年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)
２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分）
1．“a＝2，
b=”是“曲线C：
22
22
1(,,0)
x y
a b R ab
a b
+=∈≠
经过点)”的（A)．
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A.
解答:当a
=2, b=曲线C:
22
22
1
x y
a b
+=
经过)；当曲线Ｃ：22
22
1
x y
a b
+=
经过点)时,即有22
21
1
a b
+=,
显然2,
a b
=-=也满足上式。所以“a＝
2, b=”是“曲线C：
22
22
1
x y
a b
+=
经过点)”的充分不必要条件。
２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2
m m m
++，则实数m的取值范围为( Ｂ)．
Ａ．1
m>B．3
1
2
m
< 3 3 2 m << D.3 m> 答案：B. 解答:由题意可知： 222 (1)2 (2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+ ? ? +>++++ ? 解得 3 1 2 m <<。 3．如图,在正方体ABCD-A1B１C1D1中，Ｍ为BB1的中点, 则二面角M－CD1－A的余弦值为( C )． A． B. 1 2 Ｃ． D 答案:Ｃ. 解答：以D为坐标原点,1 ,, DA DC DD所在的直线分别为,, x y z轴建立空间直角坐标系,则 1 1 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M,且平面 1 ACD的法向量为1 n=(1,1,1),平面 1 MCD法向量为 2 (1,2,2) n=-。因此 12 3 cos,n n <>=即二面角M-CD 第3题图 1 A1 １ -A 。 ４.若实数,a b 满足20 101 a b b a a +-≥?? --≤??≤? ，则22a b a b ++的最大值为 ( Ｃ ). A ． 1 Ｂ. 54 C ． 75 Ｄ. 2 答案：C. 解答：由,a b 满足的条件知13b a ≤ ≤,所以 2372252a b b a b a +=-≤++,当13 (,)(,)22a b =取等号。 ５. 已知等腰直角△ＰQ Ｒ的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上,记△ＰQ Ｒ,△ＡBC 的面积分别为Ｓ△PQ Ｒ,S △ＡBC ,则 PQR ABC S S ??的最小值为( D ). A. 12 B. 1 3 C ． 1 4 Ｄ． 1 5 参考答案:Ｄ． 解答：如图5－1所示, 图5－1 图5-２ (１)当PQR ?的直角顶点在ABC ?的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆， 180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ??中分别应 用正弦定理得 ,sin sin sin sin PR AR QR BR A APR B BQR ==．又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点. A B P H 过R 作RH AC ⊥于H ，则1 2 PR RH BC ≥=,所以 2 2 221 ()124 PQR ABC BC S PR S BC BC ??=≥=,此时 PQR ABC S S ??的最大值为 1 4 . (2)当PQR ?的直角顶点在ABC ?的直角边上，如图5－２所示，设 1,(01),(0)2 BC CR x x BRQ π αα==≤≤∠=<< ,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ?中,,sin sin CR x PR αα = = 在BRQ ?中,3 1,,sin 4 x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理， 1sin 3sin sin sin sin()44x PQ RB x B PQB αππα-=?=?∠+ 1 sin cos 2sin x ααα = +,因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα?===+． 这样, PQR ABC S S ??2222 111 ( )cos 2sin (12)(cos sin )5 αααα=≥=+++,当且仅当arctan 2α=取等号，此时 PQR ABC S S ??的最小值为1 5 ． 6. 已知数列{}n a 的通项(1)(21) (1) n nx a x x nx = +++ ,*n N ∈，若 1220151a a a ++ +<，则实数x 等于（ D ). A.3 2 - B.512- C ．940- D.1160- 答案：D. (1)111 (1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21) (1) n nx a x x nx x x n x x x nx +-= =- +++++-++++ 则 2015 1 1 11(1)(21) (20151)0(1)(21)(20151) k k a x x x x x x ==- +++∑,所以 111 111 (1,)(,)(,)(,)234201320142015 x ∈--?--? ?- -?-+∞，经检验只有1160x =- 符合题意。 7． 若过点P （1，0),Ｑ(2，0)，R （4，0），Ｓ（８,0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．． 等于 （ C ）． A. 1617 B. 365 C. 26 5 Ｄ. 19653 答案:C. 解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a ,面积为,S 过P 的直线的倾斜角为(0)2 π θθ<<。 当过点 ,P Q 的直线为正方形的对边所在的直线时， sin cos sin 4cos sin PQ a RS θθθθθ==?=?=，此时正方形的面积216 (sin )17 S PQ θ== 。 同理，当过点,P R 的直线为正方形的对边所在的直线时,36 5 S =；当过点,P S 的直线为正方形的对边所在的直线时,196 53 S = . ８.若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++ ++=∈∈，则集合A 中的元素个数为( Ｂ ). A ．4030 Ｂ．4032 Ｃ． 2015２ D. ２０１６２ 答案:Ｂ． 解答:由已知得20162015 (21)2 5n n m ++=,因为,21n n m ++一奇一偶,所以,21n n m ++两者 之一为偶数,即为2016201620162201620152,25,25,,25共有2016种情况，交换顺序又得到201６ 种情形,所以集合A 共有４0３2个元素． 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上,9-1４每题7分,1５题8分,共50分) ９.已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=,(2)(2)0f x f x +--=,且2()13 f =，则 1000()3 f = ． 答案：1-. 解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-?+=,所以 100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333 f f f f f f =+==+=--=-=- 10.若数列{}n a 的前n 项和n S =3 2 n n -，* n N ∈，则20151 1 82 i i a i =+-∑ = . 答案: 2015 6048 . 解答:1 2 1 1 352,n n n i i i i a a a n n -=== -=-+∑∑又10a =,故2*352()n a n n n N =-+∈, 2015 2015201511111111 ()823(1) 31i i i i a i i i i i =====-=+-++∑∑∑20156048． 11． 已知F 为抛物线2 5y x =的焦点,点Ａ (3,1), M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标为 ． 答案:1 ( ,1)5 . 解答：设抛物线的准线为5 :4 l x =- ．过M 作l 的垂线,垂足为,H 则 AM MF AM MH AH +=+≥,当,,A M H 三点共线时取等号，此时Ｍ的坐标为 1 (,1)5 。 12.若22 sin cos 161610x x +=,则cos 4x = ． 答案:12 - ． 解答：设2 sin 16,116x t t =≤≤,则2 2 cos 1sin 16 1616x x t -== ,代入方程得16102,t t t +=?=或8t =,即 2 1sin 4x =或3 4,所以cos 4x =12 -。 13. 设函数2 ()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者.若 (2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围为 . 答案:(,2)(1,0)-∞-?-. 解答：当21a +≤-时，21,a a <+≤-此时有()(2)f a f a <+； 当120a <+<时,32,a -<<-此时有()(2)1(2)f a f f a ≤-=-<+; 当021a ≤+≤时,21,a -≤<-此时有()(2)f a f a ≥+； 当122a <+<时，10,a -<<此时有()(2)f a f a <+; 当22a +≥时,0,a ≥此时有 ()(2)f a f a ≥+。 1４. 已知向量,a b 的夹角为3 π , 5a b -=,向量c a -,c b -的夹角为 23 π ,23c a -=，则a c ?的最大值为 . 答案:24. 解答:,,OA a OB b OC c ===，则23, 5.AC c a AB a b =-==-=又 2,,3 3 AOB ACB π π∠= ∠= 此时,,,O A C B 共圆，由正弦定理得3sin 5ABC ∠=,则 4 cos 5 ABC ∠= 。在ACO ?中,AOC ABC ∠=∠，由余弦定理得 2 2 22cos AC a c a c AOC =+-∠，即8 122305 a c a c a c ≥- ?≤,所以cos 24a c a c AOC ?=∠≤，当14 arctan 423 ACO π ∠= +时取“＝”,因此a c ?的最大值为24． １5．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤,都有2 (2)(2)0ax x b ++≤，则 ______a =,_______.b = 答案：1,2a b ==-. 解答:首先令0,x =知0b ≤.其次考虑过定点(0,2)的直线2y ax =+，与开口向上的抛物 线2 2y x b =+,满足对任意0x ≤所对应图象上的点不在x 轴同侧,因此2a = ．又,a b Z ∈，故1,2a b ==-. 三、解答题(本大题共有3小题，16题1６分,17、18每题18分，共5２分) 16. 设,a b R ∈,函数2 ()(1)2f x ax b x =++-.若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根,求实数a 的取值范围. 参考答案: 因为方程()f x x =有两个相异的实根,即方程2 (1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数 根,所以 { 20 ,(1)4(2)0 x a b a b ≠?=---> ………………………………4分 即 { 20 2(12)810 a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立,所以 { 20 4(12)4(81)0 b a a a ≠?=+-+<，…………………………………………………12分 解得01a <<.…………………………………………………………………………16分 17.已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率 为 ,右焦点为 圆222:(7C x y -+=的圆心． （Ｉ)求椭圆1C 的方程; （I Ｉ）若直线l 与曲线Ｃ1，C 2都只有一个公共点,记直线l 与圆Ｃ2的公共点为A ，求点A 的坐标. 参考答案:（Ⅰ)设椭圆1C 的半焦距长为c , 则c c a ?=????,解得{ 21a b ==，所以椭圆方程为 2 214 x y +=.………………………………………………………………………………４分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线l 的率存在时，可设直线l 的方程为(,)y kx m k m R =+∈，点A 的坐标为(,)A A x y ，其中A y =联立方程2214x y y kx m ??+=??=+?，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=…………(１) 所以22116(41)0,k m ?=-+=即 22410k m -+=……………………（2）……………………………………………8分 联立方程22 (7 x y y kx m ?-+=??=+??消去y 得 222(1)2(40k x km x m ++-+-= (3) 所以22216(47)0,k m ?=--+=即 22470k m --+=……………………………(4）…………………………12分 (2)－(4) 得km = ……………………………… (５) （5）代入（3) 得0A x ==………………(6)…………………………１６分 （6) 代入2 2 2:(7C x y +=得2A y =±． 经检验(0,2),A 或(0,2)A -符合题意,这样点A 的坐标为(0,2),(0,2)-．…………1８分 18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1 n n n n n n a a b a b n N b b a ++? =+??>>∈? =+ ??? .证明:505020a b +>. 参考答案: 证明：因为2222 112211 2()n n n n n n n n n n a b a b a b a b b a +++=++ +++， 所以 49 49 2 22250 50 1 1 221111 ()2()i i i i i i i i a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑ 22 1122 1111 22494449200.a b a b >++ ++??≥+?=……………………８分 又111 2n n n n n n a b a b a b ++=+ +， 所以49 50501111111 1124998100i i i a b a b a b a b a b ==+ +?>++≥∑ (6) 所以222 505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>……１8分 四、附加题(本大题共有2小题，每题2５分,共５０分） 附加1已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+，*n N ∈. (I) 证明:{}n a 是正整数数列; (I Ｉ） 是否存在*m N ∈,使得2015m a ，并说明理由． 参考答案：(Ⅰ)由13n n a a +=+得 2211640n n n n a a a a +++++=，……………………………… （１) 同理可得 22 2212640n n n n a a a a +++++++=，………………（2）……………………5分 由（1）(2)可知,2,n n a a +为方程2 2 11640n n x a x a ++-++=的两根,又2n n a a +<,即有 216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=- 因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.……………………………………………………１0分 （Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .…………………………………………………1５分 假设存在*m N ∈,使得2015m a ，则31m a . 一方面，2 214m m m a a a ++=+,所以21314m a ++,即 214(mod 31)m a +≡-,所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以30 11(mod 31)m a +≡-…………………………20分 另一方面,1(,31)1m a +=.事实上,假设1(,31)1m a d +=>,则31d ,即31d =，所以131m a +，而2 1314m a ++，这样得到314．矛盾. 所以,由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡. 这样得到11(mod 31)≡-．矛盾．所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………25分 附加2 设k 为正整数,称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足 （1）121k x x x +<< <; (２)1221k k k x x x +++>>>;(３）212231k k k x x x +++<<<． 记k d 为所有“Ｎ型”排列的个数. (I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数． 参考答案: 首先注意到1k x +的值只能取31,3,,21k k k ++这些数字,因为必须有２k 个值比它小, 而21k x +的值只能取1,2, ,1k +这些数字，因为必须有2k 个值比它大。 记12132,k k x k j x i ++=+-=(,1,2, ,1i j k =+)时的Ｎ型排列个数为(,)i j k d ，则 (,)1131() 31()(1) i j k i k j k k i j k i j k i d C C +-+-+-++-+-+-=,1 (,),1 k i j k k i j d d +== ∑． 化简得 (,)(31)! (1)!(1)!(1)! i j k k i j d k k i k j +--= -+-+-.………………………………………………………１0 分 (1) 计算可得 125,71d d ==………………………………………………………………１５分 (2) 易知 (,) (,)i j j i k k d d =， (,) (312)! (1)!(1)!(1)! i i k k i d k k i k i +-= -+-+-(1,2, ,i k =） ,(1,1)1k k k d ++=. 当1k >时，对于所有1,2,,i k =，(,)i i k d 是偶数。事实上对于21k x i +=,132k x k i +=+-（1,2, ,i k =)时的任何一个N 型排列，此时数字1,2, ,1i -只能放在121,, ,i x x x -的位 置，数字32(1),32(2),,321k i k i k +--+--+-只能放在 32(1)32(2)31,,,k i k i k x x x +--+--+上(字母N 的两头)，1,,,i i k x x x +和3232(1)22 ,,,k i k i k x x x +-+-++的数字可以互换得到一个新的N 型排列，于是(,) i i k d 是偶数（1,2, ,i k =）.……25分 （也可以从表达式说明 (2)! !!! m n m n n +是偶数（1n ≥),它的组合意义就是将ｍ个白球,ｎ个红球， n 个蓝球排成一行的排列数。于是任何一种排列，交换红蓝球可对应另一种排列。 高中数学竞赛试卷 考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。 一、 选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2，如果圆222n y x =+至少覆盖函数n x x f πsin 3)(=的一个最大点和一个最小点，则正 整数n 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ） A ．43 B ．32 C ．53 D ． 10 9 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（ ） A ．)(x f y -= B ．)1(x f y -= C ．)2(x f y -= D ．)3(x f y -= 6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ） A ．2)1()1)(1(ab ab b b a a +>++ B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++ C ．b a b a b a b a ++>++222233 D ． 2 23 322b a b a b a b a -->-- 7．记xy y x A xy )1)(1(22--=，若abc c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（ ） A ．3 B ． 3- C ． 4 D ．4- 8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（ ） A ．17043 B ．17044 C ．17045 D ． 17046 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 高中数学竞赛模拟试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0! 1! 2! 100!i +i +i + +i = ．（i 表示虚数单位） 2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合 是 ．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 ． 4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ， 2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ． 5．若关于x 的方程4(3)250x x a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 ． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为 ． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n 的表达式 ． 8．实数x 、y 、z 满足0 x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2 x 、2 y 、2 z 中最大者， 则m 的最小值为 ． 二、（本题满分14分） 设()f x = a 的值：至少有一个正数 b ，使()f x 的 定义域和值域相同． i x 1 A B F D E 三、（本题满分14分） 已知双曲线22221x y a b -=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2 b a c =．,P Q 是双曲线上 任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ?的值． 四、（本题满分16分） 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ?????? =≤≤∈?????????? N 的元素个数． 五、（本题满分16分） 数列{}n f 的通项公式为1122n n n f ??????=- ??????? ?，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除． 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log2x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A1B1C1D1内部有一小球，该小球与正方体的对角线 段AC1相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n，第一行是1,2,…,n. 例如： 3123 894 765 T设2018在T100的第i行第j列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P 的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: 222 y z xy yz zx. x233 （2）是否存在实数k>3，使得对于任意实数x.y,z下式恒成立？ 222 y z k xy yz zx，试证明你的结论. x23 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 1 1 高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A ( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．}1,3{- D ．}1,3{- 2．若()()2006 34554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则??? ? ??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007 3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱 AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角，则这样的直 线条数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且 椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ． 124y 246x 22=++ B ．1243y 246x 22=+++ C ．1246y 24x 2 2 =++ D ． 12 46y 243x 22=++ + （注：原卷中答案A 、D 是一样的，这里做了改动） 6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( ) A ．1372 B ． 2024 C ． 3136 D ．4495 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。） A C D 2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一.选择题 1.如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对 (),A B 为“好集对” 。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A B C D ２.设函数()() lg 101x f x -=+,()() 122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101 A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺 序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角 ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1 AD a BD b CD a b ===-=. 设数列 {} k u 的通 项 为 ()1221,1,2,3, ,k k k k k k u a a b a b b k --=-+- +-=则( ) 20082007200620082007200620082007 20082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的 顺序排成一个新的数列 {} n a ,易见123451,3,7,9,13 a a a a a =====那么 2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 6. 设 A B ==1+cos871-cos87 则():A B = .. .A B C D 2 2 7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得n n a = 取实数值的最小正整数,则对应此n 的 n a 为 783660 A B C D 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围. 高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A ( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．}1,3{- D ．}1,3{- 2．若()()200634554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则??? ? ??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007 3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱 AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角，则这样的直 线条数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且 椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ．124y 246x 22=++ B ．1243y 246x 22 =+++ C ．1246y 24x 22=++ D ． 12 46y 243x 22=+++ （注：原卷中答案A 、D 是一样的，这里做了改动） 6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( ) A ．1372 B ． 2024 C ． 3136 D ．4495 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。） A C D 2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==， 最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且 高中数学竞赛初赛试题 一 选择题 1. 如果集合.A B 同时满足{}1. 2. 3.4A B ={}1A B =,{}{} 1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对 (),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对， 那么“好集对”一共有（）个 64862A B C D ２.设函数()()lg 10 1x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21 .log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100 到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126 的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为 ()1221,1,2,3,, k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007 .. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-== 5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质 的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个 新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么 2007____________a = 192759.. 55 .. A B C D 2831 9597 783660A B C D ２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m < 上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 考试时间:2019年6月30日上午9:00 1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i ?+. 2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =21 3. 3.函数()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期=2π. 4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值= 5、从1,2,,10???中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115 . 6、在边长为1的正方体1111ABCD A B C D ?内部有一小球，该小球与正方体的对角线段 1AC 相切，则小球半径的最大值=45 . 7、设H 是ABC ?的垂心，且3450HA HB HC ++=，则 cos AHB ∠=6? . 8、把21,2,,n ???按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ???. 例如：3123894765T ?? ??=?????? 设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95. 9、如图所示，设ABCD是矩形，点,E F分别是线段, AD BC的中点，点G在线段EF上，点,D H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:3 HAB GAB ∠=∠. 10、设O是坐标原点，双曲线: C 22 22 1 x y a b ?=上动点M处的切线交C的两条渐近 线于,A B两点. (1)求证：ABC ?的面积S是定值; （2）求AOB ?的外心P的轨迹方程. 2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的 全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值． 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于高中数学竞赛试卷
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试卷
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
2018全国高中数学联赛试题
高中数学竞赛试卷A及答案
2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
历年全国高中数学联赛试题及答案
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(含答案)
2015年全国高中数学联赛试题
高中数学竞赛试卷A及答案
2019年浙江省高中数学竞赛试卷
高中数学竞赛试题及答案(word版本)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)
上海市高中数学竞赛试题及参考答案
2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 + 参考答案
2019学年浙江省高中数学竞赛
全国高中数学联赛试题及解答完整版
高中数学竞赛试题附详细答案
相关文档
- 2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题
- 2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案(1)
- 2018年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题
- 2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案
- 最新浙江省高中数学竞赛试题及解答
- 浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案(20210103222821)
- 年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)
- 浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案
- 2020浙江省高中数学竞赛初赛试题及答案 - 副本
- 2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题 含答案
- 2018年浙江省高中数学联赛试题及参考答案
- 2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷(无附参考答案)
- 2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
- (完整word版)2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛
- 2016浙江省高中数学竞赛试题及解答
- 2019年浙江省高中数学竞赛试卷
- 浙江省高中数学联赛试题及参考答案
- 浙江省高中数学竞赛试卷 含答案
- 最新浙江省高中数学竞赛试题及答案
- 2017年浙江省高中数学竞赛试卷