高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)

高一数学求函数的解析式、定义域、值域的常用方法

一、求函数的解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

（3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之

（4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式

二、求函数定义域的方法

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等

4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域

5、分段函数的定义域是各个区间的并集

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域

三、求函数值域的方法

1、分离变量法

2、配方法

3、判别式法

4、单调性法

5、换元法

一、求函数解析式

1、换元法

例1 已知22+1++1=x x x f x x ?? ???

，试求()f x

2、构造方程组法

例2 （1）已知21()+2()=3+4+5f x f x x x

，试求()f x （2）已知2()+2(-)=3+4+5f x f x x x ，试求()f x

例3 求下列函数的解析式：

（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f

（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f

（3）已知x x

x x x f 11)1(22++=+，求)(x f （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f

二、求函数定义域

例1 求+3-4

x y x 的定义域

例2 求下列函数的定义域

（1）3

5)(--=x x x f ； （2）x x x f -+-=11)( 例

例4已知(f x ，

(g x ，求=(g())y f x 值域 三、求函数的值域与最值

1、分离变量法

例1 求函数2+3=+1

x y x 的值域

2、配方法

例2 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域

说明：对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c

3、判别式法

例3 求函数2223456

x x y x x ++=++的值域

4、单调性法

例4 求函数23y x

-=

+，x ∈［4，5］的值域

5、换元法

例5 求函数=2y x

例6 求下列函数的值域： （1）{}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+=x y （3）22

11x

x y +-=（4）)25(,322-≤≤-+--=x x x y

练习

1、函数y ＝f （x ）的值域是［－2，2］，则函数y ＝f （x ＋1）的值域是

2、已知函数f （x ）＝x 2－2x ，则函数f （x ）在区间［－2，2］上的最大值为

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是

4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］（a

5、函数y ＝f （x ＋2）的定义域是［3，4］，则函数y ＝f （x ＋5）的定义域是

6、函数22+2=3+4x y x x

的值域是 7、若f （x ）＝（x ＋a ）3对任意x ∈R 都有f （1＋x ）＝－f （1－x ），则f （2）＋f （－2）＝

8、若函数2()=-2f x x 的值域为1-,-3??∞ ???，则其定义域为 9、求函数5-+3+4=+2

x x y x 的定义域 11、已知2-2+1,2()=-,>2

x x x f x x x ?≤????，若f （a ）＝3，求a 的值

12、已知函数f （x ）满足2f （x ）－f （－x ）＝－x 2＋4x ，试求f （x ）的表达式

13、设函数?

??<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 求不等式)1()(f x f >的解集 14、函数x

ax y 213-+=的值域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，求实数a 的值为 15、已知函数()y f x =的定义域为(0,1)，则2()f x 的定义域是

16、已知函数221()1x f x x +=-，则在①()()f x f x -=，②1()()f f x x =-，③()()f x f x -=-，④1()()f x f x

-= 中成立的个数是

17、如果一元二次函数23y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是

18、已知函数[](),f x x x x R =-∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]352,33,222????-=--=-=????????，则()f x 的值域是

19、已知函数31(3)()3(3)x x f x x a x -?≠-?=+??=-?的定义域与值域相同，则常数a =

20、若函数(21)f x -的定义域是[0,1),则函数(13)f x -的定义域是

21、已知二次函数2()f x ax bx =+,若12(1)(1)f x f x -=+其中122x x -≠,则12()f x x +的值为

22、已知函数2()(1)f x x a x a =+-+，在区间[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是

23、已知全集U R =，集合{}312A x m x m =-<<，{}13B x x =-<<，若A U C B ,求实数m 的取值范围

24、已知一元二次函数()f x 满足(2)(2)()f k f k k R -+=--∈，且该函数的图象与y 轴交于点（0，1），在x 轴

上截得的线段长为22

25、已知集合{}2|1,A x y x x Z ==-∈,},1|{2A x x y y B ∈+==,则B A I =____

26、若方程()

[]24330,0,1x x k x -+-=∈没有实数根，求k 的取值范围 27、已知集合{}{}

22221,350A x x x B x x ax a =--=-=-+-=,若A B B =I ,求实数a 的取值范围

28、函数2()f x x bx c =-++()x R ∈满足(1)(3)f x f x -=-,且方程()0f x =的两个根12,x x 满足1222x x -=，求()f x 解析式

29、已知二次函数)(x f y =的图象过点(0,3)-，且方程0)(=x f 的两个根的平方和为10，又对任意的x 都有)1()1(x f x f -=+

（1）求二次函数)(x f y =的表达式；（2）求该二次函数在[0,3]上的最大最小值

30、求函数2

12y x x =-的值域 31、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）

（1）若方程0)(=x f 的两根一个大于-3，另一个小于-3，求a 的取值范围

（2）若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式

31、已知集合}03)3(|{},03)32(|{2

22=-+-+==--+=m m x m x x B m x m x x A ，且满足条件：（1）B A ≠；

（2）.),0(B A m a B A a Y I 及求≠∈

32、已知集合2{|

0},{||1|1},2

x A x B x x x -=<=->+I 则A B 等于 33、若函数2143mx y mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是

34、已知函数4()42

x

x f x =+， （1）若01a <<，求()(1)f a f a +-的值

（2）求122008(

)()()200920092009f f f +++L 的值

35、已知函数()f x 定义域为区间A ，若其值域也为区间A ，则称区间A 为()f x 的保值区间．一般来说，函数的保值区间有(,],[,],[,)m m n n -∞+∞三种形式

（1）求函数2()1f x x x =-+的保值区间

（2）函数1()1(0)g x x x =-

>是否存在形如[,]()a b a b <的保值区间，若存在，求出实数,a b 的值；若不存在，请说明理由

高一数学知识点总结之函数定义域 值域

高一数学知识点总结之函数定义域值域【】数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。 定义域 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方 法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习

者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 关于函数值域误区 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。平时数学中，实行定义域优先的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手硬一手软，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

LS 高一数学函数值域求法及例题

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

高中函数值域的经典例题 12种求法

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，Y 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-= 的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

高一数学教案：函数的值域的求法

函数的值域 教学目的： （1）理解函数值域的概念 （2）要求学生掌握利用直接法、二次函数、换元法等求函数的值域。 教学过程： 一、复习函数的定义、定义域及值域的概念。 提出课题：函数的值域 二、新授： 1．直接法： 例1、求下列函数的值域 （1）①y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x y 1= ③“题②”中加上条件：“1>x ”则其值域为 。 ④|2||1|-++=x x y （2）x x f -+=15)( （3）1 += x x y 练习：3 12)(-+=x x x f

（4）上题中加上条件：“4>x ”求此函数的值域 （5）1 |||2|1+-= x x y （5）求函数1122+-=x x y 的值域 （6）求函数6 6522-++-=x x x x y 的值域 注：求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值 域的制约作用 2.二次函数（在给定区间上）的值域的求法（配方法） 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： （1）y=x 2-2x-1； （2）y=x 2-2x-1,x ∈[0,3]； 练习：（1）y=x 2-6x-1,x ∈[-2,0]

（2）y=3-4x-2x 2，x ∈[1,2] （3）3 4252+-=x x y 注：求二次函数在给定区间上求值域时，关键是确定二次函数的对称轴与给定 区间的联系，这个关系弄清后，再借助二次函数的图象求值域 3.换元法 例3 （1）求函数y=x+21-x -2的值域 练习：求函数下列函数的的值域 （1）x x y -+=142 ☆（2）22142x x y -+= ☆（2）求函数2224) 1(5+++=x x x y 的值域 本课自我回顾与反思：

高一数学【函数的定义域值域】练习题集

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y 例2：求函数1y =的值域。 2、配方法： 例1：求函数2 42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2 256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x =+ 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x =- 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 21 )(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 211)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、 解析式题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3 ）若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

三、 求函数解析式的方法 （一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

函数值域的求法大全

函数值域的求法大全 题型一 求函数值：特别是分段函数求值 例1 已知f (x )＝1 1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝1 3. 又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝1 12 . 反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ＋1 x ＋2 . (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]. 解 (1)∵f (x )＝ x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝3 4 . (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f (23)＝2 3＋1 23＋2＝5 8 . 5.已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f (1 x )； (2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (1x )＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2 .

(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. (3) 4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝________. 答案 6 解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3， f (3)＝f (2)＋1＝4，f (4)＝f (3)＋1＝5，f (5)＝f (4)＋1＝6. 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 求值域问题 利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②） （3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =（记住图像）

最新高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明； 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域； （三）求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； 4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

高中数学：求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 0≥ 11≥， ∴函数1y 的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。 二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】 求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时， ，当 时， 故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知 ，求函数 的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配 方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐 标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 图1 图2 图3 ①如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 。 ②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有 ，即 。当时，函数取得最小 值 。 ③如图3所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 综上讨论，g(t)=?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?=<

LS高一数学函数值域求法及例题

函数值域 （最值） 的 常用 方法 姓名: 、基本函数的值域: 一次函数y kx 0的值域为R . 正，余弦函数的值域为 1,1，正，余切函数的值域为 、其它函数值域 、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域（最值）的简单函数） 2、求函数y --------------- 的值域. Vxl 1 二、 配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时， 可利用配方法求值域） 1、 求函数y 2 , x 2 4x （x 0,4）的值域. 说明：在求解值域（最值）时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域 的限制. 2、 若x 2y 4, x 0, y 0，试求xy 的最大值。 三、 反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数， 可以利用“原函数的定义域和值域分别为 其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方 法求原函数的值域。 1、 求函数y 的值域. x 1 2 / 二次函数y ax 2 bx c a 0，当 a 0时的值域为 4ac b 2 4a 当a 0时的值域为 4ac b 2 4a 反比例函数 k 0的值域为y 指数函数y a x a 0且a 1的值域为 对数函数y log a x a 0且a 1的值域为R . R . 1、求y x 2 4 2的值域.

2、求函数y罕4的值域. X 1 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 A（y）x2 B（y）x C（y） 0的形式，再利用判别式加以判断） 2x2 4x 7 1、求函数y 竺上的值域. x 2x 3 2、求函数y 2% 1的值域. x 2x 2 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数 （用三角代换）等） 1、求函数y 2x 3 ,13 4x的值域. 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数y x 1 x 3的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值.（如：a2 b2 2ab,a b 2. ab ），利用此法求 函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结 果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""成立的条件.） 1、求函数y x 1（x 0）的值域. x 注意：在使用此法时一定要注意a b 2 .0b的前提条件是a>0, b>0,且能取到b. 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y k f（x）（k为常数）的形式） X2 X 1、求函数y 耳一—的值域. x x 1 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域） 十、利用导数求函数的值域（若函数f在（a、b）内可导，可以利用导数求得f在（a、b） 内的极值，然后再计算f在a，b点的极限值。从而求得f的值域） 十^一、最值法（对于闭区间［a，b］上的连续函数y=f（x），可求出y=f（x）在区间［a，b］内的极值，

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值， 最大值为(),()f m f n 中较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a -?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知 () 22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。 例2：已知()2 11f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域： （1）若定义域为b x R x a ??∈≠-???? 时，其值域为c y R y a ??∈≠ ???? （2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by x ay c -=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求 出函数的值域。

高一数学《函数的值域》的求法

高一数学《函数的值域》的求法 《新形势下教育管理理论与实践指导全书》 函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点，下面介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法。 （1）直接法——从自变量x的范围出发，推出y的取值范围； （2）二次函数法——利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）； （3）反函数法——将求函数的值域转化为求它反函数的定义域； （4）判别式法——使用方程思想，依据二次方程有实根，求出y的取值范围； （5）单调性法——利用函数的单调性求值域； （6）图象法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。 例1、求下列函数的值域：（直接法） （1）y=x2－2x－3，x∈{－1,0,1} 解：当x=－1时,y=0 当x=0时,y=－3 当x=1时,y=－4 ∴所求值域{0,－3,－4} （2）y=x2－2x－3，x∈［－3,4］ 解：y=(x－1)2－4 当y=－3时,y max=12 当x=1时,y min=－4 所求值域为［－4，12］ （3）y=x2－2x－3，x∈R 解：y=(x－1)2－4≥－4 ∴所求值域为［－4,+∞) 可改变x的范围，求函数的值域。如将“x∈R”改为“x∈［－3,2］”；将“x∈R”再改为“x∈［－3,+∞) （4）y=4 解：要使原函数有意义,则 3+2x－x2≥0 －1≤x≤3 y=4 当x=1时,y min=0 当x=－1或3时,y max=4 ∴所求值域为［0,4］ （5）y= 25 243 x x -+ 解：y= 25 2(2)3 x x -+

=252(1)1 x -+ ∵2(x －1)2≥0 ∴2(x －1)2+1≥1 ∴0＜ 212(1)1x -+≤1 ∴0＜252(1)1 x -+≤5 ∴所求值域为(0,5］ 上试中“＞0”这个条件很容易被漏掉，讲课时应注意强调。 例2、求下列的值域： （1）y=311x x -+ （2）y=2x （3）y=1x x +，x ∈［1,3］ （4）y=22436 x x x x +++- （5）y=234x x + 解：（1）方法一（分离变量法）y=431 x -+≠3 方法二：（反函数法）由y=311 x x -+得x=13y y +- ∴y ≠3 所以所求值域为(－∞,3)∪(3,+∞) 解：（2）≥0)则x=2 12 t - ∴y=－t 2+t+1=－(t －12)2+54 当t=12时,y max =54 ∴所求值域为（－∞, 54 ］ 解：（3）（利用单调性）可证：y=x+1x 在［1,3］为增函数 ∴当x=1时，y min =2 当x=3时，y max = 103 ∴所求值域为［2，103 ］ 解：（4）原函数的定义域为{x R ∈|x ≠－3且x ≠2}

高中数学 求值域 教案

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 ．求函数的值域。 【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。 【练习】 1 ．求下列函数的值域： ① ；② ； ③ ；，。 【参考答案】① ；② ；③ ；。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。 例 2 ．求函数（）的值域。 【解析】。 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。 ∴函数（）的值域为。 例 3 ．求函数的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： 配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。 说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。 【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得： ， y=1 时，取最大值。 【练习】 2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ；② ；③ ； ④ ；，； 。 【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；； 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。 适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。 例 5 ．求函数的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。 反解得，故函数的值域为。 【练习】 1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。 【参考答案】 1 ．；。 四．分离变量法： 适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。 例 6 ：求函数的值域。 解：∵ ， ∵ ，∴ ，∴函数的值域为。 适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。 例 7 ：求函数的值域。 分析与解：观察分子、分母中均含有项，可利用分离变量法；则有 。 不妨令：从而。 注意：在本题中若出现应排除，因为作为分母 . 所以故。

高中数学：求函数值域的10种常见方法

求函数的值域（常用） 一、用非负数的性质 例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2 +2;（2） ≥-1). 练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________． 练2： 求函数y = 练3：求函数的值域。 练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y （3）2234x x y -+-= ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=

二、分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域． 例1：求下列函数的值域：（1）y=21 x x ++（2）y=2211x x -+. 练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3 214222++++=x x x x y 三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3 的值域.

练1：求函数122+- =x x y ()0>x 的值域. 练2：求函数x x y 213--=的值域. 四、利用判别式 特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ?≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y = 234 x x +的最值．

练1：利用判别式方法求函数222231 x x y x x -+=-+的值域． 五、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数 的值域。 练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域. 1x x y -+=