任意角的概念和弧度制
任意角的概念和弧度制
一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分)
1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，
3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )
A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次
2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( )
A．α＋β＝π B．α－β＝π
2 C．α－β＝π
2
＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π
3.已知α为第二象限的角，则π－a
2
所在的象限是 ( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4.集合{α|kπ＋π
4≤α≤kπ＋π
2
，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( )
A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D
5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( )
A． 1 B． 4 C．Π D． 1或4
6.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．1
2
7.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( )
A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm
8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a
2
)的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )
A ． 3∶4
B ． 2∶3
C ． 1∶2
D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z }
B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }
C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z }
D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3
的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )
A ． －α为第二象限角
B ． 180°－α为第二象限角
C ． 180°＋α为第一象限角
D ． 90°＋α为第四象限角
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________.
13.若角α的终边与角8
5π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4
的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm.
15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________.
三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方
向旋转30°到OD位置，求∠AOD的大小．
17.设时钟的时针在2点和3点之间，时针和分针什么时候重合？
18.如果钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针的周期和角速度各是多少？分针与秒针的角速度之比为多少？
角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值.
19.若角α的终边与a
3
20.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
21.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
是第几象限角？
22.已知α是第三象限角，则a
3
23.已知α是第二象限角，试确定2α，a
的终边所在的位置.
2
24.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．
25.已知角β的终边在直线√3x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．
26.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．
27.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0°＜θ＜180°)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值.
29.如图，一长为√3dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为a
，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面
6
积.(圆心角为正)
的终边所在位置.
30.若α是第二象限角，试分别确定a
3
答案解析
1.【答案】D
【解析】从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：
①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针．
②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针．
③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针．
综上，共4次．
2.【答案】D
【解析】可以取几组特殊角代入检验.
3.【答案】D
【解析】由2kπ＋π
2
＜α＜2kπ＋π，k∈Z.
得kπ＋π
4＜a
2
＜kπ＋π
2
，k∈Z.
∴－kπ－π
2＜－a
2
＜－kπ－π
4
，k∈Z.
∴－kπ＋π
2＜π－a
2
＜－kπ＋3
4
π，k∈Z.
当k为偶数时，令k＝－2m，m∈Z，则2mπ＋π
2＜π－a
2
＜2mπ＋3
4
π，m∈Z.
∴π－a
2
为第二象限角.
当k为奇数时，令k＝－2m＋1，m∈Z，则2mπ－π
2＜π－a
2
＜2mπ－π
4
，m∈Z.
∴π－a
2
为第四象限角.
综上所述，π－a
2
为第二或第四象限角.
4.【答案】C
【解析】当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π
4≤α≤2m π＋π
2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋
5π4≤α≤2m π＋3π2
，m ∈Z ，所以选C.
5.【答案】D
【解析】设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为
6?2a
a
，因为扇形的面积为2，所
以1
2(6－2x )x ＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1. 6.【答案】B
【解析】设圆心角为α，半径为r ，则l ＋2r ＝16，∴l ＝16－2r .∴S ＝1
2lr ＝－r 2＋8r (0＜r ＜8)，当且仅当r ＝4时，扇形的面积取最大，此时l ＝16－2r ＝8.∴圆心角α为2. 7.【答案】C
【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据题意得，2r ＋l ＝10，①1
2lr ＝4，②解由①②组成的方程组得，r ＝4，l ＝2或r ＝1，l ＝8(舍去).即扇形的半径为4 cm. 8.【答案】B
【解析】设⊙O 与扇形相切于点A ，B ，则AO ＝r ，CO ＝2r ，∴∠ACO ＝30°，
∴扇形的圆心角为60°＝a
3
，∴扇形的面积为1
2·a 3
·3r ·3r ＝3
2πr 2
，∵圆的面积为πr 2
，∴圆的面积与该扇形的面积之比为2∶3.
9.【答案】D
【解析】终边为x 轴的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边为y 轴的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，
设终边为坐标轴的角的集合为S ，则S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，
n ∈Z }．
10.【答案】D
【解析】∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴a 3
·360°＜a 3
＜
a
3
·360°＋30°. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°＜a 3＜m ·360°＋30°，∴角a 3
的终边落在第一象限.
当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°＜a 3
＜m ·360°＋150°，∴角a 3
的终边落在第二象限. 当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°＜a 3＜m ·360°＋270°， ∴角a
3
的终边落在第三象限，故选D. 11.【答案】B
【解析】若α是第三象限角，则360°·k ＋180°＜α＜360°·k ＋270°；则360°·k ＋90°＜－α＜360°·k ＋180°，360°·k ＋270°＜180°－α＜360°·k ＋360°此时为第四象限角． 12.【答案】2点328
11分或者2点546
11分
【解析】当分针在时针前面时，设转成120°的时间为x ，则(6－1
2)x ＝60＋120，∴x ＝360
11＝328
11. 当时针在分针前面时，设转成120°的时间为y ，则(6－1
2)y ＝60＋120＋120，解得y ＝600
11＝546
11； 所以2时和3时之间时针与分针成120°的时间为2点328
11分或者2点546
11分. 13.【答案】
2a 5，9a 10，7a 5，19a 10
【解析】由题意得α＝8a 5＋2k π，∴a 4＝2a 5＋aa
2
(k ∈Z ). 令k ＝0,1,2,3,得a 4
＝2a 5,9a 10,7a 5
,19a
10. 14.【答案】100
【解析】P 到圆心O 的距离OP ＝√52?32＝4(cm)，又P 点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，∴弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm). 15.【答案】
(2+√2)π
2
【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为a 3
， 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次， 设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ， 则A 1＝a 6
×|AB |＝a 6
，
A 2＝a
6×|AC |＝√2a 6
，
A 3＝a 6×|DA |＝a
6， A 4＝0，
∴点A 所走过的路径的长度为3(A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝
2+√2
2
π. 16.【答案】∠AOB ＝－100°，∠BOC ＝270°，∠COD ＝－30°，所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝－100°＋270°＋(－30°)＝140°. 【解析】
17.【答案】设2点x 分时针和分针重合，相对于0点分针成6x 度，时针成(2+a
60)·30度，则 (2+a
60)·30＝6x ，故x ＝1010
11. 【解析】
18.【答案】∵钟表的指针都做匀速转动，
∴钟表上分针转动一周，需要1个小时，1小时后重复出现，即周期为1小时.
∵分针转动一周是2π弧度，所花时间是3 600 s. ∴钟表上分针的角速度为
a
1800
(rad/s). ∵秒针转动一周是2π弧度，所花时间是60 s ， ∴钟表上秒针的角速度为a 30
rad/s. 故分针与秒针的角速度之比为160. 【解析】
19.【答案】如图，设a 3
角的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB,则以OB 为终边的一个角为a
4?(a
3?a
4)=a 6，
所以以OB 为终边的角的集合为{a |a＝2a π+
a
6,a ∈a }.
又因为α∈(－2π，2π)，所以－2π＜2k π＋a 6
＜2π，且k ∈Z ， 所以k ＝－1或k ＝0.当k ＝－1时，α＝－11a
6
；当k ＝0时，α＝a
6.
所以角α的值为－11a 6或a
6
. 【解析】
20.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝1
2lr ＝1
2×(40－2r )r ＝20r －r 2
＝－(r －10)2
＋100.
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝a
a ＝
40?2×10
10
rad ＝2 rad ， ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 【解析】
21.【答案】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝a 3
，R ＝10，∴l ＝αR ＝
10a
3
(cm). S 弓＝S 扇－S △＝1
2×
10a 3×10－12×10×10×sin a 3＝50(a 3+√3
3
)(cm 2). (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝a ?2a
a
， ∴S 扇＝1
2αR 2＝1
2·
a ?2a a
·R 2＝1
2(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(a ?a
4)2＋a 2
16
.
当且仅当R ＝a
4
，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是a 2
16
.
【解析】
22.【答案】∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋
k ·120°＜
a
3
＜90°＋k ·120°(k ∈Z ).当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°＜
a
3＜90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a 3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°＜a 3＜210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a
3是第三象限的角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°＜a
3＜330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a
3是第四象限的角.∴a
3是第一、三、四象限的角.
【解析】
23.【答案】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上. 因为k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°＜a 2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，
所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋ 45°＜a 2
＜n ·360°＋90°，即a 2
的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°＜a 2
＜n ·360°＋270°，即a 2
的终边在第三象限.
所以a
2
的终边在第一或第三象限.
【解析】
24.【答案】(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．
【解析】
25.【答案】(1)如图，
直线√3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°围，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－7
3＜n＜11
3
，n∈Z，
所以n＝－2，－1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 【解析】
26.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°. 【解析】
27.【答案】A 点2分钟转过2θ，且180°＜2θ＜270°， 又14分钟后回到原位，∴14θ＝k ·360°(k ∈Z )， ∴θ＝a ·180°
7(k ∈Z )，且90°＜θ＜135°，
∴θ＝
720°7
或900°
7. 【解析】
28.【答案】由题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，从而可知α＝a
7
·180°，β＝a 7
·180°，
m ，n ∈Z .
又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限. 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°.
于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°.
∴45°＜a 7
·180°＜90°，45°＜a 7
·180°＜90°， 即7
4＜m ＜7
2，7
4＜n ＜7
2.
又∵α＜β，∴m ＜n ，从而可得m ＝2，n ＝3. 即α＝(
3607)°，β＝(5407
)°. 【解析】
29.【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为a 2，弧长l 1＝a 2·|AB |＝a 2
·√3+1＝π，面积S 1＝
12·a 2·|AB |2＝12·a 2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为a 2，弧长l 2＝a 2·|A 1C |＝a 2·1＝a
2，面积S 2
＝12·a 2
·|A 1C |2
＝12·a 2
·12
＝a 4
.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－a 2
－a 6
＝a 3
，弧长l 3＝a 3
·|A 2D |＝a 3
·
√3＝√
3
3π，面积S 3＝12·a 3·|A 2D |2＝12·a 3·(√3)2＝a 2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋a
2
＋√3a 3＝(
9+2√3a
6
)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋a 4＋a
2＝
7a
4
. 【解析】
30.【答案】因为α是第二象限角，
所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°(k ∈Z ). 方法一 因为k ·120°＋30°＜a 3
＜k ·120°＋60°(k ∈Z )， 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＋30°＜a 3
＜n ·360°＋60°； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋150°＜a 3＜n ·360°＋180°； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜a 3＜n ·360°＋300°. 所以a 3
是第一或第二或第四象限角.
方法二 如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上1,2,3,4，则标号是几的
区域就是θ为第几象限角时a
3的终边落在的区域，所以a
3
是第一或第二或第四象限角.
【解析】
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角： 与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单
位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；
弧度制和弧度制与角度制之间的换算
基本初等函数（II ） 弧度制和弧度制与角度制之间的换算 教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程 一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变， 二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度， 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数 的集合之间建立一种一一对应的关系
任意角的集合 实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l 比公式180 r n l π= 简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 （2）扇形面积公式 lR S 2 1= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇 要简单 三、例子： 例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3 化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？ 例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3
高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；-330?是第 象限角 300? ； -60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 -2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
角的概念的推广及弧度制
第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）
例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？
任意角的概念和弧度制
任意角的概念和弧度制 一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分) 1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间， 3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( ) A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次 2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( ) A．α＋β＝π B．α－β＝π 2 C．α－β＝π 2 ＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π 3.已知α为第二象限的角，则π－a 2 所在的象限是 ( ) A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 4.集合{α|kπ＋π 4≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( ) A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( ) A． 1 B． 4 C．Π D． 1或4 6.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( ) A． 1 B． 2 C． 3 D．1 2 7.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( ) A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm 8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a 2 )的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )
A ． 3∶4 B ． 2∶3 C ． 1∶2 D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z } C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z } D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3 的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( ) A ． －α为第二象限角 B ． 180°－α为第二象限角 C ． 180°＋α为第一象限角 D ． 90°＋α为第四象限角 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________. 13.若角α的终边与角8 5π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4 的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm. 15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________. 三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方
【新教材】新人教A版必修一 弧度制 教案
2019—2020学年新人教A 版必修一 弧度制 教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。（6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制—-—弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。6公里） 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1。6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制-—-弧度制。 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度,直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算?请看课本67P P ~，自行解决上述问题。 2。弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad ， y x A αO B
弧度制和角度制的换算
练习三 弧度制 (一) 要点 1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以 “弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算: 10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/. 3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600 终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600 ,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+ 3 π,k ∈Z }或{ x|x=k 〃3600 +600 ,k ∈Z } 同步练习 1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.① 4π , ② －45π,③4 19π,④－43π,其中终边相同的角是 ( ) (A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－ 3 2π 角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350 ⑵ －670 30 / ⑶2 ⑷－ 6 7π 1. 将下列各数按从小到大的顺序排列. Sin40 , sin 2 1, sin300 , sin1 2. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相 同的角. (1)－3 16π; (2)－6750 . 3. 若角θ的终边与1680 角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3 θ 角的终边相同的角. 练习四 弧度制(二) 要点 1. 弧长公式和扇形面积公式: 弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= 21Lr=2 1|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径. 2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但
(1)角的概念·弧度制
1、角的概念·弧度制 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2Z k k ∈+ ππ B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5 (cos π π ，则α等于 （ ） A ． 5 π B ．5 cot π C ．)(10 32Z k k ∈+ππ D ．)(5 92Z k k ∈- ππ 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－6 π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2 Z k ∈-= βπ α B ．)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 7．集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα， B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ， 则A 、B 之间关系为 （ ） A ．A B ? B ．B A ? C ．B ?A D ．A ?B ≠
数学：任意角和弧度制必修
三角函数 １．１任意角和弧度制 一、 教学目标： （１）推广角的概念、引入大于360? 角和负角； （２）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （３）理解任意角以及象限角的概念； （４）掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 二、教学重、难点 重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点：终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了５分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了１．２５ 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 １．初中时，我们已学习了0360?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图１．１—１，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点
O 叫做叫α的顶点. ２．如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体２周），“转体1080?”（即转体３周）等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题？又该如何区分和表示这些角呢？ [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角（positive angle ）,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角（negative angle ）.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角（zero angle ）. [展示课件]如教材图１．１．３（１）中的角是一个正角,它等于750? ；图１．１．３（２）中，正角210α?=，负角150,660βγ?? =-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. ３．在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（quadrant angle ）.如教材图１．１—４中的30?角、210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. ４．[展示投影]练习: （１）（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
任意角与弧度制教案
任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x
一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ
《角的概念的推广与弧度制》1
《角的概念的推广与弧度制》 、复习要求： 1. 理解正角、负角、零角这三个概念，关键是终边的旋转方向。 2. 象限角、区间角、终边相同的角和轴线角这几个概念的区别与联系。 3. 正确理解几个有特殊含义的角，如： “ 00到 900的角”、“第一象限的角”、“锐角” 和“小于900的角”。 4. 角度制与弧度制的区别与联系（角度与弧度的相互转化） 。 二、 复习重点： 1. 识别、理解并能正确表示各种角，理解弧度制概念的建立及弧度与角度的换算。 2. 能按不同的要求写出符合条件的角的集合和有符号语言正确地表示它们。 三、 复习过程： 1 ?知识及重要方法落列： 正角、负角、零角；象限角、区间角、终边相同的角和轴线角；角度与弧度的相互 转化。 方法：例举法，特殊值法，分类讨论，几何法，数形结合。 2 ?典型例题分析： 例1 .若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？ 解：2小时40分=8 小时，dJ 6 - 3 ' P 3 3 练习1： 将钟表上的时针作为角的始边，分针作为角的终边，那么当钟表上显示 8点5分时，时 针与分针构成的最小正角是 ________ （逆时针旋转为正，顺时针旋转为负） 例2.自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，当大链轮转过一周时，求小链转 过的弧度 数。 解：当大链轮转过一周，即转过 48个齿时，小链轮也必须同步转过 48个齿, 故小链轮转过了 兰=12周。 20 5 所以，小链轮转过的弧度数为 空2二二空二。 5 5 练习2: 直径为10cm 的 滑轮上有提条长为 6cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的 角速度旋 转，则 经过5秒钟后，点P 经过的弧长等于 __________________ 。 例3?弧度为2的圆心所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是多少？这个圆心 角所夹 的扇形的面积是多少？ 解：如图，过 O 作OD_AB 于D 。有垂径定理知 D 为AB 的中点， 所以，扇形的半径 ：OA — si n1 有弧长公式l=|a|r ，得| =2 — sin1 .AD =丄 AB =1, 2 AOD g "Ed 故分针走过的角为 16 2 sin 1 O
弧度制教案人教版
弧度制 高一数学科组 袁若琳 教学目标： 知识目标 ⑴理解1弧度的角的意义. ⑵理解弧度制的定义，建立弧度制的概念. 能力目标 ⑴掌握角度制与弧度制的换算公式进行换算. ⑵牢记特殊角的弧度数与角度数的互化. 情感目标 通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现弧度制与角度制之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 重点： 了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点： 弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系. 教学过程： 一、 知识回顾 1.角可以怎样分类？ 2.与角α终边相同的角的集合如何表示？ 3.请大家回忆什么是角度制. 角可以用度为单位进行度量，将圆周等分成360份，1度的角度等于周角的 360 1 ，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 二、新课引入 度量长度可以用米、厘米、尺、寸表示，度量重量可以用千克、磅，度量角可以用角度制，还可以用什么度量角？ 环节一：弧度制的含义，理解1弧度，引入弧度制的目的.
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作 rad .记作1rad ，读作1弧度. 引入弧度制的目的：弧度用实数表示. 思考：弧度数与半径大小有关吗？ 环节二：探究课本P6，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成下表： 讨论：根据上表，你能发现什么规律? 1. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2. 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值r l = α.（α的正负由角α的终边的旋转方向决定.） 3. AOB ∠的弧度数与AOB ∠的度数的换算. 2360=?π rad =?180π rad 由此可得，rad rad 01745.01801≈= ?π， 1 ?≈?? ? ??=30.57180πrad 特别地，以后的角度和弧度换算只要抓住=?180π rad 即可. 三、练习巩固 1.例题评讲 例1：把角度67°30′化成弧度.
弧度制与角度制的换算关系
课题：弧度制和弧度制与角度制之间的换算（1） 教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进 而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程： 一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2 rad 1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 1、 360 =2rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B
'185730.571801οοο =≈?? ? ??=πrad 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省如：3表 示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 任意角的集合 实数集R 四、例题讲解 例1把'3067ο化成弧度，把rad π5 3化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 正角 零角 负角 正实数 零 负实数
高中数学人教版B必修4练习——1任意角的概念和弧度制
练习一 任意角的概念和弧度制 一、选择题 1．下列角中终边与330°相同的角是（ ） Α.30° B.-30° C.630° D.-630° 2．下列命题正确的是（ ） Α.终边相同的角一定相等。 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象限的角。 D.小于?90的角都是锐角。 3．如果一扇形的弧长为2πcm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为（ ） Ａ．π Ｂ．2π Ｃ． π2 Ｄ．3π2 4.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 5．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） Ａ．2 11 2sin 222R ? ?- ??? Ｂ．21 sin 22 R Ｃ．21 2 R Ｄ．22 1sin 2 2 R R - 6．若α角的终边落在第三或第四象限，则2 α 的终边落在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第四象限 D ．第三或第四象限 二、填空题 7．若三角形的三个内角的比等于2:3:7，则各内角的弧度数分别为 ． 8．将时钟拨快了10分钟，则时针转了 度，分针转了 弧度． 9．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________． 10．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 三、解答题 11. 在0 与360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'- 12．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）
弧度制
1．1.2弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一角度制与弧度制 思考半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗？答案错误．“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值．知识点二角度制与弧度制的换算 1．角度与弧度的互化 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识点三扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，θ为其圆心角，则：
1．1 rad 的角和1°的角大小相等．( × ) 提示 1 rad 的角和1°的角大小不相等，1°＝π180 rad. 2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 4．半径为1的圆弧中，60°角所对的圆弧长为60°.( × ) 提示 使用扇形弧长公式l ＝αR 时应将角α化为弧度，60°等于π3，所以60°角所对弧长为π3 .
题型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. 考点 弧度制 题点 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可． 跟踪训练1 下列转化结果错误的是( ) A ．67°30′化成弧度是3π8 B ．－10π 3化成角度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π 6 D.π 12 化成角度是15° 考点 弧度制
弧度制与角度制的换算关系
课题：弧度制和弧度制与角度制之间的换算（1） 教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进 而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。 教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程： 一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 1、 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省如：3 表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都 能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 o r C 2rad 1rad r l=2 r o A A B 正角 零角 负角 正实数 零 负实数
任意角的集合 实数集R 四、例题讲解 例1把'3067 化成弧度，把rad 5 3化成度 注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合 例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3 课堂检测：
弧度制 教案
弧度制教案 一、教学目标： 1.理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位； 2.使学生理解弧度的定义，能正确的进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数； 3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题； 4.领会弧度制定义的合理性和优越性. 二、教学重点、难点： 重点：理解弧度的定义，能正确的进行弧度与角度的换算. 难点：理解弧度的概念. 三、教学方法与教学手段： 教学方法：问题驱动教学、学生探究与教师讲授相结合. 教学手段：多媒体课件、学生实验. 四、教学过程： 1.创设情境,激趣导入 日常生活中有非常多的量，例如，长度，温度，重量等等，度量不同的量要用不同的单位. 对于同一种量，也可以有不同的度量单位. 例如在测量长度时，我们可以用米，也可以用千米，但是在不同的场合我们要选择合适的单位，否则会让人感觉很不舒服. 复习: 1、角度制:用度作为单位来度量角的单位制. ?1: 将一个圆周角分成360等份，每一份叫做1度的角. '601=? "'601= 2、扇形的弧长和面积公式：180 πr n l =，360π2r n S =. 问题1 : 能否在改变度量方式的同时简化公式? 2.形成概念，构建新知 （1）1弧度角的概念
问题2：如何作出1个单位的角？ 动手操作：准备圆形彩纸，让学生动手尝试作出一个单位的角. 追问：如何定义1个单位的角？ 1弧度的角：将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）弧度制 弧度制：这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制. 1873年，詹姆斯 汤姆森（James Thomson)教授在其编著的一本考试问题集中创造性的首先使用了“弧度”一词. 当时，他将“半径”（radius )的前四个字母与“角”（angle ）的前两个字母合在一起，构成radian , 并被人们广泛接受和引用. 早在18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（1707-1783）在他的名著《无穷小分析引论》中倡用弧度制，即以半径为单位来量弧长，统一了角和长度的单位. r l =α r l α= （扇形的弧长公式） 追问：还有什么公式可以简化？ .2 121ππ222rl r r S ==?=αα （3）弧度制和角度制的换算
高中数学必修四之知识讲解_任意角和弧度制_基础
任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{} |360k k Z βββα∈=+∈， 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍. 3．常用的象限角
α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈ 要点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π? = 1rad=0 180π?? ??? ≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α==. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--， 等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】 类型一：角的概念的理解 例1．下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。 【思路点拨】比较锐角和第一象限角的关系，比较负角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【答案】② 【解析】①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确。 ②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确。 ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确。 ④480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以④不正确。 ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确。