传染病动力学

传染病动力学模型

姓名：魏薇薇学号：2009210927

院系：数理与信息学院专业：系统理论

摘要：本文首先介绍传染病动力学的相关概念,接下来介绍两个基本的传染病动力学模型,最后建立一个传染病动力学的偏微分方程模型,并对模型做一些适当的分析.

关键词：传染病动力学;常微分方程;偏微分方程;数学模型

Model of Epidemic Dynamics

Abstract：This article first introduces the concepts of epidemic dynamics, followed by two basic model of epidemic dynamics, finally it creates a partial differential equations model of epidemic dynamic ,and do some proper analysis to the model. Keywords：Epidemic dynamics;Ordinary differential equations;Partial differential equations;mathematical model

前言

传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际.

1 两个基本的传染病动力学模型

在传染病动力学中,长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”模型，它的基本思想由Kermack 与McKendrick 创立于1927年,但一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展着.下面我们以他们提出的两个经典的基本模型为例,来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念,并显示由模型所能得到的主要结论.

1.1 K-M 的SIR 仓室模型

所谓SIR 仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：

易感者（susceptibles ）类 记为()S t ,表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数.

染病者（infectives ）类 其数量记为()I t ,表示t 时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.

移出者（removed ）类 其数量记为()R t ,表示t 时刻已从染病者类移出的人数.

设总人口为()N t ,则有()()()()N t S t I t R t =++.K-M 的SIR 模型是一个十分简单粗糙的模型.它的建立基于以下三个基本假设：

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素.这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多,从而后者可以忽略不计.这样,此环境的总人口始终保持为一个常数,即()N t K ≡,或

()()().S t I t R t K ++≡

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力,这里假设t 时刻单位时间内,一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()S t 成正比,比例系数为β,从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为)()(t I t S β.

（3）t 时刻,单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比,比例系数为γ,从而单位时间内移出者的数量为()I t γ.显然,γ是单位时间内移出者在病人

中所占的比例,称为移出率系数,当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中仅包括康复者时,移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率.

在以上三个基本假设下,易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述.

SI I

S I R βγ→→ 对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式,便得到以下模型： ,

,

.

dS SI dt dI SI I dt

dR I dt ββγγ?=-???=-???=?? (1.1.1)

下面,我们通过对模型（1.1.1）的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认识传染病流行规律所起的作用.

将（1.1.1）中三个方程两端分别相加,得

()0=++dt

R I S d , 从而

()()()K t R t I t S =++（常数）.

由于（1.1.1）中前两个方程中不含R ,故实际上我们只需先讨论前两个方程： ()???????-=-=γββS I dt

dI SI dt dS . （1.1.2） 由于0

dS ,)(t S 单调递减且有下界（为0）,故极限 ()lim t S t S ∞→∞

= 存在.由（1.1.2）有 1dI dS

S ρ=-+, γρβ=. (1.1.3) 可见,当S ρ=时,I 达到极大值.从而不难在相平面(),S I 上画出系统（1.1.2）的轨线分布图,如图1.1所示.方程（1.1.3）的所有平衡点都在S 轴上,而且0I =为

系统（1.1.2）的一条奇线.由图1.1可见,当初始时刻易感者数量()00S S ρ=>时,

随着时间增长,染病者数()I t 将先增加达到最大值()I ρ,然后再逐渐减少而最 终消亡.这一现象表明,只要0S ρ>,即011S β

γ>,疾病就会流行.

S

ρ

(1.1)

令 0

001

S R S βγρ==, (1.1.4)

则当01R >时,疾病流行;当01R <时,疾病不会流行,染病者数量()I t 将单调下降而趋向于零.01R =是区分疾病流行与否的阈值.

应当指出,（1.1.4）中的1γ

表示平均移出时间,也就是平均患病期.事实上,由移出率系数γ的定义可见,若病人数量为n ,则单位时间内移出者的数目为n γ,

故经过时间1γ

,病人全部移出. 要防止疾病流行,必须减少0R 使它小于1,有表达式（1.1.4）可知,这可以通

过加强治疗以缩短染病期1γ

或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力β,或通过隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者数0S 来实现.更为有效

的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类R ,从而减少初始时刻易感者数量0S .设人群中通过接种疫苗成功的比例为()01p p ≤≤,则0S 就变成了()01p S -,从而0R 变小为

()0011R p S β

γ-=-.

要求01R -<,即要求 00

111p S R γβ>-=-. (1.1.5) 由（1.1.5）式可知,0R 越大,为防止疾病流行所需要接种的人口比例p 就越高.

由此可见,对0R 值的估计是十分重要的.由（1.1.4）式可见,要估计0R 的值,难点在于估计β,因为β不仅取决于疾病的种类,而且还依赖于人群所处的社会环境和病人的活动情况.下面介绍一种对0R 的近似估计法.

求解方程（1.1.3）,它通过初值()00,S I 的解为

()000ln S I I S S S ρ-=--+, （1.1.6） 由于当t →+∞时,()0I t →,()S t S ∞→,代入(1.1.6)式并注意到00S I K +=，得

0ln 0.S K S S ρ∞∞-+= （1.1.7）

用数学分析的方法容易验证方程（1.1.7）有且仅有惟一的正实根S ∞.并可解得

0,ln ln K S S S γρβ∞∞-==- （1.1.8）

0S 与S ∞是可以测定的,例如可以通过血清检查测定.从而可根据（1.1.8）式确定ρ的值,然后由00S R ρ=

来确定0R .在测得平均患病期1γ

后,也可由（1.1.8）式估算出β.

1.2 K-M 的SIS 仓室模型

一般来说,通过病毒传播的疾病如流感、麻疹、水痘等康复后对原病毒具有 免疫力,适合用上述SIR 模型描述;通过细菌传播的疾病,如脑炎、淋病等康复后 不具有免疫力,可以被再次感染,1932年Kermack 和Mckendrick 针对这类疾病提 出了康复者不具有免疫力的SIS 模型,疾病的传播机制如下面框图所示：

SI I

S I S βγ→→ 这里假设患病者康复后将重新成为易感者,其它假设与SIR 模型相同.此时模型为 dS SI I dt dI SI I dt βγβγ?=-+????=-?

?. （1.2.1） 利用S I K +=,可将方程组(1.2.1)化成方程式 ()()dS K S S dt βρ=--,.γρβ= （1.2.2）

易见,当K ρ≥时,方程（1.2.2）有惟一的平衡点S K =,它是渐近稳定的,即从任一](00,S K ∈出发的解()S t 均单调增加趋向于S K =,从而()I t 将单调减小而趋向于零,说明疾病不会流行.

当K ρ<时,方程(1.2.2)有两个正平衡点：,S K S ρ==,S K =不稳定;S ρ=渐近稳定.从任一()00,S k ∈出发的()S t 均随t 的增大而趋向于ρ,从而()1I t ρ→-,这时疾病流行且病人不会消失,最终保持在1ρ-的数量而变成一种地方病.这当然是人们所不希望的.

因此,01K

R ρ==是区分疾病流行与否,或者是否产生地方病的阈值,当

01R <时,疾病逐渐消失;当01R >时,疾病流行而导致地方病产生.

2 传染病动力学的偏微分方程模型

传染病动力学的常微分方程模型没有考虑到年龄对传染病发展情况的影响.

实际上,出生率与自然死亡率如在人口模型中考虑过的那样,应与年龄有关;对传染病本身来说,除极少数疾病（如出血热）外,其发病情况均与年龄有关,有的传染病（如麻疹）在婴儿阶段由于天然免疫力在一段时间内不会发病,同时发病率、治愈率、及死亡率的等也均与年龄有关.因此,必须加入年龄坐标x.此外,病的发展情况通常还和发病时间的长短（病程）有关治愈率和死亡率等均可能和病程有关,因此还需再引入一个病程坐标y.这就使所考虑方程呈现相当复杂的形态.

可以考虑下述一些不同的情况：

A. 不考虑预防及隔离措施（因而结果偏于“安全”）的情况,或者将预防及隔离措施以某种方式换算为对发病率打一个适当的折扣的情形.

a. 病愈后终身免疫的传染病（如麻疹）.

b. 病愈后有一段时间免疫力,但不能终身免疫的传染病.

c. 病愈后无免疫力,可以立即再感染而重新得病的传染病.

B. 考虑预防及隔离措施的情况,或单独考虑其中一种措施的情况.这里又可相应地分为若干情况,不赘述.

下面对情况Aa——不计预防及隔离措施,而病愈后为终身免疫的传染病（如麻疹）,建立相应的数学模型.其余情况可类似进行讨论.

将全体人口分为三类：

Ⅰ.未发病者；

Ⅱ.正发病者；

Ⅲ.病愈者.

三类人之间的相互关系如下图：

以下记t为时间,x为年龄,而y为病程.

设A 为人的最大寿命,B 为最大病程（B ≤A ）.于是求解区域应为{}B y A x t ≤≤≤≤≥0,0,0.

以 ()x t p ,1记第Ⅰ类人在 t 时刻按年龄x 的分布密度函数,()x t p ,3 记第Ⅲ 类人在t 时刻按年龄x 的分布密度函数,()y x t p ,,2记第Ⅱ类人在t 时刻按年龄x 及病程y 的分布密度 函数,于是,在时刻t ,年龄在[]dx x x +,中第Ⅰ类人数为()x t p ,1dx ,年龄在[]dx x x +,中第Ⅲ类人数为()x t p ,3 dx ,年龄在[]dx x x +,、病程在[]dy y y +,中第Ⅱ类人数为()y x t p ,,2dx dy ,其中()x t p ,1及()x t p ,3的定义域为{}A x t ≤≤≥0,0,而()y x t p ,,2的定义域为{}B y A x t ≤≤≤≤≥0,0,0.由于年龄为x 的人其病程x y ≤,故当x y ≥时恒有()0,,2≡y x t p

决定了函数()x t p ,1,()x t p ,3,及()y x t p ,,2,就决定了此传染病的动力学特征.下面推导它们应满足的方程.

注意到对任何人来说,

时间增量=年龄增量=病程增量,

我们有

在dt t +时刻,年龄在[]dx x x +,中的第Ⅰ类人数()dx x dt t p ,1+应等于在t 时刻年龄在[]dt dx x dt x -+-,中的第Ⅰ类人数()dx dt x t p -,1减去在[]dt t t +,中年龄在[]dt dx x dt x -+-,中的自然死亡数()()dxdt dt x t p dt x d --,1及发病数∧α

()

dt x t p -,1dx dt . 由此可得到()x t p ,1满足

()()()()111,,,p p t x t x d x p t x t x α∧????+=-+ ?????, （2.1） 这儿()x d 为自然死亡率，∧

α为发病率.考虑到传染病的特点，在[]dt t t +,中年龄在[]dx x x +,中的发病人数与人数()x t p ,1dx 及时间dt 均应成正比,同时还和第Ⅱ类人的总数

()()??=A B

dxdy y x t p t p 0022,,

（2.2） 成正比，故

()()()()??==∧A B

dxdy y x t P x t p x 0022,,ααα,

从而（2.1）式可写为

()()()()()x t p t p x x d x p t

p ,1211α+-=??+??, （2.3） 而()t p 2由（2.2）式定义.

同理,对()y x t p ,,2我们有

在dt t +时刻,年龄在[]dx x x +,、病程在[]dy y y +,中的第Ⅱ类人数()dxdy y x dt t p ,,2+应等于在t 时刻,年龄在[]dt dx x dt x -+-,、病程在[]dt dy y dt y -+-,中的第Ⅱ类人数()dxdy dt y dt x t p --,,2减去在[]dt t t +,中年龄在[]dt dx x dt x -+-,、病程在[]dt dy y dt y -+-,中的第Ⅱ类人的自然死亡数)(dt x d -()dt y dt x t p --,,2dx dy dt 、传染病死亡数()dt y dt x d ---

,()dt y dt x t p --,,2dx dy dt 及治愈数()dt y dt x --,β()dt y dt x t p --,,2dx dy dt . 注意到

()()dt y dt x t p y x dt t p ---+,,,,22

=()()()y x t p y x dt t p ,,,,22-++()()()y dt x t p y x t p ,,,,22--+

()()()dt y dt x t p y dt x t p ----,,,,22

=()()()222,,,,,,,p p p t x y t x y t x y dt t x y ?????++ ??????

故得()y x t p ,,2应满足的方程为

()()()y x t y

p y x t x p y x t t p ,,,,,,222??+??+??

=()()()()y x t p y x y x d x d ,,,,2??? ??++--β （2.4）

同理，我们有

在dt t +时刻、年龄在[]dx x x +,中的第Ⅲ类人数()dx x dt t p ,3+等于在t 时刻、年龄在[]dt dx x dt x -+-,中的第Ⅲ类人数()dx dt x t p -,3减去在[]dt t t +,中年龄在[]dt dx x dt x -+-,中的第Ⅲ类人的自然死亡数()()d x d t dt x t p dt x d --,3加上在[]dt t t +,中年龄在[]dt dx x dt x -+-,中的第Ⅱ类人的治愈数为 ()()dxdt dy y x t p y dt x B ???

? ??-?02,,,β. 由此我们得到

()()()33320,,,B

p p d x p x y p t x y dy t x β??+=-+??? （2.5） 下面看初始条件及边界条件.

初始条件为

:0=t ()x p p 011=,()y x p p ,022=,()x p p 033=. （2.6）

边界条件:由于新生婴儿进入第Ⅰ类状态，且从o x =开始，故出生的婴儿数将给出在0=x 的边界条件.设出生率为()x b ，并设最低生育年龄为()A a <,我们得到

在时段[]dt t t +,中出生的婴儿总数()()()()dxdt

x t p dy y x t p x t p x b A

a B ?????? ??++0321,,,,应等于在时刻dt t +、年龄区间在[]dt ,0中第Ⅰ类人数()()()dt t p dt dt t p 0,0,11=+, 故有边界条件

:0=x ()0,1t p =()()()()ξξηηξξξd t p d t p t p b B A

a ???? ??++??0321,,,,, ()0.t ≥（2.7） 此外，第Ⅱ类及第Ⅲ类人中不包括新生婴儿,故应有边界条件

:0=x ()0,0,2=y t p ()B y t ≤≤≥0,0, （2.8） :0=x ()00,3=t p ()0≥t . （2.9） 又由于第Ⅰ类人中的发病者进入第Ⅱ类人，病程从0=y 开始,故第Ⅰ类人的

发病数应给出0=y 处的边界条件.我们有

在[]dt t t +,中年龄在[]dx x x +,中的第Ⅰ类人的发病数()dxdt x t p ,1∧

α应等于在

t 时刻,年龄在[]dt dx x dt x -+-,、

病程在[]dt ,0中的第Ⅱ类人数()dxdt dt x t p 0,,2-,故得如下的边界条件 :0=y ()()x t p x t p ,0,,12∧=α ()A x t ≤≤≥0,0. （2.10） 其中()()t p x 2αα=∧,而()t p 2由（2.2）式定义.

这样就得到定解问题（2.3）-(2.10),其中()t p 2由（2.2）式定义.

在对已知的资料加以适当的假设（包括相容性条件）后,我们要求该问题的解()x t p p ,11=,()y x t p p ,,22=,()x t p p ,33=,使在区域{}B y A x t ≤≤≤≤≥0,0,0上连续.

可以看到这个问题有如下一些特点：

(ⅰ)有三个未知函数，其中()x t p ,1及()x t p ,3具有两个自变数,而另一个未知函数()y x t p ,,2则具有三个自变数.它们的方程及边界条件互相耦合在一起.

(ⅱ)(2.3)-（2.5）均为主部为常系数的一阶偏微分方程,但除(2.4)是关于()y x t p ,,2本身（无耦合）的普通的一阶线性偏微分方程外,关于()x t p ,3的方程(2.5)中包含2p 对y 的积分,因而是线性、非局部的方程,而关于()x t p ,1的方程（2.3）由于包含()t p 2,不仅具非局部的形式,而且是非线性的.

（ⅲ）在0=x 处对1p 的边界条件具有非局部的积分泛函的形式,但还是线性的;而在0=y 处的边界条件不仅是非局部形式,而且是非线性的.

总之,这是一个一阶双曲型方程组的非局部、非线性混合初边值问题,而且未知函数具有不同个数的自变数.对这类方程组的定解问题尚有大量问题（如解的整体存在性、解的性质等）有待进一步研究讨论.

结束语

用数学方法来考察传染病的理论,对它的发病机理、动态过程和发展趋势进行研究,已逐渐成为一个活的研究领域.本文首先介绍了两个经典的传染病动力学模型,然后引入多个变量从偏微分方程的角度来考察传染病的流行规律.从而使所建立的模型与实际更加符合,也能更好的研究传染病的流行规律.

(整理)传染病动力学.

传染病动力学模型 姓名：魏薇薇学号：2009210927 院系：数理与信息学院专业：系统理论 摘要：本文首先介绍传染病动力学的相关概念,接下来介绍两个基本的传染病动力学模型,最后建立一个传染病动力学的偏微分方程模型,并对模型做一些适当的分析. 关键词：传染病动力学;常微分方程;偏微分方程;数学模型 Model of Epidemic Dynamics Abstract：This article first introduces the concepts of epidemic dynamics, followed by two basic model of epidemic dynamics, finally it creates a partial differential equations model of epidemic dynamic ,and do some proper analysis to the model. Keywords：Epidemic dynamics;Ordinary differential equations;Partial differential equations;mathematical model 前言 传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际. 1 两个基本的传染病动力学模型 在传染病动力学中,长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”模型，它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年,但一直到现在仍然被广

数学建模——传染病模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

(完整版)传染病动力学模型

传染病动力学模型 常微分方程 仓室建模法：1.将研究群体分类：感染者，健康者；潜伏者，感染者/免疫者，易感者2.将不同仓室用箭头加以连接（疾病传染规律）S->E->I->H；可再考虑出生、死亡、迁入建立转移图 疾病类型：得病后免疫力：终身免疫：单向，不循环/暂时免疫，可循环 由病原体类型划分：病毒/细菌（能否循环） 基本概念： 发生率：单位时间多少人被感染（双线性，标准型） 出生、死亡、额外（因病死亡率，输入，输出，隔离率，恢复率） 模型平衡点：无病平衡点DFE、地方病平衡点EE 经典SIR模型： 几个仓室几个变量，由转移图分别列常微分方程 基本再生数R0与阈值定理（现象）： R0<1:存在无病平衡点且局部稳定/全局渐进稳定，疾病最终绝灭 R0>1:DEF不稳定，存在地方病平衡点，全局渐进稳定，疾病最终流行 R0=γβτ, R0的意义：在全部是易感者群体中引入一个感染者，最终感染人数 降维：变量可选各仓室人数与总的比例 讨论平衡点存在性：各导数为0（由实际意义所有解的分量非负），DEF,EE 平衡点稳定性 理论分析+数字模拟验证 模型应用： 估计基本再生数，预测流行趋势 评估控制策略 估计流行周期，预测爆发 1.估计基本再生数： 解析法 统计方法（简单直接） 下一代矩阵方法：1.将种群分类，广义感染者与广义易感者 2.改写广义感染者X的动力学方程： 3.计算无病平衡点DEF： R0=ρ（FV?1） 2.控制策略评估： 实施群体免疫：群体免疫覆盖率ρ>=1?1/R0,R0要小一点 3.（1）存在周期解（2）发生环绕地方病平衡点的阻尼振荡 SIR模型没有周期解，但EE可能是稳定焦点 课计算出EE的特征值，若根号里<0，则共轭复数根

传染病预防与控制系统的设计

传染病预防与控制系统的设计 1、基于GIS的传染病预防与控制系统的设计 从上面的介绍可以看出，地理信息管理系统需要计算机硬件与软件系统，而更重要的是要建立地理空间位置信息与传染病的种类、性质、 强弱等以及人口密度、分布等的数据库。所以地理信息系统的价值很 大程度上取决于该系统中数据库数量、质量等。GIS中最重要的组成部分数据库一般包含两个，即地理空间数据库和属性数据库。地理空间 位置数据就比如是地图（当然，现在的空间信息数据库所包含的量要 比地图大很多），它是描述真实地理空间坐标、几何形状、方向等， 一般是由点、线、面组成，例如地图、卫星遥感影像等。还有一类是 属性数据库，该数据库一般包括描述一定空间现象的特征，比如某地 区的温度变化、湿度、降雨量、人口密度与分布以及其他一些公共设 施分布的坐标等。 所以要建立传染病的预防与控制系统我们首先要具备能实现该能力的 计算机硬、软件系统，在此我们认为计算机硬、软件系统我们已经具 备而且能力完全足够。图1是该系统的逻辑结构图。由图1可知，为 了构建这一系统，需要建立很多相关的数据库。这些数据库的建立即 由GIS技术来实现。通过GIS强大地理空间信息采集、管理与分析能力，实时采集当地居民生活状况、传染病人的病情资料、医疗机构资 料并建立实时数据库。与此同时还应该有一份非常详细的地图（假定 相关部门可以提供），之后运用相关的数学方法建立各个数据库之间 的联系。具体来说，就比如基础地形数据库的建立。我们需要医疗机 构分布状况图（主要包括医院、诊所、药店等；传染病人的分布）， 居民居住地图（各类大小居民的空间位置坐标），交通网络分布图， 环境状况分布图（水源、污染物的位置等），各类生活设施分布图 （学校，政府部门，娱乐场所等）。以此类推建立各个需要的数据库，这样就能用建立的数学模型与数据库寻找规律，进而来控制、预防传 染病。

数学建模 传染病模型

传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

传染病各部门职责

2.2各部门职责 区政府办公室：组织制定全区突发传染病事件应急处置相关政策文件；组织召开部门协调会议，协调各部门做好突发传染病事件处置工作；检查督导突发传染病事件应急措施的落实情况，负责向上级报告有关工作情况。 宣传部：统一宣传报道口径，及时对新闻宣传报道提出指导性意见；组织新闻媒体采访，做好宣传报道和安全科普知识的传播工作。 公安局：负责现场管制、安全区域封锁和事件发生地交通管制及安全保卫工作；妥善处置突发传染病事件引起的群体性治安事件；打击利用突发传染病事件扰乱社会秩序的违法犯罪活动，加大巡逻防范力度。公安局经文保、交警、消防、特警、刑警、治安等部门依据工作职责制定相应的现场警戒、交通管制、抢险救援、打击各类趁机破坏的违法犯罪活动等违法犯罪工作应急预案。 市经委：协调有关部门落实社会安全突发公共事件处置所需药品、医疗器械、防护用品等物资的生产和储备，做好后勤保障工作。 财政局：制定经费保障相关政策及方案；建立突发传染病事件应急处置储备基金，保证人员伤亡、紧急救治体系建设和突发传染病事件应急处置的药械、医疗救治等所需配套经费的落实；将突发传染病事件处置和预警的日常经费纳入财政预算。 水务局：负责突发传染病处置中提供安全卫生的生活饮水。 卫生局：负责组织突发传染病事件患者的现场救治，同时开展现场流行病学调查与处置，及时收集、上报突发传染病事件人员伤亡情况。 环保局：负责组织突发传染病事件对水环境、大气环境的危害情况的监测并提出处置措施。 工商局：加强市场监管，严厉打击伪劣食品的经营及野生动物的非法交易，维护正常的市场秩序。 食品药品监管局：加强应急救援药品、医疗器械的质量监督工作，严厉打击伪劣药品及器械的经营流通，维护正常的药品及器械市场秩序。 发改委：加强价格监管，严厉打击相互串通、操纵市场、哄抬价格和趁机乱收费的违法行为；当药品和医药用品价格出现波动时，采取价格干预措施，维护正常的市场价格秩序。 城乡规划建设局：加强对建设工地安全管理，协助卫生部门落实建设工地各项突发传染病事件防控措施。 安监局：协助突发传染病事件处置单位建立有毒有害物资的生产、储备和运输信息数据库；配合相关部门进行急性突发传染病事件调查处置。 民政局：协助应急指挥部做好民族地区突发传染病事件的应急处置工作。 团区委、区妇联：负责做好团员、青年及妇女、儿童的突发传染病事件宣传教育工作。

基于新中国成立以来传染病

述评讲座 基于新中国成立以来传染病 中医药防治实践的预测预警研究方法与思路探讨* 童佳兵彭波杨程李泽庚刘健张国梁张念志 安徽中医学院第一附属医院安徽合肥230031 摘要在中医传统“温病学”、“五运六气”等理论指导下，对新中国成立以来60年重大传染病防治实践，采用多因子综合和动态变化分析的方法，进行回顾性对照和前瞻性预测研究，利用数据库挖掘技术寻找新的关联，归纳出可能导致传染病的“高危”指标，揭示其证候规律，结合“天人相应”、“三因制宜”等理论，构建传染病中医药预测预警诊治智能辅助系统，形成中医药防治传染病的应急预案，促进重大传染病防治能力的提高。该方法具有较强的理论意义和迫切的现实意义。 关键词中医药传染病防治预测预警方法思路 研究现状与必要性 1研究现状 传染病预测是指根据传染病的发生、发展规律及有关因素，用分析判断、数学模型等方法对传染病的发生、发展和流行趋势进行预先估计，从而协助管理者掌握情况，选择对策。 当前，传染病预测已经成为国际医学界研究的重点领域之一。构建传染病预测模型已经成为当前传染病疾病预测的重要研究内容。模型是实际原形的模拟，而不是原形本身。利用各种数学模型探讨某个实际问题，关键是找到符合实际的好模型。随着对模型研究的深入，会有更多的预测经验上升到理论并模型化，会有更多的预测方法渗透到对传染病未来流行趋势的预测中，为更好地防治传染病和制定各项卫生管理决策服务。 传染病预警则是指利用预测方法，及早发现传染病异常变化的苗头，发出警示，提醒流行病学专家和工作人员及时调查核实，以达到早发现早处理的目的，从 *基金项目：中国中医科学院自主选题项目；安徽中医学院科研项目（编号：2010LC－027A）而最大程度的减低危害造成的损失的行为。现代医学疾病监测预警模式的建立，基本上都是从监测信息做起，然后观察、汇总信息，对比、分析信息，预警、发布信息，最后是掌握、控制信息。纵观国内外的监测预警体系，其基本组成框架为信息收集、预警分析、信息发布及预警反应系统四部分。 中医学早在《内经》时代，就对疾病发生及衍变的过程进行预测，如“冬伤于寒，春必病温”。除此之外，根据脉象、症状、体征、气血津液盛衰、胃气有无联系，阴阳气化、五行生克、五运六气变化，进行疾病发展趋势的预测屡见不鲜。再如《伤寒论》对六经病欲解时的预测、《金匮要略》对“见肝之病”的预测等等，都是中医学对疾病预测的例证，也是“治未病”思想的基本体现。然而，这些疾病预测方法仍然处于临床经验总结的原始阶段，对于中医疫病预测预警方法的系统性科学研究，目前基本仍处于刚刚起步的阶段。 2研究的必要性 尽管现代医学在疾病预测预警等方面进行了充分的研究，但是由于影响疾病发生的因素复杂、发展趋势的可能性多样，加之全国乃至全球性疾病监测预警网 寒性病此敷贴或有效果，可是对于热性病，此敷贴疗法就百害而无一益。所以胡老多次强调敷贴不是每一个人都适合去贴敷，敷贴要做活做全，要做到辨证施贴，不能一概而论。笔者认为如果敷贴不能做好做全，无效者抑或伤害者定会丧失对中医敷贴冬病夏治的信心，那么中医就无异于“搬起石头砸自己的脚”。到时候最不受益的还是中医本身。 参考文献 1潘远根．古今名医方论．北京：人民军医出版社，2008．106 2高学敏．中药学．北京：中国中医药出版社，2008．414 收稿日期：2011－09－27责任编校：张玉琴 “十二五”中医药文化基地规划 2004年国家中医药管理局正式启动了“全国中医药宣传教育基地”建设工程，2007年审核确定了上海中医药博物馆、河南南阳医圣祠、湖北蕲春李时珍陵园等6家为第一批建设单位。据悉，“十二五”时期国家中医药管理局将进一步推进中医药文化基地建设工作，打造中医药文化基地的品牌，到“十二五”末将确定50个全国中医药文化基地（包括中医药博物馆、遗迹遗址以及教育机构、医疗机构和有关企业的中医药文化科普馆等），覆盖全国31个省、自治区、直辖市。 · 506 · 中医药临床杂志2012年7月第24卷第7期

数学建模-传染病模型-(1)

传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 病人人数的增加，就有 到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ)(t t x t x t t x ?=-?+)()()(λ 程有个病人，即得微分方时有再设00x t = )1()0(,d d 0x x x t x ==λ 方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ= 结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人

传染病问题中的SIR模型说课讲解

假设：1?信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣， 并传播。 2.人们对信息在一定时间内会失去兴趣。 传染病问题中的SIR模型 摘要： 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Susceptible. Infectives，Recovered模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR模型。 一、模型假设 1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因 素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。 2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入，日治愈率(每天被治愈的 病人占总病人数的比例)为常数卩，显然平均传染期为1/卩，传染期接触数为c =入/卩。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 、模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下: r 口i —

1传染病动力学模型简介

传染病动力学模型简介 摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾 病提供决策依据。本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模型，综述了各种传染病模型在医学领域的应用，探讨传染病动力学模型的发展进程和研究动向。 关键词：传染病；动力学模型；SIR模型 A brief introduction to dynamics model of infectious diseases Abstract:The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made, and we also reviewed the application of several dynamic models and discussed its future direction in the paper. Key words: epidemic; dynamic model; SIR model 传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。对传 染病发病机理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来

SIR传染病模型

SIR模型是传染病模型中最经典的模型，其中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。 模型中把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感病者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。 传染病模型有着悠久的历史，一般认为始于1760年Daniel Bernoulli在他的一篇论文中对接种预防天花的研究.真正的确定性传染病数学模型研究的前进步伐早在20世纪初就开始了，Hamer, Ross等人在建立传染病数学模型的研究中做出了大量的工作.直到1927年Kermack与McKendrick在研究流行于伦敦的黑死病时提出了的SIR仓室模型，并于1932年继而建立了SIS模型，在对这些模型的研究基础上提出了传染病动力学中的阐值理论.Kermack与McKendrick的SIR模型是传染病模型中最经典、最基本的模型，为传染病动力学的研究做出了奠基性的贡献 摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字：常微分方程；传染病；动力学；SIR模型；感染率。 一﹑模型假设 1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 参考文献 《中北大学学报(自然科学版)》2006年02期传染系数为β(N)的SIR传染病模型 《生物数学学报》2008年01期具有周期传染率的SIR传染病的模型解

数学建模……传染病模型

摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。 描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。 问题重述 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，

数学建模 利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为 。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t 时刻的感染人数。 3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人） 4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 增加，就有 病人人数的到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ) (

基于Matlab的传染病动力学模型仿真平台

基于Matlab 的传染病动力学模型仿真平台 Simulation Platform of Epidemic Dynamics Model Based on MATLAB 摘要：开发了基于Matlab 的传染病动力学模型仿真平台，通过对传染病动力学模型进行动态仿真，可以对传染病动力学模型的变化进行观察和分析，同时在该仿真平台上，采用时滞微分方程、脉冲微分方程等数值算法实现对传染病模型进行数值模拟，是一个十分实用、方便的仿真操作平台。 关键字：传染病动力学模型；数值仿真；Matlab ；时滞微分方程 Abstract ：A simulation platform of epidemic dynamics model is developed by using Matlab. The simulation platform can be used in dynamics simulation of epidemic dynamics model, and the simulation could be used in results analysis. Based on the platform, Delay differential equations and impulsive differential equations of numerical algorithm can be used to numerical simulation of epidemic model and the multivariable control system simulation. Keywords ： Epidemic Dynamics Model ，Numerical Simulation ，Matlab ，Delay Differential Equations 1 引言 近年来，作为传染病研究的手段之一，利用计算机对传染病动力学模型进行数值仿真越来越受到人们的重视。诸如MA TLAB 中ODE45、DDE23等程序包，被人们普遍使用于传染病动力学模型的仿真中。近年来随着研究工作的深入，大量新的模型也逐渐受到人们的重视，如：时滞微分传染病模型；脉冲传染病模型；常微分、偏微分混合的传染病模型等。由于ODE45、DDE23等程序包不是针对传染病动力学模型所开发，无法解决以上这些模型的仿真问题，这些都给相关研究工作造成了一定的困难。本文利用MATLAB 提供的图形化用户界面（GUI ），结合时滞微分方程、脉冲微分方程等数值算法，并考虑传染病动力学模型的实际研究情况，开发了一套简单、实用的传染病动力学模型数值仿真平台。 2 传染病动力学模型的建立 从模型的数学结构来看，传染病动力学模型分为常微分模型、时滞微分模型、脉冲微分模型和偏微分模型等多种形式。以下以脉冲接种作用下的时滞传染病动力学模型为例，介绍模型的建立方法。“时滞”可以反映传染病的潜伏期，患者对疾病的感染期和恢复者对疾病的免疫期等实际现象，因此使用“时滞”模型更贴近实际。如Cooke 等人将时滞因素引入到SEIRS 传染病模型中，用时滞项来反映传染病的潜伏期，建立了如图1所示的仓室框图。 图1 SEIRS 模型的仓室框图 在此模型中，将传染地区的人群分为四类：用S(t)，E(t)，I(t)，R(t)分别表示t 时刻易感者、在潜伏期的感染者、染病者和移出者的数量。箭头所指方向可以清楚的显示出各类人群流动的情况，τ>0是模型的时滞项，代表疾病在人群中的潜伏期，r >0表示感染者被治愈后返回到易感人群中的速率，β>0是传染率系数，δ为感染者被治愈的比例，称为恢复率系数。在以上假设条件下，同时考虑脉冲接种因素，则对应的传染病动力学模型为： /()()()/()()()()/()()() /()() dS dt I t S t I t dE dt S t I t S t I t dI dt S t I t I t dR dt I t I t γτβββττβττδδγτ=--??=---??=---??=--? （1）

数学建模——传染病模型

百度文库- 让每个人平等地提升自我 传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

传染病疫情报告时限

传染病疫情报告时 限 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 三、首诊医生发现传染病后第一时间向传染病专干汇报，同 时报卡。传染病专干收到报告卡审核、登记并网报。报告时限：甲类和乙类中按甲类管理的传染病2小时内、其他乙类、丙类传染病24小时内通过传染病疫情监测信息系统进行报告。 四、传染病报告流程： 西安电子科技大学医院二O —三年十^一月五日 传染病分类和报告时限 《中华人民共和国传染病防治法》规定的传染病分为甲类、乙类和丙类，共三类37种。 甲类传染病2种，包括：鼠疫、霍

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3 -------------------- 精选公文范文 ------------------- 乱。 乙类传染病25种，包括：传染性非 典型性肺炎、艾滋病、病毒性肝炎、脊 髓灰质炎、人感染高致病性禽流感、麻 疹、流行性出血热、狂犬病、流行性乙 型脑炎、登革热、炭疽、细菌性和阿米 巴性痢疾、肺结核、伤寒和副伤寒、流 行性脑脊髓膜炎、百日咳、白喉、新生 儿破伤风、猩红热、布鲁氏菌病、淋病、 梅毒、钩端螺旋体病、血吸虫病、疟疾。 丙类传染病10种，包括：流行性感 冒、流行性腮腺炎、风疹、急性出血性 结膜炎、麻风病、流行性和地方性斑疹 伤寒、黑热病、包虫病、丝虫病，除霍 乱、细菌性和阿米巴性痢疾、伤寒和副 伤寒以外的感染性腹泻病。 上述规定以外的其他传染病，根据 其爆发、流行情况和危害程度，需要列 入乙类、丙类传染病的，由国务院卫生 行政部门决定并予以公布。 对乙类传染病中传染性非典型性肺 炎、炭疽中的肺炭疽和人感染高致病性 ---------- 精选公文范文 -----------

数学建模——传染病模型教案资料

数学建模——传染病 模型

传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS 等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

传染病问题的SIR模型

传染病问题中的SIR 模型 摘要： 2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI 模型，SIS 模型，SIR 模型等。在这里我采用SIR （Susceptibles ，Infectives ，Recovered ）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick 在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR 模型。 一﹑模型假设 1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下： 在假设1中显然有： s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1） 对于病愈免疫的移出者的数量应为 r t d N Ni d μ= （2）