2010年数学建模c题输油管的布置解析
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
输油管的布置
摘要
能源的运输线路关系到国家的经济发展，本文根据问题的条件和要求，针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形建立最优化模型。通过分析，将炼油厂、车站、铁路线之间的距离作为未知常量，列出费用优化模型，完整地解决了问题。
针对第一问：首先画出两炼油厂及车站的位置关系图，通过对问题的分析，在位置关系图的基础上采用分步设计的思路，设计出了输油管道及车站的通用方案图。利用通用方案图，设定能够表示非共用管道交汇点位置及火车站建设点位置的变量x y 、，依据几何知识建立费用最小方案模型:
22221
2=(()()())W P a y x b y c x P y -++-+-+， 利用lingo 软件编写程序，从而求解出任意情况下的费用最小方案。
针对问题二：首先分析三家公司对附加费用的不同预测及自身的资质，我们采用加权平均的方法计算出合理的附加费用法，再由第一问的模型建立最优化模型：
2222221123((())()())()W P x a y b d y c x P y P d l c =+-+--+-+++-
通过ling 软件编程从而求解出设计方案，该方案计算的费用为283.20万。方案如图所示：
针对问题三：首先比较第三问与第二问，得出第三问与第二问的区别在于输油管道费用不再是固定的值。改进第二问中的模型，建立第三问的最优化模型：
111122233
222222111223min =(())+()()++()
W P L P L P y P L P x a y P b d y c x P y P d l c =++++---+-+- 代入数据从而得出了最优方案。方案计算的费用为252.47万
关键词： lingo 最优化模型 加权平均值
一．问题重述
1.问题的重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
2.提出问题：
（1） 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
（2） 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
（3）在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。然后给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二．问题分析
（1）针对问题一，由题意可知，此问未提供任何与解题有关的已知的数据，仅给出有两个炼油厂需要铺设通往火车站的管道，火车站也是未知待定的。要想设计出合理的方案，就需要画出草图，以此形象的显示设计方案所涉及的不同情形，未知数据先用工程咨询公司
公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20
字母表示出来。设计方案的总体思路是采用分步设计，首先架设非公用管道，其次架设共用管道，最后确定火车站的位置，。根据设计过程中总结的规律，建立最优化模型，解决问题一提出的问题。
（2）针对问题二，通过比较问题一和问题二的题设条件可知，问题二给出了影响总费用的因素，每千米的铺设费用7.2万元和附加费用。因三家工程咨询公司评估的附加费用不同（其中公司一21万元/千米，公司二24万元/千米,公司三20万元/千米），并且资质也不同（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）。所以我们采用加权平均的方法对评估出来的三种不同费用进行处理，求出更为合理的附加费用值。
在设计费用最优化模型时，考虑到城市的拆迁费用，我们将输油管穿过城区的部分用L3表示。然后分共线和不共线两种情况进行比较分析：当A 厂,B 厂输油管有共用管线时，从B 厂出发架设到共用管线时的非共用管线分两部分考虑L2，L3，共用管线用Y 表示。未知变量均用字母表示出来，建立最优化模型，在 lingo 中输入目标函数与约束条件，导出结果目标函数值；当A 厂,B 厂到车站的输油管没用共用管线时，由模型可知，此时Y=0。同理，运用lingo 软件，在共线模型的基础上给约束条件中的Y 赋值为0，计算出此时的目标函数值。通过比较A 厂，B 厂到车站是否使用共用管线的两种情况所需费用，得出最优方案。
（3）针对问题三：问题三在问题二的基础上考虑到实际问题，依据炼油厂的生产能力不同，选用相适应的输油管。这时的管线铺设费用将分别降为：输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元.根据问题二共线和不共线两种情况下建立的模型，修改在lingo 程序里的每千米的管道费用值，即可导出结果，通过比较A 厂，B 厂到车站是否共用管线时的费用，确定最佳方案。
三．问题假设
1、铺设的管道所经区域均为平整无阻隔的平地，不存在影响管道铺设的地形，如河流，山谷等。
2、铺设管道的路线由若干条直线段构成，不存在曲线。
3、铁路线不存在拐弯或曲线的情况，可看做是一条直线
四、 名词解释及符号说明
1．名词解释：1.
2.
2．符号说明
W 方案总费用
1P
非共用管线单位长度的费用 2P
共用管线单位长度的费用 11P 由炼油厂A 导出的非共用管线的费用
12P
由炼油厂B 导出的非共用管线的费用
3i P
公司i 评估的附加费用 3i P 三家公司评估的加权平均值
i 公司i 的权重
a 炼油厂A 到铁路线的垂直距离
b 炼油厂B 到铁路线的垂直距离
c 炼油厂A 、B 在以铁路线为水平线的竖直距离
1L 由炼油厂A 导出的非共用管线的长
2L 由炼油厂B 导出的非共用管线的长
'L 建模前共用管线的长的表示
y 建模后共用管线的长的表示
3L 在Ⅱ区域内的非共用管线的长
T 非共用管线的交汇点
D 车站的建设位置
x
车站距离炼油厂A 在铁路线上的垂点之间的距离 五、 模型的建立及求解
针对问题一：
由题知本文是根据两个炼油厂的之间的位置及与铁路线的距离设定方案，方案中要确定输油管道的铺设路线及火车站的位置。方案要使铺设管道的费用最省。
问题一中未提供任何数据，说明解决第一问要解决两炼油厂在任意位置下的费用最优化问题。由题意知铺设管线分为有共用管线和无共用管线两种情况，下面就对这两种情况单独讨论：
（1）有共用管线情况下的最优方案：
分析问题知，要想费用最省的方案，就要知晓这几个数据：两炼油厂距离铁路线各自的垂直距离；两炼油厂以铁路线为水平线的水平距离，单位长度共用管线的费用1P 及非共用管线的费用2P 。如图一：
A 、
B 为两个炼油厂，a 、b 分别为A 、B 两个炼油厂距离铁路线的垂直距离，c 为以铁路线为水平线的水平距离。由于第一问中未提供任何数据，所以先把这些变量看作是常量。知道这几个数据的值我们才能进一步设计方案。
对于有共用管线的情况下确定的方案，一定包含有图二中的信息：
图二
图中设非公用管线和公共管线单位长度的费用分别为1P 、2P ，12L L 、分别表示从A 、B 炼油厂导出的非共用管线的长度，T 点表示两非共用管线的交汇处，从T 点导出公用管线连接到车站D ，'L 表示共用管线的长度。
在设计方案的时候我们先确定了T 点，如图三：
图三
再从T 点导出公用管线连接到车站D ，从而确定'L ，由于铁路线上任一点均可作为火车站，所以有无数条线可作为'L ，如图四：
图四
由于点到直线的垂线段是该点到直线上任意一点的线段的最短直线，所以当D 点为点T 在铁路线上的垂点时'L 最小，共用管线的铺设费用最低。所以我们在设计输油管道布置方案时，规定火车站的建造点D 为非共用输油管道交汇点T 在铁路线上的垂点，此时我们重新定义y 表示'L 。
图五
图五所示的为输油管道的一种设计方案图例：图中的a 、b 、c 为未确定的常量，观察图发现求解最佳方案就是找出最佳的T 、D 点，使得输油管道建设费用最低。图中x 表示火车站与炼油厂A 的水平距离，T 、D 两点的位置用坐标的形式可表示为：T(X,Y) D(x,0)，求D 、T 点就转化为求x 、y 值。
运用几何知识，我们可以表示出图中12L L 、：
221=()L a y x -+ （1） 222=()()L b y c x -+- （2）
假设非共用管线单位长度和共用管线单位长度的费用分别为
12P P 、，则铺设管线的总费用：
1122222212()y
=(()()())W P L L P P a y x b y c x P y =++-++-+-+ （3）
在面对具体问题时，上式中a 、b 、c 、P 1、P2将是已知的常数，公式（3）就只剩两个变量x 、y ，
公式（3）变为二元函数：(x,y)W f =,求解最小费用的问题就转化为了求二元函数的最值问题。我们可以利用lingo [1]
软件编写最优化模型解出a 、b 、c 、P1、P2被赋值后二元函数W=f(x,y)的最小值及对应的x 、y 值：
222212 minW=[()()()]P a y x b y c x P y -++-+-+ （4） 当共用管线与非共用的单位长度的费用相同时，可以在程序中增加限制条件：12P P =；而费用不同时则增加限制条件：12P P ≠。
在存在共用管线的情况下，运用该编程可以针对任意情况求解出优化方案及方案中对应的x 、y 值及最小费用；非共线输油管线的交汇点T(x,y)及车站D （x,0）的位置得以确立，这也意味着费用最低的方案中输油管线布置路线得以确立。
（2）无共用管线情况下的优化方案
若单纯铺设非共用管道，不存在共用管道，参照有共用管线下最优化模型的建立过程；可以理解为共用管道的长度为零，在图（五）对应的y 值为0，讨论这种情况时只需在加上lingo 程序中附加限制条件y=0即可优化出单纯铺设非共用管道情况下的最佳方案。那么对应的lingo 优化模型为
2222
1 minW=[()()()]P a y x b y c x -++-+- （5） 同样在无共用管线情况下，该模型能对任意情况下求解出优化方案。
为了对该共用管线和非共用管线两种情况下的模型进行检验，我们给未知常量a 、b 、c 、P1、P2任意赋值，假设a=15,b=20,c=12,P1=4,P2=6;将这些常量分别代入两种模型进行优化，计算结果为：
无共用管线情况下：min W=148.00; x=5.14.; y=0；铺设线路及火车站建设点如图六所示：
有共用管线情况下：min W=136.75; x=3.80; y=10.70；铺设线路及火车站建设点如图七所示
图六 图七
针对问题二 根据问题要求我们设计管线布置方案和计算相应的费用，首先在设计管线布置方案时，我们首先分共线和不共线两种情况进行讨论，然后建立费用最优化模型，最后比较分析，选择最优方案。
1当A 厂,B 厂运往车站的输油管有共用管线时：
由题意知，三家工程咨询公司评估的附加费用不同（其中公司一，公司二,公司三分别用13P ,23P ,33P ），并且[2]资质也不同（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）。由此我们首先对三家公司赋予权重1230.4,0.3,0.3ωωω===；又知三家工程咨询公司评估的费用： 12333321,24,20P P P ===,进而采用加权[3]平均的方法对三家公司评估出来的三种不同费用进行处理，求出更为合理的附加费用值3P 。
123313233321.6P P P P ωωω=++=(万元/千米)
参照题中图表画出了输油管道布置图，如图八：
图八
首先从B 厂铺设输油管道，管道经过城区的输油管道的长度为3L ，设交点与点B 在以铁路线为水平线的水平距离为d ；然后再分别由交点和炼油厂A 铺设非共用管道12L L 、，并于T 点交汇；接着由T 点铺设通向车站D 的共用管道，由第一问中的结论的
点D 为点T 在铁路线的垂点，设这段共用管道的长为y ，车站D 与炼油厂A 在以铁路线为水平线的竖直距离为x 。在该图中有d 、x 、y 未知量，由几何知识，可以分别表示出123L L L 、、：
221(())L x a y =+-；
222()()L b d y c x =--+-； 223()L d l c =+-；
设非共用管线和共用管线的费用分别为1P 、2P ，则建立总费用的模型：
112233()W P L L P y L P =+++
2222221
23((())()())()P x a y b d y c x P y P d l c =+-+--+-+++- （6） 运用类比在问题一中编写的lingo 程序，我们再次使用lingo 编写适用于问题二的模型：
222222123min ((())()())()W P x a y b d y c x P y P d l c =+-+--+-+++- （7）
221(())L x a y =+-；
222()()L b d y c x =--+-；
223()L d l c =+-； 由题问题二中给出的条件知：12337.2,7.2,21.6,a=5,b= 8,c=15,20;P P P P l =====运用lingo 软件编写程序，得到目标函数的值（运算结果见附录），即在共线的情况下，方案 中的总费用与对应值。
123283.20 5.45() 1.85(),=0.63() 6.29,11.03,5.04,W x y D L L L ======，千米，千米千米，（千米）（千米）（千米）方案见图九：
图九
2、当A厂,B厂运往车站的输油管没有共用管线时：
同理，由共线时的模型可知，分析在不共线的情况，此时Y=0。运用lingo软件，在共线模型的基础上给定约束条件中的Y赋值为0，计算出此时的目标函数值为285.04（万）。方案如图十所示：
图十
通过比较A厂，B厂到车站是否使用共用管线的两种情况所需费用，若单纯考虑费用最低的方案，则有共用管道的方案是最优方案。
针对问题三：
问题三在问题二的基础上考虑到实际问题，依据炼油厂的生产能力不同，选用相适应的输油管。这时的管线铺设费用将分别降为：输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元。根据问题要求我们设计管线布置方案和计算相应的费用，在设计管线布置方案时，我们首先分共线和不共线两种情况进行讨论，然后建立费用最优化模型，最后比较分析，选择最优方案。.
1当A厂,B厂运往车站的输油管有共用管线时
根据问题二共线情况下建立的模型，由题意可知，问题三可以看作是问题二共线情况下的延伸，它与问题二的区别在于A厂、B厂单位长度的管线费用由原来的均为7.2万每平方千米变为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，因此可以对问题二在lingo编写的程序中的约束条件（每千米的管道费用值）稍作修改，即可做出符合此问题意的最优化模型，即可导出结果。
。
111122233
222222
111223min =(())+()()++()W P L P L P y P L P x a y P b d y c x P y P d l c =++++---+-+- （8） (11P 、12P 分别表示油厂A 、B 铺设的非共用管线单位长度的费用其他字母表示的意义同上)
代入已知数据求得方案结果：
123252.4737 6.7321()0.1401(),=0.7178()8.3030,10.9255, 5.0512,
W x y D L L L ======（万元），千米，千米千米，（千米）（千米）
（千米）
2当A 厂,B 厂运往车站的输油管没有共用管线时
同理，由共线时的模型可知，分析在不共线的情况，此时Y=0。运用lingo 软件，在共线模型的基础上给约束条件中的Y 赋值为0，得出了无共用管线的方案。此时费用为123252.4808 6.7515()0(),=0.7264()8.4013,10.9974, 5.0525,
W x y D L L L ======（万元），千米，千米千米，（千米）（千米）（千米）
下面我们观察两种方案的示意图：
比较两种情况所需费用，无共用管线的方案比有共用管线的方案多出0.0071万元，
两方案费用几乎相等。有共用管线时的方案所铺设的共用管线仅有0.1401千米，在实际情况下发挥的作用很小，而且共用管线一旦损坏，将影响到两家炼油厂输油，会造成巨大的经济损失，所以综合考虑我们采用无共用管线的方案作为问题二的最终方案。
六．模型的评价与推广
模型评价：
优点：
1.该模型是对任意情况下的无限种方案进行筛选，选择出费用最省的方案，精准度
高，
2.对问题进行了合理的假设，舍去次要因素，使模型具有反映突出主因和操作简便
的特点
3. 多次使用lingo软件，充分利用软件运行速度快，求解结果精度高的特点，
缺点：
1.模型没能考虑到实际情况的复杂因素，例如：河流、山谷等复杂地形对管线铺设
的影响；铁路线并非直线甚至出现弯道的情况。模型求解的最优方案会与实际情况有偏差。
模型推广：
论文中的三问究其本源是选址问题，因此本模型可以应用到机场、工业区选址等现实生活中遇到的问题。
七．参考文献
[1]袁新生邵大宏郁时炼.《LINGO和EXCEL在数学建模中的应用》第一版.2007 科学出版社.2008.1
[2] https://www.sodocs.net/doc/b611236156.html,/view/2981bc3d376baf1ffc4fad56.html
[3] 韩中庚陆宜清周素静.《数学建模实用教程》第一版.2012高等教育出版社.2012.3
九、附录
min=w;
w=p1*(l1+l2)+p2*y;
l1=((a-y)^2+x^2)^0.5;
l2=((b-y)^2+(c-x)^2)^0.5;
a=15;b=20;c=12;p1=4;p2=6;
y=0;
Local optimal solution found.
Objective value: 148.0000
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 116
Variable Value Reduced Cost W 148.0000 0.000000
P1 4.000000 0.000000 L1 15.85714 0.000000 L2 21.14286 0.000000 P2 6.000000 0.000000 Y 0.000000 0.000000
A 15.00000 0.000000
X 5.142857 0.000000
B 20.00000 0.000000
C 12.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 148.0000 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -4.000000
4 0.000000 -4.000000
5 0.000000 -3.783787
6 0.000000 -3.783786
7 0.000000 -1.297318
8 0.000000 -37.00000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 1.567562
min=w;
w=p1*(l1+l2)+p2*y;
l1=((a-y)^2+x^2)^0.5;
l2=((b-y)^2+(c-x)^2)^0.5;
a=15;b=20;c=12;p1=4;p2=6;
Local optimal solution found.
Objective value: 136.7490
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 140
P1 4.000000 0.000000
L1 5.737814 0.000000
L2 12.40448 0.000000
P2 6.000000 0.000000
Y 10.69664 0.000000
A 15.00000 0.000000
X 3.795207 -0.1413036E-07
B 20.00000 0.000000
C 12.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 136.7490 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -4.000000
4 0.000000 -4.000000
5 0.000000 -3.000037
6 0.000000 -3.000017
7 0.000000 -2.645773
8 0.000000 -18.14229
9 0.000000 -10.69664
min=w;
w=p1*(l1+l2+l3)+p2*y+l3*p3;
l1=((a-y)^2+x^2)^0.5;
l2=((b-d-y)^2+(c-x)^2)^0.5;
l3=(d^2+(l-c)^2)^0.5;
a=5;
b=8;
c=15;
l=20;
p1=7.2;
p2=7.2;
p3=21.6;
Global optimal solution found.
Objective value: 283.2013
Objective bound: 283.2010
Infeasibilities: 0.1598721E-13
Extended solver steps: 724
Total solver iterations: 68114
P1 7.200000 0.000000
L1 6.290195 0.000000
L2 11.03031 0.000000
L3 5.039526 0.000000
P2 7.200000 0.000000
Y 1.854903 0.000000
P3 21.60000 0.000000
A 5.000000 0.000000
X 5.447469 -0.1994906E-08 B 8.000000 0.000000
D 0.6299408 0.5841228E-08 C 15.00000 0.000000
L 20.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 283.2013 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -7.200000
4 0.000000 -7.200000
5 0.000000 -28.80000
6 0.000000 -3.600105
7 0.000000 -3.600060
8 0.000000 22.33870
9 0.000000 -28.57413
10 0.000000 -22.36003
11 0.000000 -1.854903
12 0.000000 -5.039526
：min=W;
W=P11*L1+p12*(L2+L3)+P2*y+P3*L3;
L1=(x^2+(a-y)^2)^0.5;
L2=((b-d-y)^2+(c-x)^2)^0.5;
L3=(d^2+(l-c)^2)^0.5;
P11=5.6;P12=6.0;p2=7.2;P3=21.6;a=5;b=8;c=15;l=20;
Global optimal solution found.
Objective value: 252.4737
Objective bound: 252.4734
Infeasibilities: 0.1221245E-13
Extended solver steps: 475
Total solver iterations: 49892
Variable Value Reduced Cost
W 252.4737 0.000000
P12 6.000000 0.000000 L2 10.92552 0.000000 L3 5.051266 0.000000 P2 7.200000 0.000000 Y 0.1401119 0.000000 P3 21.60000 0.000000 X 6.732103 0.000000
A 5.000000 0.000000
B 8.000000 0.000000
D 0.7178328 0.000000 C 15.00000 0.000000
L 20.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 252.4737 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -5.600000
4 0.000000 -6.000000
5 0.000000 -27.60000
6 0.000000 -8.302995
7 0.000000 -15.97679
8 0.000000 -0.1401119
9 0.000000 -5.051266
10 0.000000 -3.277832
11 0.000000 -3.922261
12 0.000000 22.77934
13 0.000000 -27.31990
min=w;
W=P11*L1+p12*(L2+L3)+P2*y+P3*L3;
L1=(x^2+(a-y)^2)^0.5;
L2=((b-d-y)^2+(c-x)^2)^0.5;
L3=(d^2+(l-c)^2)^0.5;
P11=5.6;P12=6.0;p2=7.2;P3=21.6;a=5;b=8;c=15;l=20;
y=0;
Local optimal solution found.
Objective value: 252.4808
Total solver iterations: 162
Variable Value Reduced Cost
L1 8.401321 0.000000
P12 6.000000 0.000000
L2 10.99741 0.000000
L3 5.052497 0.000000
P2 7.200000 0.000000
Y 0.000000 0.000000
P3 21.60000 0.000000
X 6.751458 0.2191743E-08
A 5.000000 0.000000
B 8.000000 0.000000
D 0.7264478 -0.6909230E-08
C 15.00000 0.000000
L 20.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 252.4808 -1.000000
2 0.000000 -1.000000
3 0.000000 -5.600000
4 0.000000 -6.000000
5 0.000000 -27.60000
6 0.000000 -8.401321
7 0.000000 -16.04991
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 -5.052497
10 0.000000 -3.332862
11 0.000000 -3.968364
12 0.000000 22.81292
13 0.000000 -27.31324
14 0.000000 0.1010462
syms a b c x y p1 p2
W=p1*(((a-y)^2+x^2)^(1/2)+((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2))+p2*y;
jacobian(W,[x,y])
ans =
[ p1*(1/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*x+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*c+2*x)), p1*(1/2/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*(-2*a+2*y)+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*b+2*y))+p2]
解方联立方程程组
syms a b c x y p1 p2
f1=('p1*(1/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*x+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*c+2*x))=0');
f2=('p1*(1/2/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*(-2*a+2*y)+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*b+2*y))+p2=0');
[x,y]=solve(f1,f2,x,y)
x =
1/4/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a+2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2))* c/(1/2/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a+2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2) )-a+b)
1/4/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a-2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2))*c /(1/2/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a-2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2))-a+b)
y =
a-1/4/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a+2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2) )
a-1/4/(4*p1^2-p2^2)*(2*p2^2*b-8*p1^2*b-2*p2^2*a+8*p1^2*a-2*(-p2^4*c^2+4*c^2*p2^2*p1^2)^(1/2)) >> x=simple(x)
x =
1/2*(p2^2*b-4*p1^2*b-p2^2*a+4*p1^2*a+p2*c*(4*p1^2-p2^2)^(1/2))/p2/(4*p1^2-p2^2)^(1/2)
-1/2*(p2^2*b-4*p1^2*b-p2^2*a+4*p1^2*a-p2*c*(4*p1^2-p2^2)^(1/2))/p2/(4*p1^2-p2^2)^(1/2)
>> y=simple(y)
y =
1/2*(4*p1^2*a-p2^2*a-p2^2*b+4*p1^2*b-p2*c*(4*p1^2-p2^2)^(1/2))/(4*p1^2-p2^2)
1/2*(4*p1^2*a-p2^2*a-p2^2*b+4*p1^2*b+p2*c*(4*p1^2-p2^2)^(1/2))/(4*p1^2-p2^2)
>>
syms a b c x y
W=(((a-y)^2+x^2)^(1/2)+((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2))+y;
>> jacobian(W,[x,y])
ans =
[ 1/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*x+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*c+2*x), 1/2/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(2*y-2*b)+1]
syms a b c x y
>> f1=('1/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*x+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(-2*c+2*x)=0');
>> f2=('1/2/((a-y)^2+x^2)^(1/2)*(2*y-2*a)+1/2/((b-y)^2+(c-x)^2)^(1/2)*(2*y-2*b)+1=0');
>> [x,y]=solve(f1,f2,x,y)
x =
1/2*(-3*b^2+6*a*b+c^2-3*a^2-3*(-b+a+1/3*3^(1/2)*c)*b+3*a*(-b+a+1/3*3^(1/2)*c))/c
1/2*(-3*b^2+6*a*b+c^2-3*a^2-3*(-b+a-1/3*3^(1/2)*c)*b+3*a*(-b+a-1/3*3^(1/2)*c))/c
y =
1/2*a+1/2*b-1/6*3^(1/2)*c
1/2*a+1/2*b+1/6*3^(1/2)*c
>> x=simple(x)
x =
1/6*3^(1/2)*(-3*b+3*a+3^(1/2)*c)
-1/6*3^(1/2)*(-3*b+3*a-3^(1/2)*c)
>> y=simple(y)
y =
1/2*a+1/2*b-1/6*3^(1/2)*c
1/2*a+1/2*b+1/6*3^(1/2)*c
《输油管道设计与管理》要点
《输油管道设计与管理》 一、名词解释（本大题╳╳分，每小题╳╳分） 1可行性研究：是一种分析、评价各种建设方案和生产经营决策的一种科学方法。 2等温输送：管道输送原油过程中，如果不人为地向原油增加热量，提高原油的温度，而是使原油输送过程中基本保持接近管道周围土壤的温度，这种输送方式称为等温输送。 4、线路纵断面图：在直角坐标上表示管道长度与沿线高程变化的图形称为线路纵断面图。 5、管路工作特性：是指管长、管内径和粘度等一定时，管路能量损失H与流量Q之间的关系。 6、泵站工作特性：是指在转速一定的情况下，泵站提供的扬程H和排量Q之间的相互关系。 7、工作点：管路特性曲线与泵站特性曲线的交点，称为工作点。 8、水力坡降：管道单位长度上的水力摩阻损失，叫做水力坡降。 10、翻越点：在地形起伏变化较大的管道线路上，从线路上某一凸起高点，管道中的原油如果能按设计量自流到达管道的终点，这个凸起高点就是管道的翻越点。 11、计算长度：从管道起点到翻越点的线路长度叫做计算长度。 12、总传热系数K：指油流与周围介质温差为1℃时，单位时间内通过管道单位传热表面所传递的热量。 13、析蜡点：蜡晶开始析出的温度，称为析蜡点。 14、反常点：牛顿流体转变为非牛顿流体的温度，称为反常点。 15、结蜡：是指在管道内壁上逐渐沉积了某一厚度的石蜡、胶质、凝油、砂和其它机械杂质的混合物。 19、顺序输送：在一条管道内，按照一定批量和次序，连续地输送不同种类油品的输送方法。 20、压力越站：指油流不经过输油泵流程。 21、热力越站：指油流不经过加热炉的流程。 25．混油长度：混油段所占管道的长度。 26．起始接触面：前后两种（或A、B）油品开始接触且垂直于管轴的平面。 27、动水压力：油流沿管道流动过程中各点的剩余压力。 二、填空题 1、由于在层流状态时，两种油品在管道内交替所形成的混油量比紊流时大得多，因而顺序输送管道运行时，一般应控制在紊流状态下运行。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 (1) 如图1，设P的坐标为(x, y) (x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为 2 2 2 2) ( ) ( ) ( ) , ( min y b x c y a x ky y x f- + - + - + + = 图1 只需考虑2 1< ≤k的情形。对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设b a≤） (a) 当) ( 42 a b k k c- - ≤时，) ,0( *a P=，ka c a b f+ + - =2 2 m in ) (； (b) 当) ( 4 ) ( 42 2 a b k k c a b k k + - < < - - 时， ? ? ? ? ? ? - - + + - - =) 4 ( 2 1 , 2 ) ( 2 4 2 2 *c k k b a c b a k k P， ()c k k b a f2 m in 4 ) ( 2 1 - + + =； (c) 当) ( 42 a b k k c+ - ≥时，)0, ( * b a ac P + =，2 2 m in ) (c b a f+ + =。 对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k = 1。 本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图2）。
输油管铺设优化资料
变拆迁补偿输油管布置的优化模型 问题： 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区（图中的I 区域），B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 问题推广： 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 4.假如拆迁费用与距郊区的距离呈线性关系()10k x x 万元/千米，进一步考虑问题2. 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20
一、 问题分析 在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。 共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。 本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。 二、 模型假设与符号说明 模型假设 （1）两炼油厂分别为A 、B ，位于铁道线的同侧； （2）铁路是一条直线，不考虑其弯曲情况，且E 点为车站； （3）相同资质的工程咨询公司在估价中权重相等； （4） 点P 为共用管线与非共用管线的节点；共用管线费用是非共用管线费用k 倍，且（12k ≤≤） （5）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。 符号说明 （1） 到铁路线的垂直距离；炼油厂A a : （2） 到铁路线的垂直距离；：炼油厂B b （3） 水平距离；到城区与郊区交界线的：炼钢厂A c （4） 的水平距离；、炼油厂B A l : （5） 管线建设总费用；:ω （6） ：非共用管线的费用；0ε （7） m ：城区铺设管道时需付的拆迁附加费用。 三、 模型的建立及求解 模型一：同一区域内管道铺设的最省费用 假设非共用管道铺设费用为0ε，总长度为1L ；共用管道铺设费用为0k ε，总长度为2L ；铺设管道的总费用记为ω。
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
数学建模之输油管的布置
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是建立起数学模型寻求使铺设管道费用最低的设计方案。但是不同于普遍的最短路径问题，他受各种实际情况影响，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等都会对设计产生影响。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们根据光的传播原理和两大间线段最短的原则设计了最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异时，只需考虑如何设计最短路线即可得到最低费用的设计方案；在考虑共用管线差价的情况下，只需建立两个未知变量，当代入已知常量，就可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，在此基础上增加了城区和郊区铺设管线单位价格的不同，我们进一步改进了数学模型，由于铺设费用存在差异，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，基于该模型，我们在模型基础上建立直角坐标系，设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用C++编辑程序求借出最小值。 问题三：该问题的解答方法和问题二类似，但由于城郊管线和共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型进行改进，在坐标系内增加一个变量，建立最低费用函数，并且利用C++解出最低费用和路径坐标。 关键字： c++程序设计光的传播原理数学模型最低费用
2004年中国大学生数学建模竞赛C题 饮酒驾车问题
2004年全国大学生数学建模竞赛C题及建模论文 C题饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1.对大李碰到的情况做出解释； 2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： 0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55 时间(小 时) 酒精含量306875828277686858515041时间(小 678910111213141516 时) 酒精含量3835282518151210774
输油管的布置
输油管的布置 摘要 摘要中要把文章中模型的方法、思想、技巧、结论体现出来。关键词：研究对象建立模型求解算法等专业术语
一问题重述 1.1.背景资料与条件 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路在线增建一个车站，用来运送成品油.现在针对这一计划,建立一个能够使管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1.2.需要解决的问题 1．针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，设计合理、科学的方案，同时对共享管线费用与非共享管线费用相同或不同的情形进行讨论。 ２。假设两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区(图中的I区域），B厂位于城区(图中的IＩ区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=２0。 若所有管线的铺设费用均为每千米7。2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米)2124２0请针对以上所述的复杂情形设计出管线布置方案及相应的费用。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5。
6万元，输送B厂成品油的每千米6。0万元，共享管线费用为每千米7。２万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二问题分析 问题的重要性分析(社会背景） 输油管一般为200—750毫米的无缝钢管，外涂沥青，并包绝热材料等，埋于地下，以防冻结和损坏,用输油管运输成品油，可节省运输设备和费用。设计一个最优化的可以尽量节省管线建设费用的方案，可以有效提高炼油厂的工作效率,节省油价成本，对炼油厂的长期经营和持续发展起到一个重要的作用。 问题的思路分析 铺设输油管的总费用包括管线铺设费用和拆迁等附加费，因此解决问题的关键在于设计一个能够节省铺设费用和附加费的方案. 首先，因为炼油厂建造在铁路一侧,火车站在铁路在线，因此,可以铁路线所在直线为X轴建立直角坐标系,两间炼油厂为第一象限上的点；然后,分别对三个问题进行讨论,建立相应的模型。 (1）对于问题１,可以做三种假设. Ⅰ.假设两炼油厂没有铺设共同管线。利用“对称点”的性质和“两点之间直线最短”的定理，找出火车站的最佳点，两炼油厂各自直接铺设管线到此点，所用的总费用最少。 Ⅱ.假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用相同。利用由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边的性质，确定连接非共同管线与共同管线的交点和火车站所在的点,并得出关系式，最后通过求导公式求出解。 Ⅲ．假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用不同。只要在对假设Ⅱ的求解方法的基础上，再考虑不同管线的费用这一因素,求解方法与上一假设的方法相似。 （２）对于问题二,采用与问题一相同的模型，将具体数据代入,从而求得最优解。 (3)在问题（２）的基础上，把各种管道不同价格分别代入，然后利用费马点的推广，进行计算. 三基本假设 3。1模型一假设 （１）忽略地形的影响，把厂A、B和铁路当作在同一平面； (2）铁路是一条笔直的水平面直线，暂不考虑铁路存在弯道、坡道等； (３)假设铺设管线时没有发生材料损耗,除了铺设管线费用和附加费之外，没有其它费用发生; (4）
数学建模C题
2015年第十二届五一数学建模联赛 承诺书 我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公 开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为： 参赛组别（研究生或本科或专科）：本科 所属学校（请填写完整的全名） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2015 年 5 月 3 日获奖证书邮寄地址邮政编码：
收件人姓名：联系电话： 2015年第十二届五一数学建模联赛 编号专用页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）： 2015年第十二届五一数学建模联赛 题目“二孩政策”问题 摘要 本文针对于生态文明建设的评价问题，选取了评价生态建设文明的具有代表性的几个指标，并且通过建立城市生态文明建设指标预测模型，来判断地区生态文明建设程度。 对于第一问，针对我国现有的生态文明建设的评价指标问题，我们首先查阅了全国在省级生态文明建设评价方面较为权威的北京林业大学生态文明研究中心公布的中国省级生态文明建设评价报告，以及其他具体于各地区省市的生态文明建设的论文，在此基础上，列举出来了6大类，18个较为重要的评价指标。 对于第二问，我们首先根据罗列出的指标中的重要程度以及数据获取的可行性和权威性和反映大类指标程度选择了单位GDP能耗、单位GDP水耗和单位GDP 废水、废气排放量、绿化覆盖率、人均公共图书藏书量。然后通过熵值法确定了
数学建模一等奖-输油管布置的优化模型
输油管布置的优化模型 摘要 本文建立了输油管线布置的优化问题.为了使两家炼油厂到铁路线上增建的车站的管线铺设费用最省，依据题目提供的有关数据及相关信息，设计出了总费用最少的输油管布置方案以及增建车站的具体位置，最终在讨论分析后，对模型做出了评价和推广. 模型Ⅰ：对问题1,根据两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间的不同距离以及共用管线与非共用管线的两种不同情况，给出了四种处理方案，并从图形上加以说明. 模型Ⅱ：对问题2,建立了最优模型.在单目标非线性规划模型中，将输油管道铺设分为两个过程.先将输油管道从城区铺设到城郊区域边界线上一点，再从该点铺设到铁路线上.这样，总的费用就化为这两个过程的管道费用之和.本模型兼顾到管线的铺设费用，在城区铺设管线需增加的拆迁和工程补偿等附加费用，运用Lingo9.0数学软件得到新增车站的建设位置、管线的具体布置方案及管线费用最小值281.6893万元. 模型Ⅲ：根据炼油厂的实际能力，借助题目提供的输送A、B两厂原油的管线铺设费用，在模型Ⅱ的基础上建立最优模型，给出管线最佳布置方案及相应的最省管线铺设费用为250.9581万元. 关键词：输油管共用管线非共用管线 Lingo9.0 非线性规划
一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型和方法。 现欲解决下列问题： 问题1：针对炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，考虑共用管线与非共用管线相同或不同的情形。 问题2：设计院目前需对一更为复杂的情形(两炼油厂的具体位置)进行具体的设计。两炼油厂的具体位置如下图： 若所有管线的费用均为7.2万元/千米。铺设在城区的管线还需增加迁拆和工程补偿等附加费用，为对此附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用(万元/千米)212420 要求我们为设计院给出管线布置方案及相应的费用。 问题3：在实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油为5.6万元/千米，输送B厂成品油为6.0万元/千米，共用管线费用为7.2万元/千米，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
2010年数学建模C题 ( 输油管的布置 )全国二等奖
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆教育学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 涂强 2. 黄黎 3. 聂凤云 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：杨鑫波 日期： 2010 年 9 月13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
摘要 本文从某油田计划在铁路线一侧建造炼油厂和在铁路线上增建一个车站开始，从节省建设费用和距离最短两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究，进而制定出输油管布置的设计方案，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而找出最佳方案，求得最优解。在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将炼油厂简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。 在问题Ⅰ中，我们将焦点锁定在从两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形的角度，制定不同的设计方案。我们从选取的数据和相关资料出发，利用物理光学性质，费尔马点建模，判别式法等相关性质与知识，并以两厂与车站的距离长短和两厂之间的距离长短以及是否共用管线，来分别制定六种不同的设计方案。 在问题Ⅱ中，我们从建立管线建设费用最省的条件出发，采用线性最优化思想，对成本在约束函数的条件下，求得最小值，由于本文还涉及到工程咨询公司的资质，于是便利用加权重的方法来综合考虑甲乙资质公司得到最优的附加费用值，这样就使得本文解题思路的合理性增强。求解过程使用LINGO软件，从而算出共用管道与非共用管道的费用。 ○1共用管道费用: Z y =+从而得出 7.2 Z=281.689。 ○2非共用管道费用为： Z=Z=283.5239。 由此可见，共用管道相对省费用，总共费用为：281.6893。 在问题Ⅲ中，为进一步节省费用，且根据炼油厂生产能力的大小，来选用相适应的油管，于是我们在问题二的基础上，将问题二中的最佳方案合理利用在问题三中，以此得出了管线的最佳布置方案及相应的费用。最佳布置方案需要共用管线，并且此时，管线费用为：250.9581。 最后，我们从本论文研究方向考虑，为在铁路旁建立车站和在铁路一侧建立炼油厂提出了其它设想，如：假设铁路是弯的。 【关键字】线性规划加权重物理光学性质费尔马点建模 lingo求解判别式法
输油管道布置的优化设计模型
输油管道布置的优化设计模型 摘要 管道运输是输送石油的一个重要途径，设计合理的管线铺设方案，不仅可以节省铺设的费用，还可以减少后期运输的成本，提高经济效益。本文针对题目中给出的不同情况，运用平面解析几何的轴对称原理、多元函数极值理论和计算机搜索算法等方法，设计了不同情况输油管线的详细方案。 问题一中，根据有无共用管线，以及各段管线的单位费用相同或不同，将模型分为四种情况进行讨论，并用matlab软件进行符号运算。 针对问题二，首先对三家工程咨询公司的估价结果按资质权重进行计算，得到较准确的附加费用估计值。接着就郊区部分是否铺设共用管线，分别建立数学模型并求得相应的最小费用。然后用搜索算法在可行域内搜索最优解，验证设计方案的正确性。比较所得结果，有共用管线的设计方案费用最低，为283.2789万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.37km；A、B 两厂管线的会合点距城郊分界线9.55km，距铁路沿线1.85km；车站距城郊分界线9.55km。 问题三与问题二类似，但各段管线的单位费用不相同。在前面结论的基础上，按郊区部分有无共用管线，分别建立模型并进行计算，再用搜索算法搜索最优点对方案进行验证。经比较，无共用管线方案费用最低，为252.5608万元。具体设计方案是：B厂管线与城郊分界线的交点距铁路沿线7.3km；车站距城郊分界线8.3km。 本文综合考虑了输油管线布置的各种情况，从费用最少的角度出发，为设计院提供了较为详细的设计方案。通过对比各种设计方案所需的费用，得出费用最少的方案，并用搜索算法进行了检验，确保了设计方案所需费用的准确性。 关键词：轴对称多元函数极值搜索算法优化设计
输油管布置问题
输油管布置问题之研究 组员：杨成业 （组长） 常永培 姬成功 一、 摘要 输油管道的布局问题具有一定普遍性，在实际建设和铺设过程，需要对建设费用，管道型号，地形和其他因素所造成的影响降到最低，即布置管道达到最优状态----费用最低。对此问题我们采用了线性规划方法进行了研究。 对于问题一，我们认为，在实际情况下，炼油厂的建立完全是根据油田开采而建立的，因此我们是以炼油厂有什么样的位置确定铺设什么样的管道，我们合理的建立了平面坐标轴进行处理，通过计算得出了多种情况下的最佳方案。得到满足问题一的位置判断方程：221(2)P l k c m kn =+-+。1()c a b =+；得出管道铺设的几种最优方案，即可根据费用n,m 和公共管道k 的合理关系进行管道铺设 的合理判断，即公式：2211122 2()2k kc ab c c n k a m k -++≤≤--，推出优化方程2222123()()()()22l l P h t a p h t b p kp =++-+-+-+，可适用于一般管道铺设； 对于问题二，我们采用线性规划的方法讨论公共管道是建在郊区还是城区两 种情况，取其最优方案。综合之下，我们做出了将管道合理的建在郊区某个地方。得出适用于问题二的一般费用公式： 222 2 22 111()()()() (())()()[]c y a k y c y a k P n k m a k y m r l c b k y y --+-?-=?+?-++++?-+-- 得出比较接近于实际情况的结果 P=282.6973万元 对于问题三，我们在第二问的解题思路的基础上对一般的公式进行改进，得出 2222222 11112 222()()()()()()()[]()()()()()()()()() m r y c c y b k m r y c b k P m a k c n r k m r m r l y b k m r l y m r l y +-?-+-+-?-=?--+++?++?++-+-+-+-当k=0时，y=6.05935738;千米 P=252.93557;万元 我们的创新之处是：采用坐标轴的方法，且得出一般位置判断方程和一般费 用方程。 关键词：输油管铺设，平面坐标轴，线性规划，几何作图，MATLAB 方法求极值。 二、 问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，
数学建模优秀论文 输油管的布置
输油管的布置 摘要 本文讨论了输油管线最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。通过分类讨论、图形求解，以及构建非线性规划的目标函数和约束条件，编写程序，然后借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案。建立了三个模型，求出了三种情况下的最优管线铺设方案和最少费用。 针对问题一的情形，我们采用分类讨论的方法，细分了三种情况：没有共用管线、有共用管线且共用管线费用与非共用管线费用相同、有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用不同。 没有共用管线时，我们根据初等几何中“求直线上一点，到直线一侧的两定点距离之和最短”的知识，利用图形求解，得到了使得铺设管线费用最少的车站建设点。 对于后两种情况，参考了文献[1]中对“费尔马点”问题的推广，即“求一点，使得它到定直线和直线一侧两定点距离之和最短”问题的讨论，结合具体问题进行改进，得到了使得费用最少的管线铺设方案，并求出了最少费用，具体结果见正文。 问题二的情形更复杂，城区管线增加了附加费用。我们按车站建设在城区或郊区，分成两种情况讨论，然后再比较这两种情况下各自的最优方案，优中选优。这样，使得解决问题的思路变得清晰。 首先对于三家公司的估计数据，我们根据其资质等级设立权重，得到较合理的一个数据。 然后，以铺设管线的总费用作为目标函数，结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性规划问题。 最后，编写程序，利用lingo软件得到关键点的坐标，进而得到最优的管线铺设方案和最少花费。我们发现，最优方案中，车站应建在郊区，而在城、郊界限处应有一个管线的转折点，具体结果见正文。 问题三与问题二相比，只是A厂和B厂所用管线的费用不同了，所以我们类似问题二的分析，稍作修改就得到了最优方案。我们发现，此时车站也应建在郊区，而在城、郊界限处也应有一个管线的转折点，具体结果见正文。 本文给出了大量图形，条分缕析，虽直观易懂，但推理严谨，深入浅出，结果准确。
2010年全国大学生数学建模C题优秀论文
论文来源:无忧数模网 输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型
数学建模期末考试2018A试的题目与答案.doc
. . 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x 1.x 2.x 3.x 4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）
输油管的布置最优化模型
输油管的布置最优化模型 一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为5;8;15;20 ====。 a b c l 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二、模型假设 1）假设地势平坦，每段管线都是直的; 2）假设只考虑管线铺设费用； 3）假设铁路线近似为一条直线； 。 4）假设b a 三、符号说明 、：分别代表两家炼油厂； A B a：炼油厂A到铁路线的距离； b：炼油厂B到铁路线的距离； C：炼油厂A与铁路线的垂足； D：炼油厂B与铁路线的垂足； l：两垂足C和D之间的距离； P：两家炼油厂成品油的集运点； H：成品油的集运点与铁路线的垂足； k：非共用管线费用是共用管线费用的倍数； y：成品油的集运点到铁路线的距离； w：管线的长度； Q：输油管线与城区和郊区分界线的交点； z：输油管线与城区和郊区分界线的交点到铁路线的距离； W：总费用； p:单位长度管线铺设费用；
钻井布局数模论文
钻井布局 摘要 本文将网格移动和旋转问题转换为旧井点坐标的平移和旋转，对每一问题，先将旧井点坐标变换到单位格子中，这样分别将问题一、问题二转化为在单位格子中移动边长为2ε的正方形和半径为ε的圆，使落入正方形或圆中（包括边界）的点数最多。对于问题三，依然采用一、二问的坐标变换思想，将n 个井点坐标旋转、平移到单位格子中，则n 个井点均可利用的条件就是寻找半径最小的圆（在欧式距离下），使之包含全部的井点。 问题一：按上述思想进行坐标平移后，假设正方形中心坐标(,)x y ，建立了非线性规划模型。为了方便数值计算，在分析题目所给数据后，以0.01为步长，将x,y 在区间[0,1]上量化，运用穷举法，用matlab 编程，对每一组(,)x y ，计算每个井点到中心(,)x y 的距离，判断其是否落 入正方形内或边上，计算出落入正方形内和边上的井点数12 1 i i f =∑。然后比较，求出最大的12 1 i i f =∑及相应的(,)x y 。计算的结果是，最大可利用旧井点数为4个，此时(),x y 有多组，其中一组为（0.36,0.46），且可利用的4个旧井都是2,4,5,10号井。 问题二：先按照坐标旋转公式对坐标进行旋转，然后平移到单位格子中。用类似问题一的解法，设圆心坐标为(,)x y ，也建立了非线性规划模型。在分析数据的基础上，将旋转角度θ以0.001为步长在区间0,2π? ? ???? 上量化，x,y 的量化方法和第一问相同，对每一组(,,)x y θ，计算 每个井点到圆心(,)x y 的距离，判断是否落入圆内或圆上，求出落入的井点数。然后比较，求出落入圆内或圆上的最大井点数及相应的(,,)x y θ。计算结果是，在可旋转条件下，距离采用欧式距离时，最大可利用旧井点数为6个，此时对应的(,,)x y θ有多组，其中一组为（0.775,0.770,0.120），并且可利用的旧井均为1、6、7、8、9、11号这六口井。 问题三：对n 口旧井，求让其全部能被利用得条件，由问题一、二的求解，我们发现对一个固定的ε，其可利用的最大旧井数是一定的。所以必定存在一个最小的ε，使n 口旧井恰能都被利用。 我们选用欧式距离，在网格可旋转的情况下，讨论了最小ε的求法，这样在给定误差ε时，只要比较它和最小误差的大小，若大于，则可全部利用。 本文重点论述了，已知n 个井点坐标，在将其旋转、平移至单位格子中后，求包含所有点的最小圆的方法。即依据三点确定一个圆，计算其包含的点数，这样遍历3n c 次，比较找出包含
输油管的布置审批稿
输油管的布置 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
输油管的布置 摘要 输油管的布置属于优化问题，问题要求在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于受到各种实际情况的影响，例如，需要考虑到郊区和城区的费用不同、公用管线和非公用管线的价格不同等情况，设计出总费用最少的输油管线布置方案以及车站的具体位置。我们基于最短路径的模型，对给出的三个问题都设计的合适的设计方案。 问题一、根据两炼油厂和车站三点是否共线，考虑公用管线和非公用管线的费用相同或不同的情形，建立模型求解。 问题二、我们从铺设管道所用费用最少的原则出发，采用线性最优化原则，在约束条件下，运用LINGO软件对目标函数求得最优值。 问题三、根据问题二中比较得出的最优化模型得，将各数据带入优化模型，以此得出管道的最佳布置方案和与之相应的费用。 最后，我们从本论文研究方向出发，对可能出现的其他情况进行分析与假设，并给出一定的求解思想与方法。 关键字：优化模型线性规划 LINGO求解
一、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 问题一:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 问题二:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由图1-1所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。：设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
输油管的优化设计方案
输油管的优化设计方案 【摘要】 为了帮助油田设计院找到费用最省的输油管线建设方案，我们建立了两个多元连续函数的数学模型，称之为模型（1）与模型（2） 模型（1）是一个二元连续函数模型，简单直接地解决了油田设计院希望的费用最省的问题1。我们用两组测试数据对模型（1）进行了检测，发现结合MATLAB 软件使用起来，简单高效。结合对测试数据及其直观图像的联合分析，找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径： （1）、y>0时，需要建设共用管线，y值就共用管线的长度，模型之解直接就是最优解； （2）、y<0或y=0时，说明不需要建设共用管线，模型之解只是个纯数学意义的最小点，而不是可行方案，但借助这个纯数学意义的最小点作跳板，可间接寻找出最佳可行方案点。 这是模型（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离，故在模型（1）的基础上开发出了模型（2） 模型（2）把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。 利用模型（2），结合MATLAB软件，较轻松地解决了该设计院急需解决的俩问题： （1）、如考虑城区与郊区的因素，管线铺设单价都是7.2万元/千米时，最少建设成本为283.2013万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）5.4475千米的地点（沿B 厂方向）； （2）、如考虑郊区与城区因素的同时还考虑不同路段的管道单价，则最少建设成本为252.4737万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）6.7321千米沿B厂方向处。 总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。 【关键词】：多元连续函数的极值公允估算值偏导数