MATLAB在复变函数中的应用

MATLAB 在复变函数中的应用

（ 姓名 12010245271 2010级2班）

[摘要]复变函数中涉及许多复杂的数值计算问题，例如，对其手工求解较

为复杂，而MATLAB 语言正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。

[关键词] 复数 matlab 语言

一、 问题的提出

MATLAB 是一种具有强大数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，其应用领域极为广泛，而且使用方便、调试容易，代码少、效率高，有人称为第四代程序设计语结合起来。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用.它是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能……

二、 复数和复矩阵的生成

复数可由i b a z *+=语句生成，也可简写成bi a z +=。

另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=，也可简写成

)exp(i theta r z *=，其中

theta 为复数辐角的弧度值，r 为复数的模。

1 创建复矩阵

创建复矩阵的方法。

如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+=

2 复数的运算

1．复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。

调用形式

)(x real

返回复数x 的实部

)(x imag

返回复数x 的虚部

2．共轭复数

复数的共轭可由函数conj实现。

调用形式

conj返回复数x的共轭复数

)

(x

3．复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。

调用形式

(x

abs复数x的模

)

angle复数x的辐角

(x

)

例一：计算的函数值、函数值的实部、虚部、辐角、模、共轭函数，并作出函数图像，MATLAB程序如下：

function fbhs0

z0=sin(2+3i)

z1=real(z0)

z2=imag(z0)

z3=angle(z0)

z4=abs(z0)

z5=conj(z0)

z=5*cplxgrid(30);

cplxmap(z,sin(z));

colorbar('vert');

title('sin(z)');

运行结果如下：

z0 = 9.1545 - 4.1689i

z1 = 9.1545

z2 =-4.1689

z3 = -0.4273

z4 = 10.0591

z5 = 9.1545 + 4.1689i

图1：的函数图像

从图中可以看出，为单值函数，的绝对值可以大于1，在图形上轴所表示的函数的实部已经几乎达到60.

4．复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。

例复数的乘除法演示。

x*

=

pi

4i

)

3/

exp(

x

=

.2-

0000

4641

i

.3

pi

=

3i

y*

exp(

)

5/

y

=

4271

.2-

7634

.1

i

pi

y*

=

*

1i

3

5/

)

exp(

1y

=

.2+

4271

7634

.1

i

x/

y

ans

=

i

5423.02181.1-

1/y x

=ans

I 3260.11394.0-

由此例可见，i 5/)( 相当于)5/()(i * ，和i *5/)( 不相等。

5．复数的平方根

复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。

调用形式

)(x sprt

返回复数x 的平方根值

6．复数的幂运算

复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。 例 求下列各式的值 )

6/1()^1(-

=ans

0.8660+0.5000 i

7．复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数exp 和log 实现。

调用形式

)exp(x 返回复数x 的以e 为底的指数值

)log(x

返回复数x 的以e 为底的对数值

例 求下列式的值 )log(i -

=ans

i 5708.10-

)43log(i +-

=ans

i 2143.26094.1+

8．复数的三角函数运算

复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数

复数三角函数表

9． 复数方程求根

复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve 实现。见下面的例子.

例 求方程083

=+x 所有的根

)083^('=+'x solve

=ans

[ –2]

)]2/1(^31[*-i

)]

2/1(^31[*+i

3 留数

留数定义：

设a 是)(z f 的孤立奇点，C 是a 的充分小邻域内一条把a 点包含在其内部的

闭路，积分

?

C

dz

z f i

)(21

π称为)(z f 在a 点的留数或残数，记作]),([Re a z f s 。在

MATLAB 中，可由函数residue 实现。

residue 留数函数（部分分式展开）

)

,(],,[A B residue K P R = 函数返回留数，极点和2个多项式比值

)(/)(s A s B 的部分分式展开的直接项。

)

()

()()

2()2()

1()1()

()

(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-+

+-+

-=

如果没有重根，则向量B 和A 为分子、分母以s 降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R 、极点在向量P 的位置，直接项返回到向量K 。

如果存在M 重极点即有)1()(-+==m j P j P 则展开项包括以下形式

m

j P s m j R j P s j R j P s j R ))

(()1())

(()1()

()

(2

--++

+-++

-

)

,,(],[K P R residue A B = 有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B 和A 的多项式比的形式。

例：计算函数

在处的留数。

解：因为

在扩充复平面有三个极点，分别为1，-1，，MATLAB 程序如下：

function fbhs1 clear

syms z

z1=exp(z)/(z^2-1);

B1=limit(z1*(z-1),z,1)

B2=limit(z1*(z+1),z,-1)

B= B1+ B2

运行结果如下：

B1 =1/2*exp(1)

B2 =-1/2*exp(-1)

B =1/2*exp(1)-1/2*exp(-1)

2.MATLAB绘图功能在复变函数中的应用

随着计算机处理数据和图形的功能越来越强，复变函数和计算机的结合已经成为必然的选择。比如从定理的推导证明到繁杂的运算，单调乏味，十分影响学习的兴趣。和计算机结合起来就不同了，利用绘图功能将该函数用图形直观的表达出来，由此可以通过图形来观察出函数图形的一些性质，这使得教学过程直观生动。

例四：用MATLAB作出复变函数和函数的图像。

MATLAB程序如下：

function fbhs

z=cplxgrid(30);

cplxmap(z,z.^4);

colorbar('vert');

title('z^4');

图2函数

的图像图3函数

函数的图像

从图2中可以看出，自变量的取值在水平面的单位园内，x 轴是实轴，y 轴是虚轴。画函数时，是以坐标系的z 轴表示函数的实部，其大小变化范围为

，上面的每一个横条都有相同的实部值，因为平面上的颜色表

示虚部，从颜色轴对应的数值看出变化范围也是，还可以从图中看出，

函数

是一个单值函数，它所形成的曲面对应三个高峰和三个低谷，对应

函数的实部有三个极大值和三个极小值。并且，还可以从图形中看出该函数是单值的。 函数

的MATLAB 程序如下:

z=cplxgrid(30); cplxroot(5); colorbar('vert'); title('z^(1/5)'); 从图3中可以看出函数为多值函数，0和为该函数的两个支点。

4 Taylor 级数展开

Taylor 级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。

函数)(x f 在0x x =点的Taylor 级数开展为

+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3

^2^x x x f x x x f x x x f x x f

在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。

taylor 泰勒级数展开 )

(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。此功能函数可有3个附加

参数。

),(n f taylor 返回1-n 次幂多项式。 ),(a f taylor 返回a 点附近的幂多项式近似。

),(x r taylor

使用独立变量代替函数)(f findsym 。

例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12）。

（1）10,/12

-=z z

（2）4/0,pi z tgz =；

MATLAB 实现为： )1,2^/1(-x taylor

5

)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x

)4/),(tan(pi x taylor

=ans

*+*-*+*-*+*-*+3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pi x pi x pi x

5)^4/1(15/644)^4/1(pi x pi x *-*+*-

例 再看下面的展开式 )10,/)(sin(x x taylor

=ans

8^362880/16^5040/14^120/12^6/11x x x x *+*-*+*-

展开式说明0=x 是此函数的伪奇点！

这里的taylor 展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB 中执行此命令前应先定义符号变量

z x syms

,，否则MATLAB 将给出出错信息！

5 Laplace 变换及其逆变换

1．Laplace 变换

)(F laplace L =

返回以默认独立变量T 对符号函数F 的Laplace 变换。函数返回默认为s 的函数。如果)(s F F =，则Laplace 函数返回t 的函数)(t L L =。其中定义L 为对t 的积分

inf)

,0),exp()(int()(t s t F s L *-*=。

)

,(t F laplace L =

以t 代替s 的Laplace 变换。),(t F l a p l a c e 等价于)

,0),exp()(int()(inf x t x F t L *-*=。

)

,,(z w F laplace L = 以z 代替s 的Laplace 变换（相对于w 的积分）。

)

,,(z w F laplace 等

价于

i

,0),exp()(int()(w z w F z L *-*=。

例如：

syms a s t w x

)5^(x laplace

=ans

6^/120s

))

(exp(s a paplace *

=ans

)/(1a t -

)),(sin(t x w laplace *

=ans

)2^2^/(w t w +

),),((t w w x cons laplace *

=ans

)2^2^/(x t t +

)),2/3(^(t sym x laplace

=ans

)2/5(^/)2/1(^4/3t pi *

)))

)((((''x F sym diff laplace

=ans

)0(),),((F s s x x F laplace -*

2．Laplace 逆变换

)(L ilaplace F =

返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换，默认返回t 的函数。如果)(t L L =，则ilaplace 返回x 的函数)(x F F =。)(x F 定义为对

s

的积分inf)

inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s t s s L t F ；其中c

为选定实数，使得)(s L 的所有奇点都在直线c s =的左侧。

),(y L ilaplace F =

以y 代替默认的t 的函数，且有),(y L ilaplace 等价于

inf)

inf,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c s y s y L y F 。这里y

是个数量符号。

),,(x y L ilaplace F =

以x 代替t 的函数，),,(x y L ilaplace 等价于

i n f )i n f ,,),exp()(int()(*+*-**=i c i c y y x y L y F ，对

y

取积分。

例如： y x w t s syms

))

1/(1(-s ilaplace

=ans

)exp(t

))

12^/(1(+t ilaplace

=ans

)sin(x

ilaplace ))),2/5((?(x sym t -

=ans

)2/3(^*)2/1(^/3/4x pi

ilaplace ),),2^2^/((x y w y y +

=ans

cos )*(x w

ilaplace(),,),),),(((x s s x x F laplace sym ''

=ans

F()x

6 Fourier 变换及其逆变换 1. Fourier 积分变换

F=fourier(f) 返回以默认独立变量x 对符号函数f 的Fourier 变换，默认返回w 的函数。如果)(w f f =，则fourier 函数返回t 的函数F=F(t)。定义F(w )int(f(x )*exp(inf),inf,,),**--x x w i 为对x 的积分。

=F

fourier (),v f 以v 代替默认值w 的Fourier 变换，且有fourier (),v f 等价

于F ()v = int inf)inf,,),**exp(*)((--x x v i x f 。

fourier ),,(v u f 以v 代替x 且对u 积分，且有fourier ),,(v u f ＜=＞F （v ）= int inf)inf,,),**exp(*)((--u u v i u f 。 例如：

syms

t v w x

fourier （1/t ）

=ans

))()((**w Heaviside w Heaviside pi i --

),),2?(exp(t x x

fourier -

=ans

)2?*4/1e x p (*)2/1(?t i p -

fourier )),)((*)(exp(v t Heaviside sym t ''-

=ans

1/)*1(v i +

fourier ),)),)((((w x x F sym diff ''

=ans

),),((**w x x F fourier w i 2.Fourier 逆变换

)(F i f o u r i e r f = 返回以默认独立变量w 对符号函数F 的Fourier 逆变换，默认返回x 的函数Fourier 逆变换应用于返回x 的函数，即由F=F )(w 推出)(x f f =。如果F=F )(x ，则ifourier 函数返回t 的函数)(t f f =。定义

inf)inf,,),**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=w x w i w F pi x f ，对w 的积分。

)

,(u F ifourier f = 以u 代替x 的函数，且有ifourier ),(u F 等价于

inf)

inf,,,**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=w u w i w F pi u f 对w 积分。

),,(u v F ifourier f =

以v 代替w 的Fourier 逆变换，且有)

,,(u v F ifourier ＜=＞inf)inf,,**exp(*)(int(*)*2/(1)(-=v u v i v F pi u f ，积分针对v 。

例如：

syms

u w x

))((*)*3exp(*(''-w Heaviside sym w w ifourier

=ans

2)?*3/(/2/1t i pi -

u w

ifourier ),2?1/(1(+ =ans

Heaviside /1u

2

*

u

u

-

=

u-

Heaviside

) exp(

*

exp(

)

*

)

2

*

/1

(

)

ifourier(v/(1+w)2∧,u)

ans

i/(1+w)2∧*Dirac(1,u)

ifourier(sym(′fourier(f(x),x,w)′),w,x)

ans=

f(x)

[参考文献]：

[1] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[

[2]张莹.浅谈MATLAB在复变函数论中的应用

[3]路见可，钟寿国，刘士强.复变函数.

Matlab中复变函数命令集

定义符号变量Syms

虚单位z=Sqrt(-1)

复数表示z=x+y*i

指数表示z=r*exp(i*a)

求实部Real(z)

求虚部Imag(z)

求共轭Conj(z)

求模Abs(z)

求幅角Angle(z)

三角函数z=sin(z)

z=cos(z)

指数函数z=exp(z)

对数函数z=log(z)

幂函数z=z^a

解方程expr=‘方程式’;

Solve(expr)

泰劳展开Taylor(e,z)

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理

学习复变函数与积分变换的心得

学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复数的真实性存在疑虑，所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外，在学习这门课程当中，复变函数这部分原理、规律多，内容枯燥、抽象，需要理解的概念和定义也多，学生普遍感觉到理论性偏强，有点抓不住重点；而积分变换这部分所涉及的背景较多，学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程，也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广，它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处，同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点，而没有注意到它们的不同点，这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可，觉得这门课程与高等数学没什么区别，感觉是在重复学习，没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密，复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差，在后续课程用到时，往往都要花一定得时间去复习，否则学生难于跟上，造成教学重复现象，课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解，提高了我们对这门课程的认真度，同时鼓励同学

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用 目录 1复数的生成 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2) 2..9MA TLAB极坐标绘图 (6) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7) 参考文献 (10)

复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算，还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。 1.复数的生成 复数的生成有两种形式。 a: z=a+b*i example1:>> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i b: z=r*exp(i*theta) example2: >> z=2*exp(i*30) z = 0.3085 - 1.9761i 2.复数的运算 2.1、复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real(x)返回复数的实部 imag(x)返回复数的虚部 example3: >> z=4+5*i; >> real(z) ans = 4 >> imag(z) ans = 5

泛函分析复习提要

泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

复变函数与积分变换试题及答案(10)

复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（每题2分） 1．z=i 的三角表示式是： 。指数表示式是 。 2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。 3．38的全部单根是： ， ， 。 4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。 5．设C 是正向圆周|z |=1，积分?c z dz 2 = 。 6．函数2 2 1 )1()(z e z f -=的弧立奇点是 和 ，其中 是极点， 是本性奇点。 7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。 8．分式线性映射具有 ， ， 。 二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。 1．零的辐角是零。 （ ） 2．i <2i . （ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。 （ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。 （ ） 5．z e e -=2 （ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数 （ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 （ ） 8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β

9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。 （ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 （ ） 三、计算题（每题6分） 1．dz z z c ?3sin （其中C 为正向圆周|z|=1） 2．?=?? ? ??-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行） 3．dz z ze z z ?=-2||21 （积分沿正向圆周进行） 4．求函数) 2()(1 )(10-+= z i z z f 在无穷远点处的留数 四、求解题（每题6分） 1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数 )(z f ，使f （0）=0。 2． 求函数2 ) 1(1 )(z z z f -= 在1|1|0<-

复变函数发展历程

复变函数发展历程 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 校内发展的历史 《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。 随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。 针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。 实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学

实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制

实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制 一、复变函数图形的绘制 例题：编程绘制出复变函数31/31 ，的图形。 z z , z 解： %experiment1.m close all clear all m=30; r=(0:m)'/m; theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta); w=z.^3; blue=0.2; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(u)); m=min(min(u)); axis([-1 1 -1 1 m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); subplot(131) mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^3') hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=z.^(1/3); x=real(z); y=imag(z); subplot(132) for k=0:2 rho=abs(w);

phi=angle(w)+k*2*pi/3; u=rho.*cos(phi); v=rho.*sin(phi); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); surf(x,y,u,v) %%画表面图 axis([-1 1 -1 1 m M]) hold on end s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('z^{1/3}') colormap(hsv(64)) %%画色轴 w=1./z; w(z==0)=NaN; x=real(z); y=imag(z); u=real(w); v=imag(w); v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u))); m=min(min(min(m,u))); subplot(133) surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold on axis([-1 1 -1 1 m M]) s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 xlabel('x') ylabel('y') zlabel('u') title('1/z') colormap(hsv(64)) %%画色轴

复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =

[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz

泛函分析论文

泛函分析作业 数学系08级5班 08020170 赵英杰

泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 一、度量空间和赋范线性空间 1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空

间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。 （一）、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 （二）、巴拿赫空间

MATLAB绘图功能大全

Matlab绘图 强大的绘图功能是Matlab的特点之一，Matlab提供了一系列的绘图函数，用户不需要过多的考虑绘图的细节，只需要给出一些基本参数就能得到所需图形，这类函数称为高层绘图函数。此外，Matlab 还提供了直接对图形句柄进行操作的低层绘图操作。这类操作将图形的每个图形元素（如坐标轴、曲线、文字等）看做一个独立的对象，系统给每个对象分配一个句柄，可以通过句柄对该图形元素进行操作，而不影响其他部分。 本章介绍绘制二维和三维图形的高层绘图函数以及其他图形控制函数的使用方法，在此基础上，再介绍可以操作和控制各种图形对象的低层绘图操作。 一、二维绘图 二维图形是将平面坐标上的数据点连接起来的平面图形。可以采用不同的坐标系，如直角坐标、对数坐标、极坐标等。二维图形的绘制是其他绘图操作的基础。 （一）绘制二维曲线的基本函数 在Matlab中，最基本而且应用最为广泛的绘图函数为plot，利用它可以在二维平面上绘制出不同的曲线。 1．plot函数的基本用法

plot函数用于绘制二维平面上的线性坐标曲线图，要提供一组x 坐标和对应的y坐标，可以绘制分别以x和y为横、纵坐标的二维曲线。plot函数的应用格式 plot(x,y) 其中x,y为长度相同的向量，存储x坐标和y坐标。 例51 在[0 , 2pi]区间，绘制曲线 程序如下：在命令窗口中输入以下命令 >> x=0:pi/100:2*pi; >> y=2*exp(-0.5*x).*sin(2*pi*x); >> plot(x,y) 程序执行后，打开一个图形窗口，在其中绘制出如下曲线 注意：指数函数和正弦函数之间要用点乘运算，因为二者是向量。 例52 绘制曲线 这是以参数形式给出的曲线方程，只要给定参数向量，再分别求出x,y向量即可输出曲线： >> t=-pi:pi/100:pi; >> x=t.*cos(3*t); >> y=t.*sin(t).*sin(t); >> plot(x,y) 程序执行后，打开一个图形窗口，在其中绘制出如下曲线 以上提到plot函数的自变量x,y为长度相同的向量，这是最常见、最基本的用法。实际应用中还有一些变化。

Matlab在复变函数中应用解读

Matlab在复变函数中应用 数学实验（一） 华中科技大学数学系 二○○一年十月

MATLAB在复变函数中的应用 复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。 1 复数和复矩阵的生成 在MATLAB中，复数单位为)1 j i，其值在工作空间中都显示为 =sq rt = (- 0+。 .1 i 0000 1.1 复数的生成 复数可由i z+ =。 a =语句生成，也可简写成bi a z* + b 另一种生成复数的语句是) exp(i theta r =，也可简写成) =， z* exp(theta * i r z* 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。 1.2 创建复矩阵 创建复矩阵的方法有两种。 （1）如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)] i A* * i i = + 3[i * - + * , ), 23 5 33 6 exp( 2 3 , exp( 9 （2）可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： )2,3( re=； rand im=； )2,3( rand

im i re com *+= ] 5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i i i com ++++++= 注意 实、虚矩阵应大小相同。 2 复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。 调用形式 )(x real 返回复数x 的实部 )(x imag 返回复数x 的虚部 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。 调用形式 )(x conj 返回复数x 的共轭复数 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。 调用形式 )(x abs 复数x 的模 )(x angle 复数x 的辐角 例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 （1） i 231 + （2）i i i --131 （3）i i i 2)52)(43(-+ （4）i i i +-2184 由MATLAB 输入如下：

泛函分析在数值分析中的应用

泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2)

复变函数实验课(一)

湖北民族学院理学院 2014年春季学期 数学与应用数学专业复变函数实验课 （一）计算部分 上课教师：汪海玲

Matlab中复变函数命令集 定义符号变量Syms 虚单位z=Sqrt(-1) 复数表示z=x+y*i 指数表示z=r*exp(i*a) 求实部Real(z) 求虚部Imag(z) 求共轭Conj(z) 求模Abs(z) 求幅角Angle(z) 三角函数z=sin(z) z=cos(z) 指数函数z=exp(z) 对数函数z=log(z) 幂函数z=z^a 解方程expr=‘方程式’; Solve(expr) 泰劳展开Taylor(e,z) 求留数[r,p,k]=residue(p,q) 傅立叶变换Fourier(e,z,w) 逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z) 拉普拉斯变换Laplace(e,w,t) 逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)

一复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real返回复数x的实部 (x ) (x imag返回复数x的虚部 ) 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现。 调用形式 conj返回复数x的共轭复数 (x ) 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。 调用形式 abs复数x的模 ) (x angle复数x的辐角 ) (x 上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1. 4．复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 5．复数的平方根 复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。 调用形式 ) sprt返回复数x的平方根值 (x 6．复数的幂运算 x^，结果返回复数x的n次幂。 复数的幂运算的形式为n 上机操作：课本例题1.8 7．复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。

复变函数基本定义(2020年10月整理).pdf

定义 邻域－定义1.1点的邻域指： 聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。 开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。 有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。 区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。 闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。 约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程 所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。

单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。 复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。 复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。若存在一复数，使，，只要，就有 则称沿于有极限，并记为。 连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。若 即对任给的，，只要，，就有 则称沿于连续。 复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。 无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。 主要定理 约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足

泛函分析论文

浅谈泛函分析 数学科学学院 张健 20111101710 2011级数学与应用数学汉班 摘 要 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。它在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 关键词 泛函分析、空间、度量、算子 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科,是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 .1度量空间和赋范线性空间 1.1度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家.G 康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家..R M -弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：R X X →?。若对于任何z y x ,,属于X ，有 ()1（正定性）(),0,≥y x d 且(),0,=y x d 当且仅当y x = ()2（对称性）()()x y d y x d ,,= ()3（三角不等式）()()()z y d y x d z x d ,,,+≤ 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对()X d ,为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。 2.1赋范线性空间

MATLAB在复变函数与积分变换的应用

本科毕业论文 题目：MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院：数学与计算机科学学院 班级：数学与应用数学2009级班 姓名： 指导教师：职称：副教授 完成日期：2013年05月10日

MATLAB在复变函数与积分变换的应用 摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助. 关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换

目录 1 引言 (1) 2 复常数的运算 (1) 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1) 2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2) 3 泰勒级数的展开 (3) 4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4) 4.1 留数计算及积分计算 (4) 4.2 有理函数的部分分式展开 (5) 5 Fourier变换及其逆变换 (6) 6 Laplace换变换及其逆变换 (8) 7 复变函数图形绘制 (9) 参考文献 (10)

1 引言 复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要. 在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令，或者可以建立一个M 文件，输入较大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因. 本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来，把复杂的计算交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担，缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量. 2 复常数的运算 2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为： real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数 例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1) i 745+ (2) 5 23i e π (3) 57 37 ++i i 解：在编辑器中建立M 文件001.m 如下： format rat X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]

实变函数与泛函分析总复习题

第一章 复习题（一） 一、判断题 1、大人全体构成集合。（× ） 2、小个子全体构成集合。（× ） 3、所有集合都可用列举法表示。（× ） 4、所有集合都可用描述法表示。（√ ） 5、对任意集合A ，总有A ??。（√ ） 6、()A B B A -?=。（× ） 7、()()A B B A B B A A -?=?=-?。（√ ） 8、若B A ?，则()A B B A -?=。（√ ） 9、c A A ?≠?，c A A X ?=，其中X 表示全集。（× ） 10、A B B A ?=?。（× ） 11、()c c c A B A B ?=?，()c c c A B A B ?=?。（× ） 12、()()()A B C A C B C ??=???，()()()A B C A C B C ??=???。（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。（√ ） 15、若12A A A =?，12B B B =?，且11A B ，22A B ，则A B 。（× ） 16、若A B ?，则A B ≤。（√ ） 17、若A B ?，且A B ≠，则A B <。（× ） 18、可数集的交集必为可数集。（× ） 19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√ ） 20、因整数集Z ?有理数集Q ，所以Q 为不可数集。（× ） 21、()c c A A =。（√ ） 第二章 复习题 一、判断题 1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。（× ） 2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。（× ） 3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。（× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。（√ ）