第四节输运方程
第四节 系统 控制体 输运公式
一、系统
系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。
系统的特点：
1、从流体中取出的一定质量的流体；
2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）
0d d t
m
； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。
二、控制体
控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。
控制体的特点：
1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。
3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、输运方程（雷诺输运定理）
引言：为什么需要雷诺输运定理？
看下图
如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？
根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。
系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。
为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。
绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，
等于系统的动量变化率；再用控制体的动量变化率表示系统的变化率，就完成了板受到的力等于控制体动量变化率的转化；从而，通过计算控制体的动量变化率，求得板受到的力。
另外，还有机械能守恒的问题。机械能守恒也是指的“质量不变的确定物体”的系统的机械能守恒，不是“内含不断变化的新物体” 的控制体的机械能守恒；因此，用控制体的方法研究机械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷诺输运定理。
总而言之，将“适用于系统的牛顿力学基本方程”转化成“适用于空间体积的力学方程”，这就是雷诺输运定理的用途。
下面看看什么是传说中的雷诺输运定理
设N 为t 瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η（--读Eta,伊塔）表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线）II 在t 瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II 。在这里用v 代表体积，V 代表速度。
t+δt 瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III ＋II ’（系统用虚线表示，系统的形状、大小都发生了变化，大小发生变化，意味着流体的密度发生了变化，也就是流体是可压缩流体），则δt 时间间隔内，系统内某
I I I Ⅱ ’
I
种物理量的增量为：
II III II (d d )(d )t t t t t t
N N N v v v δδηρηρηρ'++=-=+-???△式 II d v ηρ'?中的v d 为空间II’中的任意某一微元体积，乘以这一微元体积对应的密度ρ（这里允许II’内各处的密度ρ不相同，也就是允许流体是可压缩的），得出某一微元的质量，再乘以η得出任意某一微元具有的某种物理量，再在整个II’空间
积分，得到II ’空间内具有某种物理量；注意II ’空间内具有某种物理量是在t t δ+时刻具有的物理量，在其它时刻具有的物理量，不一定是这个值。后两项含义一样，不再赘述。
上式右边加上并减去
I (d )t t δηρν+?，用t
δ通除再取极限得：
0(d d )(d )(d )(d )lim lim t t t
t t t t t t t t t N N t v v v t v v t t δδδδδδδηρηρηρδηρηρδδ+→'+→++-=??+-??
+??
????-
????
?????ⅡⅠⅡⅢⅠ （a ） 对（a ）式左端取极限为：
d d lim t t t t N N N
t t δδδ+→-= (b)
上式就是系统内某种物理量对时间的变化率。
下面分析（a ）右端各项的物理意义。其中（a ）式右端第一项的物理意义，
对（a ）式右端第一项取极限为：
II I II 0(d d )(d )lim t t t t t δδηρνηρνηρνδ'+→??+-??????
???
II II 0(d )(d )lim t t t t t δδηρνηρνδ+→??
-?
?=????
??ν
ηρd II ???
=t
注意到，II 所占的体积，就是控制体的体积。而控制体的体积为了能清晰的从别的体
积中识别出来，通常用
cv
表示，所以上式可表示为：
νηρd cv ???
=t
(c)
（c ）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。
用偏导而不用全导的原因是：控制体内流体所具有的某种物理量不仅仅是随时间变化；控制体周围流场的流体具有这种物理量的“密度”若与控制体内流体所具有的某种物理量的“密度”不一致，也会造成由于流场的非均匀性引起的这种物理量之间迁移，进而改变控制体内流体所具有的某种物理量，因此只能用偏导。（这里“密度”概念只是借用，借用来表示单位体积具有的这种物理量的概念）
(c)式表示在同一地点上控制体内的某种物理量随时间的变化率，相当于当地导数项，是由流场的非稳定性引起的。
（a ）式右端第二项的物理意义
(d )t t δηρν+?Ⅲ是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物
理量。(d )t t
t
δηρνδ+?Ⅲ则表示单位时间内从控制体Ⅱ流出的某种物理量。
如上图，将控制体的外表面分成两部分，流体流出的那部分面积记作A 2，流入控制体的那部分面积记作A 1。（流出部分A 2+流入部分A 2就是控制体全部外表面总面积cs ）
在面积A 2
上取微元面积A ?
d ，其上流速为V ρ
，单位时间从微元面积上流
出的流体质量为A V ?
ρd ?ρ，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种物
理量为A V ?
ρd ?ηρ，则单位时间为从A 2流出的物理量应是?
?2
d A A V ?ρηρ。
(d )lim t t
t v t
δδ
ηρδ+→?Ⅲ和2
d A V A ηρ??r v
都是单位时间从控制体内流出的物理量，因此应
该相等，也就是
2
(d )d lim t t
t A v V A
t
δδ
ηρηρδ+→=???r v
Ⅲ
（a ）右端第三项的物理意义：
()t t dv δηρ+?Ⅰ表示δt 时间间隔内流进控制体的流体具有的某
种物理量。同理，单位时间内从A 1流进的这种物理量应是：
(d )d lim t t
t A
v V A
t
δδ
ηρηρδ+→=-???r v
Ⅰ
“－”号是因为在流入条件下，A V ?ρd ?或（cos α）为负值。其中A
?
d 表示控制面的微元面积矢量，d d A n A =v v ，n ?
为d Ａ的法向单位矢量，
垂直于控制面，规定向外为“＋”。单位时间内经过整个控制面的某种物理量的通量为：
21
III 0(d )(d )d d lim t t t t t A A v v V A V A t t δδδηρηρηρηρδδ++→?????+?=-????
????r r v v Ⅰ而：
2
1
d d d cs A A V A V A V A
ηρηρηρ?+?=????r r r v v v
(d)
其中A 1+A 2 =CS （控制面），对(1)取极限，将 (b)、(c)、(d)代入(a)则；
0(d d )(d )(d )(d )lim lim t t t t t t t t tt t t N N t v v v t v v t t δδδδδδηρηρηρδηρηρδδ+→'+→-??+-??
??=????+-
????
?????ⅡⅠⅡⅢⅠ d d d d cv cs N v V A
t t
ηρηρ?
=+????r v (e)
式(e)表明：系统内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单位时间经过控制面的Ｎ的净通量
式（e ）即为用“空间体积（即控制体）”的办法表示“系统内某种物理量N ”随时间的变化率，称为输运公式。就是将拉格朗日法中，求某种物理量的变化率转化为欧拉法的计算公式，是欧拉法中的控制体法的基本公式。
该式表明，流体系统内部的某种物理量N 的时间变化率数值上等于两部分的和：一部分是由于流场的非稳定性引起的控制体内N 的变化率，相当于当地导数项，另一部分是流体系统通过控制体表面的单位时间的净通量，是流场的非均匀性引起的，相当于迁移导数项。
物理量N 可以是标量，如质量、能量等，也可以是矢量，如动量和动量矩等。
对定常流动，控制体内各物理量不随时间变化，所以：d 0cv v t
ηρ?
=?? 则：
d d d cs N
V A t
ηρ=??r v (g)
即在定常流动的条件下，系统内部的流体所具有的某种物理量的变化仅与通过控制面的流动有关。
第五节 连续性方程
连续性方程研究的是质量，也叫质量方程，或质量守恒方程；说的是系统的质量不随时间发生变化；根据系统定义，系统就是从流体中取出的一定质量的流体，且不与周围流体发生质量交换，因此系统的质量自然不随时间发生变化。写成方程就是就是d d N
t
=0，这里N 是系统质量，其实就是系统的质量m 不随时间变化，即
d d m
t
=0 用控制体方法表示系统的质量不随时间发生变化这件事，就是下面这个过程：
首先，输运方程的通式是：
d d d d cv cs N v V A t t ηρηρ?
=+????r v ， 前面已经说了，系统的质量m 不随时间变化，所以
d d N
t
=0，所以用控制体表示系统的质量m 不随时间变化这件事，就是：
d d cv cs v V A t
ηρηρ?
+????r v =0 翻译成俗话就是：控制体内质量随时间的变化 加上 单位时间内进、出控制体的外表面（控制面）的质量等于零。
当研究对象是质量时，η就等于数字1；原因是η的定义就是：1个单位质量的流体具有的某种物理量，这个物理量现在是质量，那么这句就变成1个单位质量的流体具有的质量就是1个单位，所以η=1；所以系统质量守恒这件事，用控制表示，就成为：
cv cs d d 0V V A t
ρρ?
?+??=?r v
在书写公式的时候，我们反复用了这样一个d V A ?r v
式子，见下图：
两个矢量点乘，是一个标量；它实际上就是V r 在d A v
上的投影V n 数值，和面
积数值d A 的积，也就是n d =V A V dA ?r v
，因此公式就变成：
cv cs n d d 0V V A t
ρρ?
?+?=? 上式为积分形式的流体流动的连续方程。
也可写成
cv cs d d n V V A t
ρρ?
?=-?? 负号表示流出控制体，若变化率为“+”，则流体流入控制体。上式表示：控制体内由于密度变化所引起的流体质量随时间的变化率＝单位时间内净流入(或流出)控制体的流体质量。
V ρ
涡量输运方程
粘性流体运动的基本性质包括：运动的有旋性，旋涡的扩散性，能量的耗散性。 1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于：
（1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为： 2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有：
代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：
boltzmann方程与输运现象 (1)
0f f f f dk f v r k dt t τ -????+?+=-???Blotzmann 方程及其应用 1. Blotzmann 方程 （1） 即 0f f f f F f v r k t τ -????+?+=-??? （2） 2. 静态电阻率 在均匀静电场E 下，对于均匀材料，分布函数f 只与k 有关，（2）式变为： 0f E f f e k τ?=+?? （3） 在低场下，F eE k τ<<，作为近似， f f k k ??≈ ?? 则001f f E f e e v E k ττε ??=?=??? （4） 电流密度：031 ()()4f J e e v E vdk τπε ?= -??? （5） 设样品各项同性：0J E σ= 所以， 22003()4f e v n dk στπε???=?- ???? ? （6） 其中，n 为电场强度方向单位矢量，在各项同性的假设下2 2 ()3 v v n ?=，并且，样 品温度远小于费米温度，0 ()F f δεεε ?- ≈-?,在这种情况下： 2222 03323 ()()121212F F k Fermi Surface e e dS v dk v d e vdS στδεετδεεεππετπ=-=-?= ??? （7） 所以：222 03* 412F F F F ne e v k m τστππ== （8） （（8）式利用：*F F m v k =，并且3 23F k n π=）
3. 电导率随频率和波矢的变化 外加电场为交变场：()0e i q r t E E ω?-=，并设01f f f =+ 从Boltzmann 方程出发，经过适当近似后： 0111()f f f f eE v r k t τ ???-?+?+=-??? （9） 设()1()e i q r t f k ωφ?-=，并代入上式解得： 0()()1() f v E e k i q v τεφτω???=--? （10） 同前面的方法类似： 203()41() f e v v E J dk i q v τπετω????=- ??--???? （11） 设样品各向同性： 2203()41()f e v n dk i q v στπετω????=- ? ?--??? ? （12） 从上式不难看出，当0q →（长波近似）和0ω→（静态）时，0σσ→ 由于电磁波为横波，设?q qz =，00?E E x =，代入（12）： 2 203(,)41() x z f v e q dk i qv σωτπετω??? =- ??--??? （13） 利用0 ()F f δεεε ?- ≈-?，在球坐标下： 22222 3sin cos 1(,)sin 41(cos )F F F F F F Fermi Surface v e q k d d i qv v θφσωτθθφπτωθ=--? （14） 令cos θη=； 1F F F i qv s i ττω =- 2 22 1 3 11(,)4(1) 1F F F F v k e q d i s πτησωηπτωη--=-+? （15） 其中221 2311211ln 11s s d s s s s ηηη---+?? =+??+-?? ?
输运方程的本征值问题
输运方程本征值 无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)'' t E v t E f E E E t dE d φφφφ∞Ω?=????Σ?+Σ→→∫∫?r r r ??r ?? （1） (,,,)E t φφ=r ?其中 简记为 1(,) '''''t E f d dE v t φφφφ?=????Σ+Σ?∫∫?r ? （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源 都包括在内。 把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２） 可以简记为 1v t φφ?=?L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φ?=r ?r ? ， 代入（2），并用(,,) ()E T t ?r ?除两边，得到： {} ''''' T v f d dE T T ?????????Σ+ΣΩ=∫∫? 左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故 {} ''''' T v f d dE T T ???λ? ?????Σ+ΣΩ==∫∫? 这就把原方程分离成了两个方程 T T λ?= （4） ） v λ ??=L (5a) （4）的解是 0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间 有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与 本征函数问题。 容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面 Σ增加了v λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未 变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界 系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获 v λ符合1v 律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。 也可以采用k 本征值，此时方程为 ' 111'''' ()''''4 t s f v t f dE d E dE d k ????χν?π ?+??+Σ?=Σ+Σ∫∫∫∫??? （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂 变源进行人为调整） 采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得 能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。 除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的 第三章。 注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。
第四节输运方程
第四节 系统 控制体 输运公式 一、系统 系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。 系统的特点： 1、从流体中取出的一定质量的流体； 2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） 0d d t m ； 3、系统的体积和形状可以随时间改变。 4、在系统的边界上可以有能量交换。 二、控制体 控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V 。是为了研究问题方便而取定的。边界面S 称为控制面。 控制体的特点： 1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。 2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。 3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、输运方程（雷诺输运定理） 引言：为什么需要雷诺输运定理？ 看下图 如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？ 根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。 系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。 为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。 绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，
涡量输运方程
1、粘性流体运动的涡量输运方程 为了讨论旋涡在粘性流体流动中的性质和规律，推导涡量输运方程是必要的。推导过程如下： 其Lamb型方程是： 引入广义牛顿内摩擦定理： Lamb型方程变为： 对上式两边取旋度，得到： 整理后得到： 这是最一般的涡量输运方程。该式清楚地表明：流体的粘性、非正压性和质量力无势，是破坏旋涡守恒的根源。在这三者中，最常见的是粘性作用。由于： （1）如果质量力有势、流体正压、且无粘性，则涡量方程简化为： 这个方程即为Helmholtz涡量守恒方程。 （2）如果质量力有势，流体为不可压缩粘性流体，则涡量输运方程变为： 张量形式为。 （3）对于二维流动，上式简化为：
2、粘性流体运动的有旋性 理想流体运动可以是无旋的，也可以是有旋的。但粘性流体运动一般总是有旋的。用反证法可说明这一点。对于不可压缩粘性流体，其运动方程组为： 根据场论知识，有： 代入上式，得到： 如果流动无旋，则： 这与不可压缩理想流体的方程组完全相同，粘性力的作用消失，说明粘性流体流动与理想流体流动完全相同，且原方程的数学性质也发生了变化，由原来的二阶偏微分方程组变成一阶偏微分方程组。但问题出在固壁边界上。在粘性流体中，固壁面的边界条件是：不穿透条件和不滑移条件，即：。 要求降阶后的方程组同时满足这两个边界条件一般是不可能的。这说明粘性流体流动一般总是有旋的。 但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面处理想流体的速度，也就是固壁面与理想流体质点不存在相对滑移，这时不滑移条件自动满足，这样理想流体方程自动满足固壁面边界条件。说明在这种情况下，粘性流体流动可以是无涡的。但一般情况下，固壁面与理想流体质点总是存在相对滑移的，受流体粘性的作用，必然要产生旋涡。由此可得出结论：粘性流体旋涡是由存在相对运动的固壁面与流体的粘性相互作用产生的。 3、粘性流体旋涡的扩散性 粘性流体中，旋涡的大小不仅可以随时间产生、发展、衰减、消失，而且还会扩散，涡量从强度大的地方向强度小的地方扩散，直至旋涡强度均衡为止。 以一空间孤立涡线的扩散规律为例说明之。涡线强度的定解问题为：