2019-2020年高中数学竞赛模拟试题一

2019-2020年高中数学竞赛模拟试题一

一、填空题 1、已

知

函

数

1

)1(ln )(22+-+=ax x a x f

)

0(>a ，则

=+)1(l n )(l n

a

f a f ____________.

2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙2

2=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.

3、若??

?

?

?<

≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________.

4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________.

5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-x

f mx f 恒成立，则正．实数．．x 的取值范围为____________.

6、已知向量,,满足)(3::2||:||:||*N k k ∈=，且)(2-=-，若α为,的夹角，则αcos 的值为____________.

7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.

8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.

二、解答题

9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥. (Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；

(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.

10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 222

11+==+.

(1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式; (2)若2

11++=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1

11.(本小题满分14分)设a ax e x f x

--=)(.（e 是自然对数的底数） (Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；

(Ⅱ)求证：211008

)2016

2015(-

12.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+3

3

，求使12

2

≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.

13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)2

1

,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .

(1)求点Q 的轨迹方程；

(2)求△ABQ 的面积的最小值.

数学竞赛模拟试卷（1）答案

1.【解析】

2

2)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f .

2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.

，

故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222

=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1

. 3.【解析】()6

tan 33tan 3tan 1

2tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πββ

β

β

βαβαβ=≤

+=

+=+-=

-α .

2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β， .6

π

=-∴βα

4.【解析】由题意可知， 4

π

=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA

之和为

π

.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1

αcos 的值为6

-.

7.【解析】这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3个小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为

36，故容器棱长的最小值为6243

6

324+=?

?+. 8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为

21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为3

1

；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为4

1

；以此类推，可知将

10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为

6

1； 法2：直接从10个小球入手分类讨论.

9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a . 由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a .整理得ab b c a =+-2

2

2

.

由余弦定理可得，212cos 222=-+=

ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以， 3

π

C = ……6分 (Ⅱ)由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得，()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin cos

sin 4=-++=.

12【解析】由正数x ,y 满足y x y x -=+3

3，知0>>y x .令1>=y

t .

不

等式

1

2

2≤+λy x 等价于

y

x y x λy x -+≤

+3

32

2

，等价于

y

x y y x x y x y x λy -+=--+≤322

332

，等价于 ()232y y x y y x λ-+≤

等价于 1122

22-+=-+≤t t y xy y x λ.因为22212)1(2212)1(211)(2+=-?-+≥-+-+=-+=t t t t t t t f ， 等号仅当1

2

1-=-t t ，即21+=t 时成立，

所以，实数λ的最大值为222+. ……15分 13.【解析】(1)设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，

则12:11=+y y x x QA 过Q ，有120101=+y y x x ；……①12

:22=+y y x

x QB ，有

120202=+y y x x ，……②故直线12:00=+y y x x AB 过点)2

1

,1(P ，则有

212

2000

0=+?=+y x y x ……③故Q 的轨迹方程为 x +y =2.

……5分 (2)对直线AB ，当斜率不存在时，即为x =1，此时)0,2(),

2,1(),2,1(Q B A -

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

2012年全国高中数学联赛模拟试题二

2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

历年全国高中数学联赛试题及答案

历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个

2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷

2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷 试题参考答案及评分标准〔B 卷〕 讲明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1 22x x =--时上式取等号． 而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2． 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ?，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕 A ．[0,3) B ．[0,3] C ．[1,2)- D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根 12a x =22a x = 故B A ?等价于12x ≥-且24x <，即 22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<． 3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 23，乙在每局中获胜的概率为1 3 ，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕 A. 670243 B. 27481 C. 266 81 D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min

概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编

概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公

比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB

历年全国高中数学联赛试题及答案

1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1π 3 ； 命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则 A ．甲是乙的充分条件但不必要 B ．甲是乙的必要条件但不充分 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．A 、B 、C 都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠?． ⑶ M ≠?． ⑷ P ≠?中，正确的表达式的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3 a 2－a 1= ． 2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DE BC = ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1 b =1，试证：对每一个n ∈N *， (a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．

2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.

高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版

第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a).

全国高中数学联合竞赛竞赛二试B卷试题和参考答案

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 四、（本题满分50分） 设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合 {(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值. 2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、（本题满分40分） 设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明： 2(1)(1)(1)1a b c d +++≥- 证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有

因此222 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 二、（本题满分40分） 给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=. 证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡?-?=+， 故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -= 三、（本题满分50分） 如图，点D 是锐角ABC ?的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY . 证明：首先证明//YX BC ，即证AX AY XC YB = 连接,BD CD ，因为ACQ ACQ ABC ABC ABP ABP S S S S S S ???????=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222 AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP ?∠?∠?∠?=?∠?∠?∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又 CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQ AC AP BP ?=? ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，

全国高中数学联合竞赛试题(校模拟)附答案

全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。

高中数学竞赛历届IMO竞赛试题届完整中文版

第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9

3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,

高中数学联赛二试训练

二试训练题（1） 1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式 22222 1234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++ 都成立，求a 的最大值． 2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=?，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ． F C B A

3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数2 31n n ++的十进制表示的数码和． (1) 求()f n 的最小值； (2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？ 4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点 12,,,n A A A L ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120?．

二试训练题（2） 1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。 2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11 1 11=++= --+n a a a a a n n n n n . （1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？ （2）求数列{}n a 的通项公式.

高中数学竞赛试题及答案(word版本)

最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且

全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三) 学校_____ 姓名______得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这 样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4 辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给 定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β α2 是实 数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的 值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距 离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使 n n h a h a h a +++Λ22 11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．