群论的各种应用
群论的应用
关于几何体或其他数学、物理对象的对称概念看起来很明显，但给对称这个概念一个精确的和一般的描述，特别是对称性质的量上的计算，使用一般的数学工具很困难。为了研究象对称这样的规律，在18世纪末、19世纪初出现了群论。群论最初主要研究置换问题，随着群论研究的深入。群论已成为近世数学的一个重要分支，并分裂成许多或多或少的独立科目：群的一般理论、有限群论、连续群论、离散群论、群的表示论、拓扑群等。19世纪到20世纪，群通过其表示论在自然科学中得到了广泛的应用，例如在几何学、结晶学、原子物理学、结构化学等领域，群的表示经常出现在具有对称性的问题研究中。如今，群论的方法和概念，不仅是解决对称规律的重要工具，而且是解决其他许多问题的重要工具。本文主要是简单说明一下群论在机器人、密码学、网络、原子物理中的应用。
1. 群论在机器人中的应用。
在机器人领域，群论最初主要应用在机器人运动学的研究中，随着研究的进一步深入，机器人的装配，标定和控制等都用到群论。从群论的角度来看，机器人的位置无论是用矢量表示，还是用旋量表示，或以四元数、双四元数等其他形式表示，其运动变换可以看作是群运算。因为在变换过程中，连杆的内部结构不变，其变换可以看作是欧几里德群的子群，群中的变换包括旋转和平移两种。在机器人运动学中，若采用群描述机器人的运动、可以使表达更简洁更通用，便于符号推理，利用群论描述机器人运动还便于设计通用的机器人语言。在机器人操作中，操作物体通常是对称的或具有对称的特性，用一般的数学工具很难描述其相对位置，而用群可以很方便地描述其相对关系。特别是在装配任务中，当相互匹配的两个零件具有对称性时，它们有很多装配位置，用一般的数学工具比较难描述，用群就可很容易地表示并进行推理。机器人在许多操作过程中具有非线性和非完整性，常用的线性控制不能满足其控制性能要求，人们开始用非线性系统的几何理论来解决，其状态变换是在流形上进行的，它使用的工具是李群和李代数，李群是连续群中重要的一种。
2.群论在密码学的应用。
自从1984年N.R.Wager 和M.R.Magyarik 提出了第一个用组合群论的理论构造公钥密码体制的方法以来，在密码学家们的共同努力下，利用组合群论的理论已经提出多个公钥密码体制和密钥交换协议。由于组合群论中的数学工具和以前数论中的内容截然不同，有必要对组合群论中的一些定义和定理加以说明，从而可运用到密码学中去，得到不同的加密算法。 群G 称作是有限生成的，如果G 存在有限个生成元1,2,g g …,n g ，满足G 中任意一个元素都可以表示成生成元和它们的逆的有限乘积。 群G 称作是可以有限表示的，如果在G 中有有限个元素1r ，2r ，…，k r 满足在群G 中，1r e =，2r e =，…，k r e =，其中e 是单位元，那么1r ，2r ，…，k r 称为G 的生成元12,,g g …,n g 的一组定义关系，。
换一种角度，如果把群G 看成是n 个元素X ={12,,a a …,n a }生成的自由群F(X)的商群，即存在F(X)的正规子群N ，使得F(X)G=N 成立，那么G 是可以
有限表示的意思是：如果1r ，2r ，…k r 对应F(X)中的元素1w ，2w …k w ，那么{12,,w w …},k w 是F(X)的正规子群N 的生成元。
可以有限表示的群G 可表示为：G=
21,,g g …,n g ；12,,r r …,k r
3.群论在网络中应用
群论在网络理论中主要用于研究网络理论中的双口网络集合，双口变换器集合， 2n 端口变换器集合，用群论的方法找出了它们之间的联系,为网络的设计和分析简化，寻找出有效的途径，同时也是群论的应用的一个新的领域。
网络理论中的基本双口网络，双口变换器和器件、2n 端口变换和器件，表明网络理论中较为分离的变换器和器件在群论的约束下成为相互依赖的变换器与器件，为网络理论器件的设计提供了理论根据。
4.群论在原子材料中的应用
人类对于组成物质世界的基本“单元”的认识是逐步深入的,1869年门捷列夫排出元素周期表。是首次从原子层次认识物质世界基本“单元”的规律。到20世纪,先后发现一千多种原子核。虽其性质各异、但是人们指示出所有原子核均由二种粒子—中子和质子在核内不同的运动与填充可得。从而建立了原子核的壳层摸型理论、它成功地解释了核物理现象。这就是人们常说的第二张周期表,它是从原子核层次来沙识所谓“基本单元”的。基于二次成功的戈现、得到共同经验:微观世界的人识是无窃尽的；微观世界是有严格规律的。每引入一种深入层次的拉子,意味着向物质本质迈进一步。当今，面对庞大的基本粒子家族。有理由议为它们不是杂乱无章的。那么组成这些基本粒子大厦的“砖块”又是什么呢?它们按何种规律结合的呢?人们好象又遇到了第三张周期表。“群论”这个工具扮演了重要角色。大量核物理实验抬出,基本粒子中的介子、强子等家强中具有su(3)群对称性。根据su(3)理论，令组成基本粒子的“单元”称为“夸克”。夸克模型成功地解释了大量实验现象。正确口也预言了六十年代后期发现的Ω粒子。令人信服之处还在于“夸克”所允许组合得到的粒子,在实验中均能找到，反之亦然。
总之，群论在社会生活和科学技术中都有很多应用。
第3讲：群论在杂化轨道中的应用
第二讲群论在杂化轨道中的应用 *特征标表及符号 将点群的所有不可约表示的特征标列成表，称为特征标表。运用群论来解决化学问题时，特征标表是必备的工具。下面以D4h点群的特征标表为例来说明各部分的意义。 特征标表第一行列出了点群的符号及其归类的群元素。表的第一列是由Mulliken提出的不可约表示的符号，标的最后一列是各个不可约表示对应的基函数。分别介绍如下： （1）一维表示用A和B表示，二维用E、三维用T（有时用F）表示。T 和F分别用于电子和振动。 (2) A和B是以绕主轴C n转动2π/n来区分的，对称的（特征标为+1）用A、反对称的用B表示；对于D2和D2h点群，有3个C2轴，而3个C2操作属于不同类，只有3个C2操作的特征标全是+1的一维表示以A标记，其余的一维表示记为B, 对于D nd（n为偶数）的点群，有S n操作的特征标确定一维表示的特征标，为+1的记为A，-1的记为B. (3)下标“1”或“2”是以垂直于主轴的C2轴对称性来区分的。对称的为1，反对称的为2，如果没有C2轴，就要通过主轴的σv镜面来区分，对称的为1，反对称的为2. （4）上标'或''是用区分它们对于σh镜面是对称还是反对称的，'表示是对 称的，''表示是反对称的。 （5）下标g或u表示对于反演是对称还是反对称的，g表示对称，u表示反对称。 （6）关于基函数的说明：x，y，z是一次函数，可以和3个p轨道相联系。也可以和偶极矩的3个分量相联系。二次函数xy，xz，yz，x2-y2，z2可以和5个d轨道相联系。类似地，三次函数可以与f轨道相联系。R x，R y，R z是转动函数，在讨论分子转动时用到它们。 (7) z，z2，x2+y2以及（x, y）或（xy, xz）有不同的含义，没有括号的z，z2，x2+y2可以作为一维表示的基；有括号的的x和y或xy和xz一起作为二维表示的基。 （8）每个点群都有一个一维全对称表示，即对所有对称操作都用矩阵（1）表示(其特征标当然是1)，习惯上将它列在每个点群的特征标表的第一行。 （9）原子的s轨道是球形对称的，它总是一维全对称表示的基，但它的角度部分是常数，故特征标表中一般不列出。
化学思想方法的应用
化学思想方法的应用 1.下列相关知识的对比分析正确的是( ) A. 石墨和金刚石均属于碳的单质，所以二者性质完全相同 B. 水的三态变化和空气的热胀冷缩虽然分子间的间隔都发生了改变，但分子本身没有改变，所以二者均属于物理变化 C. 乙醇和甲苯燃烧产物均为CO2和H2O，所以二者元素组成一定相同 D. 铝和铁均属于比较活泼的金属，所以二者都易锈蚀 2.下列问题的研究中，未利用对比实验思想方法的是( ) 3.对比是学习化学的重要方法。下列关于CO2与CO的比较，错误的是( ) A. CO2可用于人工降雨，CO可用于光合作用 B. 通常情况下，CO2能溶于水，CO难溶于水 C. CO2无毒，CO易与血液中的血红蛋白结合引起中毒 D．一个二氧化碳分子比一个一氧化碳分子多一个氧原子 4.示例：硫在空气、氧气中燃烧，化学反应相同，但反应现象不同。说明反应物的浓度不同，反应现象不同。 请参照示例回答下列问题： (1)碳在氧气不足、氧气充足的条件下燃烧，反应物相同，但产物不同。说明_________不同，产物不同。 (2)二氧化碳与水反应，在常温下生成碳酸，在叶绿体、光照的条件下发生光合作用生成葡萄糖和氧气。反应物相同，但产物不同。说明________________不同，产物不同。 (3)细铁丝(或铁粉)在氧气中能剧烈燃烧，铁钉(或铁制燃烧匙)在氧气中不能燃烧，反应物相同，但反应的速率不同。说明反应物的__________________不同，反应的速率不同。 5.推理是学习化学的一种重要方法，但不合理的推理会得出错误的结论。以下正确的是( ) A. 含碳元素的物质充分燃烧会生成CO2，燃烧能生成CO2的物质一定含碳元素 B. 离子是带电荷的微粒，带电荷的微粒一定是离子 C. 碱溶液的pH都大于7，pH大于7的溶液一定是碱溶液 D. 分子可以构成物质，物质一定是由分子构成的 6.推理是化学学习中常用的思维方法。下列推理正确的是( ) A. 碱溶液的pH>7，所以pH>7的溶液一定是碱溶液 B. 分子或原子都是不带电的微粒，所以不带电的微粒一定是分子或原子 C. 二氧化碳不支持燃烧，所以能使燃着的木条熄灭的气体一定是二氧化碳 D. 物质发生化学变化时伴随着能量变化，所以在缓慢氧化过程中一定有能量变化 7.类推是化学中常用的学习方法，以下类推结果正确的是( ) A. 离子是带电荷的粒子，所以带电荷的粒子一定是离子 B. 盐中含有金属离子和酸根离子，NH4NO3中没有金属离子不属于盐类 C. 厨房洗涤剂对油污有乳化作用，汽油去油污利用的也是乳化作用 D. 点燃H2和O2的混合气体可能会爆炸，则点燃CH4和O2的混合气体也可能爆炸 8.现有如下转化关系：①Zn→ZnSO4，②ZnO→ZnSO4，③Zn(OH)2→ZnSO4。对这三种转化关系比较归纳正确的是( )
几种重要的数学思想方法
几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法
群论的各种应用复习过程
群论的应用 关于几何体或其他数学、物理对象的对称概念看起来很明显，但给对称这个概念一个精确的和一般的描述，特别是对称性质的量上的计算，使用一般的数学工具很困难。为了研究象对称这样的规律，在18世纪末、19世纪初出现了群论。群论最初主要研究置换问题，随着群论研究的深入。群论已成为近世数学的一个重要分支，并分裂成许多或多或少的独立科目：群的一般理论、有限群论、连续群论、离散群论、群的表示论、拓扑群等。19世纪到20世纪，群通过其表示论在自然科学中得到了广泛的应用，例如在几何学、结晶学、原子物理学、结构化学等领域，群的表示经常出现在具有对称性的问题研究中。如今，群论的方法和概念，不仅是解决对称规律的重要工具，而且是解决其他许多问题的重要工具。本文主要是简单说明一下群论在机器人、密码学、网络、原子物理中的应用。 1. 群论在机器人中的应用。 在机器人领域，群论最初主要应用在机器人运动学的研究中，随着研究的进一步深入，机器人的装配，标定和控制等都用到群论。从群论的角度来看，机器人的位置无论是用矢量表示，还是用旋量表示，或以四元数、双四元数等其他形式表示，其运动变换可以看作是群运算。因为在变换过程中，连杆的内部结构不变，其变换可以看作是欧几里德群的子群，群中的变换包括旋转和平移两种。在机器人运动学中，若采用群描述机器人的运动、可以使表达更简洁更通用，便于符号推理，利用群论描述机器人运动还便于设计通用的机器人语言。在机器人操作中，操作物体通常是对称的或具有对称的特性，用一般的数学工具很难描述其相对位置，而用群可以很方便地描述其相对关系。特别是在装配任务中，当相互匹配的两个零件具有对称性时，它们有很多装配位置，用一般的数学工具比较难描述，用群就可很容易地表示并进行推理。机器人在许多操作过程中具有非线性和非完整性，常用的线性控制不能满足其控制性能要求，人们开始用非线性系统的几何理论来解决，其状态变换是在流形上进行的，它使用的工具是李群和李代数，李群是连续群中重要的一种。 2.群论在密码学的应用。 自从1984年N.R.Wager和M.R.Magyarik提出了第一个用组合群论的理论构造公钥密码体制的方法以来，在密码学家们的共同努力下，利用组合群论的理论已经提出多个公钥密码体制和密钥交换协议。由于组合群论中的数学工具和以前数论中的内容截然不同，有必要对组合群论中的一些定义和定理加以说明，从而可运用到密码学中去，得到不同的加密算法。 群G称作是有限生成的，如果G存在有限个生成元 1,2, g g…, n g，满足G中任意一个元素都可以表示成生成元和它们的逆的有限乘积。
常见数学思想方法应用举例
常见数学思想方法应用举例 所谓数学思想,就是对数学知识和方法地本质认识,是对数学规律地理性认识.所谓数学方法,就是解决数学问题地根本程序,是数学思想地具体反映.数学思想是数学地灵魂,数学方法是数学地行为.运用数学方法解决问题地过程就是感性认识不断积累地过程,当这种量地积累达到一定程序时就产生了质地飞跃,从而上升为数学思想. 其实,在初中数学中,许多数学思想和方法是一致地,两者之间很难分割.它们既相辅相成,又相互蕴含.因此,在初中数学教学中,加强学生对数学方法地理解和应用,以达到对数学思想地了解,是使数学思想与方法得到交融地有效方法.比如化归思想,可以说是贯穿于整个初中阶段地数学,具体表现为从未知到已知地转化、一般到特殊地转化、局部与整体地转化,课本引入了许多数学方法,比如换元法,消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等.在教学中,通过对具体数学方法地学习,使学生逐步领略内含于方法地数学思想；同时,数学思想地指导,又深化了数学方法地运用. 初中阶段《数学大纲》要求我们了解地常用地基本数学思想有：整体思想与分类地思想、数形结合地思想、化归地思想、函数与方程地思想,抽样统计思想等. 《数学大纲》中要求“了解”地方法有：分类法、类比法、反证法等.要求“理解”或“会应用”地方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想 整体思想是一种常见地数学方法,它把研究对象地某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部地有机联系,从而在客观上寻求解决问题地新途径.往往能起到化繁为简,化难为易地效果.它在解方程地过程中往往以换元法地形式出现. 例1、整体通分法计算11 2+--x x x 解：原式1 111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分,则运算较为复杂；一般情况下,把分母为1地整式看作一个整体进行通分,运算较为简便. 例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ,求3412131 1222+++-?-+-+a a a a a a a 地值. 解：化简得原式2)1(2+=a ,由0822 =-+a a 得9)1(2=+a ,∴ 原式92=. 评注：本题通过整体变形代入,起到降次化简地显著效果. 例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y,则原方程可变形为（ ） A 、y 2＋y －6＝0 B 、y 2－y －6＝0 C 、y 2－y ＋6＝0 D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A 例4、平移法(泸州05改编)如图,在宽为20m ,长为30m 地矩形地面 上修建两条同样宽地道路,余下地耕地面积为551m 2,试求道路地宽x = m 解析：我们只要用平移法把两条道路分别移到矩形地两侧,合并为一个整体,而面积却没有改变,得方程551)30(20=--x x ）（得.1=x 2、分类思想 分类思考地方法是一种重要地数学思想,同时也是一种解题策略.在数学中,我们常常需要根据研究对象性质地差异,按照一定地标准,把有关问题转化为几个部分或几种情况,从而使问题明朗化,然后逐个加以解决,最后予以总结得出结论地思想方法.
专题二 化学思想方法的应用
专题二化学思想方法的应用 专题解读 化学思想方法的应用包括对比法、类比法、推理法、归纳法等方法。这类题型考查的知识点比较基础，但是综合性比较强。对比法，是保持其他条件不变，改变其中一个条件用于探讨该条件对实验的影响；类比法，就是根据两种事物在某些特性上的相似，推理出它们在另一些特性上也可能相似的思维形式，把未知的化学问题和熟悉的问题作比较，寻找两者在某些方面的同一性，找出两者共同遵循的规律，达到解决化学问题的目的；推理法，此类题主要以选择题的形式出现，选项前半部分一般是正确的规律性结论，后半部分则是根据前半部分类推或反推出的结论；归纳法，它是将零散的化学知识、复杂的化学内容、不同知识间的联系和区别简单化、条理化、系统化，从而使化学学习事半功倍，可以大大提高解题速率和质量。 1．(2015，聊城)“类推”是化学学习过程中常用的思维方法。现有以下类推结果，其中正确的是(D) A．因为碱溶液呈碱性，所以呈碱性的溶液一定是碱溶液 B．金属铝与盐酸反应生成AlCl 3和H 2 ，所以金属铁与盐酸反应生成FeCl 3 和 H 2 C．因为燃烧需要同时满足三个条件，所以灭火也要同时控制这三个条件D．因为蜡烛燃烧生成二氧化碳和水，所以蜡烛中一定含有碳元素和氢元素
2．逻辑推理是化学学习中常用的思维方法。下列推理正确的是(B) A．中和反应生成盐和水，所以生成盐和水的反应一定是中和反应 B．化合物是由不同种元素组成的纯净物，所以由不同种元素组成的纯净物一定是化合物 C．单质中只含有一种元素，所以只含有一种元素的物质一定是单质 D．在同一化合物中，金属元素显正价，所以非金属元素一定显负价 3．(2016，威海)化学知识中有很多“相等”，下列关于“相等”的说法正确的是(D) A．将食盐加入水中，所得溶液的质量与加入的食盐和水的总质量一定相等B．溶解度曲线相交，表示曲线所代表的物质的溶液质量一定相等 C．将两种液体混合，混合后的体积与混合前两种液体体积之和一定相等D．化学反应前后，原子的种类和数目一定相等 4．微粒观是化学基本观念的重要组成部分，从微粒视角认识物质世界是学习化学的重要方法。以下描述正确的是(C) A．原子是最小的粒子，不可再分 B．自然界中一切物质都是由分子构成的 C．元素的种类是由原子核内的质子数决定的 D．原子最外层电子数的多少决定了原子质量的大小
群论在化学中的应用
4.5.4 群论在化学中的应用实例 增加如下内容： 4. 构成对称性匹配的分子轨道 我们知道，原子轨道构成分子轨道的前提是对称性匹配。在简单情况下，这很容易看出来，但在复杂情况下，要使原子轨道构成对称性匹配的分子轨道（亦称对称性匹配的线性组合，SALC），就需要借助于系统的群论方法。下面以环丙烯基C3H3为例来说明：假设该分子为D3h群，垂直于分子平面的碳原子p轨道φ1、φ2、φ3如何构成对称性匹配的π型分子轨道。 （1）首先以φ1、φ2、φ3为基，记录它们在D3h群各种对称操作下的特征标，得到可约表示： E2C33C2σh2S33σv D 3h φ1 1 0 -1 -1 0 1 φ2 1 0 0 -1 0 0 φ3 1 0 0 -1 0 0 Γ 3 0 -1 -3 0 1 需要注意的是，3C2这个类的可约表示特征标是（-1）而不是（-3），这是因为，我们可以从这个类的3个对称操作C2中任选1个作为代表，对基集合φ1、φ2、φ3进行操作，结果是只有1个φ被改变符号而其余两个φ被改变位置，从而得到可约表示特征标为（-1）。但是，不能用该类中3个不同的C2分别作用来得到（-3）。根据同样的理由，3σv这个类的可约表示特征标是1而不是3。
（2）利用D 3h 的特征标表 将可约表示约化为如下不可约表示： （3）构成这些具有确定对称性的分子轨道，必须采用投影算符。投影算符有不同的形式，最便于使用的形式是只利用特征标的投影算符： 其中l j 是第j 个不可约表示的维数， 代表对称操作， 是第j 个不可约表示的特征标。注意：投影算符中的求和必须对所有对称操作进行，而不能像约化公式中那样改为乘以类的阶后对于类求和，这是因为：尽管同一类中各个对称操作的特征标相同，但各个对称操作的操作效果却不同。 接下来的做法是：从3个p 轨道φ1、φ2、φ3的集合中任意取1个，例如φ1，将第j 个不可约表示的投影算符作用于它，就会得出属于这个不可约表示的对称性匹配分子轨道（SALC ）的基本形式，然后加以归一化即可。对于一维不可约表示A 2”, 这是非常简单的事，因为它只需要构成1 个 2"" A E Γ=⊕????()j j j R l P R R h χ=∑?()j R χ?R
数学思想与方法作业
数学思想与方法作业一 一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。 二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。 由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 （3）模型化的方法 《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
第五章群论在量子化学中的应用
第五章 群论在量子化学中的应用 群论应用于物理和化学问题上，能把分子在外形上具有对称性这一表面现象，与分子的各种内在性质联系起来。 这里起桥梁作用的是群的表示理论。在量子力学中，讨论问题时离不开算符、波因数和矩阵元。从群表示理论的角度看，波函数、算符以及矩阵元的被积函数都具有一定的变换性质，或者说按某种表示变换，因而可以分解为若干不可约表示的基函数。 群的不可约表示反映群的性质，在分子对称群的情况下，也就是反映了分子的对称性质。 把分子体系的波函数用作为不可约表示的基，再研究它所届的不可约表示的性质就能得出分子由对称性决定的那一部分性质。 群沦在量子化学中的应用很广，不可能在这里作详尽的介绍。比较常遇到的是态的分类，能级简并情况，光谱选律的确定，矩阵元的计算，不可约表示基函数的构成和久期行列式的劈因子等几个方面。 §5.1 态的分类和谱项 一、教学目标 1．明确能级和不可约表示，波函数和不可约表示的基之间的关系 二、教学内容 1．能级和不可约表示，波函数和不可约表示的基之M 的关系． 我们首先来阐明，能级和不可约表示，波函数和不可约表示的基之间的关系． 可以证明，如果考虑了分于的所有对称操作并且不存在偶然简并，则对于同—能级的本征函数一定构成分子所属对称群的一组不可约表示基，而分子所属对称群的一组不可约表示基，如果是分子体系的本征函数，则必属于同一能级；分于的能级与分子所属对称群的不可约表示之间满足一定的对应关系． 设ψ是分子的一个本征函数 ?H ?ε?= （1） 在分子所属对称群的任意对称操作作用下，Hamilton 量不变，因此 ?()()() R H H R R ??ε?= = （2） 亦即对称操作R 作用于?得到的函数R ?也是分子的一个本征函数。如果能级是非简并的，则?与R ?最多只能差一个相因子，i R e α??=，α为实数，这说明?必须是分子对称群的一个一维不可约表示的基。如果?属于简并态，即有一组{}i ?属于同一本征能量，则i R ?只可能
数学思想方法的应用
数学思想方法的应用 徐英 数学思想是解决数学问题的灵魂，在初中数学中蕴含着丰富的数学思想方法.需要我们去挖掘并实施于解题过程. 数形结合思想指把数量和图形结合起来进行综合分析解决问题的一种数学思想方法.在解决数学问题时，我们可以把代数知识应用到解决几何问题中，也可以用图形来解决代数问题， 例1如图1（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y 2 m . （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 图1 图2 分析：解决问题需要根据图形进行分析，找出y 与x 之间的关系式.如图2，设移动x 秒后点C 移动点C ，三角形与正方形重叠部分为△DCC ′，由图形数据可知△DCC ′为等腰直角三角形，且CC ′=CD=2x ，根据三角形的面积可以写出y 与x 之间的关系式. 解：（1）因为CC ′=2x ，CD=2x ，所以S △CDC ′= 21×2x ×2x=2x 2,所以y ＝2x 2 （2）当x=2,时y=8；当x=3.5时,y=24.5 （3）由2x 2=2 1×10×10=50,解得x 1=5,x 2=-5(舍去). 所以当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了5秒. 评注：本题通过图形分析找到y 与x 之间的数量关系，是对数形结合思想方法掌握情况的考查. 所谓建模思想，就是从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题解决的一种数学思想.根据实际问题建立方程模型立方程模型、建立函数模型等等都是建模思想的重要体现. 例2甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价9折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x >300）． (1) 请用含x 代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2) 试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 分析：本题是一道与购物有关的实际问题，要判断顾客到哪家 图3 超市购物更优惠，我们可以从实际问题构构建函数模型，通过函数的图象比较如何选择，才使购物更实惠。 解：(1)设在甲超市购物的所付的费用为y 甲，在乙超市所付的购物费用为y 乙，
群论-群论基础
物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐
群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群
§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数
满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e
[最新]中考化学专题突破讲义：第11讲-解决问题的程序化思想(含答案)
最新教学资料·中考化学 化学思想方法的应用 第十一讲解决问题的程序化思想 【题型特点】 程序化解决问题是指解决问题时按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的处理过程。这种程序必须是确定的、有效的、有限的。简单地说就是遇到某些化学问题的时候有相对固定的解答方法和步骤。学生通过模仿、操作、探索，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。 程序化解决问题的思想在化学学科的应用充分体现了“能运用所学知识与观点，通过比较、分析与综合等方法对某些生物学问题进行解释、推理，作出合理的判断或得出正确的结论”的考纲能力要求。 【主要考查内容】 1. 正确书写各类方程式的程序化； 2. 化学计算的程序化； 3. 化学实验装置与实验操作的程序化； 4. 解答化学问题的程序化； 【典型例题】 例1：（2017?雅安）下列反应的化学方程式正确的是（） A．铁在氧气中燃烧：2Fe+3O22Fe2O3 B．硫酸铵与烧碱混合：（NH4）2SO4+2NaOH═Na2SO4+2H2O+2NH3↑ C．铝片放入硝酸银溶液中：Al+AgNO3═AlNO3+Ag D．向氯化镁溶液中滴入硫酸钾溶液：MgCl2+K2SO4═MgSO4↓+2KCl 【解析】A.生成物错误，生成物应是四氧化三铁，正确的化学方程式为：3Fe+2O2Fe3O4；B.化学方程式书写完全正确；C.生成物硝酸铝化学式书写错误，正
确的化学方程式为：Al +3AgNO 3═Al （NO 3）3+3Ag ；D.硫酸镁不是沉淀，该反应不能发生； 【答案】B 例2：（2017?毕节）．早在西汉时期的《淮南万毕术》中就记载“曾青得铁则化为铜”， 成为现代湿法冶金的先驱。现将2.8g 铁粉投入40g 硫酸铜溶液中，充分搅拌后，两者恰好完全反应。请计算： （1）反应后生成铜的质量是多少？ （2）反应前硫酸铜溶液中溶质的质量分数是多少？ （3）反应后溶液中溶质的质量分数是多少？（结果精确至0.1%） 【解析】解：（1）设反应生成铜的质量为x ，参加反应的硫酸铜的质量为y ，反应生成硫酸亚铁的质量为z 。 Fe + CuSO 4 === FeSO 4 + Cu 56 160 152 64 2.8g y z x 6456 2.8g x = 16056 2.8g y = 15256 2.8g z = x=3.2g y=8g z=7.6g （2）反应前硫酸铜溶液的溶质质量分数为8g 40g ×100％=20％ （3）反应后溶液的溶质质量分数为7.6g 2.8g+40g-3.2g ×100％=19.2％ 答：（1）反应后生成铜的质量为3.2g 。（2）反应前硫酸铜溶液的溶质质量分数为20％。（3）反应后溶液的溶质质量分数为19.2％。 例3：(2017?新疆) 毎年的6-7月，新疆的许多地区都要举办“薰衣草”节。薰衣草精油的 主要成分为芳樟醇、伽罗木醇等物质。其中芳樟醇的化学式C 10H 18O ，请计算： （1）芳樟醇的化学式分子中的原子个数比为 _。 （2）芳樟醇的化学式的相对分子质量是（154），计算该物质组成中氧元素的质量分数 为 _（精确到0.1%） 【解析】（1）芳樟醇的化学式为（C 10H 18O ）可知，一个芳樟醇分子是由10个碳原子18个氢 原子1个氧原子构成的，芳樟醇分子中C 、H 、O 三种元素的原子个数比为10：18：1； （2）该物质组成中氧元素的质量分数为16/154×100%=10.4%． 例4：(2017?内江)元素周期表中，某周期元素的原子结构示意图如下：
重要的化学思想方法
重要的化学思想方法 化学思想方法是在一定的化学知识和方法基础上形成的，化学思想对理解、掌握、运用化学知识和化学方法，解决化学问题起到促进和深化的作用。从中学阶段来看，化学学科中要有结构与性质、量变与质变、一般与特殊、定性与定量等思想方法。 1、结构与性质的思想方法。这是化学学科核心的思想方法。我们知道，结构与性质的关系是：结构决定性质、性质反映结构。这一思想贯穿化学学习与研究过程的始终。根据这一思想，与之相关的思想方法还有“性质与用途”、“位置（周期表中的位置）与结构”、“位置与性质”以及“位置、结构与性质”等，在物质结构、性质与用途以及元素位置、结构与性质等相互之间的推断中经常用到。 2、量变与质变的思想方法。这是一种哲学的思想方法。量变和质变是两个相互依存的过程。通过量的积累产生质的变化，量变是质变的前提，而质变又是量变的最终结构。这一思想在元素周期律（元素周期表）中得到最好的体现。在一些化学反应中也得到很好的体现。如过量问题（量对反应产物的影响），物质性质（氧化性或还原性）与物质浓度的关系等。如硝酸浓度的改变，氧化性强弱发生变化，导致反应产物的变化；浓硫酸具有强的氧化性，而稀硫酸则不具有氧化性；浓盐酸有较强的还原性，稀盐酸则弱的多（通常不体现）等等。 3、一般与特殊的思想方法。该方法是化学思想方法中的基本方法，也是哲学的一种思想方法。化学的研究，通常总是通过对某些特殊的事物或事物的某些特殊方面的研究，得出一般性（或普遍性）的规律，并加以推广；同时事物在具有普遍性（一般性）的同时，由于不同事物存在某些独特的一面，因此有具有特殊性一面。换句话说，任何事物与同类事物之间有普遍性（共性）一面，同时又有自己独特的一面。象同主族元素化学性质存在共性的一面，同时不同的元素又存在差异。 4、定性与定量的思想方法。这是化学研究中通常用到的两种思想方法。这两种方法从不同的深度和角度对事物进行研究。定性的思想方法，主要从是否存在某种属性、存在程度的深浅或大小等角度进行初步确定；而定量的思想方法，则在定性的基础上精确地对事物的属性进行深度的、量化的表达。如对某溶液酸碱性的描述和酸碱度的表达，又如物质溶解性的描述和溶解度的描述，都是从定性和定量两个方面来对事物进行研究的。 中学化学的学科思想 分类思想（由小到大、由表及里、由现象到本质）—系统化 解决问题程序化思想——策略化 在相似中找差别，在差别中找变化规律的思想——辩证化 由定性到定量的思想——精细化 结构决定性质，性质决定用途的思想——因果化 微观和宏观相互转化的思想——本质化 化学结论来自化学实验的思想——重事实 抽象问题具体化的思想——直观化
群论的应用
群论的基础及应用 第二章群论的应用 2.1图论的结构群应用 在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。 e 4 图 2.1 通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}， γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}） 出现在γ上第一部分的 根点{d}指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为 s=（γ，U）， 其中 U={x，4，y，a，7，8}， γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}
U={a ，b ，c ，d ，e ，f} σ V={x ，3，u ，v ，5，4} 图2.2 考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。 我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U ，则它是自同构。此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s. 我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构 F[U]={f|f=（γ，U ），γ??[U]} 其中?[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。 一个结构群满足规则F ： 1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U] 2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]； 2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。 例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=?（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用 ][][n F n F S n →?（1） 证明： 设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ?γγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于
常见的数学思想方法
x y 2= 常见的数学思想方法 一、中考考点： 1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。 2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。 3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。 二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式 1322+-x x 的值为2， 那么代数式x x 322 -的值等于( )A ．2 1 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想 的图象在第一象限内的交点， 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数 点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2 2 C ．2 D ．22 （三）数形结合思想 4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________． 5.函数)0(≠= k x k y 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ） （四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值） 7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ． 8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________． （五）数学建模思想 9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号） （六）函数思想 10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生 产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式； （2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大最大利润是多少 （七）统计思想 11．某地区有一条长100千米,宽千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球
最新中考化学专题一化学思想方法的应用解析版
中考化学专题一化学思想方法的应用解析版 类型1 分类法(10年4考：.3，.9B，2014.7，2013.9) 1．分类可以使人们有序的研究物质，以下分类正确的是( ) A．酸：HCl H2CO3H2SO4 B．氧化物：Al2O3O3Fe3O4 C．氮肥：KCl NH4Cl CO(NH2)2 D．单质：Fe H2O H2 2．(衡阳)分类法是化学学习的重要方法，下列关于物质分类正确的是( ) A．合金、塑料、合成纤维均属于合成材料 B．洁净的空气、牛奶、冰水混合物均属于混合物 C．纯碱、烧碱、熟石灰均属于碱 D．氧化铜、五氧化二磷、二氧化硫均属于氧化物 3．(聊城)下列物质归类正确的是( ) 4．(河北改编)归类整理是学习的一种重要方法。下列归类正确的是( ) A．氯、碘、汞都是非金属元素 B．醋酸、硝酸钾、二氧化硅都是化合物 C．蛋白质、油脂、无机盐都是人体的供能物质 D．太阳能、风能、核能都是可再生能源 5．(德州)分类是研究物质的常用方法。如图是纯净物、单质、化合物、氧化物之间关系的形象表示，若整个大圆圈表示纯净物，则下列物质属于Z范围的是( ) 第5题图 A．红磷 B．干冰 C．氯酸钾 D．食盐水 6．(合肥瑶海区二模)物质或概念之间常呈现以下三种关系。下表中有关关系的建构正确的是( ) 第6题图
类型2 推理法 7．(合肥蜀山区二模)推理是化学学习中常用的思维方法。下列推理正确的是( ) A．化合物是含有不同元素的纯净物，则含有不同种元素的物质一定是化合物 B．铝表面的氧化铝薄膜能起到保护作用，则铁表面的氧化铁也能起到保护作用C．CO2、SO2均可与碱溶液反应，所以非金属氧化物一定能与碱溶液反应 D．点燃可燃性气体前要验纯，所以点燃甲烷前一定要验纯 8．(江西)逻辑推理是学习化学常用的思维方法，下列推理正确的是( ) A．有机物都含有碳元素，所以含有碳元素的化合物一定是有机物 B．一氧化碳能从氧化铁中还原出铁，所以冶炼金属一定要用一氧化碳 C．铁在潮湿的空气中容易生锈，所以隔绝氧气和水一定可以防止铁生锈 D．化学反应通常伴有能量变化，所以人类利用的能量都是由化学反应提供 9．(曲靖改编)分析推理是学习化学的重要方法。下列推理不正确的是( ) A．中和反应一定是复分解反应，但复分解反应不一定是中和反应 B．单质是由同种元素组成的物质，但由同种元素组成的物质不一定是单质 C．碱溶液能使酚酞试液变成红色，则能使酚酞试液变红的物质一定是碱 D．化学变化中分子种类发生改变，则分子种类发生改变的变化一定是化学变化10．(安庆市一模)下列事实能证明观点的是( ) 11．(安徽)归纳法是学习化学的重要方法之一，下列图示正确的是( ) 12．(深圳改编)下列总结归纳正确的是( )
数学思想与数学方法的重要性和应用
数学思想与数学方法的重要性和应用 指导老师徐国东 （南阳师范学院数学与统计学院 473003） 摘要本文是在中学教材中发现和总结，从理论的角度提出了中学教学不能只注重对数学知识的传授，而应在整个教学中贯穿数学方法，体现数学思想，使学生提高掌握分析问题，解决问题的能力，提高学习效果． 关键词中学数学；数学；思想；方法 引言 人类的知识是不断发展的，不断更新的．人类对自然界的认识日新月异，各种数学的新分支层出不穷，边缘性、交叉性学科越来越多，形成了人类知识结构的综合化和整体化的新趋向．因此，为了适应现在社会的需要，培养具有新的知识结构的科技人才，成为当前教育目的，本文将介绍数学中深层的数学思想方法，对我们数学学习者将具有深远的意义． 一数学思想方法重要性 我国的数学课程标准规定：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：（1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技术；（2）初步学会应用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；（3）体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；（4）具有初步的创新精神和实践能力在情感态度和一般能力方面都能得到充分的发展．可见，义务教育阶段的数学课程致力于使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能．
中学数学内容是由数学知识（概念、法则、性质、公式、公理以及数学技能）和蕴藏于其中的数学方法和数学思想等组成的．从教材的构成体系来看，数学方法可以认为是表层知识，数学思想则为深层知识．数学思想是对数学知识的理性的、本质的高度抽象和概括的认识，对于开发学生智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果十分重要的意义． 数学思想方法蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程中，数学思想方法是中学数学的重要组成部分，如果把数学学习过程比喻成珍珠项链，那么数学知识点就是珍珠，而数学思想方法则是将珍珠穿起来的线．有了数学思想和数学方法，数学知识点不再是孤立的、零散的东西，它能将处于零散状态的数学知识点凝聚成优化的数学知识结构． 二数学方法 我在中学时期，对老师所说的数学方法总感到不可琢磨，变化多端，而且是无处不在不可把握．其实呢，中学数学所蕴涵的数学方法主要有：（1）数形结合方法；（2）函数与方程思想方法；（3）把实际问题转化为数学问题的模型化方法；（4）分类思想方法；（5）特殊到一般的数学思想方法；（6）优化思想方法（是指在一定条件下力求获得最优化结果的思想与观念．数学中，诸如求最大（小）值生产中降低消耗，提高效率等问题的解决都要用到优化思想）；（7）符号化思想方法；（8）概率与统计思想方法．未来社会的公民只有具有一定的处理信息的能力才能在信息社会中立于不败之地．我们在学习数学时重视这些数学思想方法，那么如何培养学生掌握这些数学思想方法呢？下面对几种重要的数学思想方法简单介绍：1数形结合方法 数形结合就是“形中觅数，数中思形”，是把重要研究的数量关系与空