空间位置关系的判断与证明.板块四.垂直关系的判断与证明.教师版

【例1】 下列说法正确的有 ．

①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．

②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．

⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】1星 【题型】填空 【关键字】无

【解析】①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线，

该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线；

②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线可以不垂直于这个平面，并且可以与这个平面相交，平行或在平面内；

③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直线作一个与此平面相交的平面，交线即满足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线； ④错误，可以在此平面内，或与此平面平行；

⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直；

⑥正确，比如正方体上底面的两条相邻的棱互相垂直，且都与下底面平行；

【答案】正确的说法有③⑥．

【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个． 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无

【解析】一个可行的例子如下：ABC ?为直角三角形，B ∠为直角，

直线PA ⊥面ABC ，D 为直线PA 上异于A 点的任意点，则四棱锥D ABC -的4个面均为直角三角形．（学生可以试着证明）

【答案】4；

【例3】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CD ．

典例分析

板块五.垂直关系的判断与证

明

A

B

C

E

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】设CD 中点为E ，连接AE ，BE

∵ACD ?为等腰三角形，∴AE ⊥CD ， 同理BE ⊥CD

∴CD ⊥平面ABE ，又AB ?面ABE ∴CD ⊥AB ．

【例4】 如图，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，D 为AB 的中点，且PDB ?是正三角

形，PA ⊥PC ．

求证：⑴ PA ⊥面PBC ；⑵平面PAC ⊥平面ABC ．

D

P

A

B

C

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】⑴由已知D 是AB 中点，PDB ?是正三角形，

∴1

2

PD AB =，由平面几何知识可知，APB ?为直角三角形

∴PA ⊥PB ，又PA ⊥PC ，PB PC P =， ∴PA ⊥面PBC ⑵∵PA ⊥面PBC 又∵BC ?面PBC ，

∴PA ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC PA A = ∴BC ⊥面PAC

∵BC ?面ABC ∴平面PAC ⊥平面ABC

【例5】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、

SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．

E

B

C

F

D

G

S

A

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无

【解析】分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转

化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证AE SB ⊥，可证AE ⊥平面SBC ，为此须证AE BC ⊥、AE SC ⊥，进而转化证明BC ⊥平面SAB 、SC ⊥平面AEFG ．

【答案】证明：∵SA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴SA BC ⊥．

又∵ABCD 为正方形，∴BC AB ⊥． ∴BC ⊥平面ASB ．

∵AE ?平面ASB ，∴BC AE ⊥．

又∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ． 又∵SB ?平面SBC ，∴AE SB ⊥， 同理可证AG SD ⊥．

【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．证明：面

ABE ⊥面PCD ．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =．

∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ． 在四棱锥P ABCD -中，

∵PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故PA CD ⊥． ∵AC CD PA AC A ⊥=，，∴CD ⊥平面PAC ．

而AE ?平面PAC ，∴CD ⊥AE ，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ． 而AE ?平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．

【例7】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，

过A 作AF ⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．

F E

P

A

B

C

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】分析：要证线线垂直，可转化为线面垂直，本题关键在于线 面垂直与线线

垂直的转化．可由分析法入手：要证PC ⊥EF ?PC ⊥面AEF ?PC ⊥AF （已知），PC ⊥AE ?AE ⊥面PBC ?AE ⊥PB （已知），AE ⊥BC ?BC ⊥面

PAB ?BC ⊥AB （已知）

，BC ⊥PA ?PA ⊥面ABC ，从而问题得到解决． F E

P

A

B

C

∵PA ⊥面ABC ，且BC ?面ABC ，∴BC ⊥PA ，且BC ⊥AB ∴BC ⊥面ABE

∴BC ⊥AE ，又PB ⊥AE ，且BC PB B = ∴AE ⊥面PBC ，且PC ?面PBC

∴AE ⊥PC ，又AF ⊥PC ，且AF AE A =

∴PC ⊥面AEF ，且EF ?面AEF ∴PC ⊥EF 本题可以分化出小题，体现中间的转化过程．

【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平

面AD C '．

O

H D

C

B

A

D'

C'

B'

A'

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】因为B H D O ''⊥，所以只需再证明B H '垂直于面AD C '上的另外一条直线即可．

因为AC BD AC BB '⊥⊥，，所以AC ⊥平面BDD B ''，又 B H '?面BDD B ''，因此AC B H '⊥． 于是B H '垂直于相交直线AC D O '，所在的平面AD C '．

【例9】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．

A 1

D 1

C 1

B 1

D

C

B

A

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】连结BD ．A

B

C

D

B 1

C 1

D 1

A 1

∵1DD ⊥底面ABCD ，又AC ?面ABCD ，

∴1DD ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又1BD DD D =， ∴AC ⊥面1BDD ，

又∵1BD ?面1BDD ∴AC ⊥1BD 同理连结1BC 可得1BD ⊥1B C

∴根据线面垂直的判定定理可得1BD ⊥面1AB C ．

【例10】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，

1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星

【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】F

E

C 1B 1

D 1

A 1A

B C D

由111A D A B ⊥，11B E A B ⊥，有1B E ⊥面11A BD ∴11B E BD ⊥

由111C D BC ⊥，11B F BC ⊥，有1B F ⊥面11BC D ∴11B F BD ⊥ ∴1BD ⊥面1B EF

【例11】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：

1B O ⊥面PAC ．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】P O

A 1

D 1

C 1

B 1

D C B

A

（法一）

由于AC ⊥BD ，且AC ⊥1BB ，

∴AC ⊥面11BDD B ，且1B O ?面11BDD B ．∴1B O ⊥AC

连结1PB ，设AB a =

，则1111AB CB B D ===

Q

A

B

C

D

B 1

C 1

D 1

A 1

P

O

∵222222113)2OB OB BB a a =+=+=

222222111119

())24PB PD B D a a =+=+=

222222

13())24

OP PD DO a a =+=+=

∴222

11OB OP PB +=．∴1B O ⊥OP ，又PO AC O =，

∴1B O ⊥平面PAC （法二）

由于AC ⊥BD ，且AC ⊥1BB ，

∴AC ⊥面11BDD B ，且1B O ?面11BDD B ∴1B O ⊥AC 取CD 中点Q ，连结1QC ，OQ ，则OQ ∥11B C

在正方形11CC D D 中，由P ，Q 分别为1DD ，1CC 的中点，可知CP ⊥1C Q ， 又CP ⊥11B C ，且1111C Q

B C C =

∴CP ⊥面11B C QO ，又1B O ?面11B C QO ∴CP ⊥1B O ∴1B O ⊥面PAC

【例12】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为

PC ，AB 的中点．⑴求证：MN ∥平面PAD ；⑵若45PDA ∠=，求证：MN ⊥

面PCD ．

Q

P

D C

A

M

N

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】⑴取PD 中点Q ，连结MQ ，AQ ，

∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点 ∴MQ ∥AN 且MQ =AN

∴MN ∥AQ ，从而得到MN ∥平面PAD ⑵（法一）

R P

D

B

C

A

M N

∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ?面ABCD ∴CD ⊥PA ，又由底面是矩形有CD ⊥AD ∴CD ⊥面PAD ，又AQ ?面PAD ∴AQ ⊥CD

又∵45PDA ∠=，∴PA AD =

从而在等腰Rt APD ?中，又PQ QD = ∴AQ ⊥PD ，又CD PD D = ∴AQ ⊥面PAD ，又MN ∥AQ ∴MN ⊥面PCD （法二）

∵PA ⊥底面ABCD ，且CD ?面ABCD ∴CD ⊥PA ，又由底面是矩形有CD ⊥AD ∴CD ⊥面PAD ，又PD ?面PAD ∴PD ⊥CD

取CD 中点R ，连结MR ，NR ，则MR ∥PD ，NR ∥AD ∴CD ⊥MR ，又CD ⊥AD ，

∴CD ⊥NR ，∴CD ⊥面MNR ，且MN ?面MNR ， ∴MN ⊥CD

∵45PDA ∠=，∴PA AD =，且BC AD =

∴PA BC =，又AN BN =，且90PAN CBN ∠=∠= ∴根据三角形全等可知PN NC =，又PM MC = ∴MN ⊥PC

∵CD PC C =，∴MN ⊥面PCD

【例13】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：

1CC ⊥BD ．

O

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无

【答案】∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC

连结BD ，AC 交于点O ，连结1A B ，1A D

∵1160A AB A AD ∠=∠=，由1A AD ?≌1A AB ?可知，∴1A BD ?为等腰三角形，又BO OD =

∴1A O ⊥BD ，又1

AC AO O =， ∴BD ⊥面1A AO ，又1AA ∥1CC ，且1CC ?面1A AO ．∴1CC ⊥BD

【例14】 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件

时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A 【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答

【关键字】2008年，深圳高三联考 【解析】略

【答案】AC BD ⊥（或更特殊的四边形ABCD 是正方形或菱形）；

1

11AC B D ⊥?BD ⊥平面11ACC A ?BD AC ?⊥． 故充要条件为AC BD ⊥，本题只要求写一个充分条件即可．

【例15】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =

，AC BC ==边ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论

A

B

C D

O

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答

【解析】略

【答案】当ADB △在转动过程中，总有OC AB ⊥，OD AB ⊥．

∴AB ⊥平面COD ，∴AB CD ⊥

当ADB △转动到与ABC △共面时，仍然有AB CD ⊥ 故ADB △转动过程中，总有AB CD ⊥．

【例16】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，

1MN MC ⊥？

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】若想1MN MC ⊥，只需1MN MB ⊥，只需11A MB AMN ∽△△，

只需1

2

AN AM =，N 位于13AN NB =∶∶处，即AB 的四等分点处．

【例17】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，90ACB ∠=?

，1AA =，D 是

11A B 的中点．

⑴求证1C D ⊥平面1A B ；

⑵当点F 在1BB 上什么位置时，会使得1AB ⊥平面1C DF ？并证明你的结论．

C 1

B 1A 1

F

E

D

C B A

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】C 1

B 1

A 1

F

E

D

C

B A

⑴如图，∵111ABC A B C -是直三棱柱， ∴11111AC B C ==，且11190AC B ∠=?． 又D 是11A B 的中点，∴111C D A B ⊥．

∵1AA ⊥平面111A B C ，1C D ?平面111A B C ， ∴11AA C D ⊥，∴1C D ⊥平面11AA B B ．

⑵作1DE AB ⊥交1AB 于E ，延长DE 交1BB 于F ，连结1C F ， 则1AB ⊥平面1C DF ，点F 即为所求．

事实上，∵1C D ⊥平面11AA B B ，1AB ?平面11AA B B ， ∴11C D AB ⊥．又1AB DF ⊥，1DF C D D =， ∴1AB ⊥平面1C DF ．

【例18】 如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且

11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．

⑴ 证明1C C BD ⊥；

⑵ 当1

CD CD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．

图 9-2-284D 1

A 1

C 1

B 1

D

C

B

A

【考点】垂直关系的判断与证明

【难度】4星 【题型】解答

【关键字】2000年，全国高考 【解析】略

【答案】⑴ 连结1A C 、AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．

∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BC CD =．

又∵11BCC DCC ∠=∠，11C C C C =，∴11C BC C DC ??≌．∴11C B C D =． ∵DO OB =，∴1C O BD ⊥． 又AC BD ⊥，1AC

C O O =，∴B

D ⊥平面1AC ．

又1C C ?平面1AC ，∴1C C BD ⊥．

⑵ 当

1

1CD

CC =时，能使1A C ⊥平面1C BD ． 证法一：∵1

1CD

CC =，∴1BC CD C C ==．

图 9-2-285H

G

A 1

D 1

A

D

C

C 1

B 1

B

又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==． ∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥． 设1A C 与1C O 相交于G ．

∵11AC AC ∥，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正1C BD ?的BD 边上的高和中线，

∴点G 是正1C BD ?的中心．∴CG ⊥平面1C BD ，即1A C ⊥平面1C BD ． 证法二：由⑴知BD ⊥平面1AC ，

∵1A C ?平面1AC ，∴1BD AC ⊥． 当1

1CD CC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同1

BD AC ⊥证法可得11

BC AC ⊥．又1BD BC B =，∴1A C ⊥平面1C BD ．

【例19】 已知四面体ABCD ，

①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+

②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】①过B 作CD 的垂线，垂足E ，连AE ，

F

E

D

C

B

A

∵CD AB ⊥，

∴CD ⊥平面ABE ， ∴CD AE ⊥．

∴222AC AE CE =+、222BD BE DE =+；

又有222AD AE DE =+、222BC BE CE =+． ∴222222AC BD AE BE CE DE +=+++， 而222222AD BC AE BE CE DE +=+++． ∴2222AC BD AD BC +=+．

②过A 点作CD 的垂线，垂足设为F ，于是有： 222AD AF DF =+、222BC BE CE =+； 222AC AF CF =+、222BD BE DE =+； ∵2222AD BC AC BD +=+；

∴22222222AF DF BE CE AF CF BE DE +++=+++ ∴2222DF CE CF DE +=+， ∴2222DF CF DE CE -=-，

∴()()()()DF CF DF CF DE CE DE CE +-=+-， ∴DF CF DE CE -=-． ∴DF CE DE CF +=+．

∴E 、F 只能重合于一点，故有CD ⊥平面ABE ， ∴CD AB ⊥．

【例20】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的

中点，DE AP ⊥于E ．

⑴求证：AP ⊥平面BDE ；

⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；

⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略

【答案】F

E

B

D

C

A

P

⑴∵AB BC =，D 为AC 中点，∴BD AC ⊥ 又PC ⊥底面ABC ，∴PC BD ⊥

∵PC AC C =，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD AP ⊥． 又DE AP ⊥，∴AP ⊥平面BDE ． ⑵∵D F ，为AC PC ，的中点，∴DF AP ∥． 结合⑴可知DF ⊥平面BDE ．

⑶∵211:323PEF PAC PE PF S S PA PC ???==?=?，∴1

3

B PEF B PA

C V V --=．

因此两部分的体积比为1:2．

【例21】 在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=?，60BAC CAD ∠=∠=?，PA ⊥平

面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．

⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；

⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答

【关键字】2009年，扬州中学高三期末 【解析】略

【答案】

F

E

D

C

B

A

P

⑴在Rt ABC ?中，1AB =，60BAC ∠=?，

∴BC 2AC =． 在Rt ACD ?中，2AC =，60CAD ∠=?，

∴CD =4AD =．

∴1111122222BCD S AB BC AC CD ?=?+?=???=．

则123V =

⑵∵PA CA =，F 为PC 的中点，∴AF PC ⊥． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥．

∵AC CD ⊥，PA AC A =，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD PC ⊥． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF CD ∥．则EF PC ⊥． ∵AF EF F =，∴PC ⊥平面AEF ．

【例22】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，

底面边长为侧棱长为4．E F

，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =．

⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．

D 1

C 1

B 1

A 1

G

F

E

D

C

B A

【考点】垂直关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答

【关键字】2003年，京皖春季高考 【解析】略

【答案】⑴连接AC ．

∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形．

∴AC BD ⊥，又1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ． ∵E F ，分别为AB BC ，的中点，故EF AC ∥， ∴EF ⊥平面11BDD B ，

∴平面1B EF ⊥平面11BDD B ．

⑵连结1B G ，在对角面11BDD B 中，作11D H B G ⊥，垂足为H ， ∵平面1B EF ⊥平面11BDD B ，且平面1B EF 平面11BDD B 1B G =，

∴1D H ⊥平面1B EF ，且垂足为H ，∴点1D 到平面1B EF 的距离1d D H =． 法一：在11Rt D HB ?中，11111sin D H D B D B H =?∠，

∵11114D B B =

，11111sin sin BB D B H B GB GB ∠=∠=

=

， H

G

D

B B 1

D 1

∴1

4d D H ===

法二：∵111D HB B BG ??∽，∴11111D H D B

B B B G =，

∴2111B B d D H B G ==

法三：连接1D G ，则三角形11D GB 的面积等于正方形11DBB D 面积的一半．即21111122B G D H BB ?=．

∴d =

⑶1111111116

23323B EFD D B EF B EF V V V dS --?====?=．

空间垂直关系的相互转化

空间垂直关系的相互转化 山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰 空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者进行合理的转化。 线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示： 线线垂直线面垂直面面垂直 （1） （2）（3）（4） 其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 （2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。 （3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的。 例1、设ABCD 是空间四边形，,AB AD CB CD ==. 求证：AC BD ⊥. 【证明】如右图，设BD 的中点为K ，连结,AK CK . AB AD =Q ，K 为BD 的中点，AK BD ∴⊥ 同理CK BD ⊥. 又,,AK CK K BD AKC =∴⊥I 面 又,.AC AKC BD AC ?∴⊥面 【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程为线线垂直→线面垂直→线线垂直。 例2、如右图，已知平面PAB ABC ⊥平面， 平面PAC ABC ⊥平面，AE PBC ⊥平面，E 为垂足. （1） 求证：PA ABC ⊥平面； （2） 当E 为PBC ?的垂心时，求证：ABC ?是直角三角形.

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

空间位置关系的判断与证明

. . 空间中的线面关系 要求层次 重难点 空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面，那么这条直线上所有的点 在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明

. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的 一条直线平行，那么该直线与此平面平 行． ◆如果一个平面的两条相交直线与 另一个平面都平行，那么这两个平面平 行． ◆如果一条直线与一个平面的两条 相交直线都垂直，那么该直线与此平面 垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行， 经过该直线的任一个平面与此平面相 交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平 行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平 面垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?； 直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?； 直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 知识内容

最新空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题

专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题 1．如图，在四棱锥P–ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2， BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC =，求证：CD⊥平面P AD. 2．如图所示，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，1 PA=，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.证明PA BF ⊥. 3．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B 的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC． 4．如图，在三棱锥P-ABC中，CD AB ⊥，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：AB PC ⊥.

5．已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点．求证:平面ABC⊥平面PAC. 6．三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证： （1）AO⊥BC （2）PB⊥AC 7．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC． 8．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.证明：平面AMD 平面BMC. 9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，证明：BE⊥平面EB1C1

10．如图，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E 为AD 的中点.求证：PE ⊥BC . 11．如图所示，四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，2AC BC CD BD ====，2AB AD ==，求证：AO ⊥平面BCD . 12．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且2AP AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求证：DM PB .

空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

第四讲《垂直关系的证明》

垂直关系的判定与性质 一、知识梳理 (2)两直线垂直的判定 ①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. ⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a. (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α. ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ. (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°?α⊥β. ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l?α，则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. 二、典例精析 考点一：线面垂直的判定及性质 例1：如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，A P⊥面ABC，AE⊥ BP于E，AF⊥CP于F. 求证：BP⊥平面AEF (2009·北京)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△ BCD均为等边三角形，AB=2,AC=6.求证：AO⊥平面BCD.

最新空间位置关系的判断与证明

空间中的线面关系 要求层 次 重难点 空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定 义，并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这条直线上所有的 点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的 三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边 与另一个角的两边分别平行，那么这两 个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和 定理为出发点，认识和理解空间中线面 平行、垂直的有关性质与判定． 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，那么该直线与此平面公理1，公理2，公理3， 公理4，定理* A 高考要求 模块框架 空间位置关系的判断与证明

*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言： 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α?； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α?； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α?； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =； 平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理： ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 知识内容

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =

空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一 平面的基本性质 【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件． 【例2】 判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面． 【例3】 若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（ ） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个 【例4】 下列推理错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】 已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________． 共线问题 【例6】 在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析 板块一.对平面的进一步认识

空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

空间中的垂直关系(带 答案)

空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角 为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且 和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线 与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第 三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法：

1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．

2019届高考数学专题15平行垂直关系的证明

培优点十五 平行垂直关系的证明 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证： （1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112 OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又11 11=B D HD D ，=BD BF B ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，12AA

（1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1 BN BB 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥， 又∵OM ?平面1A BM ，1B C ?平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ． （2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ?平面ABC ，∴1AA BM ⊥， 又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥． ∵1=AA AC A ，1AA ，AC ?平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥ ∵=2AC ，∴=1AM ．又∵12AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan 2AC C A MA ∠== ∴11AC C A MA ∠∠＝， 即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=?，∴11A M AC ⊥ ∵1BM A M M =，BM ，1A M ?平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ． （3）解：当点N 为1BB 的中点，即 112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C

(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理

第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则

立体几何的平行垂直关系的证明高考优化训练

立体几何平行垂直关系的证明高考优化训练 1．平行关系的证明 例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ， 11C D ，1AA 的中点． 求证：（1）EG ∥平面11BB D D ； （2）平面BDF ∥平面11B D H ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ， 因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ?平面11BB D D ，EG ?平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ． （2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥ ，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D I ，=BD BF B I ，所以平面BDF ∥平面11B D H ． 2．垂直关系的证明 例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1=2AA ． （1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ； （3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果 存在，求此时1 BN BB 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12 ． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ． 在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，

2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面

怎么证明面面垂直

怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)． 知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________． 答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一 空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二 共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋

垂直关系的证明

空间垂直关系的证明 一. 三种。 _________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 定义 判定如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则这条直线与该平面垂直 α内的任一直线，而⊥α l m l n m n m αn 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂 直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质

垂直于这个平面内的所有直线 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） 二面角的平面角的三个特征: ⅰ.点在棱上 ⅱ.线在面内 ⅲ.与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点为垂O 足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0 0180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 直二面角，就说这两个平面垂直. 平面垂直 α∩β=l α-l-β=90 o α⊥β （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用直径所对的圆周角是直角