10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义

“幂函数的图像与性质（应用）”

学生姓名授课日期

教师姓名授课时长

知识定位

熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。

知识梳理

一、幂函数的定义

一般地，形如y xα

=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常

数.如

11

234

,,

y x y x y x-

===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，

都是基本初等函数.

幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。

特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。

二、幂函数的图像

α取值范围不同，图像也不相同，

α的正负：

α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象

限的图象上升；

α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图

象下降，反之也成立

注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。

比如幂函数112

3

4

,,y x y x y x -

===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。

三、 幂函数的性质

（1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数;

(3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近

.

四、 幂函数的运算

（一）两个重要公式

①⎪⎩

⎪

⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n

a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11

(0,,1)m

n m n

m

n

a

a m n N n a a

-*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质

n 为奇数 n 为偶数

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 五、 规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．

3. 当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当α=p

q （其中,pq 互质，p 和q ∈Z ），若p 为奇数q 为奇数时，则y=x p

q 是奇函数，若 p 为奇数,q 为偶数时，则y=x p

q

是偶函数，若 p 为偶数q 为奇数时，则y=x p

q 是非奇非偶函数．

4. 幂函数的图象特征：幂函数y ＝α

x ,x ∈（0，+∞），当α>1时，若01，其图象在直线y=x 上方，当α<1时，若01， 其图象在直线 y=x 下方．

例题精讲

【试题来源】

【题目】已知函数f(x)＝(2m 2

+m)x

m m 1

2-+为幂函数且是奇函数，则实数m 的值是（ ）

【答案】-1

【解析】 ∵ 函数f(x)＝(2m 2

+m)x

m m 1

2-+为幂函数 ∴2m 2

+m=1 m=-1或m=

2

1 当m=-1时，f （x ）=x -1

是奇函数，满足题意；

当m ＝2

1

时，f (x )＝x 41

-不是奇函数，不满足题意；故答案为：-1

【知识点】幂函数的图像与性质(应用)；

【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|-2x

在R 上有3个零点；③ 1-x (x −2)≥0的解集为[2，+∞）；④当n ≤0时，幂函数y=x n

的图象与两坐标轴不相交；其中正 确的命题是（ ） 【答案】②④

【解析】①y=1与幂函数y=x 0

的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x

与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交

点，故③函数y=|x+2|-2x

在R 上有3个零点正确；③1-x (x

−2)≥0的解集为[2，+∞）∪{1}，故不正确；

④根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0时，幂函数y=x n

的图象与两坐标轴不相交，正确．故为②④． 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】下列函数在定义域上既是奇函数，又是单调递增函数的是（ ）

A. y=x|x| B ．y=e x +e -x

C.

D.y=

x

2

5

【答案】A

【解析】f （x ）=x|x|的定义域为R ，f （-x ）=-x|-x|=-f （x ）∴函数在定义域上是奇函数，当x ≥0时，y=x 2

为增函数，当x ＜0时，y=-x 2

为增函数，且函数为连续函数，∴此函数为单调递增函数．故A 正确；

B ．f （x ）=e x

+e -x

的定义域为R ，f （-x ）=e -x

+e x

即f （x ）=f （-x ），∴此函数是偶函数不是奇函数，故B 错误；

C ．当x=0时，f （0）=0，f （-x ）=-f （x ），∵x ＞0，f （x ）=x-1；x ＜0时，f （x ）=x+1．若x ＜0则-x ＞0，f （-x ）=-x-1=-f （x ），若x ＞0则-x ＜0，f （-x ）=-x+1=-f （x ），故对x ∈R ，f （-x ）=-f （x ），即f （x ）奇函数，可举x 1=-1，x 2=21，f （x 1）=0，f （x 2）=-2

1 ，即x 1＜x 2，f （x 1）＞f （x 2），故C 项错误； D.定义域为x ≥0，所以是非奇非偶函数，错误。

【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】 已知幂函数f(x )＝x

m m 42

-（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）

为减函数。

（1）求m 的值和函数f （x ）的解析式

（2）解关于x 的不等式f （x+2）＜f （1-2x ）． 【答案】（1）m=2，f （x ）=x -4

（2）x ∈(−31，

21）∪（2

1

，3） 【解析】（1）幂函数f(x )＝

x

m m 42

-（m ∈Z ）的图象关于y 轴对称，且在区间（0，+∞）

为减函数。所以，m 2

-4m ＜0，解得0＜m ＜4，

因为m ∈Z ，所以m=2；所以函数的解析式为：f （x ）=x -4

．

（2）不等式f （x+2）＜f （1-2x ），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数， 所以|1-2x|＜|x+2|，解得x ∈(−3

1

，3） 又因为1-2x ≠0，x+2≠0所以x ∈(−31，

21）∪（2

1

，3） 【知识点】幂函数的图像与性质(应用)； 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

习题演练

【试题来源】

【题目】若f （x ）是幂函数，且满足

)

2()

4(f f =3，则f （21）=（）

A.3

B.-3

C. 31

D.-3

1 【答案】C

【解析】∵f （x ）为幂函数，∴设f （x ）=x a

；

∴)2()4(f f =2

4a a

=2a =3，而f （21）=2a

-=21a =31

∴选择C 选项

【适用场合】当堂练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】对于幂函数f(x)=x 5

4，若0＜x1＜x2，则(221x x +),2

)

2()1(x f x f +的大小关系是 （ ）

A.(221x x +)>2)2()1(x f x f +

B.(221x x +)<2)

2()1(x f x f + C.(221x x +)=2

)2()1(x f x f + D.无法确定

【答案】A

【解析】可以根据幂函数f(x)＝x 5

4

在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有

(

221x x +)>2

)

2()1(x f x f + 由此可得结论． 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3

【试题来源】（2014•漳州一模） 【题目】当α∈{-1，

2

1，1，3}时，幂函数y=x α

的图象不可能经过的象限是（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二、四象限

【答案】D

【解析】画出α=-1，

2

1，1，3时幂函数y=x α

的图象， 如图所示，由图象知，上述函数的图象不可能经过的象限是第二、四象限．故选：D ．

【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习

【难度系数】2

【试题来源】 【题目】幂函数为减函数，则实数

（ ）

A ．m=2

B ．m= 1

C ．m=2或m=1

D ．

【答案】A

【解析】试题分析：幂函数，当时，若，为增函数；当

时，

为减函数．由题知

且

，解得

．

【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】已知幂函数f(x)＝x m 3

-(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足

)

1(99

+-

a m

<)

23(99

a m --

的a 的取值范围．

【答案】a 的取值范围为｛a|a<1或

32

3｝ 【解析】∵函数f(x)＝x m 3

-在(0，＋∞)上递减 ∴m －3<0，解得m<3． ∵m ∈N ＋ 又∵函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数 而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1 而f(x)＝x 99

1-在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数， ∴)

1(99

--a m

<)

23(99

a m --

等价于:a+1>3-2a>0,或3-2a

解得．a<1或

32

3

故a 的取值范围为｛a|a<1或32

3

｝

【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】设a ∈｛-1,1,2,3｝，则使函数的值域为且为奇函数的所值为（ ）

A ．，

B ．

，

C ．

，

D ．

，，

【答案】A.

【解析】从奇函数角度可得

的可能值为-1,1,3.又因为值域为R.由于

的值域为

.所以不符合条件.另外

函数的值域都为R.所以选A.

【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】幂函数y ＝x m m 3

22--（m ∈Z ）的图象如右图所示，则m

的值为（ ）

A. -1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C

【解析】 因为幂函数在y ＝x

m m 3

22--(0，＋∞)是减函数，所以m 2

-2m-3<0，解得-1

m ∈Z ，且函数为偶函数，所以m=1，选C 。 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f -1

(x)过点(2，4)，则f(x)的解析式是（ ） . 【答案】f （x ）=

x （X ≥0）

【解析】首先要弄清幂函数的形式，其次要弄懂反函数的性质，反函数图象过点（2,4），说明原函数图象过点（4,2），设f （x ）=x a

，则4a

=2，则a=2

1

，故f （x ）=x （X ≥0）. 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】（2012•宣威市模拟）

【题目】当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝ x 2

1，h (x )＝x −2

的大小关系是（ ）

【答案】h （x ）>g （x ）>f （x ）

【解析】画出这三个函数的图像，答案显而易见。 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】已知幂函数f （x ）的部分对应值如下表：则不等式f （丨x 丨）≤2的解集是（ ）

x

1

2

1

f （x ）

1

2

2

【答案】[-4,4]

【解析】 设幂函数为f （x ）=x α

，则(21)a =2

2，∴α=21 ∴f(x )＝x 21

不等式f （|x|）≤2等价于x

2

1≤2，∴|x|≤4

∴-4≤x ≤4

【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】已知幂函数y ＝x m m 3

22

--(m ∈N*)的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函

数．

（1）求m 的值； （2）求满足

)

1(3

+-a m

<

)

23(3

a m --的a 的取值范围．

【答案】（1）m=1（2）a 的取值范围是(−∞， −1)∪(32，2

3

) 【解析】（1）∵函数在（0，+∞）上递减， ∴m 2

-2m-3＜0即-1＜m ＜3，又m ∈N*

∴m=1或2，又函数图象关于y 轴对称，∴m 2

-2m-3为偶函数，故m=1为所求．

（2）函数y ＝x

31

-在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数

∴

)

1(31+-a ＜

)

23(31a --

等价于a+1＞3-2a ＞0或0＞a+1＞3-2a 或a+1＜0＜3-2a ， 解得a ＜−1或

32＜a ＜2

3 故a 的取值范围为(−∞， −1)∪(

32，2

3

) 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】图中曲线是幂函数y ＝xn 在第一象限的图象，已知n 取±2，±四个值，则对应

于曲线C1，C2，C3，C4的n 值依次为( )

A ．－2，－，，2

B ．2，，－，－2

C ．－，－2,2，

D ．2，，－2，－

【答案】B

【解析】根据图像可以看出C1>1，0yC4，所以选B 【知识点】幂函数的图像与性质(应用) 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】2

【试题来源】 【题目】已知幂函数为偶函数．

（1）求

的解析式；

（2）若函数

在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）m=1；（2）即或．

【解析】（1）由为幂函数知，得 或 当时，，符合题意；当时，，不合题意，舍去． ∴．

（2）由（1）得，即函数的对称轴为，由题意知

在（2，3）上为单调函数， 所以或， 即或．

【知识点】幂函数的图像与性质(应用)

【适用场合】课后两周练习

【难度系数】3

【试题来源】 【题目】已知点(2，2)在幂函数f （x ）的图象上，点(−2，

41）在幂函数g （x ）的图象上．

（1）求函数f （x ），g （x ）的解析式；

（2）判断函数g （x ）的单调性并用定义证明；

（3）问x 为何值时有f （x ）≤g （x ）．

【答案】（1）f （x ）=x 2 ，g （x ）=x -2 （2）g （x ）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数（3）-1≤x ≤1时，f （x ）≤g （x ）

【解析】（1）由题易得f （x ）=x 2 ，g （x ）=x -2

（2）g （x ）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数 证明：任取x 1＜x 2＜0，有g(x 1)−g (x 2)＝

()()212

21221x x x x x x -+ ∵x 1+x 2＜0，x 2-x 1＞0，x 12x 22＞0

∴g （x 1）-g （x 2）＜0

∴g （x ）在（0，+∞）上为增函数．

任取0＜x 1＜x 2，有g (x 1)−g (x 2)＝

()()12

1221x x x x x -+ ∵x 2+x 1＞0，x 2-x 1＞0，x 12x 22＞0

∴g （x 1）＞g （x 2） ∴g （x ）在（0，+∞）上是减函数．

（3）当x ＞1或x ＜1时，f （x ）≤g （x ），证明如下

由（1），两函数都是偶函数，先研究x ＞0时满足f （x ）≤g （x ）的x 的取值范围．

令x 2 =x -2，解得x=1，又f （x ）=x 2 在（0，+∞）上是增函数，g （x ）=x -2

在（0，+∞）上是减函数，故可得f （x ）≤g （x ）的x 的取值范围是x ≤1

由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x ＜0时，f （x ）≤g （x ）的x 的取值范围是x ≥-1

综上当-1≤x ≤1时，f （x ）≤g （x ）

【知识点】幂函数的图像与性质(应用)

【适用场合】课后一个月练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知幂函数f （x ）=为偶函数x m m 322-+-，且在区间（0，+∞）上是单调增函数． (Ⅰ)求函数f （x ）的解析式；

(Ⅱ)设函数g （x ）=

41f （x ）+ax 3+2

9x 2-b ，其中a 、b ∈R.若函数g （x ）仅在x=0处有极值，求a 的取值范围．

【答案】（1）f （x ）=x 4 （2）a ∈[-2,2].

【解析】（1）∵f （x ）在区间（0，+∞）上是单调增函数，

-m 2+2m+3>0即m 2-2m-3<0

-1

而m=0,2时，f （x ）=x 3不是偶函数，m=1时，f （x ）=x 4是偶函数，

∴f （x ）=x 4

（2）g ’(x)=x(x 2+3ax+9),显然x=0不是方程x 2+3ax+9的根.

为使g(x)仅在x=0处有极值，必须x 2+3ax+9≥0恒成立，

即有△=9a2-36≤0，解不等式，得a ∈[-2,2].

这时，g （0）=-b 是唯一极值. ∴a ∈[-2,2].

【知识点】幂函数的图像与性质(应用)

【适用场合】阶段测试

【难度系数】3

高一数学第12讲：幂函数函数与方程(学生版

第12讲 幂函数、函数与方程 （不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加） （相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符） 一、 幂函数的定义与性质 1． 幂函数的定义 一般地,形如y=x α（x ∈R ）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 如y=x 2,y=x 2 1,y=x 3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 2，幂函数的图像 我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 我们在研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. 用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数y=x,y=x 2 1,y=x 2,y=x 3,y=x -1的图象. 列表:

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图2-3-1. 图2-3-1 幂函数的性质小结： （1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）（原因：1x=1）； （2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）. 特别地,当α＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,α越大,下凸的程度越大. 当0＜α＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大. （3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 二、函数和方程 １．方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标. ２．一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ３．方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 零点存在性定理： ①在闭区间［a,b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点. ②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结 函数是高中数学中比较重要的一项知识，学好函数可以提高自己的数学知识水平。下面就让小编给大家分享一些高一数学幂函数知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高一数学幂函数知识点总结篇一一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴

和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。

10.高一寒假数学讲义：幂函数的图像与性质(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义 “幂函数的图像与性质（应用）” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 熟练掌握幂函数的概念，幂函数的图像及幂函数的性质，会解决幂函数的综合问题及应用问题。 知识梳理 一、幂函数的定义 一般地，形如y xα =（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常 数.如 11 234 ,, y x y x y x- ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样， 都是基本初等函数. 幂函数的几个特点：（1）以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1；（5）幂前的系数也为1。 特别的：y=x0（x≠0）也是幂函数，因为00没有意义，所以要去掉点（0,1）；而y=1不是幂函数，是常数函数，定义域是x∈R。 二、幂函数的图像 α取值范围不同，图像也不相同， α的正负： α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象 限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图 象下降，反之也成立 注意判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”。

比如幂函数112 3 4 ,,y x y x y x - ===定义域分别为x ∈R ，x ∈R ，x ≠0。 三、 幂函数的性质 （1）所有的幂函数在x ∈（0，+∞）都有定义,并且图象都通过点(1,1) （2）指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数 （3）α>0(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. α<0(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y 轴无限接近,向右与X 轴无限地接近 . 四、 幂函数的运算 （一）两个重要公式 ①⎪⎩ ⎪ ⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 （二）有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 11 (0,,1)m n m n m n a a m n N n a a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 n 为奇数 n 为偶数

高一数学上册(秋季)-第16讲-幂函数的图像与性质

高一数学上册（秋季）辅导教案 学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 幂函数的图像与性质 教学内容 1. 了解幂函数的概念，会应用概念解题； 2. 掌握幂函数的图像与性质。 （以提问的形式回顾） 1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数． 2. 性质： （1）幂函数的图像都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上单调性是 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上单调性是 ； （3）当2,2a =-时，幂函数奇偶性是 ；当1 1,1,3,3 a =-时，幂函数的奇偶性是 ． 3. 图像：

（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例1. 已知函数()() 2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）2 5 m =-（5）1m =- 试一试：已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解：2 20230 m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞U 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2. 比较大小： （1）11 221.5,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)-- 解：（1）∵12 y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11 221.5 1.7< （2）∵3 y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- 试一试：比较大小：112 5.25,5.26,5.26--- 解：∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->； ∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->； 例3. 已知幂函数()()213 22 p p Z f x x p -++=∈在()0,+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p 的值，并

函数概念及性质、幂函数(2)寒假作业-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数概念及性质、幂函数(2) 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x ，都有________________，那么 函数f(x)就叫做偶函数 关于____________对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x ，都有________________，那么 函数f(x)就叫做奇函数 关于__________对称 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法：常用结论： ①奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶；奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶． ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的 和的形式．记偶函数g(x)＝12[f(x)＋f(－x)]，奇函数h(x)＝1 2 [f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)． ③复合函数y ＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇． ④若奇函数y ＝f(x)在x ＝0处有意义，则有f(0)＝0；偶函数y ＝f(x)必满足f(x)＝f(|x|)． 2．抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断． 3．已知函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； (2)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象． (3)求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (4)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a(a>0)．

高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块二 函数的零点完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零 点.学生版 题型一：函数的零点 【例1】 若1 ()x f x x -= ，则方程(4)f x x =的根是( ) A ． 12 B ．－12 C ．2 D ．－2 【考点】函数的零点 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】A 【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）. A. 1a >- B. 1a <- C. 1a > D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范 围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤， ∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得2 3m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2 (,]3 -∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式 【答案】2 (,]3 -∞- 【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ） A. （-1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 典例分析

【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数. ∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B. 【答案】B 【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ） A.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C 【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ） .A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围 是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2009年，山东文，高考

2021届新高考数学一轮专题复习(新高考版)第07讲 幂函数与二次函数(讲义版)

第07讲-幂函数与二次函数一、考情分析 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1 x，y＝x 2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解 幂函数； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 二、知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域R

值域 ⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 奇偶性 当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性 在⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛ ⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ －b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 三、 经典例题 考点一 幂函数的图象和性质 【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3)，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ． 1 2 C ．3 D ．22 【答案】D 【解析】设() a f x x ，依题意可得93α=， 所以1 2 α=.所以12()f x x =. 故所求实数1 2(8)822m f ===. 【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数4 3y x =的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A

高三数学 幂函数、指数函数与对数函数,函数的最值,函数的图像 知识精讲

高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲 一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义 形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a 有意义的x 的取值范围。 （2）图像和性质 ①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。 ②a = 131 2 123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。 ③a =---211 2 ，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。 ④任何两个幂函数最多有三个公共点。 二、函数的最值

1. 值域与最值 值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合 {|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。 函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。 因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。 2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法 （1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。 （2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。 （3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。 （4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。 （5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥23 3 ()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析 式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。 （6）函数图像法：当一个函数的图像可作时，通过图像可求其值域和最值。 （7）函数的性质法：当一个函数很容易得到其单调性时，利用单调性可求其值域。 （8）几何意义法：当要求的一个解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式、直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，我们可以利用其几何意义来求其值域。 三、函数的图像 1. 画函数的图像主要有以下三种方法 （1）描点法（高中阶段基本不用）； （2）利用函数的性质； （3）利用图像变换或坐标平移变换。 2. 要会熟练地画出基本函数的图像 如一次函数、二次函数、反比例函数、幂指对函数、三角函数、反三角函数的图像等，这是画复杂函数的基础，复杂函数的图像往往是通过这些基本函数的图像经过变换得到的，这是画函数图像的基本方法。 3. 画函数图像的一般步骤 （1）确定函数的解析式； （2）化简函数解析式； （3）讨论函数图像的性质（如定义域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点等）以缩小描点的范围； （4）采用描点法或利用基本函数图像画出所需的图像。 4. 掌握函数图像的几种变换 （1）平移变换 ①水平变换y f x a a =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向左（＋）或向右（－）平移a 个单位而得到。 ②竖直平移y f x b b =()()±＞0的图像可由y f x =()的图像向上（＋）或向下（－）

高中数学第三章 函数概念与性质之幂函数(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)

3.3 幂函数思维导图 常见考法

考点一 幂函数的判断 【例1】(2020·全国高一课时练习)在函数21y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 21y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==(0x ≠)，可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函 数1y =不是幂函数.故选：B . 【举一反三 】 1．(2019·广东揭阳.高一期末)下列函数中哪个是幂函数( ) A ．3 1y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 2y x -= D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α=，α∈R ，显然331y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，32y x -=，3 (2) y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．(2019·滦南县第二高级中学高一期中)下列函数是幂函数的是 ( ) A ．22y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．1 2y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有1 2y x =才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素

【例2-1】(2020·辽阳市第四高级中学高三月考)已知幂函数()a f x k x =⋅的图象过点12, 2 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k =，又因为幂函数的图象过点12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以 0.5 121222a ⎛⎫ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】(2020·全国高一课时练习)(1)函数45 y x =的定义域是_____，值域是_____； (2)函数4 5 y x -=的定义域是____，值域是_____； (3)函数54 y x =的定义域是______，值域是_____； (4)函数54 y x -=的定义域是_____，值域是______. 【答案】R [0,)+∞ {|0}x x ≠ (0,)+∞ [0,)+∞ [0,)+∞ (0,)+∞ (0,)+∞ 【解析】(1)45 y x =的定义域是R ，值域是[0,)+∞； (2)45 45 1x y x -= =的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞； (3)5 4y x =的定义域是[0,)+∞，值域是[0,)+∞； (4)54 54 1x y x -= =的定义域是(0,)+∞，值域是(0,)+∞； 故答案为：R ；[0,)+∞；{|0}x x ≠；(0,)+∞；[0,)+∞；[0,)+∞；(0,)+∞；(0,)+∞． 【举一反三】 1(2020·上海高一开学考试)若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】2 3x 【解析】设幂函数的解析式为y x α =，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23 α= ， 所以该函数的解析式是23 y x =，故答案为：2 3x . 先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项

幂函数与对数函数的计算

幂函数与对数函数的计算 幂函数与对数函数是数学中的两个重要概念，它们在数学运算、科学研究和工程应用等领域起着重要作用。本文将从幂函数与对数函数的定义、性质以及实际应用等方面进行探讨。 一、幂函数的计算 幂函数是形如y=x^n的函数，其中x为底数，n为指数。幂函数的计算可以通过求幂运算来实现，即将底数连乘n次。要注意的是，不同底数和指数的幂函数可能具有不同的性质。 1.1 整数指数幂函数 当指数为正整数时，幂函数表示连乘的运算。例如，y=x^2表示x 连乘2次，即x的平方。计算幂函数可以通过重复相乘来实现。 1.2 分数指数幂函数 当指数为分数时，幂函数可以表示开方的运算。例如，y=x^(1/2)表示x的平方根。计算幂函数可以通过计算底数的开方运算来实现。 二、对数函数的计算 对数函数是幂函数的逆运算。对数函数的定义为y=logb(x)，其中b 为底数，x为底数b对应的幂函数结果。对数函数的计算可以通过求对数运算来实现。 2.1 常用对数函数

常用对数函数的底数为10，表示为y=log(x)。计算常用对数可以使用对数表或计算器进行。 2.2 自然对数函数 自然对数函数的底数为自然常数e，表示为y=ln(x)。自然对数函数是数学中的重要函数之一，在微积分、概率统计等领域有广泛应用。 三、幂函数与对数函数的性质 幂函数和对数函数具有一系列的性质，这些性质在数学运算中经常被使用。 3.1 幂函数的性质 - 不同底数的幂函数具有不同的增长速度。底数越大，幂函数的值增长越快。 - 当指数为正时，幂函数是递增函数；当指数为负时，幂函数是递减函数。 - 幂函数的图像可能具有对称性，如y=x^2的图像关于y轴对称。 3.2 对数函数的性质 - 对于同一个底数，不同指数的对数函数具有不同的增长速度。指数越大，对数函数的值增长越快。 - 对数函数的图像为一条曲线，通常具有对称性，如y=log(x)的图像关于直线y=x对称。

2020-2021学年数学第一册教师用书：第2章 §4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和 性质含解析 4.2简单幂函数的图象和性质 学习目标核心素养 1。了解幂函数的概念．(重点） 2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．（重点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习,培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养． 1．幂函数的概念 形如y＝xα(α为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考：y＝1错误!是幂函数吗？ 提示：是．因为它可写成y＝x0（） x≠0的形式． 2．幂函数的图象 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x;(2）y＝x错误!；（3)y＝x2;(4）y＝x－1；（5)y＝x3的图象．

3．幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞)上是增函数．特别地,当α〉1时，幂函数的图象下凸;当0<α<1时，幂函数的图象上凸; （3）α〈0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞）上是减函数． 1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2 C［由幂函数的定义知k＝1。又f错误!＝错误!， 所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!.］ 2．函数y＝x错误!的图象是（) A B C D B［当0

高中数学幂函数知识点

高中数学幂函数知识点 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!

08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义 “函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）” 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。 函数的单调性 1．函数的单调性 我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性． 对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间． 对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间． 2．常见函数单调性的判断 有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论： (1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数． (2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数． (3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数． 3．复合函数单调性的判断 设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如 32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样 的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单

11.高一寒假数学讲义：指数函数的图像与性质(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义 “指数函数的图像与性质（应用）” 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 理解指数函数的定义，熟练掌握指数函数的图像和性质，重点掌握求复合函数性质的方法，能解决相关的综合及应用问题。 知识梳理 一、定义：函 数 )1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 注意点：底数大于0且不等于1；幂指数为单一自变量x ；系数为1，无其它项 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数。 二、函数图像与性质： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）； 3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称

三、指数函数比较大小总结： 1）对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性 2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较，可以利用比商法 3）对于底数和指数都不同的两个幂，应该通过中间值来判断，通常为0或者 四、指数函数的的平移 （1）函数x a y =的图像向左移动m （m>0）个单位,得m x a y += （2）函数x a y =的图像向右移动m （m>0）个单位,得m x a y -= （3）函数x a y =的图像向上移动n （n>0）个单位,得n a y x += （4）函数x a y =的图像向下移动n （n>0）个单位,得n a y x -= 规律:“左加右减，上加下减”，指数函数平移后得到复合函数。 五、指数函数的复合函数 复合函数：对于函数y=f （u ），u=g （x ），设f （u ）的定义域为D ，g （x ）的值域为M ，若M ⊆D ，则函数y=f[g （x ）]称为复合函数。 复合函数单调性：“同增异减”。 指数函数复合函数两种类型y=f （a x ）与y=a f(x) 指数函数复合函数单调性求法：先将函数分解成内外函数，然后分别判断内外函数的单调性，利用“同增异减”法则。 指数函数复合函数值域求法：换元法，形如y=f （a x ）令t=a x ；形如y=a f(x)的函数令t=f （x ）。 例题精讲 【试题来源】 【题目】 已知a ＝3.0，b ＝3 .02，C=2.03.0则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 【答案】A 【解析】由指数函数的单调性可知y=3 .0x 是单调递减的所以 3 .05 .0< 3 .02 .0即 a20 =1，即可知A 正确 【知识点】指数函数的图像与性质(应用) 【适用场合】当堂例题

高一幂函数 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

高一数学定时练 G a o y i s h u x u e d i n g s h i l i a n 编号20：幂函数 一、单选题 1．（2022·上海·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点P(4,1 2 )，则该幂函数的大致图象是（） A．B．C．D． 2．（2022·全国·高一课时练习）图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=xα3在第一 象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（） A．1 2 ，3，−1B．−1，3，1 2 C．1 2 ，−1，3D．−1，1 2 ，3 3．（2022·全国·高一单元测试）若函数f(x)=xα的图象经过点(9,1 3 )，则f(1 9 )=（） A．1 3 B．3C．9D．8 4．（2022·全国·高一单元测试）下列命题正确的是（） A．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 B．函数y=x−1的图象经过第二象限 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(−1,1) 5．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①y=x3；②y=(1 2 ) x ；③y=4x2；④y=x5+1； ⑤y=(x−1)2；⑥y=x；⑦y=a x(a>1)，其中幂函数的个数为（） A．1 B．2C．3D．4 6．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）已知幂函数f(x)=x a的图象过点(9,3)，则函数y=1−f(x) f(x)+1 在区 间［1,9]上的值域为（） A．［－1,0]B．[−1 2 ,0]C．［0,2]D．[−3 2 ,1] 7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1为偶函数，若函数g(x)= f(x)−2a x在［2，4]上单调，则实数a的取值范围为（） A．(2，＋∞)B．(-∞,2]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(2,+∞)D．(1，3) 8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在 (0,+∞)上单调递减，则满足(a+1)−m3<(3−2a)−m3的a的取值范围为（） A．(0,+∞)B．(−2 3 ,+∞)C．(0,3 2 ) D ．(−∞,−1)∪(2 3 ,3 2 ) 二、多选题 9．（2020·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知幂函数f(x)=x n m,m,n∈N*,m,n互质，下列结 论正确的是（） A．m，n是奇数，f(x)为奇函数B．m是奇数，n为偶数时，f(x)为偶函数 C．m是偶数，n为奇数时，f(x)为偶函数D．当n m >1时，f(x)在(0,+∞)上是增函数 10．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数f(x)=x b的图象经过函数g(x)=a x−2−1 2 （a>0且 a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f(x)具有的特性是（） A．在定义域内单调递减B．图象过点(1,1)C．是奇函数D．定义域是R 11．（2022·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（） A．幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图像不经过第四象限 C．当指数α取1，3，1 2 时，幂函数y=xα是增函数 D．当α=−1时，幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数

幂指函数的性质及应用

摘要 幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。 关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分

Abstract Exponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems. Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral

函数的图象与性质.板块四.函数的图象与数字特征1.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。 （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）()y f x =h 左移→()y f x h =+；2）()y f x = h 右移→()y f x h =-； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）()y f x =h 上移→()y f x h =+；2）()y f x =h 下移→()y f x h =-。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； ()y f x = 轴 y →()y f x =- Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； ()y f x =轴 x →()y f x =- Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； ()y f x = 原点 →()y f x =-- 板块四.函数的图象与数字特 征