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随机信号分析第3版习题及答案word资料18页

1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%

是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1）问所选零件为次品的概率是多少？

（2）发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。（2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X

求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()x

f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞

-∞

所以1

a =

（2）()1()2

F x f t dt e dt --∞

-∞=

所以X 的分布函数为

求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。（北P181,T3）解：（1）

（2） X 的分布律为 Y 的分布律为

（3）Z XY =的分布律为（4）因为则

X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y

V X Y =+??=-?

。

（1）随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ；

（2）随机变量U 与V 是否相互独立？解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为

由反函数 22u v x u v

y +?

=???-?=??，11

1122

J =

=--，（2）由于

, 2

4414u

v u v e π

+---????=???????

所以随机变量U 与V 相互独立。

6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，

又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。解：首先，

又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+?=?=。于是 7. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试

求

解：（1）对[0,]x a ∈有，()2

a X

E Y X += （2）/23

(())2

24a X

a a EY E E Y X E a ++??===

???

8. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从泊松分布。进舱后每个粒子造

成损坏的概率为p ，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10）解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示造成损坏的粒子数1

i Y X

∑，于是

可合理地认为N 和i X 是独立的，于是

9. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()x x x φφφ，求下列随机变量的

特征函数：

（1）12X X X =+；（2）123X X X X =++；（3）12323X X X X =++；

（4）1232410X X X X =+++；

解：（1）12()()()jvX

X v E e v v φφφ??==??

（2）同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）()

12323123()()(2)(3)jv X X X X v E e

v v v φφφφ++??==?

（4）()

123241010123()(2)()(4)jv X X X jv X v E e

e v v v φφφφ+++??==?

10. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

（1）2424()0.20.30.20.20.1j v

j v j v j v v e

e e e φ--=++++；

（2）()0.30.7jv

v e e

φ-=+；

（3）()4/(4)v jv φ=-；（4）()(sin5)/(5)v v v φ=；

解：（1）()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++

（2）()()()0.310.71f x x x δδ=-++

（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，（4）sin 512sin 5()510v v

v v v

φ=

，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， 11. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解：由于()f x 是宽度为b a -，高度为1b a -，中心在2

a b

+处的矩形函数。其傅立叶变换为

12. 设有高斯随机变量2

~(,)X N μσ，试利用随机变量的矩发生特性证明：

解：特征函数为22

()exp(2)X v j v v φμσ=-，由矩发生性质，

2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：

设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求：

（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；（3）画出上述分布函数的图形。 2.3 解：（1）

一维分布为: 0,0(,0.5)0.5,011,1X x F

x x x

=≤

二维分布函数为1111210,0011(,;0.5,1)0.5,

2121,1,2

x x x F x x x ?????

=? ? ?>-≤

2222或x <-1

或x x x

2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。试问，

（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？ 2.4解：

解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，

利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：

（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有：

串（4bit 数据）为：∑=+=

)(2

)(k k

k n B n X ，其矩特性为：

因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=?+?=n B E

方差：[]()(){}

222()00.210.80.8Var B n B n B n ??=E -E =?+?-??????

所以随机变量)(n X 的矩为：

均值：128.02)]([2

)]([3

0=?=+=

∑∑==k k k k

k n B E n X E

方差：6.1316.04)]([)2

()]([3

=?=+=

∑∑==k k k k k n B D n X D

如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均：()()()(){}

{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ??E +++=?? 串方差：

（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) =

可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得，概率达到最大的串为{}1,1,1,1

（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列

没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。 2.3 设质点运动的位置如直线过程0()X t Vt X =+，其中(1,1)V

N 与

(0,2)X N ，并彼此独立。试问：

（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？（2）它是可预测的随机信号吗？ 2.7 解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

所以它的一维概率密度函数为

2()()}2(2)X x t f x t -=-+

(2) 此信号是可预测随机信号

2.4 假定（-1,+1）的伯努利序列{},1,2,...n I n =的取值具有等概特性。试问：（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？

（2）它是可预测的随机信号吗？ 2.8 解：

(1) ()0.5(1)0.5(1)X f x x x δδ=++- (2) 该随机信号不可预测

2.5 给定随机过程()X t 和常数a ，试以()X t 的自相关函数来表示差信号

()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

2.10 解：由题意可得：

2.6 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A 与B 为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A 、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数),(21t t R XY ；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；

题2.11 解：（1）()()()()()121212,sin sin XY R t t X t Y t A t B t ωω=E =E +Θ?+Θ????????

[][]()()()()12121cos cos 22

A B t t t t ωω??=E ?E ?E --++Θ??[][]()()()(){}

12121

cos cos 22

A B t t t t ωω????=E E --E ++Θ???? 因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以()()1

2cos 20t

t ω??E ++Θ=??，

上式()[][]()()12121

,cos 2

XY R t t A B t t ω??=

E E -??；（2）①如果E[A]或E[B]为0，则

()12,0XY R t t =，随机信号X(t)与Y(t)正交； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有

如果E[A]或E[B]为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t ==，X(t)与Y(t)互不相

关；

如果E[A]与E[B]均不为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t =≠，X(t)与Y(t)相关；

综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；

③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。

2.7 假定正弦电压信号()()cos X t A t ω=+Θ，其中，A 服从均匀分布(1,1)U -+，Θ服从均匀分布(,)U ππ-+，它们彼此独立。如果信号施加到RC 并联电路上，求总的电流信号及其均方值。题2.13

解：由电路原理的相关知识可知：

总电流I 为cos()sin()A

I wt ACw wt R

+Θ-+Θ，则 2.8 零均值高斯信号()X t 的自相关函数为12

()0.5e t t X R τ--=，求()X t 的一维和二维

概率密度。题2.15

解：(1) 因为()0X m t =，()(0)(0)0.5X X X D t C R ===，所以一维概率密度函数为：

(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：

12()()X t X t ??= ???X ，t 12t t ??= ???，00??

= ???

μ，

(,)i j C t t 为协方差，则

2.9 某高斯的均值()2X m t =，协方差1212(,)8cos()X C t t t t =-，写出当10t =、

20.5t =和31t =时的三维概率密度。

题2.18

解：由定义得：又因为设

123()()()X t X t X t ?? ?= ? ???X ，t 123t t t ?? ?= ? ???，222?? ?= ? ???μ，88cos(1/2)8cos18cos(1/2)88cos(1/2)8cos18cos(1/2)8?

? ?= ? ???

则

2.10 设随机变量()(),~,X Y N μC ，其中22??= ???μ，2335??= ???

C ，求(),X Y 的概率

密度和特征函数(),XY u v φ。题2.19

解：因为()2E X =与()2E Y =，2,5X Y D D ==

，而ρ===。

于是，((,)~X Y N 。则 (X ，Y)的概率密度函数为

其特征函数为

3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。 3.1解：

(1)2

(;)}4x f u t =

- (2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号

()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

3.4解：

()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，

()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+

Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===?=，为常数 ∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。

3.3 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。若()X t 通过平方律器件，得到2

()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值；

（2）()Y t 的相关函数；

（3）()Y t 的广义平稳性。

3.5解：(1)22

00[Y()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50E t E t E t E t ωθωθ==+=-+=

∴()Z R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y()t 是平稳过程。

3.4 给定随机过程()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，A 和B 是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2

σ。证明()X t 是广义平稳而不是严格

平稳的。 3.6证明：

X 00()[X()][cos()sin()]0m t E t E A t B t ωω==+=

由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。

3.5 ()Y t 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m =和相关函数(5,1)10R =，试求：

（1）[5(110)]E Y ，[10(310)50]E Y +；

（2）[(105)(101)]E Y Y ，[30(205)(201)200]E Y Y +；（3）[10(305)(301)6(210)80]E Y Y Y ++。 3.7解：

3.6 两个统计独立的平稳随机过程()X t 和()Y t ，其均值都为0，自相关函数分别为

()e X R τ

τ-=，()cos 2Y R τπτ=，试求：

（1）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数；（2）()()()W t X t Y t =-的自相关函数；

（3）互相关函数()ZW R τ。 3.9解：

3.7 广义平稳随机过程()Y t 的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：

C=2 1.30.40.91.32 1.20.80.4 1.22 1.10.90.8 1.12?? ?

? ? ???

3.8 对于两个零均值广义平稳随机过程()X t 和()Y t ，已知25X σ=，2

10Y σ=，问下

述函数可否作为自相关函数，为什么？（1）()()()5exp 3X

R u τττ=-；（2）()()5sin 5X R ττ=；

（3）()(

)

2912Y R ττ

-=+；（4）()()()cos 6exp Y

R τττ=--；

（5）()()2

sin 353X R τττ??=????；（6）()()sin 106410Y

R τττ??

=+????

。（6）()5exp()X

R ττ=-；（7）()264exp(3)Y R ττ=+-。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，2(0)9Y Y

R σ=≠

(4) 否，(0)1Y R =-在原点不是非负

(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是

3.9 已知随机过程()X t 和()Y t 独立且各自平稳，自相关函数为

0()2cos X R e τ

τωτ-=与2()9exp(3)Y R ττ=+-。令随机过程()()()Z t AX t Y t =，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。求过程()Z t 的均值、方差

和自相关函数。

解：

3.10 平稳信号X(t)的功率谱密度为

（1）2

()32

X S ωωωω=++ （2）10

8()20(1/10),

()10

0,S ωδωωωω≤?+-=?

求它们的自相关函数和均方值。解：(1)

(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:

3.11 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？

（1）2

sin ωω?? ?

（2）

ωωω++

（3）

4()1

δωω-- （4）

j ωωω++

（5）

ωω++ （6） 2

(1)e

ω--

3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。 (2)是。

(3)不是，0ω=时值为负数。 (4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。 (5)是。 (6)不是，因为它不是偶函数。

3.12 ()X t 是平稳随机过程，证明过程()()()Y t X t T X t =++的功率谱是 3.22

{}{}()()[()()()()]

[()()()()()()()()]

Y Y t R E X t T X t X t T X t E X t T X t T X t X t X t X t T X t T X t τττττττ=++?++++=+?+++?++?++++?+的相关函数：

3.13 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为求互谱密度()XY S ω与()YX S ω。 3.24

3.14 设随机过程1

()()n

i X t a X t ==

∑,式中i

a 是一组实常数。而随机过程)(t X

为平稳

的和彼此正交的。试证明：2

()()i n

X i

X i S a

S ωω==∑

3.25

3.31假定周期为T 高为A 的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在0t =时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,)T 均匀分布的随机变量。试说明()X t 的一阶密度函数为

题图3.31

3.31

4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。

（a ）

（b ）

题图4.1

解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态

历经信号

4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，

又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞

=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。

4.3 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。解：由题意，均方意义下有，因此，()Z t 是均值各态历经信号

4.4 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。解：由题意，首先，

而2

()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 显然，()[()]EX t A X t =，但2

()[()]EX t A X t ≠。 5.1

求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

题图5.1

解根据电路分析、信号与系统的知识，

第一个图中系统的传输函数 1/1

()1/1j C H j R j C j RC

ωωωω=

=++

第二个图中系统地传输函数 ()

1221

1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=

=++++

第三个图中系统地传输函数 5.2

若平稳随机信号)(t X 的自相关函数|

)(ττ-+=Be

A R X ，其中，A 和

B 都是正常

数。又若某系统冲击响应为()()wt

h t u t te -=。当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。

解：因为[]()2

2X E

X R A =∞=

所以[]E X A A =±=±。

5.3 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。根据电路分析、信号与系统的知识，然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，

可见)(t X 是广义平稳的。考虑系统稳态时的解，可利用推论得出于是，

5.4 设某积分电路输入输出之间满足以下关系

式中，T 为积分时间。并设输入输出都是平稳过程。求证输出功率谱密度为

（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。）解：因为 ()()t

t T

Y t X d ττ-=?

所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--

而 ()()()

/22sin /2j t j T H j h t e dt e ωωωωω

∞

---∞

所以 ()

4sin 2T

H j ωωω

???=

所以()2

()()Y X S S H j ωωω==

4()

sin 2

X S T ωωω??

???

5.5 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与

1()Y t 互相独立。

解：由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。如果()1X t 与

()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。而

因此，()h t 要满足()00h =。 5.6

若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为

()e ()at

h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。解：由题知：()1H j j a ωω=

+，所以()()222

5Y S H j a ωωω==+

而输出过程的自相关函数()()1

522a j Y

Y R S e d e a

ωττωωπ

∞

--∞

。于是，()()2

502Y E Y t R a

??==

?? 5.7

功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽

为2MHz 。若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。解：由()2

000.1N N B H =得，()

60.10.1 1.25102104

0N N B H -=

=???（瓦/Hz ）

5.8 已知平稳随机信号的相关函数为

（1） 2

1(1||),()10,X X R σαττα

ττα?-≤??=??>

（2）2||

()X X R e

αττσ-=

求它们的矩形等效带宽。

解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2

eq B α

（2）()()222

2j X X X S R e

d ωτ

σα

ωττωα

∞

--∞

=+?

所以()()()()220

001

22044

X X X eq X X X S R B d S S ωασα

ωπ

ωσ∞

===?

6.1 复随机过程0()()j t Z t e

ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*

+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：

(1) (2) 6.2 6.3

6.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>?时，()0A ω=，且满足0

ωω?，试

比较：

（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。（3） 0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。解：

由傅立叶变换的定义可以得到：（1）

()2

j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。（2）

0()2

j t j

a t e ω-的傅立叶变换是0()sin a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。（3）

0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换是希尔伯特变换对。 6.6

6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号()X t 的功率谱密度如题图6.7

（1）试写出此随机信号的一维概率密度函数；（2）写出()X t 的两个正交分量的联合概率密度函数。

题图6.7

解：

(1) 零均值平稳窄带高斯信号()X t 的正交表达式为基于功率谱计算功率得

()X t 为0均值的高斯随机信号,所以 2()

(0,)X t N σ

所以一维概率密度

(2) 又因为()X t 的功率谱关于中心频率0ω偶对称由（6.37）得 ()0qi S ω= 即 12()[()()]0qi R E i t q t τ==

所以(),()i t q t 彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以

6.8 对于窄带平稳随机过程00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=-，若其均值为零，功率谱密度为式中0,P ωωω?>>?及都是正实常数。试求

（1） x(t)的平均功率；

（2） i(t)的功率谱密度；

（3）互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω；（4） i(t)与q(t)是否正交或不相关？解：

（1）()x t 的平均功率：

（2）()N t 是零均值平稳窄带随机信号，所以有：（3）互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω

因为()N t 是零均值平稳窄带随机信号，并且()N S ω是关于0ω偶对称，有9.3的性

质，定理可知，互谱密度()iq S ω为0，互相关函数()iq R τ也为0

（4）由()0iq R τ=，所以()i t 与()q t 任意时刻正交。因为()i t 与()q t 是零均值的，所以()

i t 与()q t 是不相关的。

6.9 6.10

6.11 已知零均值窄带平稳噪声00()()cos ()sin X t A t t B t t ωω=-的功率谱密度如题图

6.11所示。画出下列情况下随机过程 ()A t ，()B t 各自的功率谱密度：（1） 01ωω=

（2）02ωω=

（3） 012()/2ωωω=+

判断上述各种情况下，过程()A t ，()B t 是否互不相关。

题图6.11

解：

因为()X t 是零均值平稳窄带随机信号,所以有：功率谱图形如下：（1）

（2）（3）

由于()X t 的功率谱不以中心频率0ω偶对称，所以互功率谱密度()BA S ω在三种情

况下都不为0, 所以 A(t),B(t)相关.

6.12

6.13 同步检波器如下题图6.13所示，输入()X t 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为

若另一输入0()sin()Y t A t ωθ=+，其中A 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()X t 独立。求检波器输出()Z t 的平均功率。

题图6.13

解：

由题意知

所以()]Y t 也是平稳的.

设 ()()()M t X t Y t = 由于(),()X t Y t 独立, 不难得:

所以经过低通滤波器LPF 后，由于其中高频成分：

2201cos 24

X A e βτ

σωτ- 被滤掉，所以所以()Z t 的平均功率 7.1

[]A A ,

-的双极性二进制传输信号{}(),0U t t ≥的码元符号概率为[],q p 。将)

(t U 送入码元幅度取样累加器，累加器输出为{}(),1,2Y n n =，简记为n Y 。试求：

（1）画出()Y n 的状态图；

（2）)(n Y 的状态概率)(n k π和[]0≥n Y P ，假定初始分布为等概的；（3）)(n Y 状态转移概率),(n m p ij 和[]

4,3,13108115====Y Y Y Y P 。

解

（1）

将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于

（2）（3） 7.2

设{}()1X n n ≥，是相互独立随机变量序列，令：∑==

i p

i X

n Y 1

)()(，p 是任意的整

数，试证明：随机序列)(n Y 是马氏链。解

令'

()()p

X i X i =则与7.1一样，所以()Y n 是马氏链

7.3 微小粒子在相距d 2的反射板之间做随机游动。粒子的初始位置在中线0位置上，每隔T 时间粒子游动一步，每步跨距为d 。随机游动在第n 步后的质点位置记为

{}(),0,1,...X n n =，状态为(,0,)d d -+，设)(n X 的状态转移概率矩阵为：

试求：（1）随机游动的状态图；（2）最可能的样本波形（设(0)0X =）；（3）求)(n X 的极限分布和平稳分布。解

（1）自己画（2）

最可能的波形，即是说按转移概率最大的状态进行转移。设(0)0X =，则（3）

2,1,0.4332,0.3641,0.2028)

i i=1P p =∑计算得每个元素大于0，所以该马尔可夫链遍历，平稳分布与极限分布相等利用VP=V,与解出V=(

7.4

在差分编码系统中，将输入的二进制(0,1)数据序列{}(),1,2,...a n n =进行差分编码，

输出为序列{}(),0,1,...X n n =，讨论输出)(n X 的状态分类。其中编码规则为

)1()()(-⊕=n X n a n X 与(0)0X =。

解

()0,()1,000,011,110,a n p a n q ==⊕=⊕=⊕=设的概率为的概率为则不难画出状

态转移图

7.5 若明日是否降雨仅与今日是否有雨有关，而与以往的天气无关，并设今有雨而明日有雨的概率为0.7；今日无雨明日有雨的概率为0.2，设)0(X 表示今日的天气状态，)(n X 表示第n 日的天气状态。“1)(=n X ”表示第n 日有雨；“0)(=n X ” 表示第n 日无雨。)(n X 是一个齐次马氏链。

（1）写出()X n 的状态转移概率矩阵

（2）求今日有雨而后第2日仍有雨的概率（3）求有雨的平稳概率

解（1）（2）（3） 7.6

独立增量随机信号()Y t 的增量信号为)(t X ，对于时刻编序

............0210<<<<<=k t t t t ，0)(),()()(01=-=-t Y t Y t Y t X k k k ，若增量信号的一阶

特征函数为);(k X t v φ。试求：（1）1(;)Y v t φ与3(;)Y v t φ；（2）),;,(2121t t v v Y φ与

),,;,,(321321t t t v v v Y φ。

解（1）

(2) 求),;,(2121t t v v Y φ与),,;,,(321321t t t v v v Y φ。 7.7

某电话交换台在],0[t 时间（单位：min ）内转接的电话呼叫次数为)(t N ，其平均

呼叫次数为3

λ次/min ，试求：（4） 15分钟内电话呼叫次数为k 次的概率，k 分别为3和5；（5）概率]20)10([],10)5([==N P N P ；

（6） 20=t 时的平均呼叫次数与呼叫次数的方差。

解：（1） 7.8

某二极管发射电子到阳极的平均发射率为10λ=，到达阳极的电子数为)(t N ，试求：（1）转移概率2,3(0.1,0.8)p 与20,25(3,5)p 。

解: (1) 7.9

某器件中载流子到达集电极的数目服从泊松统计规律，其平均变化率为6

10=λ，载

流子在t 时刻到达集电极形成的电流冲击响应为：

试求：

（1）集电极电流（散弹噪声）表达式)(t i （2） [()]E i t 与2

[()]E i t 。

解：（1）集电极电流为：

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求（1）证明X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。（3）画出该随机过程的一个样本函数。（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期末考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。（共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω =

当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。（共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。

又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分)

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷

北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。（1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？（2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？（3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。（1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应；（2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数；（3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。（1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω；（2）、求Y(t)的平均功率；（2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。（1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度；（2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方

随机信号分析习题

随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?，求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???，其它（1）求X 的特征函数,()X ?ω。（2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。

随机信号处理考试试题

《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一）一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)=0，F(+∞)= 1。 2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。 3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。 4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果，则称随机过程在和时刻的状态是独立。 6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。 7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。 8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。

9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。 10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分） 1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（b、d）（A）（B）（C）（D） 2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c） ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比 ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈 3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用表示，那么，下列正确的有：（a、d）（A）（B）（C）（D） 4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d）（A）与的功率谱相等（B）

随机信号分析课后习题答案

1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F

随机信号分析期末总复习提纲重点知识点归

第一章 1.1不考条件部分不考 △雅柯比变换（随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质（一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??

第二章随机过程的时域分析 1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。（P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92

2013随机信号分析试题(终稿)

《随机信号分析》试题考试时间 120 分钟 1.考试形式：闭卷； 2.考试日期：2013年11月27日； 3.本试卷共7大题，满分100分。班级学号姓名任课教师一．填空与简答题（共30分，每小题3分） 1．随机过程3()t X t Ve =，其中V 是均值为5的随机变量，设0 ()()t Y t X d λλ= ? ，则 []()E Y t = 。 2．平稳随机过程()X t 的自相关函数为9()8181cos981X R e τ ττ-=++，则 []()E X t = ，[]()D X t = 。 3．十字路口的车流是一个泊松过程，设1分钟没有车辆通过的概率为0.1，已知 ln 0.1 2.3=-，则2分钟内有多于1辆车通过的概率为。 4．设随机过程0()cos()X t a t ω?=+，其中a 和0ω均是实常数，?是服从(0,)2 π 上均匀分布的随机变量，则()X t 的平均功率Q = 。 5．设平稳随机过程()X t 的自相关函数为()X R τ，则其导数过程()X t ? 的自相关函数 ()X R τ?= 。 6．拟构造一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为 242 2549 ()109 Y S ωωωω+=++，则其传输函数()H s = 。 7．低通滤波器1 ()1H j ωω = +的等效噪声带宽e ω?= 。 8．全波线性检波器()()Z t X t =的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为2 σ，则

f z t 。输出的一维概率密度函数(,) Z 9．确定性信号分析中，使用傅里叶变换来获得信号的频谱，进而进行频域分析。而在随机信号分析中，为什么要定义功率谱密度？ 10．对于待估计参数a，设其估计值为?a。在什么条件下称?a为a的无偏估计？如何全面的表示估计质量？

电子科大随机信号分析随机期末试题答案

电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平稳？（3分）解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密

度函数为：f x（X；厂）（X）

当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数（n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个

随机信号正交。又故两个随机信号互不相关，又因为故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求（共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分）

随机信号习题答案

随机信号分析习题参考答案北京工业大学电控学院 2008.12.9

第一章随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为：求：（1）系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(<

解：如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件：（I ）)(x F 是x 的单调非减函数（II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续（1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤=--= a a x u x u a x x F 上式等价于： else x F a x a x 0 )(0= ≤≤

电子科技大学随机信号分析期末考试题

………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____分钟课程成绩构成：平时 10 %，期中 10 %，实验 %，期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

随机信号分析2习题(供参考)

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T

电子科大随机信号分析随机信号分析试题A卷答案

电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____ 分钟课程成绩构成：平时 %，期中 %，实验 %，期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（共10分）（1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路（1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为（2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为：功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（）根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得：求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：

（3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（共10分）（1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。（共10分）（1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分）（2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分）（3）该信号是否严格平稳？（3分）解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数：当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分）在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分）

随机信号分析习题1

随机信号分析习题一： 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0(,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=??，求{}10,10<<<

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+??=+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1,()0X a x b f x b a ?≤≤?=-???，其它（1）求X 的特征函数,()X ?ω。（2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞=，l.i.m n n Y Y →∞=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞ →∞=。

随机信号分析(常建平+李海林)习题答案

1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。解：第①问利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {} {}{}()()0.30.70.30 .70.70 .3 0.7P X P X F P X F =<< =<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤

1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数解：第①问 ()1 1 2 f x d x k ∞ -∞==? 第②问 {}()()() 2 11221x x P x X x F x F x f x d x < ≤ =-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ???

随机信号分析(常建平-李林海)课后习题答案第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法平均功是白噪声，，，率面积法： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ

()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流

电子科技大学随机信号分析期末考试题1

电子科技大学20 -20 学年第学期期考试卷课程名称：_________ 考试形式：考试日期： 20 年月日考试时长：____分钟课程成绩构成：平时 10 %，期中 10 %，实验 %，期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。二、计算题（共80分）两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求： 1)a ; 2)X 特征函数； 3)试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即（2分）

2010电子科技大学随机信号分析期末考试A

一、已知随机变量X 服从11,22??-???? 区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-=== 。若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数 ()Z f z 。 2、特征函数()Z v Φ。解： 1、随机变量X 均服从11,22?? -????区间的均匀分布， 111,()()22 0,X x f x rect x otherwise ? -≤≤ ?==??? 11 ()(1)(1) 22 Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以 11 ()()()(1)(1) 22 Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2, 220,z otherwise ? ≤≤?=??? 2、

()2rect z Sa ω?? ? ? ?? 且 ()()FT z z f z v Φ- 所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ????? 二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问： 1、信号的均值函数()E X t ??? ?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。 3、()X t 的一维概率分布函数 ();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=???? 2、当,t t τ+在同一个时隙时： [] 2 2 2 (,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?= 当,t t τ+不在同一个时隙时：

随机信号分析试题

姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共18分） 1.随机信号功率谱的物理意义是。 2.广义各态历经是指。 3.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为。 4.希尔伯特变换中系统的冲激响应()h t = 传递函数()H ω= 。 5.随机信号()X t 的解析函信号是。二.判断题（每小题3分共15分） 1.随机变量X ，Y 独立，则有()()()E XY E X E Y =。（） 2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。（） 3.212ττ++可以成为平稳过程的自相关函数。（） 4.功率谱密度S ()X ω是实函数并且是偶函数。（） 5.实平稳随机过程()X t 通过线性时不变系统的输出为()Y t ，则有 S ()S ()S ()S ()X Y XY YX ωωωω= （）三.（12分）若有一随机变量X ，其概率密度函数为1 ()()2ax f t e u t -=。求：（1）a 的值；（2）X 的特征函数()X v Φ；

（3）随机变量21Y X =+，求Y 的一阶概率密度函数。四.（15分）已知随机相位正弦信号()0()cos X t t ωΦ=+ , 0ω为常数，Φ为在[0，2π]内均匀分布的随机变量。试求：（1）()X t 的数学期望和自相关函数；（2）判定 ()X t 是否为平稳过程；（3）计算()X t 的功率谱密度。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题五.（15分）若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于图XX 所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。六.（15分）复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

电子科技大学随机信号分析期末测验A

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随机信号分析第3版习题及答案word资料18页

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