高中数学讲义微专题27 三角函数的值域
微专题27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解:详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节,本节只列出所需用到的三角公式 (1)降幂公式:2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = (2)2sin cos sin2ααα= (3)两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (4)合角公式:()22sin cos a b a b ααα?+=++,其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型: (1)形如()sin y A x ω?=+的值域:使用换元法,设t x ω?=+,根据x 的范围确定t 的范围,然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值,进而得到值域 例:求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解:设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时,32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? (2)形如()sin y f x =的形式,即()y f t =与sin t x =的复合函数:通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的 函数,再求出值域即可 例:求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解:()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
三角函数最值与值域专题
三角函数最值与值域专题 三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。 类型一:利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。 例1:求函数x x y sin 21sin --= 的值域。 解:由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+,知1y ≠-,则有21sin 1y x y +=+,21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +?≤?+≤++203 y ?-≤≤,则此函数的值域是2[,0]3 y ∈- 例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1,最小值是7-,求a,b 练习:1,求函数1cos 3cos x y x -=+的值域 3][1-∞-∞(,,+) 2,函数x y sin =的定义域为[a ,b],值域为]2 1,1[-,则b-a 的最大值和最小值之和为b A .34π B .π2 C .38π D .π4 类型二:x b x a y cos sin += 型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ?=+=+求其最值(或值域)。 例1:求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π =+∈的最值。 解:343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55 (,),(3,5] 2y x x x x y ???π ???=+=+==+∈+∈ 2,求函数)3sin()6sin(ππ++- =x x y (R x ∈)的最值。 解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(π ππππ+=+-=-+-=x x x x y ,∴函数的最大值为2,最小值为2-。 练习:1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是: ( c ) A 、215B 、216C 、7 D 、8 2,已知函数x x f 2sin )(=,)62cos()(π+=x x g ,直线x =t (t ∈?? ????2,0π)与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点,则|MN |的最 类型三:)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。 例1:求函数1sin 3cos 2++=x x y (R x ∈)的最值 解:49)23(sin 1sin 3sin 122+- -=++-=x x x y ∴函数的最大值为4 9,最小值为4325- 例2:求函数1sin 3cos 2++=x a x y (R a ∈,R x ∈)的最大值。 解:1sin 3cos 2 ++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得: ①当123>a ,即332>a 时,在sinx=1,13max +=a y
三角函数值域的求法(教案)
三角函数值域的求法 第二课时 【教学目标】 1.会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域; 2.运用转化思想,通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3.通过对最值问题的探索与解决,提高运算能力,增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域 【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 知识回顾 求下列函数的值域 1 2 3 问题:求函数的值域 例1 ? 方法1(利用函数的有界性) sin cos y x x = +22cos cos y x x x =+22[,] x ππ ∈-[0,] x π ∈2sin 2cos sin cos 22y )22sin()sin()11 y x y x x y x x y x x ψψψ-= --=-+=-+= +≤≤≤≤?? 解:可化为 又2-sin 2+sin x x y = 2-sin 2+cos x x y =
方法2(运用模型、数形结合) 2 求下列函数的值域 2413830k 334433k k +≤-+≤≤≤ ?+??? 解析:函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为:y-2=k(x-2)即:kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即:即解得:故所求函数的值域为: ,22 222:cos sin 3 cos sin sin sin 115(sin )24 3 sin x 5y 45 ,] 44y x x x y x x y x x x x π π =+≤ =+=-++=--+ ≤ ∴≤≤≤≤ 例且解:可化为 又 故原函数的值域为[222sin 2cos y=1cos 1-cos x 0 cos x 1sin 2cos 1cos 2sin cos = 1cos 2cos (1cos )1cos 2cos (1 cos ) 11 2(cos ) 22 -1cos x<1 1 4 2 1 ,4] 2 x x x x x x x x x x x x x x x y -≠∴≠- --= -=+=+- ≤∴-≤≤-例3:解:又 又 故原函数的值域为[2 222sin cos =) 4 sin cos =1+2sin x cos x=t 1sin cos 2 1()(2 1 (1) 12 21x x t x t x x t t x x t f t t t t t y π ++≤≤+-=-=+≤=+--≤≤∴-≤≤例4: y=sinx+cosx+sinxcosx 解:设即 又可化为即原函数可化为 又 12 1 ] 2 原函数的值域为
例谈三角函数值域(最值)的几种求法
例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域(最值)的问题是各级各类考试考察的热点之一,这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想,采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法,不仅能加强知识的纵横联系,巩固基础知识和基本技能,还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化,利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域: (1)1sin cos y x x =+ (2)cos 3 cos 3 x y x -= + (3)2 2 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ (4)3sin()4cos()44 y x x π π =+ ++解析: (1)根据11sin cos sin 222x x x ≤ ≤可知:13 22 y ≤≤ (2)将原函数的解析式化为:3(1)cos 1y x y += -,由cos 1x ≤可得:1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为:2 1sin 22cos 2sin 2cos 22)4 y x x x x x π =++=++=++ 可得: 22y ≤≤+ (4)根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得:55y -≤≤ 二、单调性开路,定义回归 例2、求下列函数的值域: (1)y = (2)y = (3)2cos ,63y x x x ππ?? ??=+∈ ?? ????? (4)y 1sin 02x ≤≤≤解析:(1)由-1知: 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤(2)由- 有()125sin()663366 x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤(3)y=2由知:由正弦函数的单调性:1y 2 [](4)0,2y == 三、抓住结构特征,巧用均值不等式
三角函数值域求解归纳
三角函数最值问题的几种常见类型 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,近几年的高考题中经常出现。 其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题;或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一;或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程)。题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳,主要有以下几种类型。掌握这几种类型后,几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1.y=asinx+bcosx 型的函数 特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转 化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可:φ),其中tan b a φ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )-3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值; (3)若当x ∈[ 12 π,127π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f -- 1(1)的值. 解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π )-3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π )-3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π ) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π-2 π,即x =k π-125π (k ∈Z )时,f (x )取得最小值-2. (3)令2sin(2x +3 π )=1,又x ∈[27,2ππ], ∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3π=65π,则 x =4π,故f -- 1(1)= 4 π. 2.y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。 特点是含有sinx, cosx 的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解。 例2.求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值,并求出y 取最小值时的x 的集合。
高中数学必修4 三角函数的图像与性质
三角函数的图像和性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0),)1,2 (π ,(π,0),) 1,23( -π,(2π,0). (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),)0,2(π,(π,-1),)0,23(π ,(2π,1). 2.三角函数的图象和性质
(1)周期性 函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为2π |ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx,而偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; (2)形式复杂的函数应化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
双基自测 1.函数)3cos(π +=x y ,x ∈R ( ). A .是奇函数 B .是偶函数 C .既不是奇函数也不是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 2.函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( ). A . } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B .},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C .},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D .},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3.)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( ). A .(-π,0) B .)0,4 3(π- C .)0,2 3( π D .)0,2 (π 4.函数f (x )=cos )6 2(π + x 的最小正周期为________. 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期: (1)) 2 3 sin( x y π π - =;(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
三角函数之值域问题
海豚教育个性化简案 学生姓名:年级:科目: 授课日期:月日上课时间:时分------ 时分合计:小时 教学目标1.……掌握三角函数的的一般形式的应用 2.……掌握三角函数的值域的求法 3.……理解换元法和几何法的应用 重难点导航1.……三角函数的图像应用 2.……三角函数的值域求法1.……换元法和几何法 教学简案: 1、教学流程 知识回顾 例题讲解 随堂练习 课后作业 2、作业布置 3、教学反馈 授课教师评价:今日学生课堂表现符合共项(大写)审核人签字(姓名、日期) □准时上课:无迟到和早退现象 □今天所学知识点全部掌握:教师任意抽查一知识点,学生能完全掌握□上课态度认真:上课期间认真听讲,无任何不配合老师的情况 □海豚作业完成达标:全部按时按量完成所布置的作业,无少做漏做现象课前: 课后: 学生签字: 教师签字:胡洪光 备注:请交至行政前台处登记、存档保留,隔日无效(可另附教案内页)大写:壹贰叁肆签章:
(2011杭九中高一期末) 1、设()?? ? ??≤≤-- +-=20214sin cos 2 πx a x a x x f ,用a 表示f(x)的最大值M(a). 2、求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值并指出当x 为何值时,取得最大值。 (2008?重庆)函数f (x )=sin 54cos x x +(0≤x ≤2π)的值域是 。 (2006?辽宁)已知函数f (x )=sinx+cosx-|sinx-cosx|,则f (x )的值域是 。 (2011四川)求下列各式的最值:(1)已知(0,)x π∈,求函数23sin 13sin y θ θ =+的最大值; (2)已知(0,)x π∈,求函数2 sin sin y x x =+的最小值.
千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第27炼-三角函数的值域-Word版含解析
第27炼 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解:详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节,本节只列出所需用到的三角公式 (1)降幂公式:2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = (2)2sin cos sin2ααα= (3)两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (4)合角公式:()22sin cos a b a b ααα?+=++,其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型: (1)形如()sin y A x ω?=+的值域:使用换元法,设t x ω?=+,根据x 的范围确定t 的范围,然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值,进而得到值域 例:求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解:设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时,32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? (2)形如()sin y f x =的形式,即()y f t =与sin t x =的复合函数:通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的 函数,再求出值域即可 例:求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解:()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
三角函数值域的求法
例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域(最值)的问题是各级各类考试考察的热点之一,这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想,采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法,不仅能加强知识的纵横联系,巩固基础知识和基本技能,还能提高数学思维能力和运算能力。 一、 合理转化,利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域: (1)1sin cos y x x =+ (2)cos 3 cos 3 x y x -= + (3)22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ (4)3sin()4cos() 44 y x x π π =+++解析:(1)根据11sin cos sin 222x x x ≤ ≤可知:13 22 y ≤≤ (2)将原函数的解析式化为:3(1) cos 1y x y += -,由cos 1x ≤可 1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为:2 1sin 22cos 2sin 2cos 22)4 y x x x x x π =++=++=++ 可得: 22y ≤ (4)根据sin cos )a x b x x φ?++∈?可得:55y -≤≤ 二、单调性开路,定义回归 例2、求下列函数的值域: (1)y = (2)y (3)2cos ,63y x x x ππ?? ??=∈ ?? ????? (4)y = 1sin 02x ≤≤≤≤ 解析:(1)由-1知: 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤(2)由- 有()125sin()663366x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤(3)y=2由知:由正弦函数的单调性:1y 2 [](4)0,2y ==