多应用，以下列举几个常见例子： 1. 金融领域：复利计算中使用的复利公式即涉及到幂函数的概念，用于计算投资的本息和。 2. 物理学：许多物理规律和现象可以用幂函数来描述，比如牛顿第二定律中的动能和位能。 3. 经济学：边际效用递减法则中的边际效用函数是幂函数的形式，描述了每个单位的消费带来的额外满足程度递减的规律。综上所述，幂函数是数学中重要的函数形式之一，在函数与方程的研究中具有重要作用。通过对幂函数的定义、性质和应用的探讨，我们对数学中的函数与方程有了更深入的理解和认识。幂函数作为数学的基础工具，不仅仅在理论研究中发挥重要作用，也广泛应用于实际生活和不同领域的科学研究中。

高一数学函数知识点梳理

高一数学函数知识点梳理函数的学习对我们的高中数学来说十分重要，下面整理了一些数学函数知识点，希望对大家有所帮助！基本知识点： 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶*与单调*问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q) 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称幂函数y=x^a(a属于R) 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数*质归纳. (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1); (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图

象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的*质找出零点. 4、二次函数的零点：二次函数. (1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. (2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

高中数学——函数与方程

12、幂函数、函数与方程一．小题回顾 1.已知幂函数αx y =的图象过点(2,2),那么它的函数解析式为 . 2.函数22--=x x y 的零点为 . 3.已知函数13)(3-+=x x x f 在(0,1)上有零点,把区间(0,1)二分为两个区间)21,0(和)1,21(,则该零点所在区间为 . 4.方程43+=x x 的实根个数是 . 5.若关于x 的方程04)73(32=+-+x tx 的两个实根βα,满足210<<<<βα,则实数t 的取值范围为 . 二．知识梳理 1. 幂函数 (1) 幂函数的概念形如的函数叫作幂函数,其中是自变量, 是常数. (2) 幂函数的性质 ①所有幂函数在上都有定义,并且图象都经过点(1,1),且在第象限无图象. ②当0>a 时,幂函数的图象经过点 ,并且在区间(0,+∞)上是 ;当0