沪科版九年级数学上册教案全册
沪科版九年级数学上册教案
21．1二次函数
1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)
2．能根据实际情况建立二次函数模型．(难点)
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的概念
【类型一】二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y＝2－x2; (2)y＝1
x2－1
；
(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.
解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故y＝1
x2－1
不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)．
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；
②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y＝(k＋2)xk－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解析：紧扣二次函数定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0.
解：根据题意知?
??
??k 2－2＝2，
k ＋2≠0，?
????k ＝±
2，k ≠－2，∴k ＝2. 方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax 2
＋bx ＋c .
【类型三】 与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝1
8
.
求这个二次函数中各项系数的和．
解析：
解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝1
2；x ＝－1，
y ＝18
分别代入函数表达式，得?????c ＝0，
4a ＋2b ＋c ＝12，
a －
b ＋
c ＝18，解得?????a ＝18，b ＝0，c ＝0.所以这个二次函数的表达式为
y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为1
8
. 方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．
探究点二：建立二次函数模型
某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需
降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元．
(1)请写出y 与x 的函数表达式，并求出自变量x 的取值范围； (2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？
解析：根据题意可以知道：实际每件商品的利润为(60－x －40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x )，则每星期售出商品的利润为y ＝(60－x －40)(300＋20x )元，化简，注意要求出自变量x 的取值范围．
解：(1)由题意，得： y ＝(60－x －40)(300＋20x ) ＝(20－x )(300＋20x ) ＝－20x 2＋100x ＋6000，
自变量x 的取值范围为0≤x ≤20；
(2)把x ＝15代入y ＝－20x 2＋100x ＋6000得y ＝3000(元)，即当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为3000元．
方法总结：销售利润＝单件商品利润×销售数量；单件商品利润＝售价－进价． 三、板书设计
二次函数???????1.概念：一般地，表达式形如y ＝ax 2＋bx ＋c
（a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数，其中x 是自变量2.二次函数的识别
3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）
4.求函数值
5.建立二次函数模型
6.确定自变量的取值范围
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数
学建模的思想方法．
第21章二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
21．2二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2的图象和性质
1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)
2．会用描点法画出二次函数y ＝ax 2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)
4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．
一、情境导入
我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？
我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】 画二次函数
y ＝ax 2的图象
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝1
2x 2；②y ＝2x 2；③y ＝－
12
x 2
；④y ＝－2x 2.根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O 为中心，对称地选取x 的值，列出函数的对应值表．
解：列表：
描点、连线，函数图象如图所示．
(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；
(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－1
2x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，
这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．
方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．
(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．
(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2. (4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．
【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断
当ab >0时，抛物线y ＝ax 与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是
( )
解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限．当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y ＝ax ＋b 过第二、三、四象限．故选D.
方法总结：本例综合考查了一次函数y ＝ax ＋b 和二次函数y ＝ax 2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a 的符号是否一致入手进行分析．
探究点二：抛物线y ＝ax 2的开口方向、大小与系数a 的关系
如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2，
则a 、b 、c 、d 的大小关系为( )
A ．a >b >c >d
B ．a >b >d >c
C ．b >a >c >d
D ．b >a >d >c 答案：A
方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．
探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用
已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：
(1)a ，b 的值；
(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标； (3)△AMB 的面积．
解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．
解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，
∴?
????b ＝a ×12
，b ＝2×1－3，∴?????a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；
(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝1
2×
(1＋9)×4－12×1×1－1
2
×3×9＝6.
方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质
【类型一】 二次函数y ＝ax 2的增减性
作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2； (2)由图象可知y 3 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】 二次函数y ＝ax 2的最值 已知函数y ＝(1－n )xn ＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最 低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ 解：∵函数y ＝(1－n )xn 2 ＋n －4是关于x 的二次函数，∴? ????n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大． 方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项 系数是(1－n )． 探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】 利用二次函数y ＝ax 2的性质解题 当m 为何值时，函数y ＝mxm －m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 解：由题意，得m 应满足? ????m <0， m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这 个函数有最大值，最大值是0. 方法总结：本题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大． 【类型二】 二次函数y ＝ax 2的图象和性质的实际应用 如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m ，如 果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m. (1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)． ∴?????25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得?????a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－1 25x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的 路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h. 方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未 知数． 三、板书设计 二次函数y ＝ax 2 的图象和性质???????? ?图象?????画y ＝ax 2 图象y ＝ax 2 图象的形状、特点 性质???????a >0?????当x <0时，函数y 随x 的增大而减小 当x >0时，函数y 随x 的增大而增大 当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值 ＝0， 且y 没有最大值，即y ≥0 a <0?????当x <0时，函数y 随x 的增大而增大 当x >0时，函数y 随x 的增大而减小 当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值 ＝0，且y 没有最小值，即y ≤0 教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质， 体会数学建模的数形结合的思想方法． 21.2 二次函数的图象和性质 1.二次函数y=ax2的图象和性质 教学目标 【知识与技能】 使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质. 【过程与方法】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质. 重点难点 【重点】 使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象. 【难点】 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么? (一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.) 2.画函数图象的一般步骤是什么? 一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线). 3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质? (运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.) 二、新课教授 【例1】画出二次函数y=x2的图象. (2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y). (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示. 思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题: (1)二次函数y=x2的图象是什么形状? (2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价. 函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数 的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2. 由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称 轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象. 思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 师生活动: 教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象. 学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价. 抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大. 探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。 师生活动: 学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳. 教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨. 学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大. 探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢? 师生活动: 学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳. 教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨. 学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形. 抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称. 教师引导学生小结(知识点、规律和方法). 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小. 三、巩固练习 1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x= 时,y有最值,是. 【答案】下(0,-4)x=00大-4 2.当m≠时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数. 【答案】1 3.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=. 【答案】-3或3-12 4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=. 【答案】12 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式 为. 【答案】y=-2x2 6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是() A.y=x2 B.y=x2 C.y=-2x2 D.y=-x2 【答案】C 7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是() A.y=x2 B.y=4x2 C.y=-2x2 D.无法确定 【答案】A 8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是() A.两条抛物线关于x轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于y轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 【答案】C 四、课堂小结 1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数. 2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大. 3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来. 教学反思 本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结. 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象； 2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系．(难点) 一、情境导入 边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 【类型一】确定y＝ax2＋k的图象与坐标轴的交点 抛物线y＝x－4与x轴的交点坐标是________． 解析：因为抛物线y＝x2－4与x轴的交点纵坐标是0，即y＝0，此时x2－4＝0，解得x ＝±2，所以抛物线y＝x2－4与x轴的交点坐标是(2，0)与(－2，0)． 方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求抛物线的横坐标． 【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断 已知点(x ，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是() A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若 x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．故选D. 【类型三】二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的综合 若二次函数y＝ax＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是() A．a＝2 B ．当x ＜0，y 随x 的增大而减小 C ．顶点坐标为(2，0) D ．图象有最低点 解析：把x ＝－2，y ＝10代入y ＝ax 2＋2可得10＝4a ＋2，所以a ＝2，抛物线开口向上，有最低点，当x ＜0，y 随x 的增大而减小，所以A 、B 、D 均正确，顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C. 方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)的顶点为(0，k )． 【类型四】 在同一坐标系中确定 y ＝ax 2＋k 的图象与一次函数的图象 在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax ＋c 的图象大致为 ( ) 解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B. 探究点二：二次函数y ＝ax 2＋k 的平移 【类型一】 利用平移确定 y ＝ax 2＋k 的解析式 已知抛物线y ＝ax ＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.那么抛物 线的解析式为____________． 解析：因为抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－3x 2＋2.所以a ＝－3，c －2＝2，所以c ＝4，所以抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋4. 【类型二】 确定 y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的关系 抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)， 求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2怎样得到的？ 解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2的形状大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5. 又∵其顶点坐标为(0，3)， ∴c ＝3. ∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2向上平移3个单位得到的． 方法总结：对于二次函数y ＝ax 2的图象来说，向上平移|c |个单位，就在ax 2后面加|c |，向下平移|c |个单位，就在ax 2后面减|c |. 三、板书设计 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质 ?????1.顶点坐标、对称轴、开口方向 2.抛物线的增减性 3.平移规律 4.与一次函数、几何图形综合 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体 会数学建模的数形结合思想方法． 沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数的性质 2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2b x a >-y x 时，有最小值．2b x a =-y 244ac b a - 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ???，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2 b x a <-y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值．y 2 44ac b a -二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）； 2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 4. 一次项系数b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab a b x 2- =y 0>ab y 0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c 唐玲制作仅供学习交流 期末测试题 本检测题满分:120 分，时间:90 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共30分） 1. 抛物线向右平移 3 个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（） A. B. C. D. 2. 如图，P是 Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P 作直线截△ ABC，使截得的三角形与△ ABC相似，满足这样条件的直线共有（） A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 1 2 1 3. 把二次函数y x2 3x 的图象向上平移3个单位，再向右平移 4 个 22 单位，则两次平移后的图象的函数关系式是（） 1 2 1 2 A. y (x-1)2 7 B. y (x 7)2 7 22 1 2 1 2 C. y (x 3)2 4 D. y (x-1)2 1 4. 如图，△ ABC 中，点 D 在线段BC 上，且△ ABC∽△ DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，△ ABC 中，D、E分别为AC、BC 边上的点，AB∥DE，CF 为AB 边上的中线，若AD＝5，CD ＝3， DE ＝4，则BF 的长为（） 唐玲制作仅供学习交流 C.10 A. 32 B.16 D. 6. 二次函数无论k 取何值，其图象的顶点都在（ A. 直线上 B. 直线上 C.x 轴上 D.y 7. 如图，在Rt△ABC 中， C 90，AC=1 cm ， 以 1 cm/s 的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到 A 点.设点P 的运动时间 轴上 BC=2 cm，点P从点 A 出 发， 为x（s），线段AP 的长度为y（cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图 象 8.如 图， 在Rt△ ABC AD 中，∠ C=90 ，，点 D 在AC 上，，则D A C D的值为（） A. 3 B. 22 C. 3 1 D.不能确定 9.如 图， 在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于点E，设∠， 且 3， 5 AB＝4，则AD 的长为 （ A. 3 16 B. 3 20 C. 3 16 D. 5 第8 题 图 10. 已知反比例函数 y= k的图象如图所示，则二次函数 x22 y 2kx2 4x k2的图象大致为（） 、填空题（每小题 3 分，共24分） 数学教学工作总结 今学期已结束，在本学期的教育教学工作中，我担任九年级（4）班的数学教学，虽经过一学期努力，但与兄弟学校存在一定差距，究其原因，主要忽略了学生心理方面的教育，影响了考试成绩的提高，为了今后在教育教学工作中做更加完善，为了克服缺点，发扬成绩，现总结如下： 1、做好课前准备工作：除认真钻研教材，研究教材的重点、难点、，吃透教材外，还要深入了解学生，但也要考虑到学生通过学习会有变化，我根据学生情况拟定了课堂上辅导方案，使课堂教学中的辅导有针对性，避免盲目性，提高了实效。在了解学生中还要注意了解每个学生的知识水平、智力水平和个性心理品质，考虑影响学生学习的各种因素，并研究相应对策。把教材和学生实际很好地结合起来。 2、做好课堂工作：(1)首先搞好组织教学，这是顺利进行正常教学的保证。我们知道，组织教学的任务就是把全班学生的注意力自始至终组织到当堂课的学习任务上来。教师既要亲切又要严肃，要使课堂气氛活而不乱，尽量避免学生产生压抑和过度焦虑，使学生在和谐的气氛中发挥出正常的智力水平，高效地进行学习。(2)其次是复习旧课，引入新课。根据学生掌握知识的情况以及涉及本课的有关知识进行复习，要简明扼要，抓住要点，点穿实质，然后，自然过渡，引入新课，，明确学习要求，以保证教学过程的计划性和完整性。充分地照顾了学生学习上的差异，，达到了班集体与个别化相结合。(3)再次是学生根据教师要求独立进行学习活动。在理解教材内容的基础 上做练习，每做一道大题或一个练习就核对答案，改错，及时反馈学习效果，自己不能解决的问题及时请教老师。在学生自学、自练、自检等独立活动中，教师一方面巡回辅导，另一方面根据备课时所掌握的学生情况，具体地，有目的地，有针对性地帮助指导每一个学生。具体地说，对于学习思维品质不踏实的学生，要注意用具体的事例，通过严格要求，逐渐培养他们的踏实品质；对于学习成绩优异者，应指导他们向深度、广度发展，向他们提出进一步深入学习的要求，并具体落实，让他们能够充分利用课堂上这段宝贵的时间，充分发挥其潜力，提高效率，超额超前完成学习任务，对于学习基础较差，思维不敏捷的学生，应加强重点辅导。在这里教师掌握每个学生的情况和把握整个课堂，始终处于积极主动的状态非常重要。在教师主动积极的辅导中，要善于根据学生的不同情况，设计不同的问题，采用不同的方式，主动地去引导、启发学生，可问他是怎样想的？怎佯理解的？听一听他们的见解掌握他们的情况，并进行有针对性，切合实际的个别辅导，真正做到因材施教。这对于提高差生，大面积提高初中数学教学质量是会起到一定作用的。差生形成的原因虽然是多方面的，但是学生的学习基础，学习兴趣，学习动机，学习方法等方面是值得引起我们注意的问题。在课堂教学中，教师加强了对差生的辅导，耐心地帮助他们，一方面解决了学习中产生的问题，补了基础，教了方法，更重要的是增强了他们的信心，提高了他们的兴趣，对他们精神上是一个很大的激励，他们感到教师关心他，从未放弃他，只要老师坚持不懈，会逐渐增强学生的学习兴趣，从而产生强烈的学习动机，不断地提高学习水平。我们深信，对于差生的事，只要我们的工作真正做到家，在自学辅导教学中，是会有所收获的。 3、课后做好作业检查和辅导。‘ ４、抓好单元目标过关测试。 第 21章 二次函数与反比例函数 【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】 1. 形如2 y ax bx c =++（a ≠0）的函数叫做x 的二次函数； 2. 形如(0)k y k x = ≠的函数叫做x 的反比例函数； 典例 1 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的二次函数关系的有 。 ①213y x =-；②(5)y x x =-；③21 3y x =；④3(1)(2)y x x =+-；⑤4221y x x =++； ⑥22(1)y x x =--；⑦2y ax bx c =++ 典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 。 ①32y x =-；②k y x =-；③31y x -=+；④12y x =-；⑤21 y x =；⑥12y x -=- ；⑦xy =典例 3 若函数 22 (2)a y a x -=-是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 。 典例 4 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表：则下列判断中正确C.当x=4时，y ＞0 D.方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间 典例 5 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 【知识点 3 二次函数解析式的确定】 23.1 二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC2 2．x 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x 的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， 21.1二次函数 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? (10－8－x)；(100＋100x) 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 舒三中学—第一学期月考 九年级数学试卷 (命题人：吴孝兵) 一.选择题(10×4) 1.二次函数 2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A ．– 2 B ．2 C ．– 1 D ．1 2.如图，抛物线 0)(2 ＞a c bx ax y ++=的对称轴是直线x = 1 且经过点P(3，0），则a – b + c 的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 3.二次函数 3)1(22+-=x y 的图象的顶点坐标是（ ） A ．(1，3) B ．( – 1，3) C ．(1，– 3) D ．(– 1，– 3) 4.函数y = ax+b 和y = ax 2+bx + c 在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ） 5.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.下列命题：其中正确的是（ ）． ①若a + b + c = 0，则b 2 – ac ≥0； ②若b ＞a + c ，则一元二次方程ax 2+bx + c = 0有两个不相等的实数根； ③若b = 2a + 3c ，则一元二次方程ax 2+bx + c = 0有两个不相等的实数根； ④若b 2 – 4ac ＞0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 7.如图所示是二次函数22 12 +- =x y 的图象在轴上方的一 部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积， 你认为与其最接近的值是（ ） A ．4 B ． 3 16 C ． D ． 8.在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个 单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 A ．y ＝2(x －2) 2 + 2 B ．y ＝2(x + 2) 2－2 C ．y ＝2(x －2) 2－2 D ．y ＝2(x + 2) 2 + 2 9.如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数x k y =过点， 则k 的值是（ ） x 2π8A –1 3 3 1 x y C O A B Ｏ x y 学校：___________ 班级：______ 姓名：________________学号：________ 学期：2012至2013学年度第一学期学科：初中数学 年级：九年级（上册） 授课班级：九（） 授课教师： 2012年9月 曹店中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 备课本沪科版九年级上册 数学 全册教案 班级______ 教师______ 日期______ 中学电子教案模板 第单元.第课时.总第课课 题 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)3销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)3100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 沪科版九年级数学上册知识点总结 二次函数基本知识 一．二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当 2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 二．二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 4. 一次项系数b ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 相似三角形基本知识 一．比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 二．黄金分割 1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2 =AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点， AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB 。 三．平行线分线段成比例定理 1.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 九年级数学（沪科版）上册测试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 )2(-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（0，2） D ．（0，－2） 2．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A.5=x B.1=x C.2=x D.3=x 3．抛物线y ＝x 2 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. y ＝x 2＋4x ＋5 B. y ＝x 2＋4x ＋3 C. y ＝x 2－4x ＋3 D.y ＝x 2 －4x ＋5 4．已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝3b ，则cosA 等于（ ） A ． 3 1 B ．32 C ．332 D ．310 5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝ 2 3 ，则tanB ＝（ ） A ． 5 3 B ．5 C ．25 D ．5 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7. 如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC ＝（ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶4 8．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ） A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ．AC AP AB AC = D ．AB AC BC PC = （ 第6题图 ） （ 第7题图 ） （ 第8题图 ） 9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ?∶OCD S ?＝1∶2，则AOD S ?∶BOC S ?＝（ ） A ． 61 B ．31 C ．4 1 D ．66 10．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<； ②1a b c -+>； ③0abc >； ④420a b c -+<； ⑤1c a ->。 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ A E D C B O 1 1 y 第 21 章 二次函数与反比例函数 【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】 1. 形如 y ax 2 bx c （a ≠0）的函数叫做 x 的二次函数； 2. 形如 y k (k 0) 的函数叫做 x 的反比例函数； 典例 1 x y 是 x 在下列函数表达式中，表示 的二次函数关系的有 。 ① y 1 3x 2 ；② y x(x 5) ；③ y 1 ；④ y 3( x 1)( x 2) ；⑤ y x 4 2x 2 1 ； 3x 2 ⑥ y (x 1)2 x 2 ；⑦ y ax 2 bx c 典例 2 在下列函数表达式中，表示 y 是 x 的反比例函数关系的有 。 ① y 3 ；② y k ；③ y 3 ；④ y 1 2 ；⑤ y 1 ；⑥ y 2x 1 ；⑦ xy 2 2x x x 1 x x 2 典例 3 若函数 y (a 2)x a 2 2 是反比例函数，则 a= ,若是二次函数，则 a=。 【知识点 2 二次函数的图象与性质】 函数 y ax 2 bx c(a, b, c 是常数 , a 0) a 的值 a ＞ 0 a ＜0 1. 抛物线开口 ，并向 无限延伸； 1. 抛物线开口 ，并向 ； 2. 对称轴是 ，顶点坐标 2. 对称轴是 ，顶点坐标 （ ， ）； （ ， ） 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 3. 当 x 时，y 随 x 的增大而减小， 性质 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x 时， y 随 x 的增大而增大； 4. 抛物线有最 点，当 x= 时，y 4. 抛物线有最 点，当 x= 时， 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； y 有最 值， y ___ 4ac b 2 ； 4a 4a 典例 4 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：则下列判断中正确 的是（ ） x -1 0 1 2 y -3 1 3 1 A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与 y 轴交于负半轴 C. 当 x=4 时， y ＞0 D. 方程 ax 2+bx+c=0 的正根在 2 与 3 之间 典例 5 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若 点 M （-2 ，y 1 ）， N （﹣ 1，y 2）， K （8，y 3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象上，则 下列结论正确的是（） A.y 1 ＜ y 2＜ y 3 B ．y 2＜ y 1 ＜y 3 C ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 D ． y 1＜ y 3 ＜y 2 【知识点 3 二次函数解析式的确定】 1. 待定系数法： 九年级上册数学教学工作计划 蒋疃学校葛新利 九年级上册数学教学工作计划 蒋疃学校葛新利 一，教学指导思想 贯彻2011年《初中数学新课程标准》的精神，以学生发展为本,以改变学习方式为目的，培养学生创新精神和实践能力为重点的素质教育，探索有效教学的新模式。义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。以课堂教学为中心，紧紧围绕初中数学教材、数学学科“基本要求”进行教学，针对近年来中考命题的变化和趋势进行研究，收集试卷，精选习题，建立题库，努力把握中考方向，积极探索高效的复习途径，力求达到减负、减压、增效的目的，力求中考取得好成绩。 二，学生基本情况分析： 本学期是初中学习的关键时期,整个年级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去， 23.1.3 30°，45°，60°角的三角函数值 课后作业：方案（B ） 一、教材题目：P118 练习T2 1．求下列各式的值： （1）sin 245°+cos 245°； （2）2sin 30°+2cos 60°+4tan 45°； （3）cos 230°+sin 245°-tan 60°?tan 30°； （4）；1-2cos30sin302?? （5）.2tan45-tan60tan45-sin60??? ? 二.补充: 部分题目来源于《点拨》 2．sin 30°的值等于( ) A .12 B .22 C .3 2 D ．1 3．cos 60°的值为( ) A .32 B .22 C .1 2 D .3 3 4．在△ABC 中，∠A ＝75°，sin B ＝3 2，则tan C 等于( ) A.3 3 B . 3 C ．1 D .3 2 5．计算：cos 245°＋tan 60°·cos 30°等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 3 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝1 2 ，则∠B＝________． 7．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝1 2 ，则α＝________． 8．如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为 10 cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状，使点B、 C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图(1)中的△ACB绕点C 顺时针方向旋转到图(2)的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为________cm(保留根号)． 9．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝1 2 ，则cos B的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D．1 10．若α为锐角，且3tan (90°－α)＝3，则α为( ) A．30°B．45°C．60°D．75° 11．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为( ) A．(2，1) B．(1，2) C．(2＋1，1) D．(1，2＋1) 12．计算：2sin 45°－1 2 cos 60°＝________． 13．4 cos 30°sin 60°＋(－2)－1－( 2 009－2 008)0＝________． 沪教版数学九年级上学期 一课一练、单元测试卷和参考答案 目录 第二十四章相似三角形 24.1放缩与相似形（1）3 24.2 比例线段（1）6 24.3 三角形一边的平行线第一课时（1）10 24.3 三角形一边的平行线第二课时（1）14 24.3 三角形一边的平行线第三课时（1）19 24.3 三角形一边的平行线第四课时（1）22 24.4 相似三角形的判定第一课时（1）25 24.4 相似三角形的判定第二课时（1）29 24.4 相似三角形的判定第三课时（1）33 24.4 相似三角形的判定第四课时（1）37 24.5 相似三角形的性质第一课时（1）43 24.5 相似三角形的性质第二课时（1）47 24.5 相似三角形的性质第三课时（1）52 24.6 实数与向量相乘第一课时（1）57 24.7向量的线性运算第一课时（1）62九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一67第二十五章锐角三角比 25.1 锐角三角比的意义（1）72 25.2 求锐角的三角比的值（1）75 25.3 解直角三角形（1）79 25.4 解直角三角形的应用（1）84九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一90第二十六章二次函数 26.1 二次函数的概念（1）94 26.2 特殊二次函数的图像第一课时（1）98 26.2 特殊二次函数的图像第二课时（1）102 26.2 特殊二次函数的图像第三课时（1）106 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1）111 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第二课时（1）116 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第三课时（1）121九年级(上)数学第二十六章二次函数单元测试卷一126参考答案132 学期：2014至2015学年度第一学期学科：初中数学 年级：九年级（上册） 授课班级：九（1） 授课教师：刘林 2012年9月 邵庙初级中学电子教案 第 1 单元.第 1 课时.总第课课 题 21.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 九年级数学上册测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 )2(-=x y 的顶点坐标是 （ ） A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（0，2） D ．（0，－2） 2．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2 上的两个点，则它的对称轴是（ ） A.5=x B.1=x C.2=x D.3=x 3．抛物线y ＝x 2 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为 （ ） A. y ＝x 2＋4x ＋5 B. y ＝x 2＋4x ＋3 C. y ＝x 2－4x ＋3 D.y ＝x 2 －4x ＋5 4．已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c ＝3b ，则cosA 等于 （ ） A ． 3 1 B ．32 C ．332 D ．310 5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝ 2 3 ，则tanB ＝ （ ） A ． 5 3 B ．5 C ．25 D ．5 6．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有 （ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 7. 如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD ＝1∶3，则BE ∶EC ＝ （ ） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶4 8．如图：点P 是△ABC 边AB 上一点（AB ＞AC ），下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是（ ） A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ．AC AP AB AC = D ．AB AC BC PC = （ 第6题图 ） （ 第7题图 ） （ 第8题图 ） 9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ?∶OCD S ?＝1∶2，则AOD S ?∶BOC S ?＝ （ ） A ． 61 B ．31 C ．4 1 D ．66 10．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<； ②1a b c -+>； ③0abc >； ④420a b c -+<； ⑤1c a ->． A E D B O(完整版)沪科版九年级数学上册知识点总结
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