第一章 有限元法的理论基础
有限元分析基本理论问答 基础理论知识
1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学
有限元理论基础
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有限元理论基础 2.1 数值模拟技术 2.1.1数值模拟技术简介 在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。 在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。 目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。 2.2.2 有限元法 有限元法是一种基于能量原理的数值计算
方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计 算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。 限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。有限元求解问题中的单元分析：t t t a k F= 式中：:t F单元节点作用力。 t K:单元刚度矩阵。 t a：单元节点位移。 通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立 的结构整体平衡方程：P KU=
有限元分析报告理论基础
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元分析理论基础
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
第三章平面问题的有限元法作业及答案
第三章 平面问题的有限元法作业 1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。 4 第1题图 第2题图 2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、 22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。试求A 、B 、C 三点的位移。其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。 3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。 第3题图 第4题图 4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。已知单元厚度为t ，不计自重。
5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？ 9 34 6 7912 11 34 6 12142 (a) (b) (c) 第5题图 6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。 2a (a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图 7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。 第7题图
答案： 1. 1）形函数 i x N a = ， j y N a = ， 1m x y N a a =-- 2）应变矩阵 []1000101 000101011011B a -????=-??--???? 3）应力矩阵 []100010100 01 0111 110022 2 2S a ? ???-? ?=-????- -? ?? ? 2. A 点的位移为 ()2312A u u u = + ， ()231 2A v v v =+ B 点的位移为 ()24313B u u u u = ++ ， ()2431 3B v v v v =++ C 点的位移为 ()1223C a u u u = + ， ()C 1223 a v v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为 {}11 11 00003 663 T e i j i j R q q q q ?? =++?? ?? 4. （2）整体等效节点载荷向量为 {}111100006 322T R qlt P qlt P P qlt qlt ?? =-???? 7. （1） 减缩后的整体刚度方程 22 12 2 1222 22221110222021102(1)2 2102x x b b ab R b ab b P v Et ab a b ab ab R v b a μμμ μμμμμμ---??- - ??????????--?????? -??? ?=????---+ +? ???? ?????????-????+?? ? ? 节点位移
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元
有限元法
有限元法 第一章绪论 1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 2.有限元法的特点：A物理概念清晰。B复杂的结构适应性。C各种物理问题的适用性。D适合计算机实现的高效性。 3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。 4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。 位移法求解步骤：A结构的离散化。B单元分析。C单元集成。D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。E由节点位移计算单元的应力与应变。 5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。b对无限求解域问题没有较好的处理方法。c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。 6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。屈曲模态：对于屈曲，即使相同的的构件，如果端部的支持状态不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态 第三章弹性力学基础知识 1.弹性力学又称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外力因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 2.弹性力学的几个基本假定：A连续性假定。B弹性假定。C均匀性和各向同性假定。D小变形假定。E无初应力假定。 3.外力分为面力和体积力。面力：指分布在物体表面上的外力，如内压力、接触压力等。面力是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比，且是各质点位置的函数，如重力、惯性力等。 4.弹性力学的平面问题：弹性力学可分为空间问题和平面问题。平面问题有两种情况：一种是平面应力问题，所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板所受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用；另一种是平面应变问题，适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。 第四章平面问题的有限元法 1.常用的平面单元形状有三角形、四边形等。 2.集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点。 3.整体刚度矩阵的性质：a整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。b整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的。c整体刚度矩阵[K]是一个对称矩阵。d整体刚度矩阵[K]是一个带状分布的稀疏矩阵。e整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。
有限元分析基础
有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。 §1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来 一，历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在： 1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。 3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。 二，现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如： SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program） 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。 三，将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。 §1.2 有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分
现代设计方法(第三章 有限元法)
1.在有限元法中，将求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的板和壳所组成。在使用有限元法进行分析时，该结构可近似地看成由若干能过节点彼此相连的单元所组成。根据已知的原始数据，按照有限元法规定的运算步骤，首先可求出各节点位移的数值解，进而可求出整个结构各点的响应。 2.有限元法的基本思路：化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体。 3.平衡或稳态问题、特征值问题、瞬态问题； 4.平衡问题：若是固体力学问题或结构力学问题，刚需求出稳态时位移和应力的分布；若是热传导问题，则要找出温度或热流量的分布；若是液体力学问题，则要得到压力和速度的分布规律； 特征值问题：所获得的解呈周期性变化，它可看成是平衡问题的延伸。这需求出某些参数的临界值及相应的稳态形态。在这类问题中，如果研究固体力学或结构力学问题，需求出结构的自然频率以及相应的振型；若是液体力学问题，则是研究层流的稳定特性；对电路问题，是分析其共振特性； 瞬态问题与时间相关。在固体力学问题中，研究在随时间变化的力作用下，物体的响应；在研究热传导问题时，则要找出物体突然受热或冷却时热场的分布等。 5.工程技术人员的任务是：首先，将复杂的工程实际问题简化，分清属哪一类问题，然后，选择合理的、可供使用的计算机程序；下一步，根据程序的说明和要求，准备好并向计算机输入全部所需的数据和信息，最后，一定要检查计算结果的合理性，看所作的简化及所选的程序是否合理。 6.k ij都称为单元刚度系数。它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。 7.K ij：在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷F i. 8.有限元法求解问题最重要的几个步骤： 1）对整个结构进行简化。将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。 2）求出各单元的刚度矩阵； 3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程； 4）引入支承条件，求出每个节点的位移。 5）求出各单元内的应力和应变。 1.平面刚架问题要比前一节的问题复杂些，主要表现在以下两个方面： 1）节点位移不再只是轴向位移。对于一根平面杆件的两个端点，除轴向位移外，还有垂直于轴向的横向位移和角位移。选定杆的端点为节点，每个节点的位移分量由一个增加到三个。 2）刚架由许多杆件组成，各杆件的取向不同。将每个杆件看成是一个单元，各单元的轴线方向不再相同。 2.总体刚度矩阵集成步骤： 1.对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵【K】划分成nXn个子区间，然后按节点总码的顺序进行编号。 2.将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵，根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间内。 3.同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中相应的子矩阵。 3.没有任何约束的结构是一个悬空结构，可以在空间做刚体运动。 4.刚架结构的节点，从支承条件的角度可分成两类：一些是在支承处，另一些是在无支承处。 5.计算机上：在支承处对某处一位移分量的约束可以有两种情况：一种是该位移分量的值为零，另一种是它等于一个已知的非零值。 支承情况：节点n的水平位移Un=0，在总体刚度矩阵中，与位移Un对应的行码和列码均是3n-2。需对原矩阵作如下修改： 1.在矩阵的第3n-2行与列中，将主对角线元素改为1，其余元素改为零。 2.将等式右边力矢量中的第3n-2个元素改为零。 支承情况2：节点的水平位移Un为给定的非零值。 1.主对角线刚度系数K3n-2,3n-2乘以一个大数A。 2. 将等式右边矢量{F}中的第3n-2个元素改为AK3n-2,3n-2U n*；其余各项保持不变。 3.将式中的第3n-2个方程展开后，除包含大数的两项个，其余各项相对比较小，可以忽略不计。因此，所反映的是给定的支承条件Un=Un*。 6.说明在进行有限元分析时，对刚架单元的非节点载荷的处理原理和计算方法。 载荷移置原理：处理非节点载荷一般可以在整体坐标系进行，其过程包括：将杆单元各自看成是一根两端都固定的梁，各自求出两个固定端的约束反力，然后，将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷。 固定端反力和反力矩的计算直接利用材料办学的公式计算。 1.平板问题时存在着两个刚度矩阵：一个是反映平板在其平面内载荷与位移关系的刚度矩阵。另一个是薄板弯曲的刚度矩阵。 2.节点位置的选择：若结构在几何形状、材料性质和外部条件无突变时，该结构应等分成几个单元，节点呈等距分布。若存在不连续性，节点应选在这些突变处。简述有限元分析结果的后处理 后处理所显示的结果主要有两类：意识结构的变形，另一 类是应力和应变在结构中分布的情况。一般用结构的三维 线框图，采用与结构不同的比例尺，放大地显示其变形的 情况，在受动载荷时，也可用动画显示其振动的形态。结 构中应力、应变或唯一的分布用云图或等值线图来显示。 ·有限元分析中，为什么要引入支撑条件？ 总体刚度矩阵[K],它是节点力矢量[F]与节点位移矢量[Φ] 之间的转移矩阵[K][Φ]=[F]结构的总体刚度矩阵是一个 奇异矩阵，她的逆矩阵不存在，因而从式中无法求得各节 点的位移矢量。因为，没有任何约束的结构运算是一个悬 空结构，可以在空间坐刚体运动。这是，即使各节点力量 是已知的，各节点位移矢量也不存在唯一确定的解。所以， 还必须引入支撑条件。 ·在有限元分析中，为什么要采用半带存储？ 1）单元尺寸越小，单元数越多，分析计算净度越高。单元 数越多，总刚度矩阵的阶数越高，所需计算机的内存量和 计算量越大2）总刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元 素带型分布规律 3)只储存对焦线元素以及上（或下）三角 矩阵中宽为NB的斜带形区内的元素，可以大大减小所需内 存量。 ·简述有限元分析过程中，求总体刚度矩阵的两种主要方 法和特点 1）直接根据总体刚度矩阵系数的电议分别求出它们，从而 写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构式运 算极其复杂。 2）分别求出各单元的刚度矩阵，然后根 据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。从单 元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但 总体刚度需要集成 ·有限元分析过程中，如何决定单元数量？ 单元数量取决于要求的精度、单元的尺寸、以及自由度的 数量，虽然，单元的数量越多精密度越高，但是也存在一 个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。单元数量大， 自自由度数也越大，计算机内存量有时会不够 ·在现有的有限元分析程序中，其前处理程序一般包含哪 些主要功能？ 1）单元的自动分割生成网格 2）单元和节点的自动优化 编码实现带宽最小。3）各节点坐标值确定 4）可以使用图 形系统显示单元分割情况 ·简述平面应力和平面应变的区别 1）应力状态不用：平面应力问题中平板的厚度与长度、高 度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向 均匀分布，可以认为沿厚度方向的应力为零平面应力问 题中由于Z项尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿Z 项应变为零 2）弹性矩阵不同：将平面应力问题弹性矩 阵中的E换成、把Πμ换成μ/(1-μ)，就成为平面应 变问题的弹性矩阵。 在有限元分析中，对结构划分的单元数是否越多越好？为 什么？ 答：不是。单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸和 自由度数。 虽然一般单元的数量越多精度越高，但也有一个界限，超 过这个值，精度的提高就不明显。 简述有限元法的前处理主要包括哪些内容？ （1）单元的自动分割生成网格(2)节点的自动优化编码(3) 使用图形系统显示单元分割情况(4)带宽优化(5)节点坐标 的确定(6)检查单元分割的合理性(7)局部网格的自适应加 密(8)有限元模型的尺寸优化 在有限元分析时,什么情况下适合选择一维、二维和三维单 元? 答：（1）当几何形状、材料性质及其它参数能用一个坐标 描述时，选用一维单元；（2）当几何形状、材料性质及 其它参数需要用两个相互独立的坐标描述，选用二维单元； （3）当几何形状、材料性质及其它参数需要用三个相互独 立的坐标描述，选用三维单元。 单元刚度矩阵所具有的共同特性是什么？ 解释产生这些特性的力学上的原因。单元刚度矩阵和总体 刚度矩阵所具有的共同特性：对称性和奇异性 具有对称性是因为材料力学中的位移互等定理：对于一个 构件，作用在点j的力引起i点的挠度等于同样大小的力 作用在i点而引起j点的挠度。 具有奇异性是因为单元或结构在没有约束之前，除本身产 生弹性变形外，还可以做任意的刚体位移。 在有限元分析时，何谓对称结构？一般如何处理？ 1）当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一 平面（对平面问题对称于某一直线），其结构内部的应力及 位移也对称于该平面（线），这类结构称为对称结构。2） 对于对称结构一般按如下方法处理： 当对称结构只有一个对称平面（线）时，只研究它的一半。 若对称结构有两个相互垂直的对称平面（线）时，则只研 究它的四分之一。 试述总体刚度矩阵的建立方法 求总体刚度矩阵的两种主要方法：直接根据总体刚度系数 的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰， 但是在分析复杂结构时运算极其复杂。分别先求出各单 元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求 出总体刚度矩阵，从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求 法统一，简单明了，但总体刚度矩阵需要集成。 有限元分析过程中，当划分单元时如何决定单元尺寸？ 单元尺寸的概念包括两个方面：一方面是单元本身的大小， 另一方面指一单元内自身几个尺寸之间的比率。单元本身 尺寸小，所得到的精度高，但是所需的计算量大。为减少 计算量，有时对一个结构要用不同的尺寸的单元离散。一个 单元中最大与最小的尺寸要尽量接近。例如，对于三角形单 元，其三条边长应尽量接近；对于矩形单元，长度和宽度不 宜相差太大。 简述可靠性设计传统设计方法的区别。 答：传统设计是将设计变量视为确定性单值变量，并通过确 定性函数进行运算。 而可靠性设计则将设计变量视为随机变量，并运用随机方法 对设计变量进行描述和运算。 1.可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定 功能的能力。 可靠度：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功 能的概率。是对产品可靠性的概率度量。 可靠度是对产品可靠性的概率度量。 2）可靠性工程领域主要包括以下三方面的内容： 1.可靠性设计。它包括了设计方案的分析、对比与评价，必 要时也包括可靠性试验、生产制造中的质量控制设计及使用 维修规程的设计等。 2.可靠性分析。它主要是指失效分析，也包括必要的可靠性 试验和故障分析。这方面的工作为可靠性设计提供依据，也 为重大事故提供科学的责任分析报告。 3.可靠性数学。这是数理统计方法在开展可靠性工作中发展 起来的一个数学分支。 。可靠性设计具有以下特点： 1.传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但 安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大盲目 性。可靠性设计与之不同，它强调在设计阶段就把可靠度直 接引进到零件中去，即由设计直接决定固有的可靠度。 2.传统设计是把设计变量视为确定性的单值变量并通过确定 性的函数进行运算，而可靠性设计则把设计变量视为随机变 量并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。 3.在可靠性设计中，由于应力S和强度R都是随机变量，所 以判断一个零件是否安全可靠，就以强度R大于应力S的概 率大小来表示，这就是可靠度指标。 4.传统设计与可靠性设计都是以零件的安全或失效作为研究 内容，因此，两者间又有着密切的联系。可靠性设计是传统 设计的延伸与发展。在某种意义上，也可以认为可靠性设计 只是在传统设计的方法上把设计变量视为随机变量，并通过 随机变量运算法则进行运算而已。 。平均寿命（无故障工作时间）：指一批产品从投入运行到发 生失效（或故障）的平均工作时间。 对不可修复的产品而言，T是指从开始使用到发生失效的平 均时间，用MTTF表示； 对可修复的产品而言，是指产品相邻两次故障间工作时间的 平均值，用MTBF表示； 平均寿命的几何意义是：可靠度曲线与时间轴所夹的面积。 6.正态分布曲线的特点是什么？什么是标准正态分布？ ：正态分布曲线f(x)具有连续性，对称性，其曲线与横坐标 轴间围成的总面积恒等于1.在均值μ和离均值的距离为标准 差的某一指定倍数z。之间，分布有确定的百分数，均值或 数学期望μ表征随机变量分布的集中趋势，决定正态分布曲 线位置；标准差σ，他表征随机变量分布的离散程度，决定 正态分布曲线的形状。定义μ=0,σ=1，即N(0,1)为标准正 态分布。 7.系统可靠性的大小主要取决于：(1)组成系统的零部件的可 靠性 (2)零部件的组合方式。 1.什么是3σ法则？已知手册上给出的16Mn的抗拉强度为 1100~1400MPa，试利用3σ法则确定该材料抗拉强度的均值 和标准差。 在进行可靠性计算时，引用手册上的数据，可以认为它们服 从正态分布，手册上所给数据范围覆盖了该随机变量的 +-3σ，即6倍的标准差，称这一原则为3σ法则。均值= （1100+1400）/2=1250MPa 标准差=（1400-1100）/6=50Mpa。 从正态分布知，对应+-3σ范围的可靠度已为0.9973. 2. 简述强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”的含义， 试举例说明之。 答：强度一应力干涉理论中“强度”和“应力”具有广义的 含义：“应力”表示导致失效的任何因素；而“强度”表示阻 止失效发生的任何因素。“强度”和“应力”是一对矛盾的 两个方面，它们具有相同的量纲；例如，在解决杆、梁或轴 的尺寸的可靠性设计中，“强度”就是指材料的强度，“应力” 就是指零件危险断面上的应力，但在解决压杆稳定性的可靠 性设计中，“强度”则指的是判断压杆是否失稳的“临界压力”， 而“应力”则指压杆所受的工作压力。 3.说明常规设计方法中采用平均安全数的局限性。 答：平均安全系数未同零件的失效率联系起来，有很大的盲 目性。 从强度一应力干涉图可以看出 1）即使安全系数大于1，仍 然会有一定的失效概率。2）当零件强度和工作应力的均值不 变（即对应的平均安全系数不变），但零件强度或工作应力的 离散程度变大或变小时，其干涉部分也必然随之变大或变小， 失效率亦会增大或减少。 1.所谓系统，是为完成某一功能而由若干零部件相互有机地 组合起来的综合体。系统的可靠度取决于两个因素：一是组 成系统的零部件的可靠度；二是零部件的组合方式。 3.串联系统：若系统中诸零件的失效相互独立，但当系统中 任一个零件发生故障都会导致整个系统失效时，则这种零件 的组合形式称为串联模型。 3.串联系统的可靠度：串联系统的可靠度Rs低于组成零件的 可靠度Ri。因此，要提高串联系统的可靠度，最有效的措施 是减少组成系统的零件数目。 4.并联系统：有冗余系统和表决系统。冗余系统又可分为工作冗 余系统和非工作冗余系统。 5.工作冗余系统：在该系统中，所有零件都同时参加工作，而且 任何一个零件都能单独支持整个系统正常工作。即在该系统中， 只要不是全部零件失效，系统就可以正常工作。 6.非工作冗余系统：在该系统中，只有某一个零件处于工作状态， 其它零件则处于非工作状态。只有当工作的零件出现故障后，非 工作的零件才立即转入工作状态。 。非工作冗余系统的可靠度高于工作冗余系统，这是因为工作冗 余系统的零件虽然都处于不满负荷状态下，但它们总是在工作， 必然会磨损或老化。非工作冗余系统虽不存在这个问题，却存在 一个转换开关的可靠度问题。 。r/n表决系统:在n个零件组成的并联系统中，n个零件都参加 工作，但其中要有r个以上的零件正常工作，系统才能正常工作。 它是属于一种广义的工作冗余系统。当r=1时，就是工作冗余系 统，当r=n时，就是串联系统。 。复杂系统的可靠性预测方法：等效功能图法、布尔真值表法； 。故障树分析的步骤：1，在充分熟悉系统的基础上，建立故障 树；2，进行定性分析，识别系统的薄弱环节；3，进行定量分析， 对系统的可靠性作出评价。 。故障树：是一种倒立的树状逻辑因果关系图，它是用事件符号、 逻辑门符号和转移符号描述系统中各种事件之间因果关系的图。 。故障树的定性分析是寻找故障树的全部最小割集或最小路集。 其目的是为了找出引了系统故障的全部可能的起因，并定性的识 别系统的薄弱环节。 。最小割集：如果将割集中任意去掉一个基本事件后就不再是割 集。 。最小路集：路集也是一些基本事件的集合，当该集合所有的基 本事件同时不发生时，则顶事件必然不发生。如果将路集中任意 去掉一个基本事件后就不再是路集的话，则称此路集为最小路 集。 。最小割集代表系统的一种失效模式；一个最小路集代表系统的 一个正常模式。 。故障树的全部最小割集即是顶事件发生的全部可能原因，构成 了系统的故障谱。因此，在产品设计中要努力降低最小割集发生 的可能性，这就是产品的薄弱环节。反过来说，为保证系统正常 工作，必须至少保证一个最小路集存在。 。故障树的定量分析就是根据基本事件的概率求出顶事件发生的 概率，从而对系统的可靠性作出评价。 。可靠度分配按分配原则的不同，有等同分配法、加权分配法和 动态规划最优分配法； 。等同分配法：它按照系统中各单元（子系统或零部件）的可靠 度均相等的原则进行分配。其计算简单，缺点是没有考虑各子系 统现有的可靠度水平、重要性等因素。 。加权分配法：它是把各子系统在整个系统中的重要度以及各子 系统的复杂度作为权重来分配可靠度的。 。最优分配法：采用动态规划最优分配法，可以把系统的成本、 重量、体积或研制周期等因素为最小作为目标函数，而把可靠度 不小于某一给定值作为约束条件进行可靠度分配；也可以把系统 可靠度尽可能大作为目标函数，而将成本等因素视为约束条件进 行可靠度分配。这要根据具体问题来确定。特点：机电产品的可 靠性指标不仅取决于零部件的可靠度，而且还将受制造成本、研 制周期、重量、体积等因素的制约。因此，要全面考虑这些因素 的影响，必须采用优化方法分配可靠度。 。一是可靠性设计的有效性取决于所采用的统计参数是否准确可 靠；二是应用明确规定产品失效的形式和判据。 。试简述强度和应力均为正态分布时，强度和应力干涉的三种典 型情况下手失效率情况。 1.强度的均值大于应力的均值，这时的干涉概率，即不可靠度F 小于50%。当强度的均值减去应力的均值为一定值时，概率F的 大小，随强度和应力的标准增大而增大。常规设计的安全系数大 于1时属于这种情况。这种情况下，还可能出现失效。 2.强度的均值等于应力的均值，此时，失效率F为50% 3.强度的均值小于应力的均值，此时安全系数小于1，失效概率 大于50%，零件仍具有一定的可靠度。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 2.2有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。