神奇的Gamma函数 (下)

神奇的Gamma函数 (下)

rickjin

关键词：特殊函数, 概率分布

从二项分布到G a m m a分布

Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布(t分布，χ2分布，F分布)、Beta分布、Dirichlet 分布的密度公式中都有Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由Gamma 函数变换得到的Gamma 分布。对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子

∫∞0xα?1e?xΓ(α)dx=1

于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数

Gamma(x|α)=xα?1e?xΓ(α)

如果做一个变换x=βt, 就得到Gamma 分布的更一般的形式

Gamma(t|α,β)=βαtα?1e?βtΓ(α)

其中α称为shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而β称为rate parameter 或者inverse scale parameter (1β称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。

Gamma(t|α,β)分布图像

Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。指数分布和χ2分布都是特殊的Gamma 分布。另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是Gamma 分布的情人。接下来的内容中中我们主要关注β=1的简单形式的Gamma 分布。

Gamma 分布首先和Poisson 分布、Poisson 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma 分布的概率密度和Poisson 分布在数学形式上具有高度的一致性。参数为λ的Poisson 分布，概率写为

Poisson(X=k|λ)=λk e?λk!

在Gamma 分布的密度中取α=k+1得到

Gamma(x|α=k+1)=x k e?xΓ(k+1)=x k e?x k!

所以这两个分布数学形式上是一致的，只是Poisson 分布是离散的，Gamma 分布是连续的，可以直观的认为Gamma 分布是Poisson 分布在正实数集上的连续化版本。

这种数学上的一致性是偶然的吗？这个问题我个人曾经思考了很久，终于想明白了从二项分布出发能把Gamma 分布和Poisson 分布紧密联系起来。我们在概率统计中都学Poisson(λ)分布可以看成是二项分布B(n,p)在np=λ,n→∞条件下的极限分布。如果你对二项分布关注的足够多，可能会知道二项分布的随机变量X～B(n,p)满足如下一个很奇妙的恒等式

P(X≤k)=n!k!(n?k?1)!∫1p t n?k?1(1?t)k dt(?)

这个等式反应的是二项分布和Beta 分布之间的关系，证明并不难，它可以用一个物理模型直观的做概率解释，而不需要使用复杂的数学分析的方法做证明。由于这个解释和Beta 分布有紧密的联系，所以这个直观的概率解释我们放到下一个章节，讲解Beta/Dirichlet 分布的时候进行。此处我们暂时先承认(*)这个等式成立。我们在等式右侧做一个变换t=xn,得到

P(X≤k)=n!k!(n?k?1)!∫1p t n?k?1(1?t)k dt=n!k!(n?k?1)!∫nnp(xn)n?k?1(1?xn)

k dxn=(n?1)!k!(n?k?1)!∫nnp(xn)n?k?1(1?xn)k dx=∫nnp(n?1k)(xn)n?k?1(1?x

n)k dx=∫nnp Binomial(Y=k|n?1,xn)dx

上式左侧是二项分布B(n,p), 而右侧为无穷多个二项分布B(n?1,xn)的积分和, 所以可以写为

Binomial(X≤k|n,p)=∫nnp Binomial(Y=k|n?1,xn)dx

实际上，对上式两边在条件np=λ,n→∞下取极限，则左边有B(n,p)→Poisson(λ), 而右边有B(n?1,xn)→Poisson(x),所以得到

Poisson(X≤k|λ)=∫∞λPoisson(Y=k|x)dx

把上式右边的Possion 分布展开，于是得到

Poisson(X≤k|λ)=∫∞λPoisson(Y=k|x)dx=∫∞λx k e?x k!dx

所以对于们得到如下一个重要而有趣的等式

Poisson(X≤k|λ)=∫∞λx k e?x k!dx(??)

接下来我们继续玩点好玩的，对上边的等式两边在λ→0下取极限，左侧Poisson分布是要至少发生k个事件的概率，λ→0的时候就不可能有事件发生了，所以P(X≤k)→1, 于是我们得到

1=limλ→0∫∞λx k e?x k!dx=∫∞0x k e?x k!dx

在这个积分式子说明f(x)=xke?xk!在正实数集上是一个概率分布函数，而这个函数恰好就是Gamma 分布。我们继续把上式右边中的k!移到左边，于是得到

k!=∫∞0x k e?x dx

于是我们得到了k!表示为积分的方法。

看，我们从二项分布的一个等式出发, 同时利用二项分布的极限是Possion 分布这个性质，基于比较简单的逻辑，推导出了Gamma 分布，同时把k!表达为Gamma 函数了！实际上以上推导过程是给出了另外一种相对简单的发现Gamma 函数的途径。

回过头我们看看(**)式,非常有意思，它反应了Possion 分布和Gamma 分布的关系，这个和(*)式中中反应的二项分布和Beta 分布的关系具有完全相同的结构。把(**)式变形一下得到

Poisson(X≤k|λ)+∫λ0x k e?x k!dx=1

我们可以看到，Poisson分布的概率累积函数和Gamma 分布的概率累积函数有互补的关系。

其实(*)和(**)这两个式子都是陈希儒院士的《概率论与数理统计》这本书第二章的课后习题，不过陈老师习题答案中给的证明思路是纯粹数学分析的证明方法，虽然能证明等式成立，但是看完证明后无法明白这两个等式是如何被发现的。上诉的论述过程说明，从二项分布出发，这两个等式都有可以很

好的从概率角度进行理解。希望以上的推导过程能给大家带来一些对Gamma 函数和Gamma 分布的新的理解，让Gamma 分布不再神秘。

三角函数辅助角公式化简

精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；

精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。

标准正态分布的密度函数样本

幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布．幻灯片3 －标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,

记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时，①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10

怎样理解分布函数

怎样理解分布函数 概率论中一个非常重要的函数就是分布函数,知道了随机变量的 分布函数,就知道了它的概率分布,也就可以计算概率了。 一、理解好分布函数的定义: F(x)=P(X≤x), 所以分布函数在任意一点x的值,表示随机变量落在x点左边(X≤x)的概率。它的定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1]. 二、掌握好分布函数的性质: (1)0≤F(x)≤1; (2)F(+∞)=1,F(-∞)=0; 可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如: 设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,求常数A与B. 就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π. (3)单调不减; (4)右连续性。 三、会利用分布函数求概率 在利用分布函数求概率时,以下公式经常利用。

(1)P(a

三角函数辅助角公式化简 ()

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ? ? -????上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =++ ???（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46π π?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ???? =--- ? ????? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122??-????上的值域. 6．已知函数( )21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ ?? -????上的最大值和最小值. 8．设函数( )()sin ?cos 2tan x x x f x x π??- ? ?? =. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数( )2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， bc =b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数的单调增区间；

excel函数符号表

Excel函数用途、参数、用法速查表（按Ctrl+F搜索）

Excel常用函数功能及用法介绍 .xls 文件下载 函数名功能用途示例ABS求出参数的绝对值。数据计算 条件判断AND“与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回 逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。 AVERAGE求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN显示所引用单元格的列标号值。显示位置CONCATENATE将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并COUNTIF统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DATE给出指定数值的日期。显示日期DATEDIF计算返回两个日期参数的差值。计算天数DA Y计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。计算天数DCOUNT返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。条件统计

FREQUENCY以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。概率计算 条件计算 IF根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结 果。 数据定位INDEX返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确 定。 INT将数值向下取整为最接近的整数。数据计算 逻辑判断ISERROR用于测试函数式返回的数值是否有错。如果有错，该函数返回TRUE，反 之返回FALSE。 LEFT从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符。截取数据LEN统计文本字符串中字符数目。字符统计 MA TCH返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。匹配位置MAX求出一组数中的最大值。数据计算MID从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符。字符截取MIN求出一组数中的最小值。数据计算MOD求出两数相除的余数。数据计算MONTH求出指定日期或引用单元格中的日期的月份。日期计算 NOW给出当前系统日期和时间。显示日期时 间 逻辑判断 OR仅当所有参数值均为逻辑“假（FALSE）”时返回结果逻辑“假（FALSE）”， 否则都返回逻辑“真（TRUE）”。 RANK返回某一数值在一列数值中的相对于其他数值的排位。数据排序RIGHT从一个文本字符串的最后一个字符开始，截取指定数目的字符。字符截取

三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .

标准正态分布的密度函数

正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算 幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布， 这可以由 以下情形加以说明： ⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的． 可以证明， 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标 一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵正态分布有许多良好的性质， 许多分布所不具备的． ⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布． 幻灯片3 －标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数 若连续型随机变量X的密度函数为 定义 则称X服从标准正态分布， 记为 标准正态分布是一种特别重要的 它的密度函数经常被使用， 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 （2）根据反常积分的运算有 可以推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质

，X的密度函数为 则密度函数的性质为： 的图像称为标准正态（高斯）曲线。 幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知，阴影面积为概率值。 对同一长度的区间 ，若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”. 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数 分布函数为 幻灯片8 2、标准正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决标准正态分布的概率计算. 表中给的是x > 0时, Φ(x)的值. 幻灯片9 如果 由公式得 令 则 幻灯片10 例1 解 幻灯片11 由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时， 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 幻灯片12 三、一般正态分布的密度函数 如果连续型随机变量X的密度函数为 （其中 为参数） 的正态分布，记为 则随机变量X服从参数为 所确定的曲线叫 作正态(高斯）曲线. 幻灯片13

时 三角函数倍角 辅助角公式

和，辅，倍角公式 一、和差公式： 1、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-； cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；cos()cos cos +sin sin αβαβαβ-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ --=+ 二、辅助角公式：sin cos )a x b x x ?+=+， 其中： tan ,sin b a ???===证明过程： 三、二倍角公式： 1、二倍角： 2、降幂 sin 22sin cos ααα=；1sin cos sin 22 ααα= 例题4：化简求值之基础训练： （2）cos32cos77sin148cos13o o o o += （3）sin()sin()cos()cos()x y x y x y y x +-++-= （4）若3 53cos ,sin ,(,),(,2)51322 ππαβαπβπ=-=-∈∈，则sin()αβ+= （5）已知3 3sin ,(,2)52 πααπ=-∈，则cos()4πα-= 例题5：化简求值之升华训练 （1）已知1cos(),cos sin 38 πααα-=+则的值为

（4）已知11tan(),tan ,tan(2)27 αββαβ-==--=求 例6：化简求值之综合应用： （5）sin()sin()cos 66y x x x ππ =++-+ 辅助角公式专项训练 1.已知函数1()sin cos 44 f x x x =-。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62 π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π?????? 上的最值。 3.已知函数()2cos sin()3f x x x π =+。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？ 5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=+ +∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................

1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2

三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化 简 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ??? 上的单调性. 9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π? ?=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的 值.

12．已知函数 . （1）求函数的单调增区间； （2） 的内角，，所对的边分别是，，，若 ， ，且 的面积为 ，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +- ，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a =（sinx ，cosx ），b =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a ?b 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移 3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π]上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a =（2cos 2 x ω， 3sin 2 x ω），b =（cos 2 x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数 f （x ）=a ?b ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值.

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） .............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .............................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ......................................................................................... 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ..................... 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................. 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 10. 2χ分布（卡方分布） (7) 11. t 分布 ......................................................................................................... 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） .............................................................. 10 15. 对数正态分布 ....................................................................................... 11 1. 均匀分布 均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1 ()f x b a =-

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

辅助角公式(可编辑修改word版)

3 辅助角公式 一．合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的y =A sin(x +) +B 形式。 tan=B ． A A sin+ B cos (+)，其中 二．练习 1.y = sin x + cos x 2.y = 3 sin x + cos x 3.y = 3 sin 3x + cos 3x 4.y = sin 2x + cos 2x 5.y = 1 sin x + 2 cos x 2 6.y =2(sin x - cos x) 7.y = 2 cos x - 6 sin x 8. y = 3 15 sin x + 3 5 cos x 9.y = sin( 4 4 -x) + cos( 4 4 -x) 10.y = 3 sin 2x + cos2x 2 11.y = 2 cos x(sin x + cos x) 12.y = ?+?- 3 cos2x + 3 cos x s in x ? ??4 13.1 3 . y = 3 2 cos x - sin x 2 14.已知函数f (x) = 2 s in2?π +x ? - 3 cos 2x ，x ∈ ?ππ? ． 4 ? ?，? ???4 2 ? （I）求f (x) 的最大值和最小值；A2+B2 3 2 6 3

2 2 2 ? ? （II ） 若不等式 f (x ) - m < 2 在 x ∈ ? π π ? 上恒成立，求实数 m 的取值范围． ? ， ? ? 4 2 ? 分析：观察角，单角二次型，降次整理为 a sin x + b cos x 形式． ? ? π ?? 解：（Ⅰ）∵ f (x ) = ?1- cos 2 + 2x ?? - 3 cos 2x = 1+ sin 2x - 3 cos 2x ? ? ?? = 1+ 2 sin ? 2x - π ? ． 3 ? ? ? 又∵ x ∈ ? π， π ? ，∴ π ≤ 2x - π ≤ 2π ，即2 ≤1+ 2 s in ? 2x - π ?≤ 3 ， ?? 4 2 ?? 6 3 3 3 ? ∴ f (x )max = 3， ? ? f (x )min = 2 ． （Ⅱ）∵ f (x ) - m < 2 ? f (x ) - 2 < m < f (x ) + 2 ， x ∈ ? π， π ? ， ? 4 2 ? ∴m > f (x )max - 2 且 m < f (x )min + 2 ， ∴1 < m < 4 ，即 m 的取值范围是(1， 4) ． 15. （1）已知sin x + sin y = 1 ，求sin y - cos 2 x 的最大值与最小值． 3 （2）求函数 y = sin x ? cos x + sin x + cos x 的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 1 2 解：（1）由已知得： sin y = 3 - sin x ， sin y ∈[-1,1] ，则sin x ∈[- 3 ,1] ． ∴sin y - cos 2 x = (sin x - 1 )2 - 11 ， 当sin x = 1 时， sin y - cos 2 x 有最小值 - 11 ； 当 2 12 2 12 sin x = - 2 时， sin y - cos 2 x 有最小值 4 ． 3 9 t 2 -1 1 2 1 （2）设sin x + cos x = t (- ≤ t ≤ 2) ，则sin x ? cos x = ，则 y = t + t - ，当 t = 时， y 有最大值为 1 + ． 2 2 2 2

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

辅助角公式的推导

辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a )

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）