支持向量机训练算法的实验比较

支持向量机训练算法的实验比较

姬水旺,姬旺田

(陕西移动通信有限责任公司,陕西西安710082)

摘　要:S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。并对目前的三种主流算法S VM light,Bsvm与SvmFu在人脸检测、M NIST和USPS手写数字识别等应用中进行了系统比较。

关键词:统计学习理论;支持向量机;训练算法

中图法分类号:TP30116 文献标识码:A 文章编号:100123695(2004)1120018203 Experimental C omparison of Support Vector Machine Training Alg orithms

J I Shui2wang,J I Wang2tian

(Shanxi Mobile Communication Co.,LTD,Xi’an Shanxi710082,China)

Abstract:Support vector learning alg orithm is based on structural risk minimization principle.It combines tw o remarkable ideas:maxi2 mum margin classifiers and im plicit feature spaces defined by kernel function.Presents a com prehensive com paris on of three mainstream learning alg orithms:S VM light,Bsvm,and SvmFu using face detection,M NIST,and USPS hand2written digit recognition applications.

K ey w ords:S tatistical Learning T heory;Support Vector Machine;T raining Alg orithms

1　引言

支持向量机(Support Vector Machine)是贝尔实验室研究人员V.Vapnik等人[30]在对统计学习理论三十多年的研究基础之上发展起来的一种全新的机器学习算法,也是统计学习理论第一次对实际应用产生重大影响。S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。由于S VM 方法有统计学习理论作为其坚实的数学基础,并且可以很好地克服维数灾难和过拟合等传统算法所不可规避的问题,所以受到了越来越多的研究人员的关注。近年来,关于S VM方法的研究,包括算法本身的改进和算法的实际应用,都陆续提了出来。但是,到目前为止,还没有看到有关支持向量算法总体评价和系统比较的工作,大多数研究人员只是用特定的训练和测试数据对自己的算法进行评价。由于支持向量机的参数与特定的问题以及特定的训练数据有很大的关系,要对它们进行统一的理论分析还非常困难,本文试从实验的角度对目前具有代表性的算法和训练数据进行比较,希望这些比较所得出的经验结论能对今后的研究和应用工作有指导意义。本文所用的比较算法主要有S VM light[14],Bsvm[12]和SvmFu[25],它们分别由美国C ornell University的Thorsten Joachims教授,National T aiwan U2 niversity的Chih2Jen Lin教授和美国麻省理工学院Ryan Rifkin博士编写的,在实验的过程中,笔者对算法进行了修改。由于这些算法有很大的相似之处,而且训练支持向量机是一个凸函数的优化过程,存在全局唯一的最优解,训练得到的模型不依赖于具体的算法实现,因此,本文在实验过程中不对具体的算法做不必要的区别。实验所采用的训练和测试数据也是目前非常有代表性的,它们大部分由国内外研究人员提供。

2　比较所用数据简介

本文所用的人脸检测数据是从美国麻省理工学院生物和计算学习中心[31](Center for Biological and C omputational Lear2 ning)得到的,这些数据是C

BC L研究人员在波士顿和剑桥等地收集的,每个训练样本是一个由19×19=361个像素组成的图像,我们用一个361维的向量来代表每一个图像,每一个分量代表对应的像素值。用于训练的样本共有6977个,其中有2429个是人脸,其余4548个是非人脸;在测试样本集中共有24045个样本,包含472个人脸和23573个非人脸。这是一个两类分类问题。图1是训练样本中部分人脸的图像。

图1　人脸检测数据中部分人脸的图像

M NIST手写数字识别数据是由美国AT&T的Y ann LeCun 博士收集的[32],每个样本是0～9中的一个数字,用28×28= 784维的向量表示。在训练集中有60000个样本,测试集中有10000个样本。图2是训练样本中前100个样本的图像。

USPS手写识别数据是由美国麻省理工学院和贝尔实验室的研究人员共同从U.S.P ostal Service收集的[33],每个样本是0～9中的一个数字,用16×16=256维的向量中的各个分量表示所对应像素的灰度值。训练集中共有7291个样本,测试集中有2007个样本。图3是训练集中部分样本的图像。

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?计算机应用研究2004年

收稿日期:2003206220;修返日期:2003211212

3　人脸检测数据的分析比较

由文献[14,21]可知,S VM训练过程中的大部分时间花在了核函数的计算上,我们在实验过程中采用了缓冲核函数的方法。除特殊说明外,本文的所有仿真实验中缓冲区的大小统一取40M B。对于缓冲的替换策略,我们依照文献[14]中的做法,采用Least Recently Used的方法,将最长时间没有使用过的值替换出去,以便为最近计算出的值让出缓冲空间。由于规范化参数C对最后的分类结果有很大的影响,因此,我们在实验过程中不断调整C的值,以期达到最佳效果。表1列出了核函数为径向基函数时S VM在人脸检测中的仿真结果。表1中的T ime是训练所用的时间,Accuracy是测试精度,NumS V为支持向量的个数,Num BS V是α值为边界值C的支持向量的个数。

表1　核函数K(x,y)=exp(-0.013‖x-y‖2)时对应于

不同C值的实验结果

C T ime(s)Accuracy NumS V Num BS V

116197.81%(23518/24045)766594

1011698.29%(23633/24045)44947

5011398.31%(23638/24045)4390

10011498.31%(23638/24045)4350

200/10011398.38%(23656/24045)4350

500/10011598.31%(23638/24045)4350

50011798.27%(23638/24045)4280

100012198.23%(23638/24045)4170

在调整参数C的过程中,我们发现当C逐渐增大时,训练所需时间有增加的趋势;当C大于100时,测试精度有所下降,此结果符合文献[12]中得出的结论,即随着C的增加,测试精度首先增高,超过一定值以后,精度开始下降。同时,随着C 的增加,支持向量的个数严格减少,处于边界值的支持向量的个数迅速减少,直到为0。在训练样本中,我们注意到人脸和非人脸两类样本的数目相差近两倍(2429/4548),样本的不平衡可能使分类面偏离最佳位置,于是我们在C=100时,给人脸和非人脸两类样本赋予不同的惩罚系数,结果显示此策略可以提高预测精度。于是我们建议在各类样本数目不平衡的情况下,对于样本较少的类别施加较大的错分惩罚系数,惩罚系数的大小应该与各类样本数成反比。为了验证上述结论,我们进一步增大错分惩罚系数的比例,结果显示如果这个比例过大则会适得其反,矫枉过正,造成精度进一步下降。

为了验证缓冲部分核函数值对于训练速度的影响,我们在C=100处不断调整缓冲区的大小。表2列出了缓冲区在0M B (没有缓冲核函数)～100M B之间变化时所对应的训练时间。从表2可以看出,缓冲策略对提高训练算法的速度有非常重要的影响,当缓冲区的大小大于40M B时,训练时间下降得比较缓慢,这表明核函数的计算已经不再成为阻碍算法快速收敛的障碍,其他部分的计算时间占据了算法运行的大部分时间,此时如果继续增大缓冲区,将不会进一步加快算法的速度。

表2　缓冲区在0M B～100M B之间变化时

所对应的训练时间

Cache(M B)0151020304050100

T ime(s)34048466352190162142114107101

4　MNIST数据的分析比较

M NIST手写数字识别数据共有60000个训练样本和10000个测试样本。由于此数据数量大,维数高(784维),为了避免训练时间过长,我们将缓冲区增加到80M B。表3是在核函数为径向基函数时得到的实验结果。

表3　核函数K(x,y)=exp(-0.013‖x-y‖2)时

M NIST数据的实验结果

C T ime(m)Accuracy NumS V Error Rate(%)

105596.10%(9610/10000)12174 3.90

505897.38%(9738/10000)9917 2.62

1006197.60%(9760/10000)9517 2.40

5006497.59%(9759/10000)9415 2.41

10006797.56%(9756/10000)9399 2.44

由表3可知,当C取100时,测试精度达到最高,进一步增加参数C值,则会使错分率增大,训练时间增加。因此,如何在训练前决定C的值是一个非常重要的问题。然而,得到C 的最佳值是很困难的,C的取值和特定的问题有很大的关系,目前还没有一个一般意义下的方法指导我们去选择C的初值,一般的做法是用实验的方法试凑。由表3还可以看出,随着C的增大,支持向量的个数严格减少。

5　USPS数据的分析比较

USPS是一个十类数据分类问题,训练集中有7291个样本,测试集中有2007个样本。B.Sch¨

o lkopf等人[27]用USPS数据对基于径向基函数的S VM和R BF网络进行了比较,具体的做法是,他们在文献[27]中构造了三个分类器:①传统的R BF 网络,即用聚类的方法选中心,误差反向传播方法训练输出层的权值;②用支持向量作为R BF的中心,然后再用误差反向传播方法训练输出层的权值;③S VM分类器。实验结果显示,第三个分类器的精度最高,第二个次之,第一个最差。我们得到的结果与文献[27]得到的结果非常接近。在实验中,我们仍然取核函数为径向基函数。实验结果与我们用人脸识别和M NIST得到的结果非常相似。表4给出了这些实验结果。

表4　核函数K(x,y)=exp(-0.013‖x-y‖2)

时USPS数据的实验结果

C T ime(s)Accuracy NumS V

116595.17%(1910/2007)2077

515295.32%(1913/2007)1919

1015195.32%(1913/2007)1930

10015295.32%(1913/2007)1938

100015195.32%(1913/2007)1938

6　结论

本文对目前S VM研究和应用中有代表性的算法在不同参数和数据的情况下进行了较全面和系统的比较,其结果为:

(1)C参数的值对训练结果有很大影响,但它的最佳取值与具体问题有很大的关系,一般来说,用于训练的数据量越大,训练结果对C的变化越不敏感;如果训练数据很少,C的较大取值很容易使模型过拟合训练数据。然而,目前还没有一个统一的方法来决定C的最佳取值,一般的方法是试凑,通过不断

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第11期　姬水旺等:支持向量机训练算法的实验比较　

实验来得到满意的结果。

(2)缓冲核函数的方法对训练时间有非常重要的影响。由于S VM在训练过程中需要反复计算核函数的值,分配一定的存储空间将最近用到的核函数存储起来,而不是每次用到这些值时重新计算,可以明显缩短算法的运行时间。但是,缓冲策略本身也需要一定的计算量和存储空间,进一步增加了算法的时间和空间复杂度。因此,如果训练样本数很小,核函数的计算量也较小,采用缓冲策略所增加的计算量可能会超过因此而减少的核函数计算量,这样,反而会增加算法的运行时间。总而言之,训练样本数越多,缓冲区应该越大,训练算法的运行速度也越快。但缓冲策略对算法速度的加快不是无限的,当缓冲区的大小超过一定值时,核函数计算所用的时间已经不再占整个算法运行时间的主要部分,此时继续增大缓冲区将对算法运行时间没有显著影响。

(3)当C的取值不断增大时,训练所得到的支持向量个数严格减少,训练时间却有所增加。这主要是由于当C的取值增大时,目标函数对训练样本中错分的样本惩罚得越厉害,这样,训练算法试图寻找更复杂的模型来更好地拟合训练数据,从而增加了算法的运行时间。对于某些数据,随着C的增加训练时间却有缩短的趋势,这主要是由于随着C取值的增大支持向量的个数严格减少,这样工作集中的样本数也随之较少,从而加快了训练算法的收敛速度。

(4)当训练数据有很大噪声或类间重叠很多时,随着规范化参数C取值的增大训练算法试图更好地拟合训练数据,因为根据结构风险最小化原则的要求训练误差和模型复杂度之间必须重新达到一个平衡点,这样,训练时间就明显增加。对于噪声很小或没有类间重叠的训练数据,由于在C的取值很小时模型已经对数据拟合到了较高精度,因此此时的训练时间没有明显变化。

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https://www.sodocs.net/doc/4a10923199.html,.

作者简介:

姬水旺(19772),男,陕西府谷人,硕士,研究方向为机器学习、模式识别;姬旺田(19692),男,陕西府谷人,工程师,硕士,研究方向为人工智能、数据通信。

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(完整版)支持向量机(SVM)原理及应用概述

支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

支持向量机及支持向量回归简介

3．支持向量机（回归） 3.1.1 支持向量机 支持向量机（SVM ）是美国Vapnik 教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。SVM 方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。作为副产品，SVM 从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。 所谓核技巧，就是找一个核函数(,)K x y 使其满足(,)((),())K x y x y φφ=，代 替在特征空间中内积(),())x y φφ（的计算。因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射φ将输入数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。 特别， 对特征空间H 为Hilbert 空间的情形，设(,)K x y 是定义在输入空间 n R 上的二元函数，设H 中的规范正交基为12(),(),...,(), ...n x x x φφφ。如果 2 2 1 (,)((),()), {}k k k k k K x y a x y a l φφ∞ == ∈∑ ， 那么取1 ()() k k k x a x φφ∞ ==∑ 即为所求的非线性嵌入映射。由于核函数(,)K x y 的定义 域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。因此，巧妙地避开了计算高维内 积 (),())x y φφ（所需付出的计算代价。实际计算中，我们只要选定一个(,)K x y ，

支持向量机算法

支持向量机算法 [摘要] 本文介绍统计学习理论中最年轻的分支——支持向量机的算法，主要有：以SVM－light为代表的块算法、分解算法和在线训练法，比较了各自的优缺点，并介绍了其它几种算法及多类分类算法。 [关键词] 块算法分解算法在线训练法 Colin Campbell对SVM的训练算法作了一个综述，主要介绍了以SVM为代表的分解算法、Platt的SMO和Kerrthi的近邻算法，但没有详细介绍各算法的特点，并且没有包括算法的最新进展。以下对各种算法的特点进行详细介绍，并介绍几种新的SVM算法，如张学工的CSVM，Scholkopf的v-SVM分类器，J. A. K. Suykens 提出的最小二乘法支持向量机LSSVM，Mint-H suan Yang提出的训练支持向量机的几何方法，SOR以及多类时的SVM算法。 块算法最早是由Boser等人提出来的，它的出发点是：删除矩阵中对应于Lagrange乘数为零的行和列不会对最终结果产生影响。对于给定的训练样本集，如果其中的支持向量是已知的，寻优算法就可以排除非支持向量，只需对支持向量计算权值（即Lagrange乘数）即可。但是，在训练过程结束以前支持向量是未知的，因此，块算法的目标就是通过某种迭代逐步排除非支持向时。具体的做法是，在算法的每一步中块算法解决一个包含下列样本的二次规划子问题：即上一步中剩下的具有非零Lagrange乘数的样本，以及M个不满足Kohn-Tucker条件的最差的样本；如果在某一步中，不满足Kohn-Tucker条件的样本数不足M 个，则这些样本全部加入到新的二次规划问题中。每个二次规划子问题都采用上一个二次规划子问题的结果作为初始值。在最后一步时，所有非零Lagrange乘数都被找到，因此，最后一步解决了初始的大型二次规划问题。块算法将矩阵的规模从训练样本数的平方减少到具有非零Lagrange乘数的样本数的平方，大减少了训练过程对存储的要求，对于一般的问题这种算法可以满足对训练速度的要求。对于训练样本数很大或支持向量数很大的问题，块算法仍然无法将矩阵放入内存中。 Osuna针对SVM训练速度慢及时间空间复杂度大的问题，提出了分解算法，并将之应用于人脸检测中，主要思想是将训练样本分为工作集B的非工作集N，B中的样本数为q个，q远小于总样本个数，每次只针对工作集B中的q个样本训练，而固定N中的训练样本，算法的要点有三：1）应用有约束条件下二次规划极值点存大的最优条件KTT条件，推出本问题的约束条件，这也是终止条件。2）工作集中训练样本的选择算法，应能保证分解算法能快速收敛，且计算费用最少。3）分解算法收敛的理论证明，Osuna等证明了一个定理：如果存在不满足Kohn-Tucker条件的样本，那么在把它加入到上一个子问题的集合中后，重新优化这个子问题，则可行点（Feasible Point）依然满足约束条件，且性能严格地改进。因此，如果每一步至少加入一个不满足Kohn-Tucker条件的样本，一系列铁二次子问题可保证最后单调收敛。Chang，C.-C.证明Osuna的证明不严密，并详尽地分析了分解算法的收敛过程及速度，该算法的关键在于选择一种最优的工

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，

支持向量机算法学习总结

题目：支持向量机的算法学习 姓名： 学号： 专业： 指导教师：、 日期：2012年6 月20日

支持向量机的算法学习 1. 理论背景 基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，研究从观测数据 (样本) 出发寻找规律，利用这些规律对未来数据或无法观测的数据进行预测。迄今为止，关于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架，关于其实现方法大致可以分为三种： 第一种是经典的(参数)统计估计方法。包括模式识别、神经网络等在内，现有机器学习方法共同的重要理论基础之一是统计学。参数方法正是基于传统统计学的，在这种方法中，参数的相关形式是已知的，训练样本用来估计参数的值。这种方法有很大的局限性，首先，它需要已知样本分布形式，这需要花费很大代价，还有，传统统计学研究的是样本数目趋于无穷大时的渐近理论，现有学习方法也多是基于此假设。但在实际问题中，样本数往往是有限的，因此一些理论上很优秀的学习方法实际中表现却可能不尽人意。 第二种方法是经验非线性方法，如人工神经网络(ANN。这种方法利用已知样本建立非线性模型，克服了传统参数估计方法的困难。但是，这种方法缺乏一种统一的数学理论。 与传统统计学相比，统计学习理论( Statistical Learning Theory 或SLT) 是一种专门研究小样本情况下机器学习规律的理论。该理论针对小样本统计问题建立了一套新的理论体系，在这种体系下的统计推理规则不仅考虑了对渐近性能的要求，而且追求在现有有限信息的条件下得到最优结果。V. Vapnik 等人从六、七十年代开始致力于此方面研究[1] ，到九十年代中期，随着其理论的不断发展和成熟，也由于神经网络等学习方法在理论上缺乏实质性进展，统计学习理论开始受到越来越广泛的重视。 统计学习理论的一个核心概念就是VC维(VC Dimension)概念，它是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力(Capacity of the machine) 的一个重要指标，在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性(Consistency) 、收敛速度、推广性能(GeneralizationPerformance) 等的重要结论。 支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性(即对特定训练样本的学习精度，Accuracy) 和学习能力(即无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折衷，以

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+ x )－ 2 D.y=sin(3 21π -x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ）

空间向量练习题

空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】1、已知直线12,l l 的方向向量分别为12,v v u r u u r ，平面,αβ的法向量分别为12,n n u r u u r ，则 （1）12//l l ? ；（2）12l l ⊥? ；（3）若直线12,l l 的夹角为θ，则cos θ= ； （4）1//l α? ；（5）1l α⊥? ；（6）若直线1l 与面α的成角为θ，则sin θ= ； （7）//αβ?面面 ；（8）αβ⊥?面面 ；（9）若αβ面与面成二面角的平面角为θ，则 。 2、（1）三余弦定理： ； （2）三垂线定理（及逆定理）： ； （3）二面角的平面角定义（范围）： ； 【小试牛刀】1、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1 a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 4.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 5 1 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于

支持向量机算法介绍

支持向量机算法介绍 众所周知，统计模式识别、线性或非线性回归以及人工神经网络等方法是数据挖掘的有效工具，已随着计算机硬件和软件技术的发展得到了广泛的应用。 但多年来我们也受制于一个难题：传统的模式识别或人工神经网络方法都要求有较多的训练样本，而许多实际课题中已知样本较少。对于小样本集，训练结果最好的模型不一定是预报能力最好的模型。因此，如何从小样本集出发，得到预报（推广）能力较好的模型，遂成为模式识别研究领域内的一个难点，即所谓“小样本难题”。支持向量机（support vector machine ，简称SVM ）算法已得到国际数据挖掘学术界的重视，并在语音识别、文字识别、药物设计、组合化学、时间序列预测等研究领域得到成功应用。 1、线性可分情形 SVM 算法是从线性可分情况下的最优分类面（Optimal Hyperplane ）提出的。所谓最优分类面就是要求分类面不但能将两类样本点无错误地分开，而且要使两类的分类空隙最大。 设线性可分样本集为),(i i y x ，d R x n i ∈=,,,1 ，}1,1{-+∈y ，d 维空间中线性判别函数的一般形式为 ()b x w x g T +=， 分类面方程是 0=+b x w T ， 我们将判别函数进行归一化，使两类所有样本都满足()1≥x g ，此时离分类面最近的 样本的 ()1=x g ，而要求分类面对所有样本都能正确分类，就是要求它满足 n i b x w y i T i ,,2,1,01)( =≥-+。 （4）

式（4）中使等号成立的那些样本叫做支持向量（Support Vectors ）。两类样本的分类空隙（Margin ）的间隔大小： Margin =w /2(5) 因此，最优分类面问题可以表示成如下的约束优化问题，即在条件（4）的约束下，求函数 ())(2 1221w w w w T == φ(6) 的最小值。为此，可以定义如下的Lagrange 函数： ]1)([21),,(1 -+-=∑=b x w y a w w a b w L i T i n i i T (7) 其中，0≥i a 为Lagrange 系数，我们的问题是对w 和b 求Lagrange 函数的最小值。把式（7）分别对w 、b 、i a 求偏微分并令它们等于0，得： i i n i i x y a w w L ∑==?=??10 001 =?=??∑=i n i i y a b L 0]1)([0=-+?=??b x w y a a L i T i i i 以上三式加上原约束条件可以把原问题转化为如下凸二次规划的对偶问题： () ???? ? ???? ==≥∑∑∑∑====-0,,1,0.m a x 1111 21i n i i i j T i j i j n i n j i n i i y a n i a t s x x y y a a a (8) 这是一个不等式约束下二次函数机制问题，存在唯一最优解。若*i a 为最优解，则 ∑== n i i i i x y a w 1* * (9) *i a 不为零的样本即为支持向量，因此，最优分类面的权系数向量是支持向量的线性组合。

支持向量机原理及应用(DOC)

支持向量机简介 摘要：支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以求获得最好的推广能力 。我们通常希望分类的过程是一个机器学习的过程。这些数据点是n 维实空间中的点。我们希望能够把这些点通过一个n-1维的超平面分开。通常这个被称为线性分类器。有很多分类器都符合这个要求。但是我们还希望找到分类最佳的平面，即使得属于两个不同类的数据点间隔最大的那个面，该面亦称为最大间隔超平面。如果我们能够找到这个面，那么这个分类器就称为最大间隔分类器。 关键字：VC 理论 结构风险最小原则 学习能力 1、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik 在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

支持向量机训练算法综述_姬水旺

收稿日期:2003-06-13 作者简介:姬水旺(1977)),男,陕西府谷人,硕士,研究方向为机器学习、模式识别、数据挖掘。 支持向量机训练算法综述 姬水旺,姬旺田 (陕西移动通信有限责任公司,陕西西安710082) 摘 要:训练SVM 的本质是解决二次规划问题,在实际应用中,如果用于训练的样本数很大,标准的二次型优化技术就很难应用。针对这个问题,研究人员提出了各种解决方案,这些方案的核心思想是先将整个优化问题分解为多个同样性质的子问题,通过循环解决子问题来求得初始问题的解。由于这些方法都需要不断地循环迭代来解决每个子问题,所以需要的训练时间很长,这也是阻碍SVM 广泛应用的一个重要原因。文章系统回顾了SVM 训练的三种主流算法:块算法、分解算法和顺序最小优化算法,并且指出了未来发展方向。关键词:统计学习理论;支持向量机;训练算法 中图分类号:T P30116 文献标识码:A 文章编号:1005-3751(2004)01-0018-03 A Tutorial Survey of Support Vector Machine Training Algorithms JI Shu-i wang,JI Wang -tian (Shaanx i M obile Communicatio n Co.,Ltd,Xi .an 710082,China) Abstract:Trai n i ng SVM can be formulated into a quadratic programm i ng problem.For large learning tasks w ith many training exam ples,off-the-shelf opti m i zation techniques quickly become i ntractable i n their m emory and time requirem ents.T hus,many efficient tech -niques have been developed.These techniques divide the origi nal problem into several s maller sub-problems.By solving these s ub-prob -lems iteratively,the ori ginal larger problem is solved.All proposed methods suffer from the bottlen eck of long training ti me.This severely limited the w idespread application of SVM.T his paper systematically surveyed three mains tream SVM training algorithms:chunking,de -composition ,and sequenti al minimal optimization algorithms.It concludes with an illustrati on of future directions.Key words:statistical learning theory;support vector machine;trai ning algorithms 0 引 言 支持向量机(Support Vector M achine)是贝尔实验室研究人员V.Vapnik [1~3]等人在对统计学习理论三十多年的研究基础之上发展起来的一种全新的机器学习算法,也使统计学习理论第一次对实际应用产生重大影响。SVM 是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。由于SVM 方法有统计学习理论作为其坚实的数学基础,并且可以很好地克服维数灾难和过拟合等传统算法所不可规避的问题,所以受到了越来越多的研究人员的关注。近年来,关于SVM 方法的研究,包括算法本身的改进和算法的实际应用,都陆续提了出来。尽管SVM 算法的性能在许多实际问题的应用中得到了验证,但是该算法在计算上存在着一些问题,包括训练算法速度慢、算法复杂而难以实现以及检测阶段运算量大等等。 训练SVM 的本质是解决一个二次规划问题[4]: 在约束条件 0F A i F C,i =1,, ,l (1)E l i =1 A i y i =0 (2) 下,求 W(A )= E l i =1A i -1 2 E i,J A i A j y i y j {7(x i )#7(x j )} = E l i =1A i -1 2E i,J A i A j y i y j K (x i ,x j )(3)的最大值,其中K (x i ,x j )=7(x i )#7(x j )是满足Merce r 定理[4]条件的核函数。 如果令+=(A 1,A 2,,,A l )T ,D ij =y i y j K (x i ,x j )以上问题就可以写为:在约束条件 +T y =0(4)0F +F C (5) 下,求 W(+)=+T l -12 +T D +(6) 的最大值。 由于矩阵D 是非负定的,这个二次规划问题是一个凸函数的优化问题,因此Kohn -Tucker 条件[5]是最优点 第14卷 第1期2004年1月 微 机 发 展M icr ocomputer Dev elopment V ol.14 N o.1Jan.2004

支持向量机(SVM)算法推导及其分类的算法实现

支持向量机算法推导及其分类的算法实现 摘要：本文从线性分类问题开始逐步的叙述支持向量机思想的形成，并提供相应的推导过程。简述核函数的概念，以及kernel在SVM算法中的核心地位。介绍松弛变量引入的SVM算法原因，提出软间隔线性分类法。概括SVM分别在一对一和一对多分类问题中应用。基于SVM在一对多问题中的不足，提出SVM 的改进版本DAG SVM。 Abstract：This article begins with a linear classification problem, Gradually discuss formation of SVM, and their derivation. Description the concept of kernel function, and the core position in SVM algorithm. Describes the reasons for the introduction of slack variables, and propose soft-margin linear classification. Summary the application of SVM in one-to-one and one-to-many linear classification. Based on SVM shortage in one-to-many problems, an improved version which called DAG SVM was put forward. 关键字：SVM、线性分类、核函数、松弛变量、DAG SVM 1. SVM的简介 支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力。 对于SVM的基本特点，小样本，并不是样本的绝对数量少，而是与问题的复杂度比起来，SVM算法要求的样本数是相对比较少的。非线性，是指SVM擅长处理样本数据线性不可分的情况，主要通过松弛变量和核函数实现，是SVM 的精髓。高维模式识别是指样本维数很高，通过SVM建立的分类器却很简洁，只包含落在边界上的支持向量。

空间向量与立体几何练习题

______________________________________________________________________________________________________________ 空间向量与立体几何单元检测题 一、选择题： 1、若 a , b , c 是空间任意三个向量 , R ,下列关系式中 ,不成立的是（ ） A 、 a b b a B 、 a b a b C 、 a b c a b c D 、 b a 2、已知向量 a =（ 1， 1，0），则与 a 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（ 2 ， 2 ，0） D 、（1，1， 2 2 1） 3、若 a ， b ，c 为任意向量， m R ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ． Ｃ． (a b ) c a (b c ) Ｂ． (a b ·)c a ·c b ·c m(a b ) m a m b Ｄ． (a ·b ·)c a ·( b · c ) 4、设 a ( x ，4，3)， b (3，2， z) ，且 a ∥ b ，则 xz 等于（ ） Ａ． 4 Ｂ． 9 Ｃ． 9 Ｄ． 64 9 5、若向量 a (1， ，2) 与 b (2， 12)， 的夹角的余弦值为 8 ，则 （ ） 9 Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2 或 2 Ｄ．2 或 2 55 55 6、已知 ABCD 为平行四边形，且 A(413)，，， B(2， 51)，， C(3，7， 5) ，则 D 的坐标为（ ） Ａ． 4 1 Ｂ． (2，4，1) Ｃ． ( 2141)，， Ｄ． (513，， 3) 7，， 2 7、在正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中，O 为 AC ， BD 的交点，则 C 1 O 与 A 1 D 所成角的（ ） Ａ． 60° Ｂ． 90° Ｃ． arccos 3 Ｄ． arccos 3 3 6 8、正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1， E 是 A 1 B 1 的中点，则 E 到平面 ABC 1 D 1 的距 离是（ ）

空间向量、导数练习

空间向量与立几、导数练习题 1.曲线2 x y x = -在点(1,1)-处的切线方程为 . 2.已知曲线1 1 x y x += -在点(3,2)处的切线与直线ax y +10+=垂直，则a = . 3. 曲线32y x x =+-在点P 处的切线与直线1 4 y x =- 1+垂直，则点P 坐标为 . 4.过点(1,0)P 作曲线3y x =-的切线l ，则l 的方程为 5.直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为 . 6． 已知曲线314 33 y x = +.（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程. 7.曲线2 ()ln f x x ax b x =++过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2，求,a b 的值. 8.已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=，求,a b 的值.

9.设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4 π ， 则点P 横坐标的取值范围为 . 10.点P 在曲线4 1 x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 . 11.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，P 则到直线2y x =-的距离的最小值为 . 12.已知曲线2:1C y x =+，过曲线C 上点P 的切线，直线0,1,2y x x ===围成的梯形面积取得最大值时P 的坐标为 . 13.曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的面积为 . 14.对正整数n ，设曲线(1)n y x x =-在2x =处的切线与y 轴交点纵坐标为n a ，则数列{ }1 n a n +的前n 项和的公式是 . 1．下列各组向量中不平行的是（ ） A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为9 8，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或55 2 D ．2或552 -

支持向量机训练算法的实验比较

支持向量机训练算法的实验比较 姬水旺,姬旺田 (陕西移动通信有限责任公司,陕西西安710082) 摘　要:S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。并对目前的三种主流算法S VM light,Bsvm与SvmFu在人脸检测、M NIST和USPS手写数字识别等应用中进行了系统比较。 关键词:统计学习理论;支持向量机;训练算法 中图法分类号:TP30116 文献标识码:A 文章编号:100123695(2004)1120018203 Experimental C omparison of Support Vector Machine Training Alg orithms J I Shui2wang,J I Wang2tian (Shanxi Mobile Communication Co.,LTD,Xi’an Shanxi710082,China) Abstract:Support vector learning alg orithm is based on structural risk minimization principle.It combines tw o remarkable ideas:maxi2 mum margin classifiers and im plicit feature spaces defined by kernel function.Presents a com prehensive com paris on of three mainstream learning alg orithms:S VM light,Bsvm,and SvmFu using face detection,M NIST,and USPS hand2written digit recognition applications. K ey w ords:S tatistical Learning T heory;Support Vector Machine;T raining Alg orithms 1　引言 支持向量机(Support Vector Machine)是贝尔实验室研究人员V.Vapnik等人[30]在对统计学习理论三十多年的研究基础之上发展起来的一种全新的机器学习算法,也是统计学习理论第一次对实际应用产生重大影响。S VM是基于统计学习理论的结构风险最小化原则的,它将最大分界面分类器思想和基于核的方法结合在一起,表现出了很好的泛化能力。由于S VM 方法有统计学习理论作为其坚实的数学基础,并且可以很好地克服维数灾难和过拟合等传统算法所不可规避的问题,所以受到了越来越多的研究人员的关注。近年来,关于S VM方法的研究,包括算法本身的改进和算法的实际应用,都陆续提了出来。但是,到目前为止,还没有看到有关支持向量算法总体评价和系统比较的工作,大多数研究人员只是用特定的训练和测试数据对自己的算法进行评价。由于支持向量机的参数与特定的问题以及特定的训练数据有很大的关系,要对它们进行统一的理论分析还非常困难,本文试从实验的角度对目前具有代表性的算法和训练数据进行比较,希望这些比较所得出的经验结论能对今后的研究和应用工作有指导意义。本文所用的比较算法主要有S VM light[14],Bsvm[12]和SvmFu[25],它们分别由美国C ornell University的Thorsten Joachims教授,National T aiwan U2 niversity的Chih2Jen Lin教授和美国麻省理工学院Ryan Rifkin博士编写的,在实验的过程中,笔者对算法进行了修改。由于这些算法有很大的相似之处,而且训练支持向量机是一个凸函数的优化过程,存在全局唯一的最优解,训练得到的模型不依赖于具体的算法实现,因此,本文在实验过程中不对具体的算法做不必要的区别。实验所采用的训练和测试数据也是目前非常有代表性的,它们大部分由国内外研究人员提供。 2　比较所用数据简介 本文所用的人脸检测数据是从美国麻省理工学院生物和计算学习中心[31](Center for Biological and C omputational Lear2 ning)得到的,这些数据是C BC L研究人员在波士顿和剑桥等地收集的,每个训练样本是一个由19×19=361个像素组成的图像,我们用一个361维的向量来代表每一个图像,每一个分量代表对应的像素值。用于训练的样本共有6977个,其中有2429个是人脸,其余4548个是非人脸;在测试样本集中共有24045个样本,包含472个人脸和23573个非人脸。这是一个两类分类问题。图1是训练样本中部分人脸的图像。 图1　人脸检测数据中部分人脸的图像 M NIST手写数字识别数据是由美国AT&T的Y ann LeCun 博士收集的[32],每个样本是0～9中的一个数字,用28×28= 784维的向量表示。在训练集中有60000个样本,测试集中有10000个样本。图2是训练样本中前100个样本的图像。 USPS手写识别数据是由美国麻省理工学院和贝尔实验室的研究人员共同从U.S.P ostal Service收集的[33],每个样本是0～9中的一个数字,用16×16=256维的向量中的各个分量表示所对应像素的灰度值。训练集中共有7291个样本,测试集中有2007个样本。图3是训练集中部分样本的图像。 ? 8 1 ?计算机应用研究2004年 收稿日期:2003206220;修返日期:2003211212