全等三角形难题(含答案)
1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD
解:延长AD 到E,使AD=DE
∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中
AB-BE <AE <AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD <4+2
1<AD <3
∴AD=2
2. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12
CD AB
延长CD 与P ,使D 为CP 中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP 为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP 为矩形
A
D B
C
∴AB=CP=1/2AB
3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2
证明:连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ,可得,∠EFD =CGD
DE =DC
∠FDE =∠GDC (对顶角)
B A
C
D
F
2
1 E
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
5.已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD (SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6.已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD
上。求证:BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE 平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE ≌⊿FBE (SAS )
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE 平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE ≌⊿FCE (AAS )
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:AB//ED ,∠EAB=∠BDE ,AF=CD ,EF=BC ,求证:∠F=∠C
AB ‖ED ,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE ,
∴∠AED=∠ABD ,
∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得:AE=BD ,
∵AF=CD,EF=BC ,
∴三角形AEF 全等于三角形DBC ,
∴∠F=∠C 。
14. 已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C
证明:设线段AB,CD 所在的直线交于E ,(当AD AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点)。则: △AED 是等腰三角形。 ∴AE=DE D C B A F E 而AB=CD ∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量) ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C. 15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB 在AC上取点E, 使AE=AB。 ∵AE=AB AP=AP ∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB。 16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD P D A C B 在等腰三角形ABD 中,AE 是角BAD 的角平分线, ∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE ∴点E 一定在直线BD 上, 在等腰三角形ABD 中,AB=AD ,AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC ∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF ∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18.如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC . 解:延长AD 至BC 于点E, ∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD 和△ACD 中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD 和△ACD 是全等三角形(边角边) F A E D C B ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM (AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON (SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB. 做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC P E D C B A 21.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B 延长AC 到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE 为等腰 ∠ACB=2∠B 22.(6分)如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , 若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF (2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立 请给予证明;若不成立请说明理由. (1)连接BE ,DF . ∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ), ∴DE=BF . ∴四边形BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD ,ME=MF ; (2)连接BE ,DF . ∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, D C B A ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ), ∴DE=BF . ∴四边形BEDF 是平行四边形. ∴MB=MD ,ME=MF . 23.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC . (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): 证明: ∵DC ∥AB ∴∠CDE =∠AED ∵DE =DE ,DC =AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE =BE ∴BE =DC ∵DC ∥AB ∴∠DCE =∠BEC ∵CE =CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC 24.(7分)如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长 线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F . 求证:BD =2CE . 证明: O E D C B A F E D C B A ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE 四点共元 ∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD 的中点G ,连接AG ,则:AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而:AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图:DF=CE ,AD=BC ,∠D=∠C 。求证:△AED ≌△BFC 。 F E D C B A 证明:∵DF=CE , ∴DF-EF=CE-EF , 即DE=CF , 在△AED 和△BFC 中, ∵ AD=BC , ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED ≌△BFC (SAS ) 26、(10分)如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。 求证:AM 是△ABC 的中线。 M F E C B 证明: ∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线. 27、(10分)如图:在△ABC 中,BA=BC ,D 是AC 的中点。求证:BD ⊥AC 。 D C B A ∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD ⊥AC 28、(10分)AB=AC ,DB=DC ,F 是AD 的延长线上的一点。求证:BF=CF F D C B 在△ABD 与△ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC 29、(12分)如图:AB=CD ,AE=DF ,CE=FB 。求证:AF=DE 。 F E D C B A ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明:连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM(SAS) ∴CF=BE 31.已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF. ∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵BE=DF ∴:△ABE≌△CDF(SAS) 32.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。 连接BD ; ∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加,∠ADC=∠ABC ; ∵BC=DC E\F 是中点 ∴DE=BF ; ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。 33.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. C A 证明: 在△ADC ,△ABC 中 ∵AC=AC ,∠BAC=∠DAC ,∠BCA=∠DCA ∴△ ADC ≌△ABC (两角加一边) ∵AB=AD ,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中 ∠BCA=∠DCA ,CE=CE ,BC=CD ∴△DEC ≌△BEC (两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC 34.已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD =CF ,求证:△ABC ≌△DEF . ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB //DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC //EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC ≌△DEF (ASA ) 35.已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F ,求证:BE =CD . 证明: ∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt △BDC ≌Rt △BEC (AAS) ∴BE=CD A C D E F 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证:DE=DF. 证明: ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD(AAS) ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO≌△AFO(SAS) ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF 37.已知:如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE .若AB = 5 ,求AD 的长? ∵AD ⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC ⊥BC 于C ,DE ⊥AC 于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE ,△ABC ≌△DAE (ASA ) ∴AD=AB=5 38.如图:AB=AC ,ME ⊥AB ,MF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,ME=MF 。求证:MB=MC C 证明: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME ⊥AB ,MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中 ∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME ≌△ CMF (AAS ) ∴MB=MC . 39.如图,给出五个等量关系:①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知:①AD=BC ,⑤∠DAB=∠CBA 求证:△DAB ≌△CBA 证明:∵AD=BC ,∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB ≌△CBA 40.在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D , MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1) ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE . ∵AC=BC , ∴△ADC ≌△CEB . ②∵△ADC ≌△CEB , ∴CE=AD ,CD=BE . ∴DE=CE+CD=AD+BE . (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE . 又∵AC=BC , ∴△ACD ≌△CBE . ∴CE=AD ,CD=BE . ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE 41.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF (1)∵AE ⊥AB ,AF ⊥AC , ∴∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC , 即∠EAC=∠BAF , 在△ABF 和△AEC 中, ∵AE=AB ,∠EAC=∠BAF ,AF=AC , ∴△ABF ≌△AEC (SAS ), ∴EC=BF ; (2)如图,根据(1),△ABF ≌△AEC , ∴∠AEC=∠ABF , ∵AE ⊥AB , ∴∠BAE=90°, ∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM (对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°, 在△BDM 中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°, ∴EC ⊥BF . 42.如图:BE ⊥AC ,CF ⊥AB ,BM=AC ,CN=AB 。求证:(1)AM=AN ;(2)AM ⊥AN 。 证明: (1) ∵BE ⊥AC ,CF ⊥AB A E B M C F