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求复合函数定义域值域解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式（集锦）

一、基本类型：

1、求下列函数的定义域。

（1）12)(-+=x x x f （2）x

x x x f -+=0

)1()(

（3） 1

11--=

x y （4）()28

f x =

- 二、复合函数的定义域

1、若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域

2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)

()1

f x

g x x =-的定义域

2、函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域

3、函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是求函数的值域一、二次函数法

（1）求二次函数232y x x =-+的值域（2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：

（1）求函数

y x =+

分分式法求2

+-=

x x y 的值域。解：（反解x 法）四、判别式法

（1）求函数22221

x x y x x -+=++；的值域

2）已知函数21

ax b

y x +=

+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。五：有界性法：

（1）求函数1e 1e y x

x +-=的值域

六、数形结合法---扩展到n 个相加

（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？）求解析式换元法

已知

23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法

设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x

）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.

一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数

,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y

+=+++求()f x 。

令x=0，y=2x 待定系数法

设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).

课堂练习：

1．函数1

1)(2

2+-+

++=x x x x x f 的定义域为

2．函数()f x =

的定义域为

3．已知)2(x

f 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为

4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝

213+-（x ≥0）的值域 6.求函数3

322-++-=x x x x y 的值域

7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).

9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：

1．求函数y ＝()0

22x x -+的定义域。

要求：选择题要在旁边写出具体过程。

2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ C ）

()A 2

x y x

= ()B 2y = ()C lg10x y =

()D 2log 2x y =

3．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ C ）

A ．]1,2

5[--

B ．[－1，2]

C ．[－1，5]

D ．]2,2

4，设函数???<≥-=)1(1

)

1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ B ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

5．下面各组函数中为相同函数的是（ D ） A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x f B ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f C ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f D ．2

)(,21

)(22+-=+-=

x x x g x x x f 6.若函数)(},4|{}0|{1

3)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥?≤--=的定义域是( B )

A ．]3,3

1[ B ．]3,1()1,3

1[? C ．),3[]3

1,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)

7．若函数3

2++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是

（ C ）

A ．]4

3,0(

B ．)43,0(

3,0[ D ．)4

3,0[

8、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( D )

A 、[ 1，+∞）

B 、[0，2]

C 、（-∞，2]

D 、[1，2]

9．已知函数的值域12

79,432

2+--=-+=x x x y x x y 分别是集合P 、Q ，则（ C ）

A ．p ?Q

B ．P=Q

C ．P ?Q

D ．以上答案都不

对

10．求下列函数的值域： ①)1(3

3>-+=

x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y

④x x y 21-+= ⑤4

22+-=

x x x

11、已知函数)0(1

2)(22<+++=

b x c

bx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。

12.已知f （x x 1

+）= x

x x 1122++，求f （x ）的解析式.

13.若 3f (x -1)+2f (1-x )=2x , 求 f (x ).

14.设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，

有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.

课后训练答案： 1．4(,)(0,2)(2,)3

-∞-+∞ 2.—9:C,C,B,D,B,D,C

10. 3{|}5

y y ≠,[11,)+∞,5[,4]2

,[1,)+∞,11[,]62

- 11.c=2,b=-1 12. 2()1f x x x =-+ 13. 17

()55f x x =+

14. 2()1f x x x =++

【练习】

1 2已知函

数f

）的定义域为[ 0，3 ]，求

f （x ）的定义域

3已知函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域

4求函数的值域（注意先求函数的定义域）

① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 ) ②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5( 配方法：形如2y ax bx c =++ ) ③

2y x =换元法：形如y ax b =+) ④1

y x =+ ( 分离常数法：形如cx d

y ax b

+ )

5求下列函数的解析式

①已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 ②已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式

③已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ） ④已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式

一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域：

⑴y =

⑵y =

⑶

01(21)1

y x x =+-+-

2、

_ _ _；

________；

3、若函数(1)f x +的定义域

为则函数(21)f x -的定义域是；函数1

(2)f x

+的定义域为。

4、 [1,1]-，且函数()()()

F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域 5、求下列函数的值域：

⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31

x y x -=

+ ⑷31

x y x -=

+ (5)x ≥

⑸ y =⑹ 22

5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-

⑼ y = ⑽ 4y = ⑾

y x =

6、已知函数222()1

x ax b

f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2、

已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当

(,0)x ∈-∞时()f x =____ _

()f x 在R 上的解析式为

5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1

()()1

f x

g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式

四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：

⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶

261y x x =--

7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236

y x -=

+的递减区间是；函数

y =

的递减区间是五、综合题

9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3

)

5)(3(1+-+=

x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，

)1)(1(2-+=x x y ；

⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52(

)(-=x x f ，

52)(2-=x x f 。

A 、⑴、⑵

B 、 ⑵、⑶

C 、 ⑷

D 、 ⑶、⑸

10、若函数()f x = 3

2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是

（）

A 、(－∞,+∞)

B 、(0,43]

C 、(4

3,+∞) D 、[0, 4

11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）

(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D)

04m <≤

12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围

是（）

(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D)

11x -<<

、函数()f x =的定义域是（）

A 、[2,2]-

B 、(2,2)-

C 、(,2)(2,)-∞-+∞

D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x

=+≠是（）

A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数

B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数

C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数

D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数

15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??

=-<

，若()3f x =，则x =

16、已知函数

的定义域是

，则

的定义域为。 17、已知函数2

mx n

y x +=

+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n =

18、把函数1

y x =

+的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的图象的解析式为

19、求函数12)(2--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值

20、若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当

∈t [-3,-2]时的最值。

21、已知a R ∈，讨论关于x 的方程2680x x a -+-=的根的情况。

22、已知1

a ≤≤，若2

()21

f x a x

x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，

最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-。（1）求函数()g a 的表达式；（2）判断函数()g a 的单调性，并求()g a 的最小值。

23、定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠且，当0x >时，()1f x >，且对任

意,a b R ∈，()()()f a b f a f b +=。 ⑴求(0)f ； ⑵求证：对任意

,()0x R f x ∈>有；⑶求证：()f x 在R 上是增函数； ⑷若

()(2)1f x f x

x ->，求x 的取值范围。

函数练习题答案

一、函数定义域：

1、（1）{|536}x x x x ≥≤-≠-或或（2）{|0}x x ≥ （3）

{|220,,1}2

x x x x x -≤≤≠≠

≠且 2、[1,1]-； [4,9] 3、5[0,];2

11(,][,)3

-∞-+∞ 4、11m -≤≤ 二、函数值域：

5、（1）{|4}y y ≥- （2）[0,5]y ∈ （3）{|3}y y ≠

（4）7

[,3)3

y ∈

（5）[3,2)y ∈- （6）1

{|5}2

y y y ≠≠且（7）{|4}y y ≥ （8）y R ∈

（9）[0,3]y ∈ （10）[1,4]y ∈ （11）1{|}2

y y ≤ 6、2,2a b =±= 三、函数解析式：

1、2()23f x x x =-- ； 2(21)44f x x +=-

2、2()21f x x x =--

3、4()33

f x x =+

、()(1f x x =

；(10)

()(10)

x x f x x x ?+≥?=?

g x x =-

四、单调区间：

6、（1）增区间：[1,)-+∞ 减区间：(,1]-∞- （2）增区间：[1,1]- 减区间：[1,3]

（3）增区间：[3,0],[3,)-+∞ 减区间：[0,3],(,3]-∞- 7、[0,1] 8、(,2),(2,)-∞--+∞ (2,2]- 五、综合题： C D B B D B

、(,1]a a -+ 16、4m =± 3n = 17、1

y x =- 18、解：对称轴为x a =

（1）0a ≤时，min ()(0)1f x f ==- ， max ()(2)34f x f a ==- （2）01a <≤时，2min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(2)34f x f a ==-

（3）12a <≤时，2min ()()1f x f a a ==-- ，max ()(0)1f x f ==- （4）2a >时，min ()(2)34f x f a ==- ，max ()(0)1f x f ==-

19、解：221(0)

()1(01)

22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<

(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数

∴ 在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数 ∴

min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=

20、21、22、（略）

一．解析式的求法 1. 代入法

例1、()21f x x =+，求(1)f x +

2. 待定系数法

例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()f x 解析式

3. 换元法例3、21

34(31)x x

f x +-+=，求()f x 解析式

4. 配凑法

例4、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式

5. 消元法（构造方程组法）

例5、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式

6. 利用函数的性质求解析式

例6、已知函数()y f x =是定义在区间33,22[]-上的偶函数，且32

[0,]x ∈时，25()x f x x -+=- (1)求()f x 解析式

(2)若矩形ABCD 顶点,A B 在函数()y f x =图像上，顶点,C D 在x 轴上，求矩形ABCD 面积的最大值

例7、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数

()y f x =(11)x -≤≤是奇函数，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值，最小值为-5 （1）证明：(1)(4)0f f +=

（2）试求()y f x =，[1,4]x ∈的解析式（3）试求()y f x =在[4,9]x ∈上的解析式

二、复合函数的性质．

例8、求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)

例9、求复合函数213

log (2)y x x =-的单调区间

例10、求y=2x 6x 7--的单调区间和最值。

例11、求y=1

2x x 221--?

??的单调区间。

作业：

1、若函数

(1)f x -定义域为(3,4]，则函数f 的定义域为

2、已知函数()f x =

R ，则实数a 的取值范围是 3、已知22

()f x x x

x -=+

，则(1)f x += 4、已知2(1)34f x x x +=++，则()f x =

5、已知函数()f x 的图像与函数1()2h x x x

=++的图像关于点A(0,1)对称

（1）求函数()f x 的解析式

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。一，已知函数解析式求函数的定义域如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。例题一求下列函数的定义域：（1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2）解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2）由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4）二，复合函数求定义域求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。（2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。（3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。（4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

函数的定义域和值域

函数的定义域、值域一、知识回顾第一部分：函数的定义域 1.函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或 a x y =，所有的函数值所构成的集合{} A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 2.定义域的理解：使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <. 满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,. 满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作 (][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示. 4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集. 5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零. （4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.

函数的定义域及函数的解析式解读

函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域 (1)ｙ＝－22 1x ＋１ (2)ｙ＝4 22--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝3 142-+-x x (6)ｙ＝)13(1 13-+--x x x (7)ｙ＝ x 1 11 11++ (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解：(1)ｘ∈R (2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝ (3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝ (4)要使函数有意义，必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝

(5)要使函数有意义，必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝ (6)要使函数有意义，必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝ (7)要使函数有意义，必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－ 2 1＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a 3｝当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a 3｝当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为?，故原函数定义域为? 评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论. ［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域. (2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域. (3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域. 分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样. (2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域. (3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1) ∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ

高一必修一数学-复合函数定义域

复合函数的定义域讲解内容：复合函数的定义域求法讲解步骤：第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）第三步：介绍复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ，或

求函数的定义域及解析式

高一数学必修1 编号:SX--01--06 《求函数的定义域及解析式专题》导学案撰稿:张娜审核: 涂珎时间:2010.9.5 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、熟练掌握求具体函数和抽象函数的定义域的一般方法； 2、熟练运用换元法、待定系数法、解方程组等方法求函数的解析式. 【重点难点】重点：求函数的定义域及解析式难点：求函数的定义域及解析式【知识链接】函数的三要素：定义域、解析式、值域【学习过程】知识点一：求具体函数的解析式例1求下列函数的定义域：（1）x y 213- =；（2）x x y ---= 11；（3）30 +=x x y ；（4）11+?-=x x y . 点拨：求具体函数的定义域，其实质是求使解析式各部分有意义的未知数的取值范围. 知识点二求抽象函数的定义域抽象函数是没有明确给出具体解析式的函数，求抽象函数的定义域问题主要有四种题型：题型一：已知的定义域的定义域，求 ))(()(x g f x f 解法：若b x g a x g f b x a x f ≤≤≤≤)())(()(中，则的定义域为，从中解得x 的取值范围即

为))((x g f 的定义域例2、已知函数的定义域求的定义域为)5(],5,1[)(--x f x f . 题型二：已知的定义域的定义域，求)())((x f x g f 解法：若)()(,))((x g u x g n x m n x m x g f =≤≤≤≤的范围，设确定则由的定义域为，则的定义域的范围即为是同一函数，所以与又)()()()(),())((x f x g x f u f u f x g f = 例3、已知函数的定义域，求函数的定义域是)(]3,0[)1(x f x f -. 题型三：已知的定义域的定义域，求))(())((x h f x g f 解法：先由的的定义域求得的定义域，再由定义域求得))(()()())((x h f x f x f x g f 定义域例4、若函数的定义域求的定义域为)1(],2,2 1[)1(--+x f x f . 题型四：求运算型的抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域解法：先求出各个函数的定义域，再求交集例5、若的定义域，求的定义域为 )()()(]5,3[)(x f x f x x f +-=-?.

复合函数定义域与值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1 (2)f x +的定义域为。 4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋

⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。三、求函数的解析式 1、已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为

《复合函数及其定义域》专题

《复合函数及其定义域》专题 2014年（）月（）日班级姓名成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。【例】已知y 与x －3成正比例，当x ＝4时，y ＝3． (1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)y 与x 之间是什么函数关系；已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求： y 与x 的函数关系式；【复合函数的定义】对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成_____的函数，那么称它为函数()y f u =和()u g x =的_______，记作_______ 简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。【类型一】 1.已知函数f ( x) =)3)(1(x x -+，求f ( x + 1 )的值 2.求函数f ( x) =)3)(1(x x -+的定义域，求f ( x + 1 )的定义域 3.已知f ( x) 的定义域为[-1，3]，求f ( x + 1 )的定义域

【练习一】 1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 2. 若函数)(x f y =的定义域［-1，2］，求)1(2-=x f y 的定义域。 3. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。（2）函数的定义域为__________。【归纳一】已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。【类型二】 1.已知f ( x + 1 )的定义域为[-2，2]，求，f (x)的定义域请仔细对比【类型一】第3题

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。函数值域求法四种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

复合函数定义域三种形式解法

先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过）【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围；【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x 用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围。【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，

即t=3+2x∈[0,3]，关于抽象复合函数定义域的求法说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与 y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的 g(x)相当于后者的x。解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5] 故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5] 说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t 无关。另外，题型二是题型一的逆向题目。

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则（1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B

换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。（复合函数的解析式）---代入法（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为。练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法引入：自变量x 的取值范围为定义域因变量y 的取值范围为值域求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式（一）解析式的表达形式（解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式（是大部分函数的表达形式）例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法（根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法例1.已知：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)；解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

(完整版)几种复合函数定义域的求法

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。 f(x ＋1)＝x 2 ＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+；复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ， 22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f 复合函数的定义域求法 .已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

函数的解析式以及定义域的求法讲义

函数的解析式以及定义域的求法一：学生情况及其分析：上海高一学生，不等式学完了，国庆没有上课，这节课给她巩固求解析式的方法，思维灵活，自己动手能力挺好，所以有些例题有留给她一定的思考空间。二：教学目的： 1.学习函数的表示方法中的解析式的求法， 2.会求解简单函数以及复合函数的定义域三：教学设计： 1，教学回顾：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？函数的表示方法有哪些？ 2，教学过程：一、解析式的求解（一）换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),再求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。例1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 分析：怎么能由)1(x f 的解析式得到)(x f 的解析式，他们的联系是什么？练习1．已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 练习2.已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。思考：已知2 21)1 (x x x x f +=+，求()f x 的表达式。分析：题型好像和上面一样，是不是能用同样的方法做出来？（二）配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。一般的利用完全平方公式例2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 分析：观察怎么才能得到f(x)？练习1．已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。

（三）待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例3. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 分析：对于一次函数的解析式，我们是不是很熟悉，那能不能先设出他的一般形式呢？练习1．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )．练习2.已知一次函数()f x ，()()1223f x f x x -+=+，求函数()f x 的解析式。（四）解方程组法: 求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例4．设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 分析：我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果！练习1.若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （五）特殊值法; 一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。例5：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 分析：题干中信息太少？就用你能看得见的条件呗，那令谁等于0呢？练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。（六）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例6.已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式分析：两点关于某点对称时有什么特征？

复合函数定义域的常见求法

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。答案： [-1/2 ，0 ] 例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。答案： [-1 ，1] 〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。答案： [ 1 ，3] 〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。例4、f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。关于复合函数的解析式的求法，尽管种类专门多，在那个地点重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅?教学周刊?第6期。〔1〕配凑法假设f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x 的函数，能够把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x 替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。例5、f (x x x x x 21)122++=+，求f ( x )的解析式。答案：f(x)= x 2 例6、f ( x + 331)1x x x +=,求f ( x )的解析式。答案：f(x)= x 3-2x-1 〔2〕换元法假设f [ g ( x ) ]的表达式，能够令g ( x ) = t ，从中解出x 再将x 代入f [ g ( x ) ]的表达式中，如此

函数的定义域值域及解析式

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函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。【教学内容】 1.定义高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域函数解析式定义域值域一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0）注意：

1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x -1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = （√x ）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <．练习、请用区间表示（1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________， {|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________，（2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，

5、函数的定义域和值域答案

函数定义映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

函数的概念、定义域及解析式

函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识： 1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。记作f:A→B. 其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。 2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。 3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。 4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。对应法则是函数的：“核心”它是自变量与因变量沟通的桥梁，它给出了当已知一个自变量的值时，得出对应的函数值的一种算法。求函数的解析式，本质上就是要弄清函数的对应法则。分段函数的概念：有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。注意分段函数是一个函数而不是几个函数。故分段函数的定义域是指“各段”对应的X的范围的并集；其值域也是“各段”对应的Y值的范围的并集。 5.函数的定义域----是指使函数有意义的自变量的取值范围。函数的定义域基本上分为两类：（1）限定定义域（2）自然定义域