第三章导数及其应用含详细答案

第三章导数及其应用

刷速度

一、选择题

1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D．

答案

.

2. 已知′(1),则f′(0)等于( )

A. B C D 2e

解:由′(1),得:f′(x)′(1),

取得:f′(1)′(1),所以,f′(1)

故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B.

3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。

A: B: C: D:

答案详解B

解析:本题主要考查函数的单调性。

当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函

数小于零，即为减区间。故本题正确答案为B 。

4. 函数,的最大值为( )

A.

B. 1

C.

D.

答案详解C

解:令得或

当时,或;当

时,

当

时

;当

时,

;当

时,

所以函数的最大值为所以C 选项是正确的

解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值.

5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )

A. 3 B 2 C 1 D

答案详解A

解析:函数的定义域为 ，函数的导数为 ，由 ，

得 ，解得

或

（舍去），选A.

6. 函数

有极值的充要条件是

A、a≥1或a≤0

B、a>1或a<0

C、a≥1或a<0

D、0

答案B

解析【分析】将函数f(x)有极值转化成f′(x)有两不等的根，再利用判别式进

行判定即可．【解答】函数有极值

则f′(x)=ax2+2ax+1=0有两不等的根当a=0时，无解当a≠0时，Δ>0．即4a2-4a>0解得a>1或a<0，故选B．

7. 若在上是减函数，则的取值范围是（）。

A: B: C: D:

答案详解D

解析:本题主要考查导数的应用。

由题意可知，在上恒成立，即在

上恒成立，令，因为，所以

。要使，即需要小于等于其最小值，所以。

8.

9.函数有三个相异的零点,则a的取值范围是( )

A. B C D

答案C

解:函数,

,,,,,,

,,函数在单调递减,

单调递增,,

使得函数有三个零点,必须:,计算得出

.

所以C选项是正确的.

10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为________．答案2

解析切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．

解答：设切点P（x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln（x 0+a），

又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，

∴x 0+a=1，∴y 0=0，x 0=-1，∴a=2．故答案为：2

11.

12，设是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若′

(x) , ,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )

A. B C D

解:设,

则g′(x)′(x)′(x),

′(x),, ′(x)′(x),

是R上的增函数, 又,

的解集为,

即不等式的解集为所以B选项是正确的.

二、填空题

13.、曲线在点处的切线方程是。

答案详解

解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义。

设切线方程为，因为，所以当时，，

即，所以，整理得。

故本题正确答案为。

14.设与是函数的两个极值点,则常数

的值为

答案详解21

解:,,

与是函数的两个极值点,

,计算得出,,

.因此，本题正确答案是:21.

15. 已知,若对任意两个不等的正实数,都有

恒成立,则a的取值范围是

答案

解:;根据恒成立得:恒成立;

整理成,在上恒成立;;

;的取值范围是.因此，本题正确答案是:.

16. 若函数，若对于都有，则实数

的值为______

答案详解4

解析:，则。当时，，在定

义域R上单调递减，所以当时，，与题意

不符，所以。当时，，则当时，，

所以在区间上单调递减，，与题意不符，

所以。此时在和上单调递增，在上单调

递减，所以。由题意可得，

，解得

三、解答题

17、已知函数在与时都取得极值。

（1）求，的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围。

答案详解

（1）函数求导得，因为在与时都取得

极值，所以，且，解得，

； ......4分

（2）由（1）可知，令，解得或

，令，解得，故函数单调增区间为和

，单调减区间为； ......8分

（3）函数，，在取得极大值，取

得极小值，因为，所以要使，不等式

恒成立，只需恒成立，即恒成立，则实数的取值范

围为或。 ......12分

/18、若函数,在点处的斜率为

(1)求实数m的值; (2)求函数在区间上的最大值.

答案

解:(1),,即,计算

得出; 实数m的值为1;

(2)为递增函数,,

,

存在,使得,所以,

,,

19. 已知函数。

（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围。答案详解

（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，

切线的斜率，则切线方程为，即。

（Ⅱ），则，

因为，故时，，

当时，；

当时，。

故在处取得极大值，

又，，，则，

所以在上的最小值是。

在上有两个零点的条件是解得，

所以实数的取值范围是

刷真题

考点1 导数的概念与运算

1、若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的

切线相互垂直，则称具有性质。下列函数中具有性质的是（）。

A: B: C: D:

答案详解A

解析:本题主要考查导数的概念与几何意义。

根据导数的几何意义，若具有性质，则存在、使

或且处切线与轴垂直。

A项，（），，有，具有性质，故A项正确；

B项，（），，切线斜率存在，不满足，

不具有性质，故B项错误；

C项，（），，不具有性质，故C项错误；

D项，（），，，无与轴垂直的切线，不具有

性质，故D项错误。故本题正确答案为A。

2. 已知函数为的导函数，则的值为_______ ___.

答案

3

解析

【解析】

试题分析：

【考点】导数

【名师点睛】求函数的导数的方法：

（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；

（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；

（5）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．

3. 已知函数的图象在点处的切线过点,则a=

答案详解1

解:函数的导数为:,,而

,

切线方程为:,因为切线方程经过,

所以,

计算得出.因此，本题正确答案是:1.

4. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_____ 。

答案详解

解析:本题主要考查导数的概念和几何意义。

曲线在点处的切线斜率应为，故曲线

在点处的切线应为。

将直线与曲线联立可得，

因为直线与曲线相切，即交点只有一个，故

，解得或。

当时，，直线与平

行，故时不符合题意。故本题正确答案为。

考点2 导数与函数的单调性

5. 若函数，在单调递增，则的取值范围是（）。

A: B: C: D:

答案详解C

解析:本题主要考查函数的概念和性质。

已知函数在单调递增，所以有在上恒成立。因

为，当时，，此时

，不符合题意，所以可以排除，即排除A、B、D项。故本题正确答案为C。

6.设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则函数

的图象可能是( )

A. B. C. D.

答案详解A

解:如图,设函数图象上位于第二象限上的最大值点是,

根据的图象,可得当时函数为增函数,

当和函数为减函数

是函数的极大值,可得,

且当时,,当和时

由此对照各个选项,可得函数的图象只有A项符合

所以A选项是正确的

7. 已知函数有唯一零点，则

A: B: C: D:

答案详解C

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

由题知

，所以，

即为的对称轴，由题意知有唯一的零点，所以零点只能为，

即，解出。故本题正确答案为C。

考点3 导数与函数的极值、最值

8、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．

解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．

根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C

9、已知为函数的极小值点，则（）

A．B．C．4 D．2

答案D

解析对函数求导得，令，解得或，

因为是开口向上的抛物线，所以在上单调递增，在

上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极

小值点.故本题正确答案为

考点4 导数的综合应用

10、已知函数。（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围。

（1）因为。若，则，令

得，；令得，。

若，则恒成立；

若，则恒成立，令得，即，解得；

令得，。

综上所述，时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

；时，函数的单调递增区间为；时，函数

的单调递增区间为，单调递减区间为。

（2）由（1）可知，当时，函数的最小值为

，因为，所以，即

；

当时，恒成立；

当时，函数的最小值为

，因为，所以

，解得。

综上所述，的取值范围为。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）根据题意可求得函数的导函数，对的取值进行分段讨论，可得到函数的对应的单调区间；

（2）依题可知，函数恒成立即恒成立。结合（1）中的单

调区间可得到对应的最小值，令可得的取值范围

11、已知函数。

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若当时，，求的取值范围。

答案详解

解：（1）根据已知可得，所以当时，

，所以，又因为，所以所求直线

方程为，即。

（2）当时，，即恒成立，等价于

，因为，，所以

在上恒成立即可。对求导，得

设

，抛物线开口向上，横过定点，当时，

恒成立，所以在上单调递增满足题意；当时，或

，解得的零点为，，因为，

若，只需即可，即，解得，又，所以

此时。综上所述，的取值范围是。

解析:

本题主要考查导数的概念及几何意义，以及导数在研究函数中的应用。

（1）根据导数的几何意义，对求导，求得在处切线斜率，

在将代入，求得切点坐标，进而可求得切线方程；

（2）要求在上恒成立，只需，又，

所以只需在上恒成立，再对求导，得到，因为的

分子为二次函数，研究其开口和零点位置，确定使在上成立时的取值即可。

12、设a,,.已知函

数,

(Ⅰ)求的单调区间;

(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点处有相同的切

线, (i)求证: 在处的导数等于0;

若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.

答案(Ⅰ)解:由,可得

,

令,计算得出,或.由,得

当x变化时,,的变化情况如下表:

的单调递增区间为,,单调递减区间为

;

(Ⅱ)(i)证明:,根据题意知,

,计算得出

在处的导数等于0;

解:,

,由

,可得

又,

,

故

为

的极大值点,由(I)知

另一方面,因为,故

,

由(Ⅰ)知在内单调递增,在内单调递减,

故当

时,

在

上恒成立,从而

在

上恒成立.

由,得

,

令

,

,

,

令

,计算得出(舍去),或

,

,,故

的值域为

的取值范围是

高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试[1]

第三章《导数及其应用》单元测试题 一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A)x x f π4)(=' (B)x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D)x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B)[]8,2 (C)[]2,1 (D)[]2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ）2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294 e Ｂ．22e Ｃ．2 e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的

高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_1

高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版 选修1_1 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) 知识点二 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值． 知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． 2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一数形结合思想的应用 例1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________． 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪

个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点． 跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是________．类型二构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系是________． 反思与感悟本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数． 跟踪训练2 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．命题角度2 求解不等式 例 3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为________．反思与感悟根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围． 跟踪训练3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时，f(x)＋x·f′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式x·f(x)>0的解集为________． 命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x>1，证明不等式x－1>ln x.

第三章导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （） | A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（）

A．B． ， C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （） A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）！ A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（） A．B．

C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 , 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 。

选修1-1第三章导数及其应用A卷@停课不停学中学精品

旗开得胜 选修1-1第三章导数及其应用A 卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（共12小题；共60分） 1 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A 0()f x ' B 02()f x ' C 02()f x '- D 0 2 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 3 函数3 y x x 的递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 4 32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ） A 319 B 316 C 313 D 3 10 5 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）

A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 0 7. 已知 a 函数 ()312f x x x =-的极小值点，则 ()a = A. B. C. D. 8. 函数 3223125y x x x =--+在 []0,3上的最大值，最小值分别是 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 函数 ()()3e x f x x =-的单调递增区间是 A. B. C. D . 10. 与直线 240x y -+=平行的抛物线 2y x =的切线方程是 ． A. 230x y -+= B. 230x y --= C. 210x y -+= D. 210x y --=

数学第三章导数及其应用测试1新人教A版选修1 1

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题 1. 函数()323922yxxxx=---<<有（） A. 极大值5，极小值27? B. 极大值5，极小值11? C. 极大值5，无极小值 D. 极小值27?，无极大值 2. 若'0()3fx??，则000()(3)lim h fxhfxhh?????（） A. 3? B. 6? C. 9? D. 12? 3. 曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（） A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)和(1,4)?? D. (2,8)和(1,4)?? 4. ()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数，若()fx,()gx满足''()()fxgx?, 则 ()fx与()gx满足（） A. ()fx?()gx B. ()fx?()gx为常数函数 C. ()fx?()0gx? D. ()fx?()gx为常数函数 5. 函数xxy142??单调递增区间是（） A. ),0(?? B. )1,(?? C. ),21(?? D. ),1(?? 6. 函数xxyln?的最大值为（） A. 1?e B. e C. 2e D. 310 二、填空题 1. 函数2cosyxx??在区间[0,]2?上的最大值是. 2. 函数3()45fxxx???的图像在1x?处的切线在x轴上的截距为________________.

3. 函数32xxy??的单调增区间为，单调减区间为 ___________________. 4. 若32()(0)fxaxbxcxda?????在R增函数，则,,abc的关系式为是 . 5. 函数322(),fxxaxbxa????在1?x时有极值10，那么ba,的值分别为________. 三、解答题 1．已知曲线12??xy与31xy??在0xx?处的切线互相垂直，求0x的值. 2. 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？ 3. 已知cbxaxxf???24)(的图象经过点(0,1)，且在1x?处的切线方程是2yx??（1）求)(xfy?的解析式；（2）求)(xfy?的单调递增区间. 4. 平面向量13(3,1),(,)22ab???，若存在不同时为0的实数k和t，使 2(3),,xat bykatb??????且xy?，试确定函数()kft?的单调区间.

第三章导数及其应用

第三章 导数及其应用 考点1 导数的概念及计算 1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) A ．y ＝12x 3－1 2x 2－x B ．y ＝12x 3＋1 2x 2－3x C ．y ＝1 4 x 3－x D ．y ＝14x 3＋1 2 x 2－2x 1.解析 法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2，0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项， y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝3 2x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A. 法二 设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题设有?????f （0）＝0?d ＝0， f （2）＝0?8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′（0）＝－1?c ＝－1， f ′（2）＝3?12a ＋4b ＋c ＝3，解得a ＝12，b ＝－1 2，c ＝－1，d ＝0. 故该函数的解析式为y ＝12x 3－1 2x 2－x ，选A. 答案 A 2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝-x-1 e －x ，则曲线y ＝f (x ) 在

点(1，2)处的切线方程是________. 2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x， 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2， y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案y＝2x 3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 3.解析f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)， 解得a＝1. 答案1 4.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 4.解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1 x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切 线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 答案8 5.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝a ax ln，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 5.解析f′(x)＝x a ln＋ax·1x＝a(ln x＋1)，由f′(1)＝3得，a(ln 1＋1)＝3，解得a＝3.

第三章 导数及其应用

第三章 导数及其应用 第一节导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ?曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式

数学：第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修1-1)

导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、 导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式

选修1-1第三章-导数及其应用导学案

选修1-1第三章-导数及其应用导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

沈丘三高高二数学导学案 编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组 §3.1.1 变化率问题 【使用课时】：1课时 【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 72~ P 74，找出疑惑之处） 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4 )(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数() x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -，即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ?代替2x ，类似有=?)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 h t o

第三章 导数及其应用

第三章导数及其应用 考点1 导数与积分 1．（2018全国Ⅰ，5）设函数f(x)=x3+(a?1)x2+ax．若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0?， 0)处的切线方程为( ) A．y=?2x B．y=?x C．y=2x D．y=x 1.D 因为函数f(x)是奇函数，所以a?1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f′(x)=3x2+ 1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?f(0)=f′(0)x，化简可得y=x，故选D. 2.（2017?浙江,7）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A. B. C. D. 2. D 由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D. 3.（2017?新课标Ⅱ,11）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1 3. A 函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选A．4．（2018全国Ⅱ，13）曲线y=2ln(x+1)在点(0,?0)处的切线方程为__________． 4.y=2x∵y′=2 x+1∴k=2 0+1 =2∴y=2x

第三章导数及其应用含详细答案

第三章导数及其应用 刷速度 一、选择题 1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D． 答案 . 2. 已知′(1),则f′(0)等于( ) A. B C D 2e 解:由′(1),得:f′(x)′(1), 取得:f′(1)′(1),所以,f′(1) 故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B. 3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。

A: B: C: D: 答案详解B 解析:本题主要考查函数的单调性。 当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函 数小于零，即为减区间。故本题正确答案为B 。 4. 函数,的最大值为( ) A. B. 1 C. D. 答案详解C 解:令得或 当时,或;当 时, 当 时 ;当 时, ;当 时, 所以函数的最大值为所以C 选项是正确的 解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值. 5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( ) A. 3 B 2 C 1 D 答案详解A 解析:函数的定义域为 ，函数的导数为 ，由 ， 得 ，解得 或 （舍去），选A. 6. 函数 有极值的充要条件是

A、a≥1或a≤0 B、a>1或a<0 C、a≥1或a<0 D、00．即4a2-4a>0解得a>1或a<0，故选B． 7. 若在上是减函数，则的取值范围是（）。 A: B: C: D: 答案详解D 解析:本题主要考查导数的应用。 由题意可知，在上恒成立，即在 上恒成立，令，因为，所以 。要使，即需要小于等于其最小值，所以。 8.

高中数学人教版选修1-1(文科)第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数A卷

高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数A 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2016高二下·会宁期中) 已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c）则ad等于（） A . 2 B . 1 C . ﹣1 D . ﹣2 2. （2分）(2019·长春模拟) 已知函数有且只有一个极值点，则实数构成的集合是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f（x）=ax3-3x2+1 ，若 f（x）存在唯一的零点 x0 ，且x0 ＞0 ，则 a 的取值范围是（） A . （2，+∞） B . （1，+∞） C . （-∞，-2）

D . （-∞，-1） 4. （2分）(2017·江西模拟) 若函数f（x）=[x3+3x2+（a+6）x+6﹣a]e﹣x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（） A . （﹣∞，﹣32） B . （﹣∞，﹣27） C . （﹣32，﹣27） D . （﹣32，﹣27] 5. （2分） (2017高三上·唐山期末) 已知函数，则使得成立的的取值范围是（） A . B . C . D . 6. （2分）若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为（） A . B . C . ∪ D . ∪

7. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 若函数在处取得极值，则（） A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 8. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 设a，b∈R且a＜b，若a3eb=b3ea ，则下列结论中一定正确的个数是（） ①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b． A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分）(2016·江苏模拟) 已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是________． 10. （1分） (2019高三上·长春月考) 已知函数有两个不同的极值点 ,且不等式 恒成立,则的取值范围是________． 11. （1分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围________ 三、解答题 (共3题；共25分) 12. （5分）已知函数f（x）=+ax，x＞1． （Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

第三章导数及其应用(教案)

如何培养学生良好的行为习惯 我国著名教育家陶行知先生说：“播种行为，就收获习惯；播种习惯，就收获性格；播种性格，就收获命运。”这一育人哲理道出了培养行为习惯的重要性。叶圣陶先生十分重视少年儿童良好行为习惯的培养。他认为，“我们在学校里受教育，目的在养成习惯，增强能力。我们离开了学校，仍然要从多方面受教育，并且要自我教育，其目的还是在养成习惯，增强能力。”习惯越自然越好，能力越增强越好。良好的行为习惯是促进一个人健康成长的重要条件，是健全人格形成的基础。习惯有好坏之分，好习惯终身受其益，坏习惯终身受其累”。生活中有两种习惯养成不得，一种是不养成习惯的习惯，另一种是妨害他人的习惯（所谓不养成习惯的习惯就是指一个人做事没有强制与警觉，今天东，明天西，今儿这样，明儿又那样，这就可能什么习惯也养不成。久而久之，就成为一种不养成习惯的习惯）”。陶行知先生在改造中国教育的实践中提出了“生活教育理论”。他非常重视在做中学，主张在做中养成习惯，即实践中养成习惯。“生活即教育”。到处是生活，即到处是教育。整个社会是生活的场所，亦即教育之场所。教育无处不在。作为教育工作者，我们应该充分挖掘各自现有教育资源，结合各种教学活动，把“做人、做事、学习”的正确习惯的培养融入平常的教学活动中。持之以恒，自然成习惯。班主任是学生接触最多的老师，也是给学生影响最大的人，培养学生形成好的行为习惯对于班主任来说至关重要。那么作为班主任应该怎样培

养学生地习惯呢？下面我谈谈自己的观点： 一、教师要正确面对学生存在的不良习惯 先贤哲人孔子曾说：“少成若天性，习惯如自然。”充分说明人在自然状态下，不假思索，不必费什么心思，更不用意志去控制而形成的某种行为，就是一种习惯。所谓习惯也可以理解成人的一种自动化的行为，坏习惯也是一种自动化行为。作为教育者要认识到每个学生都追求上进，都希望获得别人（尤其是老师）的肯定和赞扬，他们不想犯错更不想故意与老师作对，他们之所以犯错是因为他们已有的习惯。这样，作为教师在教育学生的过程中就会减少一些情绪化的语言和手段，多一些理智的思考。既有利于对学生的教育，又有利于教师的心理健康。因为当教师在面对学生坏习惯的时候首先表现出的不能是生气和发脾气，当你用理解，用爱心去面对时问题就会变的简单化，处理起来也会更顺畅一些。所以用平和的心态，正确的面对学生的不良习惯是关健。作为班主任经常会遇到学生各种各样的突发事件，他们出现的一些坏习惯坏行为的确让人头痛，那么一定要先让自己心平气和，通过思考冷静的去处理。这样的效果肯定比发怒更管用。我们班有一位男生，进校时行为习惯特别差，经常给我带来麻烦事，起初我也很生气，认为他是朽木一个，总是以责备为主，但后来冷静思考后觉的自己处理的不好，因为责骂的效果并不好。于是我改变了方法，当他犯错时自己先保持平和心态然后让他讲原因，和他讲道理并且从学生角度想问题，处理问题。慢慢的他有了一些变化，虽然还是会有一些小毛病但己经有了很大进步，这学期当了校卫生督察后经

选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案

第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平 均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1 格 2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时，-=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=?t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=?t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度；

2013年高考复习讲义第三章导数及导数的应用

2013年高考复习讲义第三章导数及导数的应用 3.1导数的概念和运算 一、考点梳理 1、导数的有关概念： 1）导数： 2）导函数： 3）导数的几何意义： 4）导数的物理意义： 2、导数的运算： 1）基本初等函数的导数公式： ； 2）导数的运算法则：多项式的导数： ； 乘积的导数： ； 除商的导数： ； 复合函数的导数： ； 二、边做、边想、边总结 题型一：导数的运算： 例1、设函数()f x 在2x =处可导，且()/ 21f =，则()() 222lim h f h f h h →+--= ； 方法小结： 变式练习：1、已知()/ 02f x =，则()() 000 2lim h f x h f x h →--= ； 2、已知()/ f a b =，则()() 32lim h f a h f a h h →+--= ；()( ) () 2 lim x f a x f a x →+-= 3、已知函数()ln 1.f x x =+则 ()() 121lim x f x f x →--= 4、已知f （3）＝3，（3）＝－2，则：的值为 . 例2、求下列函数的导数 1、 利用定义求y = 2x =处的导数

方法小结： 变式练习：利用定义求4 y x =的导数 2、 求下列函数的导数 1、2311y x x x x ??=+ + ?? ?，2、sin cos 22x x y x =-，3、ln y x x =，4、sin 23y x π? ?=+ ?? ?， 5、()3 sin y ax b x =-，6、21x y e =+，7、()1ln 1x y x x a -=+++，8、()ln ln 2y x x ax =+-+ 9、) 11y ?= ?? ，10，y =11、2 x e y x ax a =++，12、()1ln 11x y ax x -=+++ 13、y ＝x (1＋|x |)．14、y ＝x 2e x ；15、y ＝e x ＋1 e x －1 ； 方法小结： 题型二：函数基本性质与导数的运算相关题型： 1、 等比数列{}n a 中184,2,a a ==函数()()()()128,f x x x a x a x a =--- 则()/ 0f = 2、 已知二次函数()2 f x ax bx c =++导数为()/ f x ，()/00f >对于任意数x 都有()0f x ≥，则 () () / 10f f 的最小值为 3、 ()f x 定义在R 上的可导函数，且满足()()/ 0xf x f x +<，对于任意,a b ，若a b <则必有（ ） A 、()()af b bf a > B 、()()bf a af b > C 、()()af a bf b > D 、()()bf b af a > 4、已知函数()/ cos sin 4f x f x x π?? =+ ??? ，则4f π?? ??? = 5、已知函数()()2/ 21,f x x xf =+则()/0f = 6、()f x 定义在()2,2-上的可导函数，且()/ 22cos f x x x =+，且()00f =，则满足 ()()210f x f x x ++->的实数x 的取值范围 7、函数()32 1122132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围 8、已知函数定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()() /2 0xf x f x x -<成立，则不等式

选修11第三章导数及其应用教案

第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）及起跳后的时间t（单位：s）存在关系()10 =t t t h， - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多

少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时， -=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049；

第三章 中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用 一、基本要求 （1）深刻理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，会利用微分中值定理做一些证明题。 （2）熟练掌握洛必达法则。 （3）掌握函数单调性的判别法。 （4）理解函数极值的概念，并掌握其求法。 （5）理解函数最值得概念，并掌握其求法，能解决较简单的最值应用问题。 （6）理解曲线凹凸性和拐点的概念，会判断曲线的凹凸性，会求拐点。 （7）能描绘函数的图形（包括渐近线）。 （8）知道弧微分概念，并会求弧微分。 （9）了解曲率、曲率半径的概念。 二、重点与难点 重点：微分中值定理的应用；洛必达法则；函数最值及其求法。 难点：微分中值定理的应用；泰勒公式。 三、释疑解难 问题3.1 罗尔定理中“函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 可导”这两个条件，是否可以合并成“函数()f x 在闭区间[,]a b 可导”这一条件，这样不是更简便吗？ 答 ()f x “在[,]a b 可导”不仅包含了()f x “在[,]a b 连续，在(,)a b 可导”，而且包含了 ()f a +'与()f b -' 都存在。这样，条件增强了，必然引起罗尔定理适用范围的缩小。例如， ()f x =满足“在[1,1]-连续，在(1,1)-可导”，(1)(1)0f f -==，于是，存在 (1,1)ξ∈- ，使得()0f ξ ξ='===，可以看出，0(1,1)ξ=∈-，但 是，()f x =1x =±不可导，不满足“在[1,1]-可导”。 在进行数学研究时，应力求将命题的条件减弱，以扩大其适用范围。 问题3.2 罗尔定理的结论为存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=，那么，ξ是否一定是()f x 的极值点？ 答 罗尔定理中的ξ在(,)a b 可以有多个，其中有的ξ可以是()f x 的极值点，有的ξ可 以不是()f x 的极值点。例如，3 ()(53)4 x f x x =-，在[1,2]-满足罗尔定理的条件。令23()(54)04f x x x '= -=，得()0F ξ'''=。10ξ=不是()f x 的极值点，25 4 ξ=是()f x 的极大值点。

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章) 时间：90分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(1 2)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(1 2)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B 2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x D ．y ′＝cos 2x ＋cos x 解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x . 答案：C 3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(1，＋∞) 解析：f ′(x )＝3－3x 2>0?x ∈(－1,1)．

答案：C 4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6 解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ， 所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14. 答案：A 5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π 2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π 2)＝1， ∴k ＝－a 2＝－1，a ＝2. 答案：D 6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8 解析：