高中数学竞赛模拟试卷
高中数学竞赛模拟试卷（3）
班级 姓名
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A I ( )
A ．(－2，2)
B ．[－2，2]
C ．}1,3{-
D ．}1,3{-
2．若()()
2006
34554
x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则???
?
??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007
3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6]
4．平面上有两个定点A 、B ，另有4个与A 、B 不重合的的动点4321C C C C 、、、。若使
，
、、、)4321,,(3
1
sin =≠≤∠-∠j i j i B AC B AC j i 则称（j i C C ,）为一个好点对。那么这样的好点对 （ ） A ．不存在 B ．至少有一个 C ．至多有一个 D ．恰有一个 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且
椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ．12
4y 246x 22=+
+ B ．12
43y 2
46x 22=++
+ C ．
12
46y 2
4x 22=++
D ．
12
46y 2
43x 2
2
=++
+
6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )
A ．1372
B ． 2024
C ． 3136
D ．4495
二、填空题（本大题共6小题，每小题9，满分54请将正确答案填在横线上。） 7．等差数列}a {n 的前m 项和为90，前2 m 项和为360，则前4m 项和为_____.
8．已知]4,4[y ,x ππ-∈，R a ∈，且??
?
??=++=-+0
a y 2sin 21y 40
a 2x sin x 33，则()y 2x cos +的值为______ ___.
9．100只椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n 个人中的
一个坐在相邻的椅子上，则n 的最小值为__________.
10．在?ABC 中，AB=30，AC=6，BC=15，有一个点D 使得AD 平分BC 并且ADB ∠是
直角，比值ABC ADB S S ??能写成n m
的形式，这里m 、n 是互质的正整数，则m －n=______ __.
11．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点A ，
B ，
C 1，
D 1的圆上的点Q 之间的最小距离是___________.
12．}1
,
,min{2
2b a b a +的最大值为 .
三、解答题（本大题共3题，每题20分，共60分，解答要有必要的过程）
13．（本小题满分16分）是否存在最小的正整数t ，使得不等式()()t n 3
t n t n n 1t n +>++对任何正整数n 恒成立，证明你的结论。
14．（本小题满分18分）
设x ，y ，z 为正实数，求函数 ()()()()()xyz
1z 2z 3y 4x 4y 3x 21z ,y ,x f ++++=的最小值。
15．（本小题满分22分）设A 、B 分别为椭圆1b y a x 2222=+ ()0b a >>和双曲线1b
y a x 22
22=-的公
共的左、右顶点。P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()
BQ AQ BP AP +=+λ
()1,R >∈λλ。设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4.
(1) 求证：k 1+k 2+k 3+k 4=0；
(2) 设 F 1、F 2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若12QF //PF ，求2
42
32
22
1k k k k +++的值。
高二数学竞赛模拟试卷（3）
参考答案
说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．
一、选择题(本大题共6个小题。每小题6分，满分36分．)
(注：选择题有些解答是不同于标准答案的简单一点的解法，供参考)
1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A I ( )
A ．(－2，2)
B ．[－2，2]
C ．}1,3{-
D ．}1,3{- 解： 选C 解：由于x=0?A ，排除答案A 、C ，又x=－1满足题意，故选C;
2．若()()
2006
34554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则???
?
??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007
解： 选B 解：令2
1
111t -=
，则055t 2t 22=-+，故 ()()
()
11]11t t 55t 2t 2[)t (f 2006
200632=-=--+-+=，故选B;
3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 解： 选B 解： 当四边形顶点与正方形顶点重合时知t=4，排除A 、C ，又取各边中点时可得t=2，
排除D ，故选B;
4．平面上有两个定点A 、B ，另有4个与A 、B 不重合的的动点4321C C C C 、、、。若使
，
、、、)4321,,(3
1
sin =≠≤∠-∠j i j i B AC B AC j i 则称（j i C C ,）为一个好点对。那么这样的好点对 （ ） A ．不存在 B ．至少有一个 C ．至多有一个 D ．恰有一个
解：因为],0[π∈∠B AC i ，所以)4321](1,0[sin 、、、
=∈∠i B AC i 。将区间[0，1]分成[3
1
0，]， ]13
2]3231，，（，（三段，则B AC B AC B AC B AC 4321sin ,sin ,sin ,sin ∠∠∠∠中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足)4321,,(3
1
sin 、、、=≠≤∠-∠j i j i B AC B AC j i 的好
点对（j i C C ,）至少有一个。所以选B.
5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且
椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ．12
4y 246x 22=+
+ B ．12
43y 2
46x 22=++
+ C ．12
46y 2
4x 22=++
D ．
12
46y 2
43x 2
2
=++
+
解：选A 解：因为BC=42，设椭圆的另一个焦点为D ．以DC 为x 轴，中点为原点建立直角
坐标系．设椭圆方程为：1b
y a x 22
22=+ (a>b>0)，
所以|AD|+|BD|+|AC|+|BC|= 4a ．
即8+42=4a ，a=2+2．|AD|=2a －|AC|=22．
在直角三角形ADC 中，24168|CD |2=+=，6c 2=，24c a b 222=-=
故方程
12
4y 2
46x 22=+
+为所求，选A ；
6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形
个数为 ( )
A ．1372
B ． 2024
C ． 3136
D ．4495
解：选C 解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．
任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法；再在选出的三条边上各选一点，
有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使
其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个． 综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136． 解法二：31364C C 3
73
28=-
二、填空题
7．等差数列}a {n 的前m 项和为90，前2 m 项和为360，则前4m 项和为_____.
答案：1440 解：设S k =a 1+a 2+…+a k ，易知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，从而S 3m = 810．又
易知S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，S 4m －S 3m 成等差数列，即 S 4m =3S 3m －3S 2m +S m =2430－1080+90=1440 故填1440．
8．已知]4,4[y ,x ππ-∈，R a ∈，且???
??=++=-+0
a y 2sin 21y 40
a 2x sin x 33，则()y 2x cos +的值为______ ___.
答案：1 解：设f(t)=t 3+sin t ．则f (t)在]2
,2[π
π-
上是单调增加的．由原方程组可得f(x)=f(－2y)=2a ，又x ，－2y ∈]2
,2[π
π-
，，所以x=－2y ，x+2y=0，故cos(x+2y)=1．故填1． 9．100只椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n 个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n 的最小值为__________.
答案：34 解：由题知，n 个人人坐后，每两人中间至多有两只空椅子．故若能让两人中间恰好
有两只空椅，则n 最小．这样，若对已坐人的椅子编号，不难得一等差数列：1，4，7，…，100．从而100=1+3(n －1)，解得n=34．填34;
10．在?ABC 中，AB=30，AC=6，BC=15，有一个点D 使得AD 平分BC 并且ADB ∠是
直角，比值ABC ADB S S ??能写成n
m
的形式，这里m 、n 是互质的正整数，则m －n=______ __.
答案：65 解：设BC 中点为E ，AD=
2
x
．由中线公式得AE=257．由勾股定理，得120－
15+57=x 572，
38
27
572x AE 2AD n m ===，故m+n=27+38=65．故填65． 11．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点A ，B ，C 1，D 1的圆上的点Q 之间的最小距离是___________. 答案：
223- 解：设点O 是正方体的中心，则易得OQ=23，OP=2
2
，则由三角不等式PQ ≥O Q
－OP=
2
2
3-．等号当且仅当三点O 、P 、Q 共线时成立．又显然当点P 为线段AB 中点时，设射线OP 与ABC 1D 1的外接圆的交点为Q 时满足要求. 故填2
2
3-; 12．}1
,
,min{2
2b a b a +的最大值为 。
答案
3
2
1
解}1,
,min{2
2b
a b a +3332221211=??≤+??≤ab b a b a b a 当且仅当,12
2b
a b a +=
=即321==b a 时取“=”。 三、解答题
13．是否存在最小的正整数t ，使得不等式()()t n 3
t
n t n n 1t n +>++对任何正整数n 恒成立，证明
你的结论。
解：取（t ，n ）=(1，1)，(2，2)，(3，3)， 容易验证知t=1，2，3时均不符合要求． 当t=4时，若n=l ，式①显然成立．n ≥2，则
()()()33
2
2n 3
n 422n 2n 2n 1n n 4?+=+-
≤ ()()4
n 24n 34
n 14n 8n ]4
n 22n 23n 22n 2n [
++???
?
?
?+++=++++?+-
<()
4
n 4
n 24n 4n 16n 8n +++=???
?
??+++
故①式成立。因此t=4满足对任何正整数n ，①式恒成立。
14．
设x ，y ，z 为正实数，求函数 ()()()()()xyz 1z 2z 3y 4x 4y 3x 21z ,y ,x f ++++=
的最小值。
解：在取定y 的情况下，
()()()4
y 6x
y 3x 8x
y 3x 4y 6x 8x
x 4y 3x 212+++=+++=++
≥(
)
2
2y 64y 6y 242+=
++．
其中等号当且仅当8
y
3x =
时成立． 同样，
()()()
2
3y 83y 8z
y 4z 6z
1z 2z 3y 4+≥+++=++
其中等号当且仅当z=
3
y
2时成立．所以 ()()()()(
)(
)
y
3
y 82
y 6xyz
1z 2z 3y 4x 4y 3x 212
2
++≥++++
=3112194)2732482(27y 32y 4822
+=+?≥???
? ??++． 其中第二个不等式中等号当且仅当y=
2
1
号时成立． 故当x=
43，y=2
1
，z=33等时，f(x ，y ，z)取得最小值194+1123． 15．设A 、B 分别为椭圆1b y a x 2222=+ ()0b a >>和双曲线1b
y a x 22
22=-的公共的左、右顶点。P 、
Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()
+=+λ ()1,R >∈λλ。设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4.
(1) 求证：k 1+k 2+k 3+k 4=0；
(2) 设 F 1、F 2分别为椭圆和双曲线的右焦点。若12QF //PF ，求2
42
32
22
1k k k k +++的值。
解：(1)设P 、Q 两点的坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则
k 1+k 2=11
22221111111y x a
b 2a x y x 2a x y a x y ?=-=-++ ①
同理可得意k 3+k 4=22
22y x a
b 2?- ②
设O 为原点，则()
2B B 2λλ=+=+=， 所以λ=，O ，P ，Q 三点共线，于是得2
2
11y x y x =． 由①②得 k l +k 2+k 3+k 4=0；
(2) 由点Q 在椭圆上，有22
2222b
y
a x +=1．
由 λ=，得(x l ，y 1)=λ(x 2，y 2)．
所以 x 2=λ1x l ，y 2=λ
1
y l ，从而22
1221b y a x +=λ2 ③
又由点P 在双曲线上，有22
1221b
y
a x -=1 ④
由③④得 222
1222
1b 2
1
y ,a 2
1
x -=
+=
λλ
因为PF 2∥QF 1，所以| OF 2|=λ|OF 1| ，所以
()()44
2
22221
2
122222
b a b 1a 1y x ,b a b a =-+=-+=λλλ 由①得
()
4y x a b 4k k 21
2
1442
21=?=+．同理可得 ()4k k 2
43=+ ．另一方面，k l k 2=22
1111a
b a x y a x y =-?+．类似地，k 3k 4=22a b -．
故()()2
432
212
42
32
22
1k k k k k k k k +++=+++－2(k l k 2+k 3k 4)=8
高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc
No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N 5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0 课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：https://www.sodocs.net/doc/b313148237.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址： https://www.sodocs.net/doc/b313148237.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第二章组合专题 一、重要的概念与定理 1、完全图：每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有个顶点的完全图（阶完全图）记为. 2、顶点的度：图中与顶点相关联的边数（环按2条边计算）称为顶点的度（或次数）, 记为.与分别表示图的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度 为偶数的顶点称为偶顶点. 3、树：没有圈的连通图称为树,用表示,其中度为1的顶点称为树叶（或悬挂点）.阶树常表示为. 4、部图：若图的顶点集可以分解为个两两不相交的非空子集的并,即 并且同一子集内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为部图,记作 . 2部图又叫做偶图,记为. 5、完全部图：在一个部图中, ,若对任意 均有边连接和,则称图为完全部图,记为. 6、欧拉迹：包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹. 欧拉图：包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图. 哈密顿链（圈）：经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链（圈）称为哈密顿链（圈）.包含哈密顿圈的图称为哈密顿图. 7、平面图：若一个图可画在平面上,即可作一个与同构的图,使的顶点与边在同一 全国高中数学联赛模拟试题(三) 学校_____ 姓名______得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这 样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4 辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给 定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β α2 是实 数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的 值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距 离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使 n n h a h a h a +++Λ22 11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ． 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值． 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A. 2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______ 一、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ，则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设 O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于 二、 简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明： 223+=-n n a 9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n 2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案 三、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+= x x ，可得112s i n c o s 4+=x x ，故3 sin cos 8 =-x x ，从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016 1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤高中数学竞赛训练题(0530)
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