几类传染病动力学模型的研究
福建师范大学
硕士学位论文
几类传染病动力学模型的研究
姓名：叶星旸
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：李学鹏
20060401
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人 和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i . 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型. 解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴ 由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为 ()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染. 于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有 i s N dt di N λ= (1)
i s dt di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则 ()()?????=-=0 01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-??? ? ??-+= 11110 ［结果分析］ 作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下： 1. 当2 1=i 时，dt di 取到最大值m dt di ?? ? ??，此时刻为 ??? ? ??-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.
(整理)传染病动力学.
传染病动力学模型 姓名：魏薇薇学号：2009210927 院系：数理与信息学院专业：系统理论 摘要：本文首先介绍传染病动力学的相关概念,接下来介绍两个基本的传染病动力学模型,最后建立一个传染病动力学的偏微分方程模型,并对模型做一些适当的分析. 关键词：传染病动力学;常微分方程;偏微分方程;数学模型 Model of Epidemic Dynamics Abstract：This article first introduces the concepts of epidemic dynamics, followed by two basic model of epidemic dynamics, finally it creates a partial differential equations model of epidemic dynamic ,and do some proper analysis to the model. Keywords：Epidemic dynamics;Ordinary differential equations;Partial differential equations;mathematical model 前言 传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态.传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际. 1 两个基本的传染病动力学模型 在传染病动力学中,长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”模型，它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年,但一直到现在仍然被广
数学建模 传染病模型
传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 三、模型假设 模型二和模型三的假设条件： 假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人
数学建模-传染病模型-
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关如何预报传染病高潮的到来为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
传染病的数学模型
传染病模型详解 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。建立的平均场方程：
(完整版)传染病动力学模型
传染病动力学模型 常微分方程 仓室建模法：1.将研究群体分类：感染者，健康者；潜伏者，感染者/免疫者，易感者2.将不同仓室用箭头加以连接（疾病传染规律）S->E->I->H；可再考虑出生、死亡、迁入建立转移图 疾病类型：得病后免疫力：终身免疫：单向，不循环/暂时免疫，可循环 由病原体类型划分：病毒/细菌（能否循环） 基本概念： 发生率：单位时间多少人被感染（双线性，标准型） 出生、死亡、额外（因病死亡率，输入，输出，隔离率，恢复率） 模型平衡点：无病平衡点DFE、地方病平衡点EE 经典SIR模型： 几个仓室几个变量，由转移图分别列常微分方程 基本再生数R0与阈值定理（现象）： R0<1:存在无病平衡点且局部稳定/全局渐进稳定，疾病最终绝灭 R0>1:DEF不稳定，存在地方病平衡点，全局渐进稳定，疾病最终流行 R0=γβτ, R0的意义：在全部是易感者群体中引入一个感染者，最终感染人数 降维：变量可选各仓室人数与总的比例 讨论平衡点存在性：各导数为0（由实际意义所有解的分量非负），DEF,EE 平衡点稳定性 理论分析+数字模拟验证 模型应用： 估计基本再生数，预测流行趋势 评估控制策略 估计流行周期，预测爆发 1.估计基本再生数： 解析法 统计方法（简单直接） 下一代矩阵方法：1.将种群分类，广义感染者与广义易感者 2.改写广义感染者X的动力学方程： 3.计算无病平衡点DEF： R0=ρ（FV?1） 2.控制策略评估： 实施群体免疫：群体免疫覆盖率ρ>=1?1/R0,R0要小一点 3.（1）存在周期解（2）发生环绕地方病平衡点的阻尼振荡 SIR模型没有周期解，但EE可能是稳定焦点 课计算出EE的特征值，若根号里<0，则共轭复数根
传染病传播数学模型
第二节传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数， k表示每个病人单位时间内传染的人 数，i(0)= i表示最初时有0i个传染病人，则在t?时间内增加的病人 数为 ()()() i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （2.1） 其解为 ()00 k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病的数学模型
222 SI/SIS,SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态 S ,易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。 I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。 R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况， 即一个个体被感染， 就永远成为感染态， 向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为 Γι ,总人数为 N ,在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下: dS - SI dU ：SI .t N 从而得到 对此方程进行求解可得: ∣o e ∣(t) ------- —∣o +i °e 可见，起初绝大部分的个体为 I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。 与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为 S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的 R 态。而有些节点可能会从 S 态转变I 态，因此简单 的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现 SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。 采用与病毒传播相似的过程中的 S , I , R 态 代表传播过程中的三种状态。 Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为 S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率,（k ）变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率: （k ）变为R ,如图2.9所示。建立的平均场方程: 传染病模型详解 [,i ° =K O ) BI 1 9 SlR 權峑眄优■业趨图
数学建模论文-传染病模型)
传染病模型 摘要 “传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 二．问题的分析 2.1 问题分析 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。 2.2模型分工
数学建模_传染病模型 (1)
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 病人人数的增加，就有 到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ)(t t x t x t t x ?=-?+)()()(λ 程有个病人，即得微分方时有再设00x t = )1()0(,d d 0x x x t x ==λ 方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ= 结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人
传染病传播的数学模型_上课
微分方程模型 [学习目的] 1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程 的方法及微分方程的求解过程； 2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧； 3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法； 4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否 有效； 5.体会微分方程建摸的艺术性。 在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科量的问题可以用微分方程来描述。正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民1972年版第295页）。要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。 §17.1、传染病传播的数学模型 [学习目标] 1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键 性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧； 2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播； 3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。 以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与
传染病数学建模论文
甲型H1N1流感传播模型研究 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。 一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的 焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于 这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组， 按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量：
三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型 1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生 死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。所以有： () ()()dS t S t I t dt λ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 () ()dR t I t dt ν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 () ()()()dI t S t I t I t dt λν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解
传染病传播的数学模型
传染病传播的数学模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
传染病传播的 数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人，则在t ?时间内增加的病人数为 ()()()0i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （） 其解为 ()00k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成 正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病问题中的SIR模型说课讲解
假设：1?信息具有足够的吸引力，所有人都感兴趣， 并传播。 2.人们对信息在一定时间内会失去兴趣。 传染病问题中的SIR模型 摘要： 2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Susceptible. Infectives，Recovered模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据，维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR模型。 一、模型假设 1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因 素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles),其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。 2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入，日治愈率(每天被治愈的 病人占总病人数的比例)为常数卩，显然平均传染期为1/卩，传染期接触数为c =入/卩。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 、模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下: r 口i —
数学建模_传染病模型
传染病模 摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。 描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
数学建模 问题重述 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人） 4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化 情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。 但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素
1传染病动力学模型简介
传染病动力学模型简介 摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾 病提供决策依据。本文介绍传染病动力学的最基本模型――SIR模型，综述了各种传染病模型在医学领域的应用，探讨传染病动力学模型的发展进程和研究动向。 关键词：传染病；动力学模型；SIR模型 A brief introduction to dynamics model of infectious diseases Abstract:The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made, and we also reviewed the application of several dynamic models and discussed its future direction in the paper. Key words: epidemic; dynamic model; SIR model 传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。对传 染病发病机理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来
传染病的数学模型
传染病模型详解 2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。建立的平均场方程：
基于Matlab的传染病动力学模型仿真平台
基于Matlab 的传染病动力学模型仿真平台 Simulation Platform of Epidemic Dynamics Model Based on MATLAB 摘要：开发了基于Matlab 的传染病动力学模型仿真平台，通过对传染病动力学模型进行动态仿真，可以对传染病动力学模型的变化进行观察和分析，同时在该仿真平台上，采用时滞微分方程、脉冲微分方程等数值算法实现对传染病模型进行数值模拟，是一个十分实用、方便的仿真操作平台。 关键字：传染病动力学模型；数值仿真；Matlab ；时滞微分方程 Abstract ：A simulation platform of epidemic dynamics model is developed by using Matlab. The simulation platform can be used in dynamics simulation of epidemic dynamics model, and the simulation could be used in results analysis. Based on the platform, Delay differential equations and impulsive differential equations of numerical algorithm can be used to numerical simulation of epidemic model and the multivariable control system simulation. Keywords ： Epidemic Dynamics Model ，Numerical Simulation ，Matlab ，Delay Differential Equations 1 引言 近年来，作为传染病研究的手段之一，利用计算机对传染病动力学模型进行数值仿真越来越受到人们的重视。诸如MA TLAB 中ODE45、DDE23等程序包，被人们普遍使用于传染病动力学模型的仿真中。近年来随着研究工作的深入，大量新的模型也逐渐受到人们的重视，如：时滞微分传染病模型；脉冲传染病模型；常微分、偏微分混合的传染病模型等。由于ODE45、DDE23等程序包不是针对传染病动力学模型所开发，无法解决以上这些模型的仿真问题，这些都给相关研究工作造成了一定的困难。本文利用MATLAB 提供的图形化用户界面（GUI ），结合时滞微分方程、脉冲微分方程等数值算法，并考虑传染病动力学模型的实际研究情况，开发了一套简单、实用的传染病动力学模型数值仿真平台。 2 传染病动力学模型的建立 从模型的数学结构来看，传染病动力学模型分为常微分模型、时滞微分模型、脉冲微分模型和偏微分模型等多种形式。以下以脉冲接种作用下的时滞传染病动力学模型为例，介绍模型的建立方法。“时滞”可以反映传染病的潜伏期，患者对疾病的感染期和恢复者对疾病的免疫期等实际现象，因此使用“时滞”模型更贴近实际。如Cooke 等人将时滞因素引入到SEIRS 传染病模型中，用时滞项来反映传染病的潜伏期，建立了如图1所示的仓室框图。 图1 SEIRS 模型的仓室框图 在此模型中，将传染地区的人群分为四类：用S(t)，E(t)，I(t)，R(t)分别表示t 时刻易感者、在潜伏期的感染者、染病者和移出者的数量。箭头所指方向可以清楚的显示出各类人群流动的情况，τ>0是模型的时滞项，代表疾病在人群中的潜伏期，r >0表示感染者被治愈后返回到易感人群中的速率，β>0是传染率系数，δ为感染者被治愈的比例，称为恢复率系数。在以上假设条件下，同时考虑脉冲接种因素，则对应的传染病动力学模型为： /()()()/()()()()/()()() /()() dS dt I t S t I t dE dt S t I t S t I t dI dt S t I t I t dR dt I t I t γτβββττβττδδγτ=--??=---??=---??=--? （1）