基础解系相关分析

1、概念

求解AX=0的解时，人们先化为行最简式，然后求行最简式的xi的解（即AX=0的解），其中xi是由自由变量线性组合而成的。从而得出了该方程的通解，为x=c1[↓]+c2[↓]+…+c(n-r(A))[↓]，其中c为任意常数。因为各个确定的[↓]是线性无关的。因此把这些[↓]称为基础解系。

可见，基础解系是对于AX=0这个齐次线性方程组而言的。表示的是矩阵X的最大线性无关组。而非A的最大线性无关组。但X是A的解，因此两者的最大线性无关组有关系：R(X)=n-R(A),即基础解系的个数=A中自由量的个数=n-R(A)。

依据得到的通解，人们发现，其实只需要对A进行初等行变换，得出一个行阶梯矩阵（没必要化为行最简型（各行首个1所在的列其余元素为0）），即可确定基础的数量=自由量个数，然后只要把中的自由量依次每个赋值为1，其余为0，遍历全部，就可以得出各个[↓],[↓]的结构为：

2、计算

上图就是基础解系，算基础解系也没什么可说的了。

将各个[↓]乘个ci，再累加和即是齐次通解。

3、辨析

A各个列向量如何线性表示？这个和基础解系是不一样的概念。线性表示的时候，先把A 化为行最简型。这样一眼就能看出其他相关量如何被表示了。

齐次线性方程组的基础解系(PPT)_1

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 齐次线性方程组的基础解系(PPT) 齐次线性方程组的基础解系(PPT) 齐次线性方程组的基础解 系对于齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxn0, a12x1a22x2a2nxn0, ax ax ax0. m22mnn m11 令a11a12 a21a22 , 1 2 am1 am2 a1n a2n ,,n amn 则上述方程组即为 x1 1 x2 2 xn n 0 (*) （其中 0 为零向量）。 将（*）的解视为 n 维向量，则所有解向量构成 K 中的一个向量组，记为 S。 n 命题 S 中的元素（解向量）的线性组合仍属于 S（仍是解）。 证明只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。 设(k1,k2,,kn),(l1,l2,,ln)S，则k11k2 2 kn n 0 l1 1 l2 2 ln n 0 于是 (k1 l1) 1 (k2 l2) 2 (kn ln) n 0 故 (k1 l1,k2 l2, ,kn ln) S；又因为k K kk1 1 kk2 2 kkn n 0 所以(kk1,kk2, ,kkn) S。 证毕。 定义（线性方程组基础解系）齐次线性方程组（*）的一组解 1 / 7

向量1, 2, , s 如果满足如下条件： （1）1, 2, , s 线性无关；（2）方程组（*）的 任一解向量都可被1, 2, , s 线性表出，那么，就称1, 2, , s 是齐次线性方程组（*）的一个基础解系。 定理数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变 元个数减去系数矩阵的秩。 证明记线性方程组为 x1 1 x2 2 xn n 0 其中a11a12 a21a22 , 1 2 am1 am2 a1n a2n , , n amn 设1, 2, , n 的秩为 r，无妨设1, 2, , n 为其极大线性无关部分组， 则r 1, r 2, , n 皆可被1, 2, , r 线性 表出，即存在 kij K(1 i n r,1 j r)，使得r 1 k11 1 k1 2 2 k1r r r 2 k21 1 k22 2 k2r r n kn r1 1 kn r2 2 kn rr r, 即 ki1 1 ki2 2 kir r 1 r i 0, (i 1,2, n r)于是 S 中含 有向量1(k11,k12,,k1r,1,0,,0) 2 (k21,k22,,k2r,0,1,,0) n r(kn r1,kn r2, ,kn rr,0,0, ,1) 只需要证明1, 2, , n r 是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。 易见，向量组1, 2, , n r 线性无关。 只需要再证明1, 2, , n r 能线性表出任意一个S 即

基础解系与极大无关组

极大无关组所含向量个数与基础解系所含向量个数问题 比如方程Ax=0，其中A为1 -1 3 -2 0 -2 -1 -4 0 0 1 0 0 0 0 0 明显A的祑为3，并且A的极大无关组含有3个向量，而定理又说齐次线性方程组Ax=0（A 为m*n矩阵）的基础解系含有N-r个解向量，但基础解系也是极大无关组啊??? 齐次方程线性相关基础解系 （1）线性相关的定义：给定向量组A:a1,a2, ···,an（假设为m维）, 如果存在不全为零的数x1, x2, ···,xn , 使 x1a1+ x2a2+ ··· + xn an=0则称向量组A是线性相关. 也即 a11·x1+a12·x2+...........+a1n·xn=0 a21·x1+a22·x2+............+a2n·xn=0 ............ am1·x1+am2·x2+..........+amn·xn=0 方程组有非零解 等价于A m×n X=0 有非零解等价于|A|=0（当m=n时） （2）下面我们从齐次方程角度出发来理解，观察方程组我们注意到： A m×n中的n在方程角度对应未知数的个数，在矩阵方面对应列向量的个数（假设A m×n 是由n个m维的列向量构成）； 而A m×n中的m在方程角度对应方程的个数，在矩阵角度对应列向量的维数 根据我们小学解方程组的经验知道，当未知数的个数等于方程的个数方程只有一解（当然这个结论不是很严格，待会儿说到）；但是当未知数的个数大于方程的个数方程就有无数解了，至于未知数个数比方程个数多多少，其无数的程度怎么样，那时候我们没有具体概念，只知道是无数个。等上了大学线性代数让我们又回归到了解方程组的问题，不过这次比小学时的规定多了些，概念也多了些。——什么秩了，自由变量，基础解系等等。 其实未知数的个数等于方程的个数方程未必只有一解，还有一类方程组，看似有m个，但通过加减消元后，只剩下s个了（通过加减不能再消了）。那么我们把这s个叫这个方程组的有效方程的个数，也即方程组的秩（也就是A的秩）。至此，我把所有的涉及的概念都说完了。 下面，转入正题 由n个m维列向量组成的矩阵A m×n n 对应未知数的个数还对应向量的个数 m 对应方程的个数还对应向量的维数 s 对应有效方程的个数还对应矩阵（向量组）的秩 接下来看结论(对n个m维列向量组成的矩阵A m×n 或向量组A)： 结论一 当n=s时（即向量组线性无关），方程组有零解，n个未知数都能确了，没有不确定的，基础解系为0。

齐次线性方程组基础解系

齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)

对”r(A)=r, 则其基础解系V,dim(V)=n-r.”的浅显证明

对”r(A)=r, 则其解空间V ，dim(V)=n-r.”的浅显证明 蒋尚师 撰稿 对如下的方程组： ○1 11112 213312112222332112233000n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++=?? ?++++= ? ? ?++++=?? 可以写成： ○2112233n n x x x x o αααα+++= ()1234 d i m ,,,,n ααααα =r 设 1234 ,,,,r ααααα 线性无关，所以有： 11111221331r r r k k k k ααααα+=+++ 22112222332r r r k k k k ααααα+=+++ ,11,22,33,n n r n r n r n r r r k k k k ααααα----=+++ 带入○2： ()111121231311r r r n r n x k x k x k x k x α+++-+++++ ()2 121222323,22r r r n r n x k x k x k x k x α+++-++++ + ()112233,r r r r r r r n r r n r x k x k x k x k x α+++-++++ =0 由于1234,,,,r ααααα 线性无关，所以有 11112123131r r r n r n x k x k x k x k x o +++-++++= 2121222323,2r r r n r n x k x k x k x k x o +++-++++= 112233,r r r r r r r n r r n x k x k x k x k x o +++-++++= 则有：

线性代数 基础解系求法举例

教学目的 理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法 作业 重点基础解系及其求法、向量空间的基练习册P37－40第13题 至 第19题，期中交：P37－40 难点方程组解的结构讲授方法媒体与投影 讲授内容主线齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。 内容概括 齐次方程组的基础解系由n-r 个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。 班级： 时间： 年月日；星期

本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间， 下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业P37～P40

二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理 2.解向量的概念n r A R AX n n A R AX <=?==?=)(0()(0有非零解（无穷多解）齐次方程组为解向量的维数） 有唯一零解齐次方程组设有齐次线性方程组 ?????? ?=+++=+++=+++0 00221122221211212111n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）设,2 1 2222111211 ??????? ??m n m m n n a a a a a a a a a A =x =,21???? ?? ? ??n x x x 则（1）式可写成向量方程Ax = 0（2） ? ?? ? ?? ? ??=====12111112121111,,,n n n x x x x x x x ξξξξ）的解则为（若称为方程组（1）的解向量，它也是向量方程（2）的解.第十讲向量组的秩与方程组解的结构