含有积分边界条件的高阶微分方程边值问题解的存在性

万方数据

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6.1 电磁场边界积分方程

第六章 边界单元法 有限元法属于偏微分方程法。对于求解有界电磁场域的场分布，尤其是有复杂边界和多种媒质、线性或非线性、静态或时变场的数值计算都是十分成功的，有的文献认为有限元法是应用最广，最重要的数值分析方法。 当然，任何一种数值分析方法都不是万能的，有限元法的不足之处主要表现为： 1. 对于无界求解区域的处理比较困难； 2. 所求得的数值解是位函数值，再通过求导，一般比位值的精度低一个数量级，所以计算精度较低； 3. 对时变电磁场的求解，计算量太大。 在以上这几点所反映的问题上，边界单元法解决得比较好，有明显优势。此外，边界单元法还具有能降低所研究问题的维数，离散剖分和数据准备简单等特点，它已成为计算场的重要方法，我们需要进行学习。 6.1 电磁场边界积分方程 6.1.1电磁场边界元方程的基本关系 设三维线性泊松方程为所求场的控制方程，D 是具有边界面S 的求解区域。在S 上含有给定的第一和第二类边界条件的边界1S 和2S ，21S S S +=。对于这类恒定场，定解问题可表示为： 式中：u 表示位函数，f 是场源密度函数（如ε ρ-）。若已求得近似解u ~ ，带入边值问题， 用R 、1R 和2R 分别表示方程余量及边界余量：

f u R -?=~2 u u R S ~-=1 S q q R -=2 取权函数w ，按加权余量法，令误差分配的加权积分为： 021>=<->??<->

常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

6.3 边界积分方程的离散化方程

6.3 离散化边界积分方程的建立 以二维边界离散化方程的建立为例，重点突出离散化方法的学习。 6.3.1建立Laplace 场的边界离散化方程 电磁场边界元法的通用积分方程 (4) 其中： ?????? ?∈∈∈=域外 光滑的边界上域内D D c i 0 211 设在Laplace 场中的二维边界上一点i 处，有方程： 在二维场的边界线l 上进行离散，将l 划分为许多小段，每段以直线段或曲线段逼近，作为一个单元。设l 点共被分为0N 个单元，其中在第一类边界1l 段上划分了1N 个单元，在第二类边界2l 段上划分了2N 个单元： 210N N N += 作为单元待求量的插值计算方式，可分为几种： ① 恒值单元 同一单元中的待求量u 和 n u ??都设为恒定值 (或称零次插值)，实际上是取单元中点的u 值(或 n u ??值)作为单元的u 值(或n u ??值)。这样，取单 元中点为节点，所以求解变量数等于节点数。 ② 线性单元

它也是直线单元，其u 值在单元两端点之间按线性变化(即线性插值)。单元两端点为单元的节点。 ③ 曲线单元 每单元上的节点数大于2，以多节点拟合的曲线逼近边界单元，以单元节点上的高阶插值函数作为待求位函数近似解。 取最简单的单元——恒值单元为例，介绍边界元离散方法。 按上面的方程对i 单元的“i ”节点离散化 ∑? ∑? ==??= ??+ o j o j N j l N j l i l n u F l n F u u 1 1 d d 2 1 ∑? ∑?=== ??+ 1 1 d d 2 1N j l N j l j j i j o j l F q l n F u u ，?= j l ij l F G d ，上式表示为： 设i 点为i 单元的中点（021N i 、、、 =），有 ()∑∑==== 1 01 21N j N j j ij j ij N i q G u H ,,, 式中： 于是上述0N 个方程写为矩阵形式 GQ HU = 由定解问题中的第一类边界1l ，对应有1N 个单元的位值u s 是已知的，2l 是第二类边界，对应有2N 个单元n u q s ??= 位是已知。所以上述矩阵方程中，有2N 个单元的u 值和 1N 个单元的q 值是未知的，即是说矩阵方程有021N N N =+个未知数。设单元排列顺序 在1l 边界上为1，2，……，1N ，在2l 边是上为11+N 、21+N 、…、0N ，则上述矩阵方

固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述

计算固体力学 读书报告 固体力学中的边界积分方程及其边界元法 综述 Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics 土木工程系 2014年03月17日

评语

目录 摘要 (2) A BSTRACT (2) 一、引言 (3) 1)什么是边界元法[1] (3) 2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3) 二、边界元法[5] (4) 1)概述 (4) 2)基本解 (4) 3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5) 4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6) 5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6) 6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7) 三、结束语 (8) 参考文献 (9)

摘要 本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。 关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法 Abstract This paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications. Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm

偏微分方程边值问题的数值解法论文

求解偏微分方程的边值问题 本实验学习使用MATLAB 的图形用户命令pdetool 来求解偏微分方程的边值问题。这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。我们用个例题来说明它的用法。 一、MATLAB 支持的偏微分方程类型 考虑平面有界区域D 上的二阶椭圆型PDE 边值问题： ()c u u f α-??+=g (1.1) 其中 (1) , (2) a,f D c x y ?????=? ????? 是上的已知函数(3)是标量或22的函数方阵 未知函数为(,) (,)u x y x y D ∈。它的边界条件分为三类： （1）Direchlet 条件： hu f = (1.2) （2）Neumann 条件： ()n c u qu g ?+=g (1.3) （3）混合边界条件：在边界D ?上部分为Direchlet 条件，另外部分为Neumann 条件。 其中,,,,h r q g c 是定义在边界D ?的已知函数，另外c 也可以是一个2*2的函数矩阵，n 是沿边界的外法线的单位向量。 在使用pdetool 时要向它提供这些已知参数。 二、例题 例题1 用pdetool 求解 22D 1 D: 10u x y u ??-?=+≤??=?? (1.4)

解：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar模式． ( l ）画区域圆 单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入

偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0(' =?，则称0x 是)(x J 的 驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得 ),()),((2 1 )()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+= ),(2 ),()(2 00x Ax x b Ax x J λλ+ -+= ),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-= 必要性:由0)0(' =?,得,对于任何n R x ∈,有 0),(0=-x b Ax , 由线性代数结论知, b Ax b Ax ==-00,0 充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈, 0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2 补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意 )()(0I C x ∞∈?,有 ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()(' 1?? ??-=b a b a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到 )(0)()(021I C x g g b a ∞ ∈?=-??? 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等. 补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

常微分方程组(边值)

常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooting Method （shooting.m ） %打靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b,n]=shooting(fun,x0,xn,eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+rand; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1); x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (norm(c1-xn)>=eps & norm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x1=x2; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1) x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题： ()()??? ????==- =010004822y y y dx y d 解：将其转化为常微分方程组的初值问题

()????? ? ?????==-==t dx dy y y y dx dy y dx dy x 0011221 048 命令： x0=[0:0.1:10]; y0=32*((cos(5)-1)/sin(5)*sin(x0/2)-cos(x0/2)+1); 真实解 plot(x0,y0,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1))

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法汇总

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法. 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)(a y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ? ? ?=-'=-'101 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a . 常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法. 11.2 打靶法 对于二阶非线性边值问题 ()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1) 打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列： ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2） 引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使： ()()β==∞ →b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）

其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解． 首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图 ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4） 如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β． 为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定： 0),(=-βv b w ． （11.2.5） 由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列 ),)(()),((111----- =k k k k v b dv dw v b w v v β，此处),(),)(( 11--=k k v b dv dw v b dv dw ， （11.2.6） 同时要求求得),)(( 1-k v b dv dw ，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。 ，，，),(),(),(),(1210-??k v b w v b w v b w v b w 假如我们如下改写初值问题（11.2.2），使其强调解对x 和v 的依赖性 ()()v v a w v a w b x a v x w v x w x f w ='=≤≤'=''),(,),(),,(,，，，α，（11.2.7） 保留初始记号以显式与x 的微分相关．既然要求当k v v =时),)((v b dv dw 的值，那么我们需要求出表达式（11.2.7）关于v 的偏导数．过程如下： )),(),,(,(),(v x w v x w x v f v x v w '??=?''? ),()),(),,(,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f v x v x w v x w x x f ??'??+??'??= ) ,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f ?'?''??+ 又因为x 跟v 相互独立，所以当b x a ≤≤上式如下；

弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程_姚振汉

2009全国结构动力学学术研讨会 安徽省安庆市，2009.10.28-31 中国振动工程学会结构动力学专业委员会 弹性动力学问题一种新的时空域边界积分方程i 姚振汉 清华大学航天航空学院工程力学系, 北京, 100084 Email: demyzh@https://www.sodocs.net/doc/4412574973.html, 摘要：弹性动力学问题传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解基于动力学互等定理来建立。弹性动力学含时间的基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。本文采用加权余量格式由弹性动力学偏微分方程初边值问题出发导出一种新的时空域边界积分方程。方程中只分别利用于某瞬时会聚于弹性体边界某点的球面会聚压力波和剪切波作为核函数，从而使方程显著简化。由此建立的边界元法将比传统方法具有更高的计算效率。 关键词：弹性动力学，边界积分方程，边界元法，球面会聚压力波，球面会聚剪切波 引言 众所周知，边界元法是比有限元法稍晚几年发展起来的，最早可以看到关于间接法的一系列工作，其中求解的边界未知量并不是原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅助变量。最早的间接法边界积分方程方法的文献可追溯到1958年（Smith 和 Pierce用于位势问题）。直接法边界积分方程方法的文献出现得稍晚一些，1963年 Jaswon将其用于位势问题。1967年Rizzo发表了关于弹性静力学问题直接法边界积分方程方法的论文，我国从事固体力学边界元法研究的一些作者曾经把它作为边界元法的第一篇文献。1968年Cruse和Rizzo就发表了弹性动力学问题直接法边界积分方程方法的文章[1, 2]。弹性动力学问题在重大工程问题中广泛存在，因此弹性动力学是固体力学边界元法中最重要的研究领域之一。在近年Aliabadi的边界元法专著[3]中也有专门的一章。 上述最早的弹性动力学边界积分方程方法的文献将边界元结合Laplace变换，然后求解变换域中的椭圆型方程，后来Manolis和Beskos对其做了一些改进[4]。时间－空间域边界元描述最早是由Cole、Kosloff和Minster于1978年对反平面问题给出的[5]，后来Niwa、Kobayashi和Kitahara给出了一般形式的描述[6]。进一步的改进还可见于Antes[7]，Karabalis和Beskos[8]，以及Mansur等的文献[9]。 基于弹性动力学方程的问题除弹性波问题之外还有弹性体振动问题。主要对于后者，Nardini和Brebbia基于弹性静力学描述导出了质量阵和刚度阵[10]，后来发展成为双重互易法，用于将惯性力的域内积分化为边界积分。弹性动力学边界元法在广泛的应用中受到重视，还进一步发展了用于土壤－结构相互作用和动态断裂力学的方法。 弹性动力学传统的时空域边界积分方程采用含时间的基本解、基于动力学互等定理来建立。该基本解是在无限弹性空间某点于某瞬时作用单位集中力脉冲的解，其中不仅含有压力波、剪切波，还有波速介于两者之间的Laplace波。 i此项研究得到国家自然科学基金资助（10602029） 117

常微分方程组(边值)

常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooti ng Method (shoot in g.m ) % 丁靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b ,n]=shooti ng(fu n, xO,x n, eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+ra nd; [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x0]'); c0=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x1]'); c1=b(le ngth(b),1); x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (no rm(c1-x n)>=eps & no rm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x 仁x2; [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x0]'); cO=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x1]'); c1= b(le ngth(b),1) x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题: y 10 0 解：将其转化为常微分方程组的初值问题

命令: xO=[O:O.1:1O]; y0=32*((cos(5)-1)/si n( 5)*si n(x0/2)-cos(x0/2)+1); plot(xO,yO,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1)) dy i dx y 2 dy 2 dx y i 0 y 4 y o dy dx X0 真实解 30 ' 12^4567^9 10

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的

几类分数阶微分方程边值问题和初边值问题的 数值方法 聂宁明 摘要 分数阶微积分实际上已有三百多年的历史,由于缺乏物理、力学背景的支持,它的发展极其缓慢.直到20世纪后期,人们才意识到在石油渗流、地下水污染防治、黏弹性材料、信号与图象处理、控制、量子力学、金融及生命科学等多个领域,分数阶微积分和分数阶微分方程都有重要的应用,从而开始重视对其数值算法的研究. 本文针对几类分数阶常微分方程边值问题和分数阶偏微分方程初边值问题,构造不同的数值方法进行求解并给出相应的误差分析. 第一章介绍分数阶微积分的历史和发展现状,并给出分数阶微积分的基本定义和性质. 第二章考虑Riemann-Liouville分数阶微分方程两点边值问题,先讨论分数阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性条件,然后用打靶法对其进行数值求解,并对线性情形,给出误差分析. 第三章介绍如何用三次样条配置法来数值求解分数阶微分方程两点边值问题,并给出误差估计和数值算例. 第四章运用谱方法求解分数阶微分方程的边值问题和初边值问题.第一节用谱方法求解高阶导数是二阶,低阶导数是分数阶的微分方程两点边值问题,分析谱逼近解的收敛性,并通过数值算例验证谱精度.第二节,将谱方法用于求解稳态分数阶对流扩散方程,分析算法的稳定性和收敛性,并通过数值计算验证算法的可行性.第三节以地下水污染问题中抽象出来的空间分数阶扩散方程为例,介绍谱方法求解分数阶偏微分方程初边值问题的过程.对该方程,在空间方向用Galerkin谱方法进行数值逼近,在时间方向用向后Euler差分格式进行离散求解,分析方法的稳定性和收敛性,并通过数值算例验证理论分析结果. 为了进一步说明分数阶微分方程的意义,在第五章中给出了分数阶微分方程在石油渗流问题中的一个应用实例.通过对破裂可形变地层中裂口附近的渗流情况的研究,给出了分数阶微分方程模型的建模过程,并用数值计算的结果说明分数阶微分方程模型在实际中优于整数阶微分方程模型的事实.

微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组

Matlab求解常微分方程边值问题的方法

Matlab 求解常微分方程边值问题的方法：bvp4c 函数 常微分方程的边值问题，即boundary value problems ，简称BVP 问题，是指表达形式为 (,)((),())0'=??=?y f x y g y a y b 或(,,)((),(),)0'=??=? y f x y p g y a y b p 的方程组（p 是未知参数），在MA TLAB 中使用积分器bvp4c 来求解。 [命令函数] bvp4c [调用格式] sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2,…) sol 为一结构体，sol.x 、sol.y 、sol.yp 分别是所选择的网格点及其对应的y(x)与y'(x)数值; bvp4c 为带边值条件常微分方程积分器的函数命令；odefun 为描述微分方程组的函数文件；bcfun 为计算边界条件g(f(a),f(b),p)=0的函数文件；solinit 为一结构体，solinit.x 与solinit.y 分别是初始网格的有序节点与初始估计值，边界值条件分别对应a=solinit.x(l)和b=solinit.x(end)； options 为bvpset 命令设定的可选函数，可采用系统默认值；p1, p2…为未知参数。 例 求常微分方程0''+=y y 在(0)2=y 与(4)2=-y 时的数值解。 [解题过程] 仍使用常用方法改变方程的形式： 令1=y y ，21'=y y ，则原方程等价于标准形式的方程组1221 ?'=??'=-??y y y y ； 将其写为函数文件twoode.m ； 同时写出边界条件函数对应文件twobc.m ； 分别使用结构solinit 和命令bvp4c 确定y-x 的关系； 作出y-x 的关系曲线图。 [算例代码] solinit =bvpinit(linspace(0,4,5),[1 0]); % linspace(0,4,5)为初始网格，[1,0]为初始估计值 sol=bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); % twoode 与twobc 分别为微分方程与边界条件的函数，solinit 为结构 x=linspace(0,4); %确定x 范围 y=deval(sol,x); %确定y 范围 plot(x,y(1,:)); %画出y-x 的图形 %定义twoode 函数（下述代码另存为工作目录下的twoode.m 文件） function dydx= twoode(x,y) %微分方程函数的定义 dydx =[y(2) -abs(y(1))]; %定义twobc 函数（下述代码另存为工作目录下的twobc.m 文件） function res= twobc(ya,yb); %边界条件函数的定义 res=[ya(1);yb(1)+2];

(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

二阶常微分方程边值问题的数值解法 摘要 求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础． 对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab

程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析． 关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解

The Numerical Solutions of Second-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value Problems ABSTRACT The numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.

二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要 本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。 关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；

ABSTRACT This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；

常微分方程边值问题的数值解法

常微分方程论文 题目：常微分方程边值问题的数值解法 组长：数学132文洲 组员：数学131王琦 数学132姚瑶 信息132郭斌 院（系）：理学院 指导教师：岳宗敏 时间：2015年6月9日

常微分方程边值问题的数值解法 摘要：作为一类定解问题，补充条件由以自变量取某些值时，未知函数及其导数的值而定，称其为边值条件。许多物理和数学问题都归结为边值问题。本文介绍边值问题的待定常数法和格林函数。 关键词：边值问题 待定常数法 格林函数 Abstract: as a kind of definite solution problems, the supplementary conditions by took the certain values in the independent variable, the value of the unknown function and its derivative, referred to as boundary value conditions. Many physical and mathematical problems boil down to boundary value problems. In this paper, the boundary value problem of the method of undetermined constants and green's function. Keywords: boundary value problem Method of undetermined constants Green's function 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)a (y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ?? ?=-'=-'1 01 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a .