九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系

弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系

仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）.

A. 69。

B. 42°C・ 48。D・ 38°

2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）.

A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z1

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・

仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。

2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？

结论:

知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角）

【知识梳理】

知识点一、弧、弦、圆心角的关系

1•圆心角定义

如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

知识点二、圆周角

1.圆周角定义：

像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

4•圆内接四边形：

（1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）.

5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等.

【例题精讲】

类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC.

【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证:

AC = BD.

类型二、圆周角定理及应用

【变式】如图，ZiABC内接于0O, ZC=45% AB=4,则G>0的半径为()・

【课堂练习】

仁观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角?

2•如图，四边形ABCD内接于二0,点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

(1)若匸CBD=39°.求二BAD的度数：

(2)求证："1=12・

3•如图，二0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E, ZA=22.5% 0C=4, CD的长为(

知识点二（点、直线、圆与圆的位置关系）

【知识梳理】

要点一、点和圆的位置关系

1.点和圆的三种位置关系：

由于平而上圆的存在，就把平而上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点

各具有相同的性质和判泄方法；设0O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有

（2）点P在圆上Od二厂O 十》2 _ r；

（3）点P在圆外Od "O 十

2.三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

要点二、直线和圆的位置关系

1.直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，公共点叫切点.

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

2.直线与圆的位置关系的判定和性质.

直线与圆的位宜关系能否像点与圆的位宜关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确赵圆的大小，因此研究宜线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点

（圆心）的位置关系.下而图（1）中直线与圆心的距离小于半径：图（2）中直线与圆心的距离等于半径; 图（3）中直线与圆心的距离大于半径.

B. 4 c. W2 D. 8 （1）点戸在圆内OH

如果0O的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么

C1)直线，和OOffl交od

(2)直线/和©0相切O d =

〔3)直线闲100相离0 d〉r.

要点三、圆和圆的位置关系

1. 圆与圆的五种位置关系的定义

两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.

两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.

两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.

两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.

2. 两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系；

设00］的半径为门，002半径为门，两圆心002的距离为d,则:

两圆外离Od>ri+r2

两圆外切Od=r】+r2

两圆相交O ri-r2

两圆内切O d=r「r2 (ri>r2)

两圆内含OdVrw (ri>r2)

【例题精讲】

类型一、点与圆的位置关系

例1•已知00的半径r=5cm,圆心O 到直线/的距离d=OD=3cm,在直线/上有P 、Q 、R 三点，且有

PD=4cm, QD>4cm, RDV4cm, P 、Q 、R 三点与00位巻关系各是怎样的？

类型二、直线与圆的位置关系

彳列2.如图，以0为原点建立平面直角坐标系，每一小格为一个单位，圆心为A (3, 0)的匚A 被y 轴截得 的弦长BC=8,如图，解答下列问题：

(1) ::A 的直径为 _____ :

(2) 请在图中将:JA 先向上平移6个单位，再向左平移花8个单位得到二D,观察你所画的图形，则匚D 的 圆心D 的坐标为 _____ :匚D 与x 轴的位置关系是 ______ ,匚D 与y 轴的位置关系是 _____ ,匚D 与匚A 的位宜 关系是 ：

【变式】如图，两个同心圆，大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB

4-

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例3.如图所示，已知ZAOB=30°, P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作0P.

<1）当r=7cm时，试判断OP与OB位置关系：

（2）若OP与OB相离，试求出r需满足的条件.

j

类型三.三角形的外接圆

例4•如图，已知OO为AABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E, F分别是边AC和BC上的中点，试判断四边形CEDF的形状，并加以证明.

【变式】如图，已知，在A ABC中，AB=10, ZA=70% ZB=50°,求△ ABC外接圆<30的半径.

类型四、圆与圆的位置关系

例5•如图所示，00的半径为5,点P为0O外一点，OP=8.求：（1）以P为圆心作0P与OO相切,

则0P的半径为多少？（2）当OP与00相交时，0P的半径的取值范用为多少？

【变式】已知与OO2相切，OCh的半径为3cm, ©02的半径为2cm,则0心的长是（）

A. lcm B・ 5cm C・ 1cm 或5cm D・ 0・5cm 或2・5cm

【课堂练习】

1 •已知圆的半径等于5cm,根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm： (2)5 cm： (3)6 cm,判泄点P与圆的位宜

关系，并说明理由.

2•在RtA ABC中.ZC=90% AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位宜关系？为什么？(l)r=2厘米：(2)r=2.4厘米：(3)=3匣米

3•如图所示，在RtA ABC中，ZB = 90% ZA的平分线交BC于D,以D为圆心，DB长为半径作0D.求证：直线AC与。D相切.

4•如图，已知A ABC,请作出该三角形的外接圆OO (要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程).

5•⑴已知两圆的半径分别为3cm, 5cm,且其圆心距为7cm,则这两圆的位置关系是()

A.外切

B.内切

C.相交

D.相离

⑵已知OOl与002相切，0O1的半径为3cm, 002的半径为2cm,则O1O2的长是（）

A. lcm B・ 5cm C・ 1cm 或5cm D・ 0・5cm 或2・5cm

1•如图，在00中，若圆心角ZAOB=100°, C是肩上一点，则ZACB等于（）.

A. 80°B・ 100。C・ 130。D・ 140°

A

2•如图所示，AB是。O的直径，AD=DE, AE与BD交于点C,则图中与ZBCE相等的角有（）

A. 2个B・3个C・4个D. 5个

E

3. A, B, C, D, E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过英中的三点作圆，最多能作（）.

A. 5个圆

B. 8个圆C・10个圆 D. 12个圆

4. 已知0O的半径为1,点P到圆心O的距离为〃，若关于X的方程H—加+d=0有实根，则点P（）.

A.在OO的内部

B.在OO的外部

C.在OO上

D.在OO上或00的内部

5. _________________________________________________ 已知线段QP, AP=AQ,以QP 为直径作圆，点A与此圆的位巻关系是 ____________________________________ .

6•如图，圆内接四边形ABCD两组对边延长线分别相交于点E, F,且ZA=55% ZE=30%则HF= ・

7•如图，it RtZABC中，二ACB=90。，AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D, P是CD上的一个动

g要支回顾

圆心角：

（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.

（2）注意上理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

圆周角：

（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.

（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

三角形的外接圆：

（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位巻关系就可以确泄数量关系：知道数量关系也可以确定位垃关系；

（2）不在同一直线上的三个点确泄一个圆.

圆和圆的位置关系：

（1）圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位垃的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离（含外离、内含）、相切（含内切、外切）、相交：

（2）内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；

（3）具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.

1・已知，如图,AB为00的直径，AB=AC, BC交€）0于点D, AC交＜30于点E, ZBAC=45%给出以下五个结论：①ZEBC = 22.5。：②BD=DC： ®AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC。苴

中正确的有（）个

A.5

B.4

C.3

D.2

2•如图，设00的半径为r,弦的长为a,弦与圆心的距藹为d,弦的中点到所对劣弧中点的距离为h,下而

说法或等式：®r = d+h ②4r 2=4J 2+«2③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。其中正确结 论的序号是（）

A.仅①

B. ®®

C.①②③

D.①③

4•如图，AB 是00的直径，弦CD 丄AB 于点E, ZCDB = 30°, 00的半径为* cm,则弦。。为（）.

ZCBD=2ZBDC» ZBAC=44°,贝iJZCAD 的度数为(

B. 88° C ・ 90° D ・ 112°

B ・ 3cm C. 2>/3 cm D ・ 9cm

5•如图所示，在RtA ABC 中，ZC=90%

ZB=30°. BC=4cm,以点C 为圆心，以2cm 的长为半径作 圆，则0C 与AB 的位置关系是（）.

A.相离•

B.相切

C.相交

D.相切或相交 A A. 68°

3 A. —cm

6. 00的半径为6,点P^EOO内，则0P的长可能是（）

A. 5 B・6 C・7 D・8

7. 如图，已知P是二0外一点，Q是no上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP, 0M.若二0的半径为

2, 0P=4,贝IJ线段0M的最小值是（）

8•如图，AB和DE是二0的直径，弦ACRE,若弦BE=3,则弦CE二___________

9.已知RMABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2-7 x+12=0的两根，则此RtA ABC的外接圆的半径为 ____________ .

10•如图，00的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=L CD = 4>/2 ZAED= _____ °.

11•在RtA ABC中，ZC=90°, BC=6cm, AC=8cm.以点C为圆心，作半径为R的圆，则当_________ 时，OO 和直线AB相交.

12•如图所示，AB. CD是OO的两条互相垂直的眩，圆心角ZAOC=130S AD、CB的延长线相交于P,

则ZP= ________

13•如图所示，在半径为3的00中，点B是劣弧4C的中点，连接AB并延长到D,使BD=AB,连接

AC、BC. CD,如果AB=2,那么CD= ____________ ・

14•如图，直线AB、CD相交于点0,二AOC=30。，半径为lcm的二P的圆心在宜线AB上，且与点0的距离为6cm・如果匚P以lcm%的速度，沿由A向B的方向移动，那么______ 秒种后匚P与直线CD相切.

C

15•如图，MN是00的直径，MN = 2,点A在O0上，ZAMN=30°，点B为品中点，P直径MN上的

一个动点，则PA+PB的最小值是

16.已知00的半径OA=2,弦AB、AC分别为一元二次方程m （2血+2亦）x+4点=0的两个根，则

ZBAC的度数为 _______ .

17•如图，在0O 中，AB = BC = CD, OB, OC 分别交AC, BD于E、F,求证O£ = OF

B

18•如图，AB是OO的直径，C为4E的中点，CD丄AB于D,交AE于F,连接AC,求证：AF=CF・

c

19•如图所示，0O的直径AB长为6,弦AC长为2, ZACB的平分线交OO于点D,求四边形ADBC的而积.

20•如图直角坐标系中，已知A ( - 8< 0) , B (0, 6)，点M在线段AB±・

(1)如图1，如果点M是线段AB的中点，且二M的半径为4,试判断直线OB与二M的位置关系;

(2)如图2,二M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F,试求出点M的坐标.

初三《圆》章节知识点复习专题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半 径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的 垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的 距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两 条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 图1 A 图2

五、垂 径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ BC BD ? ? = ⑤ AC AD ? ? =中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴AC BD ? ? = 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等。 此定理也称1推2定理，即上述三个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ BA ED ?? = 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙ O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 图4 图5 B D

九年级数学下册《圆》知识点整理

九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆②直线与圆、圆与圆的位置;★重点★①圆的重要性质④与圆有关的比例线段定理。;③与圆有关的角的定理;关系☆内容提要☆一、圆的基本性质．圆的定义（两种）;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;．有关概念：弦、直径2 等圆、同圆、同心圆。;弦心距“三点定圆”定理．3 ．垂径定理及其推论4 “等对等”定理及其推论．．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）⑶弦切角定义（弦切角定理）二、直线和圆的位置关系三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲切线的性质（重点）2 圆的切线的判定有⑴…⑵…。（重点）切线的判定定理3 ．切线长定理4 三、圆换圆的位置关系五种位置关系及判定与性质：1初中数学复习提纲相切

（交）两圆连心线的性质定理2 两圆的公切线：⑴定义⑵性质3 四、与圆有关的比例线段相交弦定理1初中数学复习提纲切割线定理2 五、与和正多边形圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）三角形的外接圆、内切圆及性质2 圆的外切四边形、内接四边形的性质3 正多边形及计算4 中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲初中数学复习提纲、初中,可求出相关元素A△Rt（解数学复习提纲等）六、一组计算公式圆周长公式圆面积公式2 扇形面积公式 3 弧长公式4初中数学复习提纲弓形面积的计算方法圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算6 七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图作三角形的外接圆、内切圆平分已知弧2 作已知两线段的比例中项3 4等分圆周：4 等分3、8;6、九、基本图形十、重要辅助线作半径见弦往往作弦心距

2 见直径往往作直径上的圆周角 3 切点圆心莫忘连 4 两圆相切公切线（连心线）两圆相交公共弦6

九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系

弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系 仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）. A. 69。 B. 42°C・ 48。D・ 38° 2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）. A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z1 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・ 仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。

2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？ 结论: 知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角） 【知识梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径. 4•圆内接四边形： （1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等. 【例题精讲】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC. 【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证: AC = BD.

九年级下册圆的知识点汇总

九年级下册圆的知识点汇总 圆是数学中的一个重要概念，也是几何学的基础之一。在九年 级下册学习中，涉及了很多关于圆的知识点。下面将对这些知识 点进行汇总和概述。 一、圆的定义与基本属性 圆是平面上的一个几何图形，由到一个固定点的距离始终相等 的所有点组成。这个固定点称为圆心，距离称为半径（r）。圆的 完整曲线称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等，这个距离等于半径。 二、圆与直径 圆的直径是连接圆周上两个点并经过圆心的线段。直径的长度 等于半径的两倍，即直径d = 2r。 三、圆与弦 圆的弦是连接圆周上的两点的线段。 四、圆与弧

圆的弧是圆周的一部分。弧可以用中心角的度数来表示。圆周的度数是360度，所以圆周被分为四个相等的弧，每个弧都是90度。 五、弦割定理 在一个圆上，若两弦交于一点，那么两条弦分别乘以自己的弦长和求得的割线长度相等。 六、切线与切点 切线是与圆只有一个交点的直线。与切线相交的点称为切点。切线与半径在切点处相互垂直。 七、弦切角定理 当一个角的顶点在圆上，而角的两边分别交于圆上的两点，那么角对应的弦的弦长等于角两边相交的弧的弧长。 八、相交圆的位置关系 当两个圆相交时，可能出现以下几种情况：

1. 外切：两个圆相切于一个点，并且其中一个圆完全包含在另一个圆的外部。 2. 内切：两个圆相切于一个点，并且一个圆完全包含在另一个圆的内部。 3. 互相交错：两个圆没有相交，但是它们的内部存在交点。 4. 互相外离：两个圆没有相交，它们的外部也没有交点。 5. 互相内离：两个圆没有相交，但是它们的内部存在交点。 九、圆内接四边形 圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都位于同一个圆上的情况。圆内接四边形的对角线互相垂直并且相互平分。 十、角度的测量与圆周角 圆周角是以圆心为顶点的角。圆周角的度数等于所对应的弧的弧度数。一个圆的角度总和是360度。 以上就是九年级下册关于圆的知识点的汇总。通过学习这些知识，可以帮助我们更好地理解和应用圆的概念，在解决几何问题

初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结范文

初三数学上册直线和圆的位置关系知识点总结【一】:九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理 点、线和圆的位置关系 一、本节学习指导 和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有 d＜r ＜====＞点P在⊙O内； d＝r ＜====＞点P在⊙O上； d＞r ＜====＞点P在⊙O外。 注点和圆的位置关系只有在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。 2、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下 （1）相交直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么 直线l与⊙O相交＜====＞ dr；

3、切线的判定和性质 （1）、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。 4、切线长定理 （1）、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。 （2）、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角。 如右图中圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。 5、过三点的圆 （1）、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （2）、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。如图圆 O是△ABC的外接圆 （3）、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的 交点，它叫做这个三角形的外心。

数学九年级上册圆的知识点

数学九年级上册圆的知识点 数学九年级上册圆的知识点 1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上===d=r;②点在圆内===ddr. 二.圆的对称性: 1.与圆相关的概念： ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三.圆周角和圆心角的关系: 1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 2.圆周角定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1:同弧或等弧所对圆周角相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等; 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 四.确定圆的条件:

九年级数学下册圆的知识点整理

九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆ 内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段

初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲 (右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角

九年级下册《圆》知识点总结

圆 1．圆的认识 （1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O ”，记为“⊙O ”。 （2）线段OA 、OB 、OC 都是圆的半径，线段AC 为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。 小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。 （5）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。 2．圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 3.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所 对 的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。即：①AOB DOE ∠=∠；② AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 4．圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 F E C B A O O E D C B O C D A B C A O D C A O B A O

九年级(上)《圆》-全章知识要点(A4)

《圆》全章要点 1．本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 教学重点 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 6．直线L和⊙O相交dr 及其运用． 7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用． 8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题． 9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用． 10．两圆的位置关系：d与r 1和r2之间的关系：外离d>r1+r2；外切d=r 1+r2；相交│r2-r1│

新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点1 2 n A A A 、、在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为 .

初三数学圆的知识点归纳

初三数学圆的知识点归纳 圆是指在一个平面内，一动点以肯定点为中心，以肯定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。下面是我为大家整理的有关初三数学圆的学问点归纳，盼望对你们有关心! 初三数学圆的学问点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧：小于半圆周的弧。 (2)优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、(1)过两点的圆的圆心肯定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同始终线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切; 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 9、平面直角坐标系中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。 则AB=(x1+x2,y1+y2) 10、圆的切线判定。 (1)d=r时，直线是圆的切线。 切点不明确：画垂直，证半径。 (2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。 切点明确：连半径，证垂直。 11、圆的切线的性质(补充)。 (1)经过切点的直径肯定垂直于切线。 (2)经过切点并且垂直于这条切线的直线肯定经过圆心。 12、切线长定理。 (1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。 (2)切线长定理。

九年级圆基础知识点圆讲义

一对一授课教案 一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做 圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O ⊙”,读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为 1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的 弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等． 一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形,对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合． 二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题； 1.判断：1直径是弦,是圆中最长的弦; 2半圆是弧,弧是半圆; 3等圆是半径相等的圆; 4等弧是弧长相等的弧; 5半径相等的两个半圆是等弧; 6等弧的长度相等; 2．P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是 A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 3．以已知点O为圆心作圆,可以作

九年级数学第24章圆知识完整归纳

第24章圆 第一节圆的有关性质 知识点一：圆的定义 1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。 2、圆的特征 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。 （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。 （2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。 知识点二：圆的相关概念 1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧． 注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧，也不是劣弧。 3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。 4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 知识点三：圆的对称性 1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 注意：（1）圆的对称轴有无数条 （2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。 2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个 角度，所得的图形都与原图形重合。 知识点四：垂径定理及推论（重点） 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，AB是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB交CD于点E，若 AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD 注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 3.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

苏教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高版)

苏教版九年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点1 2 n A A A 、、在同一个圆上的方法 当时， 在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为 .

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系 知识点归纳及中考典型例题解析 一、圆的有关概念 1．与圆有关的概念和性质 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧． （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角． （6）弦心距：圆心到弦的距离． 2．注意 （1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条； （2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个． （3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆． 二、垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 2．推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 三、圆心角、弧、弦的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立． 2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 四、圆周角定理及其推论 1．定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）直径所对的圆周角是直角． 圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系 1．点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d． (1)dr⇔点在⊙O外． 判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可． 2．直线和圆的位置关系 位置关系相离相切相交 图形 公共点个数0个1个2个 数量关系d>r d=r d