沪科版九年级上册数学知识点整理

第

21 章

二次函数与反比例函数

【知识点 1

函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】

1. 形如 y ax 2 bx c （a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数；

2. 形如 y

k

(k

0) 的函数叫做 x 的反比例函数；

典例 1

x

y 是 x

在下列函数表达式中，表示 的二次函数关系的有

。

① y 1

3x 2 ；② y

x(x

5) ；③ y

1 ；④ y 3( x 1)( x 2) ；⑤ y x 4

2x 2 1 ；

3x 2

⑥ y (x 1)2

x 2 ；⑦ y ax 2

bx c

典例 2

在下列函数表达式中，表示 y 是 x

的反比例函数关系的有

。

① y

3

；② y

k

；③ y

3

；④ y

1

2 ；⑤ y

1 ；⑥ y 2x 1 ；⑦ xy

2

2x

x

x 1

x

x 2

典例 3

若函数 y

(a

2)x

a 2

2

是反比例函数，则

a=

,若是二次函数，则

a=。

【知识点 2 二次函数的图象与性质】

函数

y ax 2

bx c(a, b, c 是常数 , a 0)

a 的值

a ＞ 0

a ＜0

1. 抛物线开口

，并向 无限延伸； 1. 抛物线开口 ，并向 ； 2. 对称轴是 ，顶点坐标 2. 对称轴是 ，顶点坐标 （ ， ）； （ ， ）

3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 性质

当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而增大；

4. 抛物线有最 点，当 x= 时，y 4. 抛物线有最 点，当 x= 时，

有最

值， y ___

4ac b 2 ；

y 有最

值， y ___

4ac b 2 ；

4a

4a

典例 4 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：则下列判断中正确 的是（

）

x

-1 0 1 2 y

-3 1 3 1 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 C. 当 x=4 时， y ＞0 D. 方程 ax 2+bx+c=0 的正根在 2 与 3 之间 典例 5 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若

点 M （-2 ，y 1 ）， N （﹣ 1，y 2）， K （8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象上，则

下列结论正确的是（）

A.y 1 ＜ y 2＜ y 3 B ．y 2＜ y 1 ＜y 3

C ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2

D ． y 1＜ y 3 ＜y 2

【知识点 3 二次函数解析式的确定】

1. 待定系数法：

一般式： y=ax2+bx+c(a ≠0)

2

顶点式： y a( x h)k(a (条件：任意

0) （条件：

点坐标 )

坐标 +任意点坐标）

交点式：y a( x x1 )( x x2 )（条件：与轴两交点坐标及任意点坐标）

2.平移规律：左加右减，上加下减

典例 62

抛物线 y＝ax +bx+c 与 x 轴交于点 A（－ 3，0），对称轴为 x＝－ 1，顶点 C 到 x 轴的距离为 2，则此抛物线表达式为。

典例 7抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（ 2，4），则这个函数的关系式为

。

典例 8抛物线 y=x2+bx +c 向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的表达式为2

，则 b=，c=。

y=x -2x-3

典例 9若抛物线y=x2+2bx+4的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为。

【知识点 4二次函数系数与图象】

考查角度 1：判断 a、 b、c 与 0 比较大小，决定了开口方向，和共同决定了对称轴的位置（左同右异），决定了抛物线与y 轴交点；（填 a、b、c）

222

考查角度 2：判断 b -4ac ，b -4ac>0 （图象与坐标轴有个交点），b -4ac=0(图象与坐

2

标轴有个交点 ), b -4ac<0( 图象与坐标轴交点)。

考查角度 3：判断 2a+b与 0 比较大小，用对称轴 x=与 1 比较大小即可（解不等式过程中注意

a 的符号），判断 2a-

b 与 0 比较大小，用对称轴 x=与 -1 比较大小即可。

考查角度 4：（1）判断 a+b+c 与 0 比较，可将 x=1 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值

在 x 轴上方还是下方判断即可；判断 a-b+c 与 0 比较，可将 x=-1 代入抛物线解析式，观察此

时图象函数值在 x 轴上方还是下方判断即可；

（ 2）判断 4a2b c 与 0 比较大小，可将 x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值

在 x 轴上方还是下方判断即可；

（ 3）判断 9a3b c 与 0 比较大小，可将 x=代入抛物线解析式，观察此时图象函数值

在 x 轴上方还是下方判断即可；之后判断同理??

典例 10：如图，是抛物线 y＝ax2+bx+c (a ≠ 0)的部分图象，则下列结论：

① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b 2 -4ac>0；④ a+b+c>0；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0 ；⑦ 2c<3b 其中正确的结论有。

典例 11 如图，是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：

①a－b＋c>0；② 4a＋c>2b；③ 2a-b<0；④ b2＝4a(c －m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m －1 有两个不相等的实数根．其中正确结论有。

典例 12 如图，抛物线 y=ax2 +bx+c（a≠0）的对称轴为 x=-1 ，与 x 轴的一个交点在（ -3 ，0）和（ -2 ，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

①abc ＞0 ；② b 2-4ac ＞0；③ 2a=b ；④a+b+c ＞0；⑤3b+2c ＜0；

⑥ t（at+b ）≤a-b （t 为任意实数）。其中正确结论有。

【知识点 5 二次函数与一元二次方程】一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴

的交点坐标，因此一元二次方程中的2

（1）当△ >0 时，图像与 x 轴有个交点；

（2）当△ =0 时，图像与 x 轴有个交点；

2

2

典例 13二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠ 0)的图象如图所示，求：

(1)函数解析式 _________________ ；

(2)当 x______ 时， y 随 x 增大而减小；

(3)由图象回答：

当y＞ 0 时， x 的取值范围 ______ ；

当y＝ 0 时， x ＝ ______ ；

当y＜ 0 时， x 的取值范围 ______ ；

(4)方程ax2＋bx＋c=－3的解为：______．

典例 14 已知二次函数

y=ax +bx+c

的图象如图所示，且关于 x 的一元二次

2

(a ≠ 0) ax 2+bx+c-m=0 没有实数根，则 m 的取值范围是

。

【知识点 6 二次函数的应用】

典例 15 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/ 件．试营销阶段发现：当

销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件．

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A 、B 两种营销方案： 方案 A ：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；

方案 B ：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

典例 16

王强在一次高尔夫球的练习中，

在某处击球，其飞行路线满足抛物线

y

1 x

2 8

x ，其中 y （m ）是球的飞行高度， x(m) 是球飞出的水平距离，结果球离 5

5

球洞的水平距离还有 2m ．

(1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． (2) 请求出球飞行的最大水平距离．

(3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

【知识点 7 反比例函数图象与性质】 典例 17

在函数 y

a 2

1

（a 为常数）的图象上有三点（ -3 ，y 1），（-1 ，y 2），

x

（2，y 3），则函数值 y 1 ，y 2， y 3 的大小关系是

。

典例 18 如下图，直线l x轴于点P，且与反比例函数y1k

1 ( x0)及y2

k

2 (x 0) x x

图像分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知△ OAB的面积为 2，则k1k2=。

第 18题图第19题图

【知识点8 函数与一次函数综合】

典例 19如图，已知 A（-4 ，n）， B（2，-4 ）是一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y m 的

x 图像的两个交点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线 AB与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB的面积；

（3）由图像求：不等式 kx b m

0 的解集；x

典例 20 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线

y 1

2 与 x

轴交于点，与

y

轴交于x A

2

点 C。抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 x 3

，且经过 A、C两点，与 x 轴的另一交点为

点 B。

2

（1）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．

【知识点 1

第22 章相似三角形比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）

典例 1（ 1）已知a

b

c

,且3a2b c 9, 求2a+4b-3c=；578

（2）若 x 是 a、b 的比例中项，那么。

典例 2若a

c e7, 且 2b3

d f0, 那么

2a

3c e =。

b d f32b3d f

典例 3已知 k a b c a b c b c a

,则 k的值

是。

【知识点 2

c b a

黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）

典例 4点C 是线段 AB的黄金分割点，且 AB=6cm，则 BC=。

典例 5已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点 (AC＞ BC) ，则下列结

论正确的是 ()

A ． A

B ＝AC?B

C B．BC＝ AC?BC C ．AC＝51

BC D． BC＝

3 5

AB

22

22【知识点 3平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）

典例 6如图， AD 为△ ABC 的中线， AE＝

1

AD，BE 的延长线交 AC于点 F ，DH∥BF ，则

3

AF

的值是多少？

CH

典例 7如图，在△ ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD

【知识点 4 相似三角形基本模型】

典例 8 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、 F 在 BC 上，另外两个顶 点 G 、 H 分别在 AC 、 AB 上， BC = 15 ， BC 边上的高是 10，求正方形的面积。

典例 9 如图，四边形 ABCD 中，∠ B= ∠D=90 °，M 是 AC 上一点，

ME ⊥ AD 于

点 E ， MF ⊥ BC 于点 F ，求证：

MF ME

1 AB CD

典例 10 如图，点 D 是 AB 边的中点， AF ∥BC ，CG ： GA=3:1 ， BC=8 ，求 AF 的长。

典例 11 如图，在 △ ABC 与 △ ADE 中，∠ ACB= ∠ AED=90°，∠ ABC= ∠ ADE ，连接 BD 、CE ，若 AC ：BC=3 ： 4，求 BD ： CE 的值.

典例 12 △ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 、 F 分别在 BC 、AB 、 AC 上， ∠ EDF= ∠ B ．

(1) 如图 1，求证： DE ·CD=DF ·BE ；

(2) 如图 2，若 D 为 BC 中点，连接 EF ．求证： ED 平分∠BEF ．

【知识点 5 相似证明中的比例式】

典例 13已知：如图，△ABC 中， CE ⊥ AB ， BF⊥ AC ，求证：AE

AC AF AB

典例 14 如图， CD 是 Rt△ ABC 的斜边 AB 上的高，∠ BAC 的平分线分别交 BC 、 CD 于

点 E、F，求证： AC ·AE=AF · AB.

典例 15已知：如图，△ ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB 于 D，交BC 延长线于 F。求证： CD 2 =DE· DF。

典例 16 如图，△ABC 中， AD 平分∠ BAC ， AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于

F．求证： DF2＝ FB·FC．

典例 17如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AD⊥ BC，E是AC的中点，ED交

AB 的延长线于点F．求证：

AB DF

AC AF

【知识点 6 相似三角形的性质】

典例 18 已知 △ ABC ∽△ DEF ，若 △ ABC 与 △ DEF 的相似比为 2： 3，则 △ABC 与 △ DEF 对应边上的中线的比为 ___________. 典例 19 若两个相似三角形的周长之比为 2： 3，则它们的面积之比是 __________. 典例 20 如图， D 、 E 分别是 △ABC 的边 AB 、 BC 上的点， DE ∥ AC ，若 S △BDE ： S △CDE ＝ 1： 3，则 S △DOE ：S △AOC 的值为（ ） A.

1

B.

1

C.

1

D.

1 3 4 9

16

第20题 图 第 21 题 图 典例 21 如图，在 △ ABC 中， M 、 N 分别是 AB 、AC 上的点， MN ∥ BC ，若 S △ MBC ：S △CMN =3 ：1，则 S △AMN ：S △ ABC = ．

【知识点 7 位似图形】

典例 22 如右图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 放大得到 △DEF . 若 AD ＝ OA ，则 △ABC 与 △DEF 的面积之比为 ( ) A ．1∶ 2 B ． 1∶4 C ． 1∶5 D ． 1∶ 6 典例 23 如图，在平面直角坐标系中，每个虚线网格代表一个边长为 1 个单位长度的小正方形．

（1）请以原点 O 为位似中心， 将 △ABC 作位似变换得到 △DEF ，且 △ DEF 与 △ ABC 的相似比为 2:1.

（2）已知在 △ ABC 的边上有一点 P ，其坐标为（ a ， b ），则 P 点在 △ DEF 上 的对应点的坐标为 ．

典例 24 如图， AD 是△ABC 的角平分线线，求证： AB:BD=AC:CD.

A

B

D

C

第 23 章解直角三角形

【知识点1锐角三角函数概念】

1、如图，在△ ABC中，∠ C=90°

①锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记为 sinA ，即

A的对边（）

sin A

斜边（）

②锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记为 cosA，即

A的邻边（）

cos A

斜边（）

③锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记为 tanA，即

A的对边（）

tan A

A的邻边（）

2、锐角三角函数的概念

锐角 A 的正弦、、都叫做∠ A的锐角三角函数

【知识点2一些特殊角的三角函数值】

特殊角α三角函数30°45°60°sin α

cosα

tan α

典例 1：（tan60o2o o -1

5)

0 -2） + sin 45 1 +（ tan 30 ） (

【知识点3三角函数的性质】

1、∠ A+∠B=90°，则 sinA=； cosA=

2、∠ A+∠B=90°， tanA · tanB=

22

， tan A sin A

3、sin A+cosA=（）

4、0°<∠A<45°,sinA cosA; 45°<∠A<90°,sinA cosA (填<,>或=)

sinA

7 cosA

典例 2：已知 0°<∠A<45°，5

，（ 1）求 sinA ·cosA；（2）求 sinA-cosA 。

【知识点 4 锐角三角函数的增减性】

当角度在 0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大而，随着角度的减小而；（2）余弦值随着角度的增大而，随着角度的减小而；（3）正切值随着角度的增大而，随着角度的减小而；

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沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数的性质 2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2b x a >-y x 时，有最小值．2b x a =-y 244ac b a - 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ???，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2 b x a <-y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值．y 2 44ac b a -二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）； 2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 4. 一次项系数b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab a b x 2- =y 0>ab y 0y x y ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 0c =y y 0

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c

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第 21章 二次函数与反比例函数 【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】 1. 形如2 y ax bx c =++（a ≠0）的函数叫做x 的二次函数； 2. 形如(0)k y k x = ≠的函数叫做x 的反比例函数； 典例 1 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的二次函数关系的有 。 ①213y x =-；②(5)y x x =-；③21 3y x =；④3(1)(2)y x x =+-；⑤4221y x x =++； ⑥22(1)y x x =--；⑦2y ax bx c =++ 典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 。 ①32y x =-；②k y x =-；③31y x -=+；④12y x =-；⑤21 y x =；⑥12y x -=- ；⑦xy =典例 3 若函数 22 (2)a y a x -=-是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 。 典例 4 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表：则下列判断中正确C.当x=4时，y ＞0 D.方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间 典例 5 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 【知识点 3 二次函数解析式的确定】

沪科版九年级数学上册期末测试题

唐玲制作仅供学习交流 期末测试题 本检测题满分:120 分，时间:90 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线向右平移 3 个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（） A. B. C. D. 2. 如图，P是 Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P 作直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 1 2 1 3. 把二次函数y x2 3x 的图象向上平移3个单位，再向右平移 4 个 22 单位，则两次平移后的图象的函数关系式是（） 1 2 1 2 A. y (x-1)2 7 B. y (x 7)2 7 22 1 2 1 2 C. y (x 3)2 4 D. y (x-1)2 1 4. 如图，△ ABC 中，点 D 在线段BC 上，且△ ABC∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，△ ABC 中，D、E分别为AC、BC 边上的点，AB∥DE，CF 为AB 边上的中线，若AD＝5，CD ＝3， DE ＝4，则BF 的长为（）

唐玲制作仅供学习交流 C.10 A. 32 B.16 D.

6. 二次函数无论k 取何值，其图象的顶点都在（ A. 直线上 B. 直线上 C.x 轴上 D.y 7. 如图，在Rt△ABC 中， C 90，AC=1 cm ， 以 1 cm/s 的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到 A 点.设点P 的运动时间 轴上 BC=2 cm，点P从点 A 出 发， 为x（s），线段AP 的长度为y（cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图 象 8.如 图， 在Rt△ ABC AD 中，∠ C=90 ，，点 D 在AC 上，，则D A C D的值为（） A. 3 B. 22 C. 3 1 D.不能确定 9.如 图， 在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于点E，设∠， 且 3， 5 AB＝4，则AD 的长为 （ A. 3 16 B. 3 20 C. 3 16 D. 5 第8 题 图 10. 已知反比例函数 y= k的图象如图所示，则二次函数 x22 y 2kx2 4x k2的图象大致为（） 、填空题（每小题 3 分，共24分）

沪科版初中数学九年级上册教学总结

数学教学工作总结 今学期已结束，在本学期的教育教学工作中，我担任九年级（4）班的数学教学，虽经过一学期努力，但与兄弟学校存在一定差距，究其原因，主要忽略了学生心理方面的教育，影响了考试成绩的提高，为了今后在教育教学工作中做更加完善，为了克服缺点，发扬成绩，现总结如下： 1、做好课前准备工作：除认真钻研教材，研究教材的重点、难点、，吃透教材外，还要深入了解学生，但也要考虑到学生通过学习会有变化，我根据学生情况拟定了课堂上辅导方案，使课堂教学中的辅导有针对性，避免盲目性，提高了实效。在了解学生中还要注意了解每个学生的知识水平、智力水平和个性心理品质，考虑影响学生学习的各种因素，并研究相应对策。把教材和学生实际很好地结合起来。 2、做好课堂工作：(1)首先搞好组织教学，这是顺利进行正常教学的保证。我们知道，组织教学的任务就是把全班学生的注意力自始至终组织到当堂课的学习任务上来。教师既要亲切又要严肃，要使课堂气氛活而不乱，尽量避免学生产生压抑和过度焦虑，使学生在和谐的气氛中发挥出正常的智力水平，高效地进行学习。(2)其次是复习旧课，引入新课。根据学生掌握知识的情况以及涉及本课的有关知识进行复习，要简明扼要，抓住要点，点穿实质，然后，自然过渡，引入新课，，明确学习要求，以保证教学过程的计划性和完整性。充分地照顾了学生学习上的差异，，达到了班集体与个别化相结合。(3)再次是学生根据教师要求独立进行学习活动。在理解教材内容的基础

上做练习，每做一道大题或一个练习就核对答案，改错，及时反馈学习效果，自己不能解决的问题及时请教老师。在学生自学、自练、自检等独立活动中，教师一方面巡回辅导，另一方面根据备课时所掌握的学生情况，具体地，有目的地，有针对性地帮助指导每一个学生。具体地说，对于学习思维品质不踏实的学生，要注意用具体的事例，通过严格要求，逐渐培养他们的踏实品质；对于学习成绩优异者，应指导他们向深度、广度发展，向他们提出进一步深入学习的要求，并具体落实，让他们能够充分利用课堂上这段宝贵的时间，充分发挥其潜力，提高效率，超额超前完成学习任务，对于学习基础较差，思维不敏捷的学生，应加强重点辅导。在这里教师掌握每个学生的情况和把握整个课堂，始终处于积极主动的状态非常重要。在教师主动积极的辅导中，要善于根据学生的不同情况，设计不同的问题，采用不同的方式，主动地去引导、启发学生，可问他是怎样想的？怎佯理解的？听一听他们的见解掌握他们的情况，并进行有针对性，切合实际的个别辅导，真正做到因材施教。这对于提高差生，大面积提高初中数学教学质量是会起到一定作用的。差生形成的原因虽然是多方面的，但是学生的学习基础，学习兴趣，学习动机，学习方法等方面是值得引起我们注意的问题。在课堂教学中，教师加强了对差生的辅导，耐心地帮助他们，一方面解决了学习中产生的问题，补了基础，教了方法，更重要的是增强了他们的信心，提高了他们的兴趣，对他们精神上是一个很大的激励，他们感到教师关心他，从未放弃他，只要老师坚持不懈，会逐渐增强学生的学习兴趣，从而产生强烈的学习动机，不断地提高学习水平。我们深信，对于差生的事，只要我们的工作真正做到家，在自学辅导教学中，是会有所收获的。 3、课后做好作业检查和辅导。‘ ４、抓好单元目标过关测试。

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一、有理数 七年级上 1. 正整数、0、负整数统称为整数（0 不是正数也不是负数）；正分数、负分数 统称为分数；整数和分数统称为有理数。凡是可以写成 q ≠ 0）形式的数，都是有理数。 （p 、q 为整数且 2. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（任意一个有理数都可以用 数轴上的一点来表示）。 3. 只有符号不同的两个数互为相反数（0 的相反数为 0）。 a 、 b 互为相反数?a+b=0（相反数的和为 0） 4. 在数轴上，表示数 a 的点到原点的距离，叫做数 a 的绝对值，记做|a |。 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。5. 有理数大小比较 （1） 正数大于 0,0 大于负数，正数大于负数； （2） 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （3） 正数的绝对值越大，这个数越大； （4） 负数的绝对值越大，这个数越小。 6. 有理数的加减运算 加法法则 （1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2） 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值； （3） 一个数与 0 相加仍得这个数。 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 7. 乘积为 1 的两个数互为倒数（0 没有倒数）。

a、b 互为倒数?ab=1（倒数的积为1） 8.有理数的乘除运算 乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与0 相乘仍得0； （3）几个数相乘，符号由负号个数决定。 除法法则（除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数） （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）0 除以一个不为0 的数仍得0（0 不能做除数）； （3）几个数相除，符号由负号个数决定。 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律：(ab)c=a(bc)； 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。 9.求n 个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫过幂；相同因数叫做底数；相同因数的个数叫做指数。 10.乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算。 11.一般地，一个绝对值大于10 的数都可以记成±a×10n 的形式，其中 1≤a<10，n 等于原数的整位数减1。这种记数方法叫做科学记数法。 12.一个与实际数值很接近的数称为近似数。一个数的近似值与它准确值的差， 叫做误差（误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，即近似程度越高）。 近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。从左边第一个不为0 的数字起，到精确的位数止，所有数字叫做这个近似数的有效数字。 二、整式加减 1.能被2 整除的为偶数，反之为奇数。

沪科版九年级数学上册教案全册教案

23.1 二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC2 2．x 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x 的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

沪科版九年级数学上册全册教案

21.1二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x) 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

沪科版初三数学知识点总结

初三数学知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. () 2 y a x h =-的性质：

左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

沪科版八年级数学下册知识点归纳总结

沪科版八年级数学下册知识总结 一元二次方程知识点： 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的 有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以 下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122 ,1= -=+-±-=， ； 5. 一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)x a a =≥ 解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一根为0 290(3)(3)0x x x -=?+-= 230(3)0x x x x -=?-= 22694(3)4x x x -+=?-=

沪科版数学九年级上册10月月考试题

舒三中学—第一学期月考 九年级数学试卷 (命题人：吴孝兵) 一.选择题(10×4) 1.二次函数 2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A ．– 2 B ．2 C ．– 1 D ．1 2.如图，抛物线 0)(2 ＞a c bx ax y ++=的对称轴是直线x = 1 且经过点P(3，0），则a – b + c 的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 3.二次函数 3)1(22+-=x y 的图象的顶点坐标是（ ） A ．(1，3) B ．( – 1，3) C ．(1，– 3) D ．(– 1，– 3) 4.函数y = ax+b 和y = ax 2+bx + c 在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 5.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.下列命题：其中正确的是（ ）． ①若a + b + c = 0，则b 2 – ac ≥0； ②若b ＞a + c ，则一元二次方程ax 2+bx + c = 0有两个不相等的实数根； ③若b = 2a + 3c ，则一元二次方程ax 2+bx + c = 0有两个不相等的实数根； ④若b 2 – 4ac ＞0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 7.如图所示是二次函数22 12 +- =x y 的图象在轴上方的一 部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积， 你认为与其最接近的值是（ ） A ．4 B ． 3 16 C ． D ． 8.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个 单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 A ．y ＝2(x －2) 2 + 2 B ．y ＝2(x + 2) 2－2 C ．y ＝2(x －2) 2－2 D ．y ＝2(x + 2) 2 + 2 9.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数x k y =过点， 则k 的值是（ ） x 2π8A –1 3 3 1 x y C O A B Ｏ x y 学校：___________ 班级：______ 姓名：________________学号：________

沪科版圆知识点梳理

圆的基本性质 【知识点】 1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题】 例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米 例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例题1图 例题2图 例题3图 例题4图 例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 【检测】 1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62° 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识点】 1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质： 3.三角形与圆的特殊位置关系： 4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）

沪科版九年级上册数学 全册教案

学期：2012至2013学年度第一学期学科：初中数学 年级：九年级（上册） 授课班级：九（） 授课教师： 2012年9月

曹店中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。

沪科版九年级数学上册知识点总结

沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当 2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 4. 一次项系数b ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 相似三角形基本知识 一．比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 二．黄金分割 1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2 =AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB 。 三．平行线分线段成比例定理 1.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

2019沪科版九年级上册数学全册教案

备课本沪科版九年级上册 数学 全册教案 班级______ 教师______ 日期______

中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)3销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)3100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。

九年级数学(沪科版)上册测试卷

九年级数学（沪科版）上册测试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 )2(-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（0，2） D ．（0，－2） 2．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A.5=x B.1=x C.2=x D.3=x 3．抛物线y ＝x 2 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. y ＝x 2＋4x ＋5 B. y ＝x 2＋4x ＋3 C. y ＝x 2－4x ＋3 D.y ＝x 2 －4x ＋5 4．已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝3b ，则cosA 等于（ ） A ． 3 1 B ．32 C ．332 D ．310 5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝ 2 3 ，则tanB ＝（ ） A ． 5 3 B ．5 C ．25 D ．5 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7. 如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC ＝（ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶4 8．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ） A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ．AC AP AB AC = D ．AB AC BC PC = （ 第6题图 ） （ 第7题图 ） （ 第8题图 ） 9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ?∶OCD S ?＝1∶2，则AOD S ?∶BOC S ?＝（ ） A ． 61 B ．31 C ．4 1 D ．66 10．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<； ②1a b c -+>； ③0abc >； ④420a b c -+<； ⑤1c a ->。 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ A E D C B O 1 1 y

沪科版九年级上册数学知识点整理

第 21 章 二次函数与反比例函数 【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】 1. 形如 y ax 2 bx c （a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数； 2. 形如 y k (k 0) 的函数叫做 x 的反比例函数； 典例 1 x y 是 x 在下列函数表达式中，表示 的二次函数关系的有 。 ① y 1 3x 2 ；② y x(x 5) ；③ y 1 ；④ y 3( x 1)( x 2) ；⑤ y x 4 2x 2 1 ； 3x 2 ⑥ y (x 1)2 x 2 ；⑦ y ax 2 bx c 典例 2 在下列函数表达式中，表示 y 是 x 的反比例函数关系的有 。 ① y 3 ；② y k ；③ y 3 ；④ y 1 2 ；⑤ y 1 ；⑥ y 2x 1 ；⑦ xy 2 2x x x 1 x x 2 典例 3 若函数 y (a 2)x a 2 2 是反比例函数，则 a= ,若是二次函数，则 a=。 【知识点 2 二次函数的图象与性质】 函数 y ax 2 bx c(a, b, c 是常数 , a 0) a 的值 a ＞ 0 a ＜0 1. 抛物线开口 ，并向 无限延伸； 1. 抛物线开口 ，并向 ； 2. 对称轴是 ，顶点坐标 2. 对称轴是 ，顶点坐标 （ ， ）； （ ， ） 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 性质 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 4. 抛物线有最 点，当 x= 时，y 4. 抛物线有最 点，当 x= 时， 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； y 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； 4a 4a 典例 4 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：则下列判断中正确 的是（ ） x -1 0 1 2 y -3 1 3 1 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 C. 当 x=4 时， y ＞0 D. 方程 ax 2+bx+c=0 的正根在 2 与 3 之间 典例 5 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若 点 M （-2 ，y 1 ）， N （﹣ 1，y 2）， K （8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象上，则 下列结论正确的是（） A.y 1 ＜ y 2＜ y 3 B ．y 2＜ y 1 ＜y 3 C ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 D ． y 1＜ y 3 ＜y 2 【知识点 3 二次函数解析式的确定】 1. 待定系数法：