高等代数的应用论文
代数在经济管理
中的应用
班级：思源1102
小组成员：张萌11274034
徐婉琳11274060
杨紫琪11274061
指导老师：李思泽
目录
摘要 (3)
问题提出 (4)
实际应用举例 (4)
论文总结 (10)
参考文献 (11)
【摘要】
科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。【关键词】
高等代数，经济管理，实际，应用
【Abstract】
The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management.
【Key words】
Advanced Algebra, Economic and management, Practical, Application
【问题提出】
学习高等代数已经两个学期，马上就要结束这门课程了。在上学期李思泽老师讲的《高等代数在信息安全中的应用》一课中我们了解到了高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。在上学期的期末论文中，我们也对此进行了一系列探索。这学期我们小组成员又对高等代数在经济管理方面的应用进行了学习与研究，代数为我们生活中经济和管理方面的解决问题和计算提供了方便，加快了我们解决实际问题的步伐，但具体它在经济和管理方面是怎样解决问题的呢？下面我们来看一下
【实际应用举例】
一、经济线性数学模型（投入产出问题）
利用投入产出法解决问题
投入产出法，又叫投入产出分析，是利用数学和计算机研究经济活动中各产业（行业）之间、各企业之间、企业内部各工序之间或各产品之间投入量和产出平衡关系的一门科学方法。
编制投入产出表是进行投入产出分析的前提，然后要建立平衡方程组，这里解方程组就需要用到矩阵的知识来解决。为了说明问题方便，下面我们来看一个例子
【例】由甲、乙、丙3个装修公司组成一个施工单位，它们分别对外服务，在施工期间又商定互相提供服务，已知公司甲每创造单位产值分别需要公司乙提供0.1单位服务，公司丙提供0.3单位服务；公司乙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.2单位服务，公司丙提供0.4单位服务；公司丙每创造单位产值分别需要公司甲提供0.3单位服务，公司乙提供0.4单位服务。又知在该时期内，3个公司分别创造的产值为：公司甲500万元，公司乙700万元，公司丙600万元。
问：（1）在这个时期内，每个公司创造的总产值分别是多少？
（2）3个公司相互支付多少金额？
解：（1）公司乙0.1单位服务公司甲每创造单位产值分别需要
公司丙0.3单位服务
公司甲0.2单位服务公司乙每创造单位产值分别需要
公司丙0.4单位服务
公司甲0.3单位服务
公司丙每创造单位产值分别需要
公司乙0.4单位服务
设甲公司总产值为x1，公司乙总产值为x2，公司丙总产值为x3，作出投入产出分析表
根据表格建立方程组x2=0.1x1+0.4x3+700
X3=0.3x1+0.4x2+600
用矩阵形式表示为
1122330
0.20.35000.100.46000.30.40700X X X X X X ???????? ? ??? ?
=-+ ? ??? ? ? ??? ?????????
即X=AX=Y,故(E-A)X=Y,进而有
1()X E A Y -=- = 1
1
0.20.35001256.490.110.47001448.160.30.416001556.20---??????
?
? ?--= ?
? ? ? ? ?--??
????
即 x 1=1 256.49万元 x 2=1 448.16万元 x3=1 556.20万元
从中可以看出，消耗系数矩阵A 反映了生产过程的技术结构。矩阵(E-A)建立了总产品与最终产品之间的关系，矩阵(E-A)-1建立了最终产品与总产品之间的关系。
（2）3个公司相互支付多少金额？ 由于
1112131111221331112131
21222321122233321222323132333113223333132333///1/00///01/0///001/a a a x x x x x x x x x x A a a a x x x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ???????? ? ? ???=== ? ? ???
? ? ???????????
所以
1
1112
1311121312122
23212223231323331323331/0001/0001/x x x a a a x x x x a a a x x x x a a a x -?????? ? ???= ? ??? ? ?????????
11121312122232
3132333000000a a a x a a a x a a a x ????
??
?= ??? ???????
这样
1112
1321222331323300.20.31256.49000.100.401448.1600.30.40001556.20x x x x x x x x x ??????
? ???= ? ??? ? ????
?????
0289.63466.8125.650622.48
376.95579.260?? ?
= ? ???
因而可作图如下：
公司乙125.65万元
公司甲支付
公司丙376.95万元 公司甲289.63万元
公司乙支付
公司丙579.26万元 公司甲466.86万元
公司丙支付
公司乙622.48万元
【例】设经由经济系统由三个部门组成——制造业、农业、服务业，其中单位消
费向量C 1 C 2 C 3如图表格所示
（1）如果制造业决定生产100个单位产品，它将消费多少投入？
解：计算出
0.50501001000.20200.1010
C ????
????==???????????
?
结果表明，要生产一百个单位产品，制造业要订购（即需求）且消费制造业的50个单位产品，20个单位的农业产品，10个单位的服务业产品。
如果制造业决定生产X 1个单位产出，则X 1C 1表示制造业的中间需求，因为在制造X 1的单位产出过程中将消费掉的总量是X 1C 1.类似的，如果X 2和X 3 表示农业和服务业的计划产出，则X 2 C 2 和X 3C 3 列出了它们的对应中间需求。三个部门的总中间需求可以表示为
{中间需求}=X 1C 1+X 2C 2+X 3C 3=CX
其中C 为消耗矩阵[C 1 C 2 C 3]，即
0.50
0.400.20.20
0.30
0.100.10
0.10
0.30
c ????=?????? （1-2）
实际上方程给出了列昂惕夫模型。
把X 写成EX,应用矩阵代数，可以重新写出方程：
E X - C X = Y 或 ( E - C ) X = Y
（1-3）
(2) 考虑消耗矩阵为上面（1-2）矩阵的经济系统。假设最终需求是，制造业为50 个单位，农业为30个单位，服务业为20个单位，求这个需求的生产水平X 。
解：方程（1-3）中的系数矩阵是
1
000.50.40.2
0.50.4
1
00.20.30.10.20.70.1
10.10.10.30.10.1
0.7
E C --????????????-=-=--??????
??????--??????
为了解方程组，对增广矩阵做初等行变换，
0.50.40.2505425001002260.20.70.1302713000101190.10.10.72011720000178----????????????--→--→→????????????----??????
……
最后一列四舍五入为整数单位。制造业大致需要生产226个单位，农业 119个单位，服务业78个单位。
如果矩阵E-C 是可逆的，则由方程（E-C ）X=Y 得出 X=(E-C)-1Y.就大多数情况而言，E-C 是可逆的，而且产出向量X 是经济上可行的。在这个意义下，X 元素是非负的。
通常情况下，一个消耗矩阵的各列之和小于1，因为一个部门理应用小于一的投入生产一个单位的出产值。
小结：在这类问题的求解过程中，我们应用到矩阵的加减乘除法、增广矩阵、逆矩阵等，将一个实际经济类问题数学化，进而解决了生活生产中的投入产出问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
二、代数在管理学中的应用（市场营销调查预测）
1、销售某种产品，调查顾客买该产品的比例。
设
()0=P X P ικ?? ???
表示调查中得到的占有相应产品的市场份额的初始状态，P t 表示顾客购买该产品的比例，P K 代表顾客不购买该产品的比例，并满足P t +P K =1, 0≤P t ,P K ≤1。X （k ）表示K 年后市场占有的状态向量。
在调查中要调查P 11 （在原来购买该产品的顾客中，准备继续购买的比例）、P 12 （在原来未购买该产品的人群中，准备购买该产品的人的比例）、P 21（在原来购买该产品的人群中，不打算在购买该产品的人的比例）P 22 (原来未购买，将来也不打算购买该产品的人的比例)
令 11122122=P P P P P ?? ??? 且满足0≤P i j ≤1 ，
2
1
ij
n P
=∑=1
则得该产品市场占有份额的动态状态方程为
X(k) = PX ( k-1 )
又称P 为状态转移矩阵，由状态方程可得 X(k)=P K X(0) ， 对于具体数值，如：
0.60.250.40.75p ??= ??? ， 0.6(0)0.4x ??
= ???
运用矩阵特征值以及特征向量理论，可将P 相似于对角矩阵，以便计算P 的高次幂。 经计算可得
0.39(5)0.61X ??
= ???
这说明按现有情况，该产品5年后市场占有率将下降到不到40%，因此该公司应根据这份预测报告认真分析原因，采取有效措施，保持现有的市场优势。
小结：本例把代数的应用进一步扩展，它不一定只局限与数学方面的计算，它也为我们生活中做调查，做市场营销提供了方便。本例中运用到了，矩阵特征值以及特征向量及对角矩阵等数学概念，很好的体现了，代数在管理学等方面的应用。
【论文总结】
以上就是我们小组查阅图书馆资料，一起讨论，分工明细，研究之后完成的小论文。通过一年的高等代数学习和上学期写论文的经验，这次的论文编写的很顺利。在研究经济管理方面的高等代数应用上，我们又一次收获了很多知识，也在团队合作中收获了友谊和明白了集体的凝聚力。也许这篇论文有些浅显，没有用到太深奥的知识，但它是我们用心写下的，也让我们对除数学以外的其他领域有了新的了解。
最后要特别感谢李思泽老师一年以来的辛勤工作，你慈祥和蔼的笑容，条理的课件，认真严谨的工作态度一直以来感动着我们，让我们轻松地融入了您的课堂中。接下来我们见到您的机会就少了，但您的身影会一直在我们的脑海中，让我们更加努力地去钻研学术，去营造一个充实的大学生活。
【参考文献】
《线性代数及其应用》北京邮电大学出版社白同亮高桂英编著
《线性代数及其应用》（第二版）高等教育出版社河北农业大学理学院《线性代数及其应用》（第二版）科学出版社天津大学数学系代数教研组编著
《线性代数及其应用》（第二版）人民邮电出版社[美]Peter D. Lax 著
《线性优化及其扩展》国防工业出版社李炜著
《高等代数》（第三版）高等教育出版社北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编
高等代数与中学数学的联系
目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)
致谢 (10)
摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application
高等代数论文选题
高等代数论文选题 1.关于矩阵的乘积的秩的研究； 2.矩阵相似的若干判定方法； 3.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题； 4.矩阵的特征值与特征向量的应用； 5.化二次型为标准型的方法； 6.“高等代数”知识在几何中的应用； 7. 矩阵初等变换的应用； 8．“高等代数”中的思想方法； 9.“高等代数”中多项式的值、根的概念及性质的推广； 10.线性变换“可对角化”的条件及“可对角化”方法； 11.行列式的若干应用; 12.行列式的计算技巧； 13.欧式空间与柯西不等式； 14．《高等代数》对中学数学的指导作用； 15.关于多项式的整除问题； 16.虚根成对定理的又一证法及其应用； 17.范德蒙行列式的若干应用； 18.矩阵相似及其应用； 19.矩阵的迹及其应用；
20.关于对称矩阵的若干问题； 21.关于反对称矩阵的性质； 22.关于n阶矩阵的次对角线的若干问题； 23.有理数域上多项式不可约的判定； 24.n阶矩阵可对角化的条件； 25.有理数域上多项式的因式分解; 26.矩阵在解线性方程组中的应用; 27.关于整系数有理根的几个定理及求解方法; 28.代数基本定理的几种证明方法简介； 29.关于线性变换的确定（求法）; 30.线性变换思想在中学数学中的应用; 31.关于矩阵正定的若干判别方法; 32.矩阵可逆的若干判别方法; 33.线性空间与欧式空间; 34.向量组线性相关与线性无关的判定方法; 35.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法; 36.线性变换的内积刻划; 37.线性方程组的推广——从向量到矩阵; 38.幂零矩阵的性质; 39.矩阵可交换的条件; 40.关于幂等矩阵及其性质; 41.矩阵的标准形及其应用；
高等代数
高等代数方法论文 信科0901 09271013 孟庆阳
等价无穷小性质的理解、延拓及应用 【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。 【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法 Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal's Character Abstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by L'Hospital Rule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application. Key words equivalent Infinitesimal; limit; L'Hospital rule positive series; comparison test 等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便 恰当运用，达到简化运算的目的。 1 等价无穷小的概念及其重要性质〔1〕 无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数 f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。 当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。 常见性质有： 设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ 性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极 限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
高等代数论文
代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 例1：矩阵A[ 1 , 0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换，确定a b c d之间的关系，并写出矩阵M
高等代数学习报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除 高等代数学习报告 篇一：高等代数期末论文学习总结 高等代数学习总结 摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之 一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。关键词: 行列式矩阵二次型 正文: 《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用 性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引
进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。 经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域 定义：设A=（??????）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为
矩阵及其秩在高等代数中应用论文
矩阵及其秩在高等代数中的应用 玲毓 师高等专科学校数学教育 摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。 关键词：矩阵；秩；变换；可逆
1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线 性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。 这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。 2矩阵的基本理论 定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地
111212122212 n n m m mn a a a a a a ? ? ? ??? 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列,共n m ?个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表 示.通常我们用大写黑体字母,,A B C 表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用 m n A ?或() ij m n a ?表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0. 定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得, AB BA I == 那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1 A -来表示. 定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即 1000100 1I ?? ? ?= ? ??? n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11?矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =. 定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T A ,即 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ?? ,11 21 11222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵. 定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A . 定义2.8 设有n 阶方阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 的行列式A 有2 n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵
高等代数论文 个人 绝对直接可用
重庆三峡学院高等代数论文线性方程组解的判定与求解 系（部）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学（师范）学号：200906034243 学生姓名：陈超 指导教师：刘学飞（教授） 2010年12月
线性方程组解的判定与求解 陈超 (重庆三峡学院 数学与计算机科学学院 2009级数学与应用数学（师范2班）) 摘要：线性方程组称为系数矩阵和增广矩阵。若n c c n c x c x ===. ,. 22,11代入所给方程各式 均成立，则称（n c c c ,........2,1）为一个解。若n c c c ,........2,1不全为0，则称（n c c c ,........2,1）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组. 关键词：线性方程组;解的判定;求解;矩阵;初等变换;矩阵的秩 引言 线性方程组求解中，我们要掌握一般线性方程组及其通解的基本概念，同时理解矩阵的初等变换在解线性方程组的作用.判定线性方程组解的情况，要看线性方程组的表示形式和线性方程组有解的判定条件，这样才能对线性方程组的解的情况的判定及求解. 1 线性方程组的解法 我们学习过用Gramer 法则解形如 ?????? ?=++=++=++n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a nn n n n n ............................................. (21212121222212111211) 的线性方程组，也讨论过齐次线组 ?????? ?=++=++=++0......................................... 0....0....221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 事实上,方程组?????? ?=++=++=++n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a nn n n n n ............................................. .......21212121222212111211 （1）
大学高数论文范文
大学高数论文范文 1设计拟达到的目标 使用网络媒体，高等数学教学资源可以多种方式组合，以适应A 级、B级、C级不同学习者的需要。高等数学的教学从单纯课堂教学延伸到了网络上的协同辅导、学习和工作。网络提供的各种学习资源还可以被不同高校共享，并在每个学习者需要的时间和地点被使用，使高等数学的教学突破了时间和空间的限制。本设计利用云南省昆明市西南林业大学已经建设完成的遍布各教室、各学生宿舍的校园网络，以高等数学课程教学内容为核心，以高等数学教学资源库、网络课程、模拟测试题库等为资源支撑，建设高等数学课程教学网站，为教师所需集成各自教学内容、为学生自主学习和个性化培养提供全面的支持和服务。 2课程学习网站功能模块结构 2.1数学新闻 数学新闻信息显示，由课程负责人在后台添加新闻信息，包括标题、添加时间、简要描述、详细描述等内容，前端以列表形式进行展示，学生点击新闻标题，进入相应的新闻详细信息页浏览新闻内容。对新技术、新知识的分享，让学生能从课堂之余学习新知识。 2.2教学团队 2.4课程安排 2.5学习园地 学习园地模块共分为两个小的模块，分别为查看作业布置和作业提交。查看作业布置可以查询本次课或以前课程的课后作业，并能进行在线练习，或记录下来再学习。作业提交，学生根据教师的要求，完成作业后，进行作业的提交。当然，为了安全考虑，在学生上传文件前必须首先进行登录，上传文件仅为rar或zip的压缩包
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高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文题目：小论矩阵的对角化 姓名：刘文娟 学号：410401210 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月22 日
小论矩阵的对角化 刘文娟 042数本 410401210 摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条 件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。 关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩 特征多项式 循环矩阵 定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。 判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。 判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,, ,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为 ()0i E A X λ-=的一个基础解系（从而是属于i λ的一极大无关特征向量组），A 可对角化的充要条件是： 12m s s s n ++= 判定3：设12,, ,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为12,, m s s s 重根，A 可 对角化的充要条件是： 对每个()1,2, i i m =都有： ()i i r E A n s λ-=- 证明：充分性 设()i i r E A n s λ-=-， ()1,2, i m = 则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量， 但由于12,, ,m λλλ分别为12,,m s s s 重根，从而12m s s s n ++= 故A 可对角化。 必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于12m s s s n ++ =，故每个 次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量，从而 ()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m = 判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的 一次因式的乘积。 判定5：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式没有重根。即A 的 最后一个不变因子无重根。 证明： 假设A 相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同的最小多项式，我们只要证明对角
关于高等代数的一些解题方法总结
高等代数论文 题目：有关二次型的总结 学院：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：王颀 学号：１１２７１０１４ 2011年12月30日
学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。 二次型的问题来源于解析几何： 平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性 在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。 例１.二次型??? ? ?????? ??=21 21213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。 (1)、102 3?? ??? (2)、1 22 3?? ??? (3)、1113?? ??? (4)、1 113-?? ?-?? 注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。 例２.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。 解：用配方法： 2 2 2 2 12311232323233 (,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+- 2 2 2 2 12322333 (2)(1025)22x x x x x x x x =+---++
高等代数论文
高等代数论文 矩阵在生产生活方面的应用 指导老师李思泽 运输1512 崔粲 15251169 知行1501 徐鹏宇 15291200
目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 【Abstract】 (2) 【Key words】..................................... 错误!未定义书签。【实际应用举例】 (3) 1. 计算网络中的流 (3) 1.1 交通流分析 (3) 1.2 程序运行代码 (5) 1.3 程序运行截图 (8) 1.4 程序运行代码（2） (9) 1.5程序运行截图（2） (13) 2.电路分析 (13) 2.2程序运行代码 (15) 2.3 程序运行截图 (18) 【论文总结】...................................... 错误!未定义书签。【参考文献】...................................... 错误!未定义书签。
摘要 近二十年来，随着计算机技术的蓬勃发展，利用计算机的符号计算系统对代数中可计算问题形成了计算代数这个新的方向，本文主要通过对于矩阵的应用实例来说明代数在实际生活中的应用。随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。我们在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习高等代数的过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在交通流量分析，电路分析的应用进行了探究并编写了相关程序。 【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用，电路分析，交通流 Abstract In recent twenty years, with the rapid development of computer technology, using computer symbol computing system of algebra computational problems form the computational algebra in this new direction. This paper mainly through the matrix of the application examples to illustrate the application of algebra in real life. With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life, it can be said that it is closely related to the development of science and technology. At the same time, we can not forget to apply mathematical knowledge to life. In the course of learning advanced algebra, we found that the algebra has an indispensable position in life and practice. In this thesis, we study the application of the matrix in the
高等代数实践小论文
高等代数实践小论文 代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。 《高等代数I》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。 其相关具有代表性的习题如下： 1.设a,b为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____. 解答：设r(x)=cx+d,其中(r(x)) 2. f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d, f(a)=ca+d,f(b)=cb+d, 联立可解得c=,d=f(a)-a 故r(x)=+ f(a)-a. Thoughts of mine: 已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。 2.设f(x)=3-41-53-101x+7,求f(15). 解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数. 做综合除法可得f(15)=67. Thoughts of mine: 余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解. 3.求f(x)=+2-6-8+17+6-20x+8的根. 解答:f’(x)= 7+12-30-32+51+12x-20. 则(f(x),f’(x))=+-5-+8x-4. =+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=. 故f(x)的根为1,-2. Thoughts of mine:
对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易. 4.已知f(x)=+a+bx+c,a,b,c 求证:若ac+bc为奇数,则f(x)无整数根. 证:假设f(x)有整数根,则有 由于(a+b)c为奇数,故a+b,c均为奇数,故也为奇数. 则x-f(x),设f(x)=(x-)q(x),其中q(x)为整系数多项式. f(1)=(1-)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c为奇数,但1-为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根. Thoughts of mine: 奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾. 5.已知x+y+z=0,xyz0,,求++的值. 解答:++=. 令f(x,y,z)=++,首项为 故f(x,y,z)=+a+b,其中 = x+y+z=0. 故f(x,y,z)=++=-6=-2b,故b=3. 则++===3. Thoughts of mine: 表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题. 例如：解方程组
高等代数论文
高等代数心得 牟景峰 （陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000） 【摘要】在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合我对高等代数的学习，谈谈对高等代数一些感悟。 【关键词】内容概念方法 引言 老师曾说过高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具。因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程概念多和知识点杂，许多学生往往觉得学起来很困难。通过目前我对高等代数的学习，下面我谈谈在《高等代数》学习中的一些感悟。 一、尽量与中学数学内容相联系 高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法（克拉默法则）和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有我们目前还没学的欧式空间和酉空间。 通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。而且高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，我们也不明白这个概念有什么用。这种情况下，我们要提前预习，上课时选择性的、有重点的听老师讲课，这样就可以减轻学习压力，如果还有不懂得就课后继续研究，争取弄懂每一个知识点，因为高等代数的知识点是环环相扣的，不然你落下一个知识点的话会对后面的学习造成影响的。 二、深刻理解概念 高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在学习中，我们要深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。 俗话说：“书读百遍，其义自见”，所以我们要学会多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。 高等代数中的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关
高等代数小论文选题
高等代数小论文备选题目 【第一学期】 1 行列式在几何中的应用 （求面积、体积、平面、直线、圆、欧拉四面体……） 2 行列式在中学数学中的应用 3 初等变换在高等代数中的作用 4 矩阵的秩关系式的证明方法 5 矩阵秩的性质研究 *6 可逆矩阵的性质研究 7 伴随矩阵的性质研究 8 分块初等变换的应用 9 矩阵的迹及其应用 10 等价标准形（P190）的应用 11最大公因式的其他求法 *12自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 16周之前交。 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书
高等代数小论文备选题目 【第二学期】 1 正定矩阵的性质研究 2 线性空间的公理化定义研究 3 线性空间研究问题的思路探讨 4 线性空间直和的证明方法 5 线性变换与矩阵的同构关系 6 相似关系下的性质研究 7特征值与特征向量在其他学科的应用 8 哈密尔顿-凯莱定理的应用 9 对角化问题的研究 10 几类标准形的研究 （等价、相似、合同、正交相似） 11 等价分类的思想方法 12 Jordan标准形的应用研究 13 欧氏空间理论在中学数学的应用 14 正交变换的性质研究 15 矩阵的乘积分解问题 16 高等代数中的数学思想 *17 自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书
高等代数教学论文
高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合教学实践，谈了一些感悟。关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。
高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。二、深刻理解概念高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。俗话说书读百遍，其义自见，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。
高等代数期末论文学习汇总
高等代数期末论文学习汇总
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高等代数学习总结 摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。 关键词: 行列式矩阵二次型 正文: 《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。 经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式 行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域 定义：设A=（a ij）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为