与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题

圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。

1 ?定义法

2

与 i 的左右焦点分别为 F i 、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意

b 2 一点，则丨MP| + | MF 丨的最大值为 2a+ | PF i |，最小值为2a -| PF i 丨。

例2： 2 2

P(-2,6),F 2为椭圆x

y

i 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求|

MP | + | MF |的最大值和

25 i6

最小值。

分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 i 。

解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | MF |连接PF i 并延长交椭圆于点 M i,则M 在M i 处时| MP | - | MF |取最大值| PF i |。二| MP | + | MF |最大值是i0+ , 37，最小值是,4i 。

2 2

结论2:设椭圆 笃 每 i 的左右焦点分别为F i 、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a 2 b 2

则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF i |，最小值为 PF 2。

2. 二次函数法

2 2

例3?求定点A(a,0)到椭圆 务 ￡

i 上的点之间的最短距离。

a b

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|

PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。

1

i

解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+i-

x 2= (x 2a)2+i-a 2

由椭圆方 2 2

2

例 i 。P(-2, .. 3 ),F 2为椭圆—

25 2

y i6

i 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求| MP| + | MF |的最大值

和最小值。

分析：欲求| MP| + | MF |的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F i 为椭圆的左焦点。

解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PF i 延长 PF i 交椭圆于点M i ,延长F i P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |

| MP| - | MF |

2a=i0, | PF i | =2所以(| | PF i |当且仅当M 与M i 重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为

MP| + | MF |) ma>=i2,

(| MP I + | MF | ) min =8

2

x

结论i ：设椭圆 -

2 a

M i

M 2

2 2

3：椭圆1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式 a 2 b 2

I ，通过动点在椭圆上消去 y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3. 三角函数法

1上的点M(x,y)到直线I : x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。

的参数方程，即三角换元。

2 2

结论4:若椭圆务与 1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时

，可通过椭圆的参数方程,

a b

统一变量转化为三角函数求最值。

4. 判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。 解。令直线 m ： x+2y+c=0将x = - 2y - c 代入椭圆方程整理得

8y 2+4cy+c 2-4=0，由△ =0解得c=± 2^2 , c=-

2 2时直线m ： x+2y- 2. 2 =0与椭圆切于点P 则P 至憤线I 的距离为最小值，且最小值就是两平行

_4.5 2. 10

d mi n=—

5

c=2 ??一 2时直线m ： x+2y+2. 2 =0与椭圆切于点Q ,则Q 到直线I 的距离为最大值，且最大值就是两平行

程知x 的取值范围是卜、.2,、_2 ]

(1)

若 I a |w —,则 x=2a 时 I PA I min =』1

a 2

2 (2)

J 2

若 a> ,则 X=「J 2 时 I PA I min = I

2

a -

2 I

(3)

若 a<-

2

2

-H-*

,则 | PA | min = | 日+ 2 I

结论

2 x 例4:椭圆冷

4

分析：若按例3那样 d= x 2y 4

转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆

解：d=

x 2y

4 x5

x 2

x ???令

y 2cos sin

d=

2 cos 2sin 4

2

=5 、2 sin(

7)

当 sin (

-)=1 时,dm/5

2 10

4

当 sin (

斗 4 75 2怖

时,d max =—

直线m 与l 的距离，所以

直线m与I的距离，所以d max= 4—一2 10。

5

结论5:椭圆上的点到定直线I距离的最值问题，可转化为与I平行的直线m与椭圆相切的问题，利用判别式求岀直线m方程，再利用平行线间的距离公式求岀最值。

说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。

高中数学椭圆中的常见最值问题

椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3） 例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点， 21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤ 当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动 点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则

与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1 ?定义法 2 2 例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值 25 16 和最小值。 分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。 解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10, | PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | ) min =8 2 2 X y 结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 a b 一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。 2 2 例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L 25 16 M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。 MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41 2 2 x y 结论2:设椭圆一2 - =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a b 则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。 2. 二次函数法 2 2 例3?求定点A(a,0)到椭圆务'￡ =1上的点之间的最短距离。 a b 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示| PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。 1 1 解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1- x 2 = (x_ 2a)2+1d 由椭圆方 =1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和 最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | M 1 M 2

(完整word)椭圆问题总结,推荐文档

椭圆问题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?=u u u r u u u r ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ=u u u r u u u r ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 椭圆中的取值范围问题 一、常见基本题型： 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解. （1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. (3)利用基本不等式求参数的取值范围 椭圆中的最值问题 一、常见基本题型： （1）利用基本不等式求最值， （2）利用函数求最值， 破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，

2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1

专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B . 5 C . 2 D . 172 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . 42 B . 62 C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ 822262==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值2故答案选B

3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B 2 C . 3 2 D 3【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为285b -=，所以2 3b =，即3b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定

破解椭圆中最值问题的常见策略(新)

破解椭圆中最值问题的常见策略 第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程 例1：若B A ,为椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0 120=∠AQB ，求此椭圆 离心率的最小值。 分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。 ：b y 故点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。 第二类：求点点（点线）的最值问题 破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法） 例3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1）略（2）直线AP 的方程是x －3y +6=0。 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是 2 6+m 。 于是 2 6+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2。 设椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+,由于－6≤m ≤6, ∴当x =2 9 时,d 取得最小值15 破解策略之四：利用椭圆定义合理转化 例4：定长为d d b a ≥?? ???22 的线段AB 的两个端点分别在椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。 解：设F 为椭圆的右焦点，如图作AA l '⊥于A'，BB'⊥l 于B'，MM'⊥l 于M'，则 ()e d e AB BF AF e e BF e AF BB AA MM 2221 212 ||/// = ≥ +=???? ??+= += 当且仅当AB 过焦点F 时等号成立。故M 到椭圆右准线的最短距离为 d e 2。 点评：22b a 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，d b a ≥22 是AB 过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种 烦琐的运算过程。 第五类：求线段之和（或积）的最值问题 破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。 例7：若椭圆 13 4 22=+ y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的 坐标为 A ．26(,1)3 ± B ．26( ,1)3 C ．3(1,)± D ．3(1,) 提示：联系到1 2 e = 将||2MF 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。选B 。思考：将题中的2去掉会怎样呢？ 破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例8：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆13 122 2=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何

椭圆的常见题型及解法一

椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （ ， ）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴ ， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 11 PF e d ，又 ，所以，而 。 ∴ ， 。

2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y + =的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则1020332,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P Q 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知可得 ，所以直线AB 的方程为 ，代入椭圆方程得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为 直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。

押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)

【押题背景】 取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围. 【押题典例】 典例1 已知椭圆C： 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2 2 9 2 y ? += ?? 过点F2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值． 【答案】（1） 22 1 84 x y +=；（2）． 【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0）， 又因为 2 1 2 OE F P =，所以P点坐标为(2，所以12 2a PF PF =+= 则a=b＝2，因此椭圆的方程为 22 1 84 x y +=； （2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为() 42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0， 所以x P x A 2 2 84 12 k k -- = + ，所以x A 2 2 42 12 k k -- = + ， 直线l2的方程为y 1 k =-（x﹣3），所以点D坐标为 1 4 k ?? ? ?? ， 押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题

破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问题的常见策略

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破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查，其中以解答题为重,在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。 第一类:求离心率的最值问题 破解策略之一:建立c b a ,,的不等式或方程 例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB , 求此椭圆离心率的最小值。 分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。 解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a x y k a x y k BQ AQ -= += ,, 利用到角公式及0 120=∠AQB 得：0120tan 1=-++ -- +a x y a x y a x y a x y （a x ±≠）， 又点A 在椭圆上,故2222 2y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2 232 则4 2 2 2 3)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432 4≥-+e e 解得 13 6 <≤e 。 故椭圆离心率的最小值为3 6 。（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤,由21()b e a =-, 故 13 6 <≤e ）(注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成 c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。 破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围 例2：已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使 12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。

高中数学与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。

椭圆中四边形面积最值问题一例刘向阳

椭圆中四边形面积最值问题一例 -------教学设计 扬中市第二高级中学刘向阳 一、引入问题背景： 生活中我们经常要研究最优解的问题。在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用. 二、教学内容分析： 解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破. 几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题. 三、学生学习情况分析： 椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力. 在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。 由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。

知识总结椭圆最值问题

专 题:椭 圆 最 值 类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题） 1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。 {2 2} 2. 21F F 、为椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，如果椭圆上存在点P ，使?=∠9021PF F 求离心率e 的取值范围。 （思考：将角度改成150） {??? ????122，} 3. 若B A ,为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。 {13 6<≤e } 类型2：一动点两定点最值 ①||1||MF e MP +：最小值为M 到对应准线的距离-----运用第二定义，转点距到线距突破 ②︱MP ︱+︱MF 2︱：最大值2a+︱PF 1︱,最小值2a –︱PF 1︱---运用第一定义，变加为减突破 1. 若椭圆1342 2 =+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小， 则点M 的坐标为 （思考：将题中的2去掉会怎样呢？） 26 ( ,1)3 2. 已知112 16,)3,2(2 2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。 3 点M 为椭圆1162522=+y x 的上一点，1F 、2F 为左右焦点；且)2,1(A 求||3 5||1MF MA +的最小值 （提升：||||||||1||''1AM MM MA MF e MA =+=+ 第二定义） 4. 定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22 : 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上，则13||5||PA PF +的最小值 5. P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最值 （提示：||2||||2|||||PF |2a-1121PF a MF MP a MF MP +≤-+=+≤ ( 第一定义法 ） 最大值12，最小值8 6. P(-2,6),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上，求︱MP ︱+︱MF 2︱最值。 最大值10+37，最小值61 7.是双曲线 ＝1的左、右焦点，M （6，6）为双曲线内部的一点，P 为双曲线右支上的一点，求：（1） 的最小值；（2）的最小值。 （1）8（2）11/2

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转

椭圆中的最值问题

椭圆中的最值问题 邢志平 本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向 画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。 例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。 解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。 因为， 所以。 由椭圆第二定义，知， 即， 所以， 这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。 过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。

例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆 上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。 解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知， 圆心恰好为椭圆的两个焦点。 在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|， 所以， 即。 当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时， ， 所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。 在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向 先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。

例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。 解在椭圆上取一点P（x，y），。 当P点在短轴顶点时，|y|最大为b， 所以。 又， 所以。 先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。 例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。 分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。 解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为

椭圆的最值问题

关于椭圆的最值问题 1．定义法 例1。P(-2, 3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆116252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2=(x-a)2+y 2 =(x-a)2+1-x 212=2)2(21a x -+1-a 2由椭圆方程知x 的取值范围是[-2,2] （1） 若︱a ︱≤22,则x=2a 时︱P A ︱min =21a -

椭圆最值问题常考题型分析

椭圆最值问题常考题型分析 在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系. ◆典例剖析 例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小 值。 解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+ a 2-︱MF 1︱， 连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。 ∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。 例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。 解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。 ︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1， 则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。 ∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 ◆针对训练 练1、已知1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，点)1,1(A ，则1PF PA +的最小值是 练2、椭圆 13 422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于A ，B 两点，求FAB ?周长的最大值.

椭圆中最值问题习题2013.08.04

椭圆中最值问题 1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两 点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程 （2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ?的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>， 由交点的坐标得：1c =，---------------（1分） 由||3PQ =，可得2 23b a =----------------（2分） 解得23a b ==，---------------（3分） 故椭圆的方程是22 143 x y +=-----------（4分） （2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ?的内切圆半径是R ，则1F MN ?的周长是48a =， 1111 ()42 F MN S MN F M F N R R ?=++=， 因此1F MN S ?最大，R 就最大-----------------------（6分） 11212121 ()2 F MN S F F y y y y ?= -=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+， 由22114 3x my x y =+???+=??得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分） 解得221222361361 3434 m m m m y y m m -++-++==++， 则212122 1121()234 AMN m S AB y y y y m ?+=-=-=+-----------------（9分）

与椭圆有关的最值问题的例析

与椭圆有关的最值问题的例析 例：设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 3 ，过点(1,0)C -的直线交 椭圆E 于两点A 、B ，满足2CA BC = 。求当A O B ?面积达到最大值时直线l 和椭圆E 的方 程。 解：3 e = 得2223 b a = ，又直线过点(1,0)C -，设椭圆方程为22 23(0),x y t t +=>直 线方程为1my x =+。 由2223,1, x y t my x ?+=?=+?得22(23)420.m y m y t +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122 2 42,.2323m t y y y y m m -+==++ 2CA BC = ，122.y y ∴=-则122284,.23 23 m m y y m m -= = ++ 122 166 32 23 2 2AO B m S y y m m m ?∴=-== ≤ ++ 当且仅当32m m = ，即2 m =± 时，A O B ?面积取得最大值，此时直线l 的方程为 102 x y + +=或10.2 x y -+= 由2 32 m = 代入122 223 t y y m -= +得10t =，∴椭圆方程为22 2310.x y += 例：已知椭圆22 2 1(1)x y a a +=>，直线l 过点(,0)A a -，(,)(0)B a ta t >交椭圆于M ，直线 O M 交椭圆于N 。 （1）用,a t 表示A M N ?的面积.S （2）若[]1,2t ∈，a 为定值，求S 的最大值。 解：（1）设直线l 的方程为(),2 t y x a = +代入 222 1x y a +=得222 (4)40a t y aty +-=，解得 0y =或22 4.4 at y a t =+

椭圆问题中最值得关注地基本题型

椭圆问题中最值得关注的基本题型 ［题型分析?高考展望］椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，井且占的分值也较多?分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的学握?对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解. 常考题型精析 题型一利用椭圆的几何性质解题 例1如图，焦点在x轴上的椭圆乎+豊=1的离心率吗，F、力分别是椭圆 的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求諾?斎的最大值和最小值. 点评熟练学握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用&、b. c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程. x2 v2 变式训练1 (2014 ?课标全国I )已知点力(0, -2),椭圆￡：臣(日">0)的离心率为半，F是椭圆F的右焦点，直线SF的斜率为罟，0为坐标原点. (1)求F的方程； (2)设过点力的动直线/与F相交于只0两点，当△0%的面积最大时，求/的方程.

题型二直线与椭圆相交问题 例2 (2015 -山东)在平面直角坐标系"如中，已知椭圆。臣+口=1(曰>6>°)的离心率左、右焦点分别是斤，怠以斤为圆心、以3为半径的圆与以尺为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； x 2 2 ⑵设椭圆F：爲+話=1, P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆F于儿 8两点，射线〃交椭圆F于点0. (i )求器的值； (ii)求面积的最大值. 点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决?求范围或最值问题，也可考虑求“交点"，由'‘交点”在椭圆内（外），得出不等式，解不等式.