高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一

试

(考试时

间：

80分钟满分100分)

、填空题(共8小题，8 7 =56分)

1已知，点(x,y)在直线x 2八3上移动,当2x4y取最小值时,点

(x, y)与原点的距离是 _____________ 。

2、设f (n)为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和，比如

f 123 =122232=14。记fd n) = f( n)，f」n) = ff (n))，

k =1,2,3...，贝U f2010(2010^ __________________ 。

3、如图，正方体ABCD - A1BGD1中，二面角A-BD1-A1的度数

4、在1,2，…,2010中随机选取三个数，能构成递增等

差数列的概率

5、若正数a,b,c满足」b J

b +

c a + c a +b

6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和则丄的最大值

a + c

N(1,4),点P在X轴

上移动，当? MPN取最大值时，点P的横坐标是______________________________________________

。

7、已知数列a°,a1,a2,…，a.…,满足关系式(3-a. J(6 a.) =18且a。=3，则

sin x+cosx + 喻 x + cotx 在 （。

二）时

cosx cotx sinx cotx

‘2

的最小值为 ______________

二、解答题(共3题，14 15 1^44分)

9、设数列 ?｝满足条件：a^1,a^2，且 a . .2 = a . 1 ? a . (n =1,2, 3，…) 求证：对于任何正整数

n ，都有：*兀列

■■- a n

n -丄的值是

i

卫 a-i

&函数 f （x ）=sinx cosx sin x

+ta nx tanx cotx

cosx tanx

10 D 4

1 | AB |=| BC |=| CD |

AOD

2

:BOC

1

心 AOD

1

3

O

| AB |=| BC |=| CD |

11已知Ct、0是方程4x? —4tx—1 =0(" R)的两个不等实根，函数f(x) = 器的定义域为[:].

x 1

(I) 求g(t)二max f (x) -min f (x);

(H) 证明：对于U i ? (0,?) (i =1,2,3)，若sin u 1 +sin u 2 + sin u 3=1 ,则」 1 1 3

g (tanuj g (tan 匕) g(tan 匕) 4

（考试时间：150分钟总分：200分）

一、（本题50分）如图，L O i和L。2

与ABC的三边所在的三条直线都相

切，E,F,G,H为切点，并且EG、FH的

延长线交于P点。

求证：直线PA与BC垂直。

x5-x2 x5y2 z2

5 2

y - y y z x

50 x, y,z

z5 - z2

5—2—2-0

z x y