第三章 三角恒等变形 水平测试 (答案版)
第三章水平测试
(时间：120分钟；满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. cos 215°－sin 215°的值是( ) A.1
2 B ．－1
2 C.32 D ．－3
2
答案：C
解析：cos 215°－sin 215°＝cos30°＝3
2.
2.设α∈? ????0，π2，β∈? ?
???0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A. 3α－β＝π
2 B. 3α＋β＝π
2 C. 2α－β＝π
2 D. 2α＋β＝π
2
答案：C
解析：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，即sin αcos β＝cos α＋
sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ? ??
??π2－α，所以sin(α－β)＝sin ? ????π2－α，又因为α∈? ????0，π2，β∈? ????0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π
2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π
2，故选C.
3．若cos α＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan α2
1－tan α2＝( )
A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2
答案：A
解析：∵cos α＝－4
5且α是第三象限的角， ∴sin α＝－3
5，
1＋tan a 21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α
2＝cos α2＋sin α
2
cos α2－sin α2
＝?
?
???cos α2＋sin α22
? ?
???cos α2－sin α2? ???
?cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25
－45
＝－1
2.故选A.
4．函数y ＝cos 2
(x －π4)－cos 2
(x ＋π4)的值域为( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[－1,1]
D ．[－1
2，1]
答案：C
解析：可用降幂公式，
∵y ＝1＋cos (2x －π2)2－1＋cos (2x ＋π
2)2 ＝12[cos(2x －π2)－cos(2x ＋π2)]
＝1
2(sin2x ＋sin2x )＝sin2x ，∴－1≤y ≤1.
5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π
3＋2α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79
答案：D
解析：∵(π6－α)＋(π3＋α)＝π
2， ∴cos(23π＋2α)＝2cos 2
(π3＋α)－1 ＝2sin 2
(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－7
9.
6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B 且sin A cos A ＝3
4，则此三角形是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
答案：C
解析：∵12sin2A ＝34，∴sin2A ＝3
2，∴A ＝30°或60°.又tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A ·tan B )，
∴tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，∴A ＋B ＝120°.若A ＝30°，则B ＝90°，tan B 无意义，∴A ＝60°，B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
7．函数y ＝cos2x cos π5－2sin x cos x sin 6π
5的递增区间是( ) A ．[k π＋π10，k π＋3π
5](k ∈Z ) B ．[k π－3π20，k π＋7π
20](k ∈Z ) C ．[2k π＋π10，2k π＋3π
5](k ∈Z ) D ．[k π－2π5，k π＋π
10](k ∈Z ) 答案：D
解析：y ＝cos2x cos π5＋sin2x sin π5＝cos(2x －π
5) 由2k π－π≤2x －π
5≤2k π，k ∈Z ， ∴2k π－45π≤2x ≤2k π＋π
5，k ∈Z . ∴k π－2π5≤x ≤k π＋π
10，k ∈Z .
8．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )
A.1627
B.23
C.33
D.34
答案：D 解析：
如图，取AB 的中点D ，连接CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，tan ∠ECD ＝DE CD ＝1
3，
∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×13
1－? ??
?
?132＝3
4，故选D.
9．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，则cos(θ2＋π
8)的值为( )
A ．－45 B.45 C ．－35 D.35
答案：A
解析：m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，
|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝
4＋22(cos θ－sin θ)＝2
1＋cos (θ＋π
4).
由|m ＋n |＝825得cos(θ＋π4)＝725，又θ∈(π，2π)，所以5π8<θ2＋π8<9π
8，所以cos(θ2＋π8)<0，所以cos(θ2＋π8)＝
－1＋cos (θ＋π
4)
2
＝－
1＋725
2＝－4
5.
10．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin2x ＋2cos 2x
1＋tan x 的
值为( )
A.85
B.5
8 C.25 D.52
答案：C
解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋22sin(x ＋π
4)>0，(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，∴sin x －2cos x ＝0，∴tan x ＝2.∴原式＝
2cos x (sin x ＋cos x )1＋sin x cos x
＝2cos 2x (sin x ＋cos x )cos x ＋sin x ＝2cos 2
x ＝2cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1
＝2
5. 11．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
答案：B
解析：依题意得点M 、N 的坐标分别为(a ，sin a )，(a ，cos a )， ∴|MN |＝|sin a －cos a | ＝|2(sin a ·22－cos a ·2
2)| ＝|2sin(a －π
4)|≤2(a ∈R )， ∴|MN |max ＝ 2.
12．定义行列式运算：??
??
??
a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数 f (x )＝????
??
3 cos x 1 sin x 的图像向左平移m 个单位(m >0)，若所得图像对
应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )
A.2π3
B.π3
C.π8
D.56π
答案：A
解析：由题知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，
其图像向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π
6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π
2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋
2π3，故m 的最小值为2π3.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________． 答案：12
解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2. 14．设向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π，则 |a ＋b |的最大值是__________． 答案：2
解析：|a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ.
∵0≤θ≤π，∴－1≤cos θ≤1，|a ＋b |的最大值是2＋2＝2. 15．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝12
13，则 cos α－β
2的值为__________． 答案：76565
解析：由已知，得cos α＝－35，cos β＝5
13， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝33
65. ∴2cos 2
α－β2－1＝3365.∴cos α－β2＝±76565.
又∵0<α－β2<π2，∴cos α－β2＝76565.
16．对于下列命题：
①函数y ＝－sin(k π＋x )(k ∈Z )为奇函数； ②函数y ＝cos 2x 的最小正周期是π；
③函数y ＝sin(－2x ＋π
3)的图像可由函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π
6个单位长度得到；
④函数y ＝cos|x |是最小正周期为π的周期函数； ⑤函数y ＝sin 2x ＋cos x 的最小值是－1.
其中真命题的编号是__________．(写出所有真命题的编号) 答案：①②⑤
解析：①中，当k 是偶数时，y ＝－sin x 为奇函数；当k 是奇数时，y ＝sin x 为奇函数，所以①正确；
②中，y ＝cos 2
x ＝1＋cos2x
2
，则周期为π，所以②正确； ③中，函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π
6个单位长度，得函数y ＝－sin(2x ＋π3)≠sin(－2x ＋π
3)，所以③不正确；
④中，y ＝cos|x |＝cos x ，则其周期是2π，所以④不正确； ⑤中，y ＝sin 2
x ＋cos x ＝－cos 2
x ＋cos x ＋1＝－(cos x －12)2＋5
4，当
cos x ＝－1，函数取最小值－1，所以⑤正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分10分)已知tan(α＋π4)＝－12(π
2<α<π)． (1)求tan α的值； (2)求sin2α－2cos 2αsin (α－π4)
的值．
解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－1
2.
解之，得tan α＝－3.
(2)sin2α－2cos 2αsin (α－π4)
＝2sin αcos α－2cos 2α2
2(sin α－cos α)＝22cos α. ∵π
2<α<π且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010.∴原式＝－25
5.
18．(本小题满分12分)求证：sin2x ＋11＋cos2x ＋sin2x ＝12tan x ＋1
2.
证明：左边＝sin2x ＋1
2cos 2
x ＋sin2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＋cos 2x 2cos 2
x ＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )2
2cos x (sin x ＋cos x )＝sin x ＋cos x
2cos x ＝12tan x ＋1
2＝右边． ∴原等式成立．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ? ?
???x ＋π3－3cos 2x
＋3
4，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间????
??
－π4，π4上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f (x )＝cos x ·? ??
??12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋3
4 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －3
4cos2x ＝12sin ? ??
??2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.
(2)因为f (x )在区间??????－π4，－π12上是减函数，在区间??????
－π12，π4上是
增函数，
f ?
??
??－π4＝－14，f ?
??
??－π12＝－12，f ? ??
??π4＝1
4， 所以函数f (x )在闭区间????
??－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 20．(本小题满分12分)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A
为何值时，cos A ＋2cos B ＋C
2取得最大值？并求出这个最大值．
解：利用A ＋B ＋C ＝π，把cos A ＋2cos B ＋C
2化为同角三角函数式，再求最大值．
由A ＋B ＋C ＝π，得B ＋C 2＝π2－A 2，∴cos B ＋C 2＝sin A 2，
∴cos A ＋2cos B ＋C 2＝cos A ＋2sin A 2＝1－2sin 2
A 2＋2sin A 2＝－2(sin A 2－12)2＋32.
当sin A 2＝12，即A ＝π3时(∵A 是△ABC 的一个内角，∴A 2＝5π
6不合题意，舍去)，cos A ＋2cos B ＋C 2取得最大值3
2.
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．
解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π
3)．
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π，最小值为－2. (2)列表：
x 0 π12 π3 7π12 5π6 π 2x ＋π3 π3 π2 π 3π2 2π 7π3 f (x )
3
2
－2
3
描点连线得图像，如下图所示．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π
4)． (1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)设x ∈(0，π4)，若f (α
2)＝2cos2x ，求α的大小． 解：(1)由2x ＋π4≠π
2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠π8＋k π
2，k ∈Z .
所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π
2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期为π2.
(2)由f (α
2)＝2cos2α，
得tan(α＋π
4)＝2cos2α， sin (α＋π
4)
cos (α＋π
4)
＝2(cos 2α－sin 2
α) 整理得：sin α＋cos α
cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
因为α∈(0，π
4)，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝1
2
即sin2α＝12，由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π
6，即α＝π12.
第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.
1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0 五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值. 三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值． 例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 第三章三角恒等变换单元测试题及答案 一、选择题 1、sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则3 3 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心． 高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷 考试时间：100分钟，满分：150分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．计算1－°的结果等于 ( ) 2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( ) C ．－12 D ．－3 2 3．已知cos ? ????α－π4＝14，则sin2α的值为 ( ) B ．－78 D ．－3 4 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于 ( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 5．cos 2 75°＋cos 2 15°＋cos75°·cos15°的值是( ) D ．1＋ 23 6．y ＝cos 2 x －sin 2 x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－ 2 C ．2 D ．－2 7．已知sin ? ????α－π3＝13，则cos ? ????π6＋α的值为 ( ) B ．－1 3 D ．－233 等于 ( ) C ．2 9．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π 12＋2θ)化简，可得 ( ) A ．sin2θ B ．－sin2θ C ．cos2θ D ．－cos2θ 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简3tan12°－3 sin12°·4cos 2 12°－2 的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝2 5 ，则α＋β＝______. 14．函数f (x )＝sin ? ????2x －π4－22sin 2 x 的最小正周期是________． 第三章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 C.34 解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°答案 B 2．若sin2α＝1，π<α<π ，则cos B ．－3 2 D ．－34 α＝1－14＝3 4. ∴cos α 4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32 D. 2 解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋1 2cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A 5．已知tan θ＝1，则cos 2θ＋1 sin2θ等于( ) B ．－45 D.65 ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝6 5. A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2. 7．设a＝ 2 2(sin17°＋cos17°)，b＝2cos 213°－1，c＝3 2，则() A．c 1三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1设α、β为锐角，且满足cos α＝，tan(α－β＝－，求cos β的值． 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2设α为第四象限的角，若＝，则tan 2α＝_________________. 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3已知sin＝，0 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n－1α的值 例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y＝A sin(ωx＋φ＋B的形式求解 例1求函数f(x＝的最值． 例2求函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合． 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y＝的值域． 例4求函数y＝的值域． 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5设关于x的函数y＝cos 2x－2acos x－2a的最小值为f(a，写出f(a的表达式． 例6试求函数y＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的最值． 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y＝的最值． 例8在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB＝a，∠ABC＝θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值． 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1已知sin α＝，sin β＝，α和β都是锐角，求α＋β的值． 三角恒等变换测试题 时间:120分钟 满分:150分 一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列表达式中,正确的是( )A A.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+ B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=- C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+ D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。 2.表达式sin(45)sin(45)A A +-- 化简后为( )B A.A A C. 1sin 2A D. 1 sin 2 A - 设计意图：主要考查学生对正弦的和、差公式的掌握和应用。 3. 函数sin cos 2y x x =++的最小值是( )A A. 22设计意图：主要考查学生辅助角公式的应用以及三角函数的最值问题。 4. 已知θ是第三象限的角,若4 4 5 sin cos 9 θθ+= ,则sin 2θ等于( )A C.23 D. 23- 设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 5.已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4π α+等于( ) A A. 17 B. 7 C. 1 7 - D. 7- 设计意图：主要考查同角的三角函数公式、正弦的二倍角、正切的和角公式的应用。 6. 函数1cos y x =+的图象( )B A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2 x π = 对称 7. (2006高考)若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A = ，则sin cos A A +=( ) A 53 D.53- 8. (2006高考)函数4sin 21y x π?? =++ ?3?? 的最小正周期为（ ）B A. π 2 Ｂ.π Ｃ.2π Ｄ.4π 设计意图：主要考查三角函数的性质。 9. 2 2 cos sin 8 8 π π -等于( )A 1- 10.tan 2 α 不能用下列式表达的是 ( )D A.sin 1cos αα+ C. 1cos sin αα- D.sin 1cos α α - 11.tan15tan30tan15tan30++ 等于 ( )D A. 12 B. 2 12. 当0x π-≤≤时,函数()sin f x x x =最小值为( )B A.1- B. 2- C. 二.填空题(共4个小题,每小4分,共16分) 13. 已知1sin( )sin( ),(,)4 462 x x x π π π π+-=∈，则sin 4x =＿＿＿＿ 14. 设ABC ?中，tan tan tan tan A B A B +，sin cos A A = ，则此三角形是＿＿＿＿＿＿三角形. 15.(05高考) 若316sin =??? ??-απ，则?? ? ??+απ232cos = . 必修4第三章《三角恒等变换》 一、选择题 1、sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则3 3 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心． 第三章《三角恒等变换》测试题 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 2.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin 复习课：第三章简单的三角恒等变换 一、【教学目标】 重点：引导学生在已有的公式基础上进行简单的三角恒等变换，体会三角变换的特点. 难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 知识点：三角恒等变换. 能力点：通过变换，使学生在变换的思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力. 教育点：通过公式的应用，培养学生严谨规的思维品质和辩证唯物主义观点. 自主探究点：利用已有公式证明积化和差、和差化积公式. 训练（应用）点：利用公式进行化简、求值与证明 考试点：简单的三角恒等变换. 易错易混点：和（差）角公式，倍角公式的符号以及特殊角的三角函数值. 拓展点：所有公式之间的在联系. 二、【知识梳理】 三角函数式的化简 简恒单等的变三换角 三角函数式的求值 三角函数式的证明 “化一”公式的应用 给角求值 给值求值 给式求值 给值求角 两弦角余和弦与正差切的公正式 二倍角的正弦、 余弦、正切公式 公式的运用 注意角度的各种存在形式利用三角函数求最值问题两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=. 22222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin , 2tan tan 2.(,,)1tan 422 k k k Z αααααααααπππαααπα==-=-=-=≠+≠+∈- 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧 （1）常见角的变换：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；22αβαβ++=? ；222()()αβ βα αβ+=---； （2）方程思想：sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+- 知一求二； （3）“1”的替换：2221sin cos tan 2cos cos 24παααα=+==-等； （4）切弦互化； （5）公式变形 221cos 21cos 2tan tan tan()(1tan tan ),cos ,sin 22 αααβαβαβαα+-+=+-==； （6）辅助角公式： ??? ? ??++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222???+?+=?+?+=x b a x x b a (其中辅助角?所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan b a ?= ). 常用结论 : )4sin(2cos sin π+=+x x x ，)4sin(2cos sin π -=-x x x . 3.三角函数式化简的目标与方法: 化为单角或同角，函数名称少，次数尽量低，尽量不含分母和根号.口诀：大角化小角，负角化正角，异名化同名，切化弦，高次化低次. 4.三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角，再用公式计算； （2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值——变换角,找出已知角与所求角的联系； （3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值——化简已知式或所求式，再求； （4）“给值求角”：——先求角的某一三角函数值,结合角的围求出角,要特别注意角的围对三角函数值的 第三章《三角恒等变换》测试题(1) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分) 1．设0014cos 14sin +=a ，0016cos 16sin +=a ，2 6 =c ，则a ，b ，c 大小关系（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a << 2.在ABC ?中，若B A B A cos cos sin sin 7.要得到函数x y 2sin 2=的图象，只需要将函数x x y 2cos 2sin 3-=的图象（ ）. A.向右平移 6π个单位 B.向右平移12π 个单 C.向左平移6π个单位 D.向左平移12 π 个单位 8. 48cos 78sin 24cos 6sin ???的值为（ ）. A ． 16 1 B ．16 1- C ． 32 1 D ． 8 1 9.4cos 2sin 22 +-的值等于（ ）. A ．2sin B ．2cos - C ．2cos 3 D ．2cos 3- 10.已知θ为第二象限角，024sin sin 252=-+θθ，则2 cos θ 的值为（ ）. A ．5 3- B ．5 3± C ． 2 2 D ．5 4± 11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则x x x tan 12sin cos 22++的值为（ ）. A ． 5 8 B ． 8 5 C ． 5 2 D ． 2 5 12.已知不等式02 64cos 64cos 4sin 23)(2≤--+=m x x x x f 对于任意的 6 65π π≤≤- x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A. 3≥ m B. 3≤m C. 3-≤m D. 33≤≤-m 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ） ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () sin cos α+=+a x b x x ， cos sin ???= = 其中由决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ` ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2 α的二倍；2 α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④()4 24 ππ π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 第三章水平测试 (时间：120分钟；满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. cos 215°－sin 215°的值是( ) A.1 2 B ．－1 2 C.32 D ．－3 2 答案：C 解析：cos 215°－sin 215°＝cos30°＝3 2. 2.设α∈? ????0，π2，β∈? ? ???0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A. 3α－β＝π 2 B. 3α＋β＝π 2 C. 2α－β＝π 2 D. 2α＋β＝π 2 答案：C 解析：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β cos β，即sin αcos β＝cos α＋ sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ? ?? ??π2－α，所以sin(α－β)＝sin ? ????π2－α，又因为α∈? ????0，π2，β∈? ????0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π 2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π 2，故选C. 3．若cos α＝－4 5，α是第三象限的角，则1＋tan α2 1－tan α2＝( ) A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2 答案：A 解析：∵cos α＝－4 5且α是第三象限的角， ∴sin α＝－3 5， 1＋tan a 21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α 2＝cos α2＋sin α 2 cos α2－sin α2 ＝? ? ???cos α2＋sin α22 ? ? ???cos α2－sin α2? ??? ?cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25 －45 ＝－1 2.故选A. 4．函数y ＝cos 2 (x －π4)－cos 2 (x ＋π4)的值域为( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－1 2，1] 第三章 三角恒等变形 3.1两角和与差的三角函数（两课时） 3.1.1两角差的余弦函数 3.1.2两角和的正、余弦函数 洋浦实验中学 赵生碧 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）能够推导两角差的余弦公式； （2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式； （3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明； （4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣； （5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 思考:如何求cos （45-30）0的值. 【探究新知】 1．思考:如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示cos(α-β)？你认为会是cos(α-β)=cos α-cos β吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解（如教材图3.1）. 学生思考：以上推导是否有不严谨之处？ 教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况，但α与β为任意角时上述过程还成立吗？ 当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cos θ=cos(α-β) 若θ∈[0，π ]，则??→ ?OA ?→ ?OB = cos θ=cos(α-β) 若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且??→ ?OA ?→ ?OB =cos(2π-θ)=cos θ 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2 αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα =-． 26、 27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()22sin cos sin ααα?A +B =A +B +，其中tan ?B =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角 与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； α αααααααααα半角公式sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan 2 cos 12sin ;2cos 12cos : -=+=+-±=-±=+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 22αααααα万能公式+-=+=第三章 三角恒等变换(教案)
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