圆弧、弦、圆周角的关系

课题：弧、弦、圆心角

【学习目标】

1．能识别圆心角．

2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．

3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．

【学习重点】

探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

【学习难点】

圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

情景导入生成问题

1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)

宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：

2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．

自学互研生成能力

知识模块一圆心角的定义

【自主探究】

阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容：

举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？

顶点都在圆心上，两边都与圆相交．

归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角．

圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交．

范例：如图，下列各角是圆心角的是(B)

A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC

知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系定理

【自主探究】

阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容：

如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与OB′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′

重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵.

归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

(2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；

(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．

【合作探究】

典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？

(1)如图所示：因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵.

(2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵.

解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．

范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD.

证明：∵AD ＝BC ，

∴AD ︵＝BC ︵.

∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵.

∴DC ︵＝AB ︵.∴AB ＝CD.

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习

圆周角定理及其推论 一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角． 注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数． 2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例 例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE= 弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明： 例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别 交于点A 、B 和C 、D ． 求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等． 例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ． (1)求证：∠ACO=∠BCD ． (2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求 例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____．

1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（） 2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（） 2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（） A、AB=2CD B、AB＜2CD C、AB＞2CD D、不能确定 4、下列语句中正确的是（） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（） 6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（） 7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC； ④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（） 图1图2图3 8.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为 9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB； （2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

圆心角、圆周角、弦、弧的关系

1 圆的基本性质 考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度） 【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等） 【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。 （1）求证：AM =BN ； （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ B A

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验 版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论. 二、知识要点： 1. 弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵ CD ，则∠AOB ＝∠COD ， AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵ CD. O A B C D 2. 圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 . ③② ① （3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 三、重点难点： 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.

【典型例题】 例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明： （1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝ AC. B 分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵ AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC. 解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵ AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC. （2）由（1）得︵BD ＝︵ AC ，∴BD ＝AC. 例2. 如图所示，C 是︵ AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. 解：B 评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求. 例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵ BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE. 分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的 弧为︵ AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.

九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系

弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系 仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）. A. 69。 B. 42°C・ 48。D・ 38° 2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）. A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z1 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・ 仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。

2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？ 结论: 知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角） 【知识梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径. 4•圆内接四边形： （1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等. 【例题精讲】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC. 【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证: AC = BD.

初中九年级数学下册——圆

初中数学九年级 一、圆 1、 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 （1）区分点在圆内，圆外和圆上的判定方法：点到圆心的距离与半径的比较 2、圆是轴对称（对称轴是任意一条过圆心的直线）和中心对称（对称中心是圆 心） （1）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（区分优弧和劣弧） （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 （3）直径：经过圆心的弦叫直径（直径是弦，但弦不一定是直径） 3、（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （2）两条平行的弦所夹的弧相等 （3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等， （4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有 一组向量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等 4、圆心角和圆周角的关系：圆心角=2倍圆周角（同一条弧） （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径 5、圆的确定：不在同一直线的三点确定一个圆 （1）证明四点共圆的方法 思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。 思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆． 思路三：运用有关定理或结论 （1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． （2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。 （4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ， PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。 （5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ， PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。 图（3） 图（4） 图（5） 6、三角形的外接圆——三角形任意两条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆 的圆心，叫外心 A B C D A B C D P A B C D P

圆的弦与弧的性质

圆的弦与弧的性质 圆是数学中的一个重要概念，而圆上的弦和弧也是圆的基本要素。本文将探讨圆的弦和弧的性质，包括它们的定义、长度关系以及在几何问题中的应用等方面。 1. 弦的定义与性质 在数学中，我们将两个不同点A和B都在圆的周上，并且直线段AB位于圆的内部，这条直线段AB就称为圆的弦。弦的特点是连接了圆上的两个点，并且它并不一定经过圆心。接下来，我们来谈谈弦的性质。 1.1 弦的长度 圆上的任意一条弦都有一个固定的长度，即弦长。在给定的圆中，不同位置的弦长可能不同，但是相同位置的弦长是相等的。 1.2 弦的定理 在圆上，对于任意的两条弦AB和CD，如果它们对应的弧相等，则弦的长度也相等。反之亦成立，即如果两条弦的长度相等，则它们对应的弧也相等。 1.3 弦的性质 （1）直径是圆中最大的弦，它经过圆心并且将圆分为两个半圆。 （2）半径是圆的弦，它连接圆心与圆上的任意一点，并且半径的长度相等。

2. 弧的定义与性质 在圆中，从圆上的一点到另一点所对应的圆弧称为圆的弧。接下来，我们来探讨弧的性质。 2.1 弧长 圆上的弧有一个特定的长度，称为弧长。弧长可以用弧所对应的圆 心角来计算，其计算公式为：弧长 = 弧度 ×半径。 2.2 弧的度数 弧度是衡量弧长的单位，1弧度等于圆心角所对应的弧长等于半径 长度的弧。 2.3 弧与圆周角关系 圆内任意两个相等的弧对应的圆心角也是相等的。反之不成立，即 两个对应的圆心角相等时，其对应的弧不一定相等。 3. 圆的弦与弧在几何问题中的应用 圆的弦和弧的性质在几何问题的应用中具有重要意义，下面通过几 个实例来说明。 3.1 弦长的应用 弦长的计算在实际问题中有着广泛的应用，比如在建筑中，我们可 以利用弦长来计算建筑物或物体的高度、距离等。 3.2 弧长的应用

数学人教版九年级上册圆弧、弦、圆周角的关系

课题：弧、弦、圆心角 【学习目标】 1．能识别圆心角． 2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性． 3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题． 【学习重点】 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 【学习难点】 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 情景导入生成问题 1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个) 宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志： 2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化． 自学互研生成能力 知识模块一圆心角的定义 【自主探究】 阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容： 举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？ 顶点都在圆心上，两边都与圆相交． 归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角． 圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交． 范例：如图，下列各角是圆心角的是(B) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC 知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系定理

【自主探究】 阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容： 如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与OB′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′ 重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵. 归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； (2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等； (3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【合作探究】 典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？ (1)如图所示：因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵. (2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵. 解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明． 范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD. 证明：∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵. ∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵. ∴DC ︵＝AB ︵.∴AB ＝CD.

弧弦圆周角之间的关系

1 圆的旋转不变性： 弧、弦、圆心角之间的关系： 1、 如图所示OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA ，OB 的中 点，求证：MC=NC 。 2、如图，已知BC 为直径，BD=DE=EC ，求证：△ABC 为等边三角形。 3、下列结论中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的圆心角所对的弧的长度相等 C 、相等的圆心角所对的弧的度数相等 D 、如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等 4、如图所示，在⊙O 中，弧AB=2弧CD ，那么（ ） A 、AB>2CD B 、AB<2CD C 、AB=2C D D 、AB 与2CD 的大小关系不确定 5、如图，若AB=2CD ，则（ ） A 、弧AB>弧CD B 、弧AB<2弧CD C 、弧AB=2弧CD D 、弧AB 与2弧CD 的大小关系不确定 6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D 。求弧AD 的度数。

2 7、如图，弧AB 的度数为90°，点C 、D 将弧AB 三等分，弦AB 与半径OC ，OD 交于E 、F 两点。求证：AE=CD=FB 8、如图，P 是等边三角形ABC 外接圆弧 BC 上任意一点，求证：PA=PB+PC 9、一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角度数为 。 10、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。 11、⊙O 中，一条弦的长度等于半径，则它所对的圆心角的度数为 。 12、下列图形即是轴对称图形，又中心对称图形的是（ ） A 、等边三角形 B 、等腰梯形 C 、角 D 、圆 13、下列说法正确的是（ ） A 、等弦所对的弧相等 B 、等弧所对的弦相等 C 、圆心角相等，所对的弦相等 D 、弦相等，所对的圆心角相等 14、⊙O 的一条弦的长与半径之比为2: 1，则这条弦将圆周分成的两部分劣弧和优劣的度数比是 15、如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，若劣弧DE 的度数为40° 16、如图，⊙O 中弦AB 垂直于直径CD 于点P ，若半径OA=2cm ，OP=1cm ，则AB= cm ， ∠AOB= ，∠ADC= 。 B D

圆的确定圆心角圆周角弧弦弦心距之间的关系

儒洋教育学科教师辅导讲义

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形

4、 已知。0的半径为4 cm, A为线段OP的中点，当0P=6 cm时，点A及。0的位置关系是( ) A、A在。0内 B、A在©0 上 C、A在。0外 D、不能确定 5、如图所示，有一个破残的圆片，现要制作一个及原圆片同样大小的圆形零件。请你根据所学知识，设计两种不同的方案确定这个圆的圆心及半径。 第二部分：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、知识点梳理 1、及圆有关的角——圆心角、圆周角 圆心角：顶点在圆心的角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 (1)图中的圆心角__________ ；圆周角 _____________ (2)____________________________________ 如图，已知ZA0B=50度，则ZACB= 度； 2、及圆有关的边一一弦、直径、弦心距、弧 (1)直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 (2)弦心距：从圆心到弦的距离。 (3)优弧、劣弧；同弧、等弧 3、圆心角及圆周角的关系.

2、在同圆中，弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d，如果c € d，那么（） A、a > b B、 a = b C、 a , b D、 a < b 3•圆内接/ABC中，AB=AC，圆心到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm，则腰长AB= ____________ 4、四边形ABCD内接于圆，AB，BC，CD，DA的弧长之比为5： 8： 3： 2则ZABC= __________ 5、如图，在中，ZB=10°,ZC=25°,则ZA二_______________ 6、如图，在中，AB为直径，ZACB的平分线交于D，则ZABD二______________ ° （第5题）（第6题）（第7题） 7、如图，已知AB为的直径，AC为弦，0D丄AC于D, OD = 2cm，求BC的长。 8、已知圆内接…ABC中，AB=AC，圆心0到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。

圆心角、弧、弦、圆周角

圆心角、弧、弦、圆周角 学习要求： 1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等； 2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的 知识求相关的线段长或证明比例线段。 内容分析： 1、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等。 2、圆周角 （1）定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。 （2）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角。 3、学好本单元内容的两个关键： （1）同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之 间的相互转化是解决问题的关键； （2）通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键。 例题分析： 1、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径

的长. 解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB. 则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC. ∵∠A=∠BOC，∴∠BOD=∠A=60° 在△BOD中，∠BDO=90°， ∴BO= ∴⊙O的半径的长为 解法二：作直径BE，连接CE. 则∠BCE=90°. 又∠A=∠E=60° ∴在△BCE中，BE= ∴⊙O的半径的长为. 【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题。两种解法中的基本图形同学们要牢记。 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F， 求证：∠FMC=∠AMD.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】 证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解

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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

弧、弦、圆心角、圆周角

第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角 知识点一弧、弦、圆心角的关系 【定义】、如图所示，/ AOB 勺顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 _________________________ 0B 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦： __________________________ ;相等的弧： ____________________________________________________ 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的 如图1,在。0和。0中，？分别作相等的圆心角/ AOB 和/ A O' B'得到如图2，滚动一个圆，使O 与O 重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 0A 与O' A '重合. 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 __________________ ，所对的弦 __________ 。 几何语言： ____________________________________________________________ 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 _______________________ 相等，？所对的 _________ 也相等. 几何语言： ____________________________________________________________ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 _______________________ 相等，？所对的 _________ 也相等. 几何语言： ____________________________________________________________ 【辨析】 定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉？为什么？你能举岀反例吗？ 【拓展】 如图，在。0中，AB CD 是两条弦. (1) 如果AB=CD 那么 ___________ , _________ (2) 如果弧AB=< CD 那么 _____________ , ________ (3) 如果/ AOB 艺COD 那么 __________ , _________ (4) 如果 AB=CD, OE!AB, OF 丄CD,OE 与 OF 相等吗？ (5) 如果OE=OF 那么AB 与CD 的大小有什么关系？ AB 与CD 的大小有什么关系？ ？为什么？/ AOB 与 /COD 呢？ 【归纳】：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距 中有一组量相等，它们所对应的其 余各组量也 _____________ 。 【探究】如图所示的。0中，分别作相等的圆心角/

圆心角与圆周角

圆心角与圆周角 【知识要点】 一、弧、弦、圆心角的关系 1. 弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量分别相等． 【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。 【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。 二 、圆周角定理 1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。 2. 圆周角定理的推论 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况。一般情况下不相等. （2）推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 【注意】“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。 （3）推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 【注意】一般情况下，当条件中有直径时，往往做出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。 【例题】 【例1】 一条弦把圆周角分成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，求这条弦所对的圆周角的度数。 【例2】 如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC =，试猜想弧AD 与弧BC 之间的关系，并证明你的猜想．

园中弧弦圆周角之间的关系

园中弧弦圆周角之间的关系 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!

数学教案：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

数学教案：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、知识梳理 1. 圆心角 定义： 在圆周上任取弧AB和圆心O，以O为顶点连接线段OA与OB，则∠AOB称为圆心角，记作∠AOC或∠BOC。 性质： 圆周角相等的弧所对的圆心角相等。即：AB=CD，则∠AOC=∠COD。 2. 弧 定义： 在圆上取两点A、B，以它们为端点的弧就是弧AB。当弧是一条直线时，称为全圆（或周长）。 性质： 1.相等的弧所对的圆心角相等。即：AB=CD，则∠AOC=∠COD。 2.同圆弧所对的圆心角相等。即：∠AOC=∠A’OC’=∠BOD=∠B’OD’。 3.从同一点出发，到圆上任意一点的两条弧所对的圆心角相等。 3. 弦 定义： 在圆上取两点A、B，则线段AB叫做圆的弦。 性质： 等长的弦所对的圆心角相等。即：FA=GB，则∠FOC=∠GOD。 4. 弦心距 定义： 在圆上取一点P，过其作与圆相交于点A、B两点的弦，那么点P到弦AB的距离叫做该弦的弦心距。

性质： 1.在同一圆中，离圆心较远的弦所对的圆心角较小，而相应弦心距也较小。 2.在同一圆中，离圆心较近的弦所对的圆心角较大，而相应弦心距也较大。 二、教学设计 1. 教学目标 1.熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念，理解它们之间的关系。 2.能够应用圆心角、弧、弦、弦心距的知识解决实际问题。 2. 教学重点和难点 重点：掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念及其性质。 难点：理解它们之间的关系，能够应用知识解决实际问题。 3. 教学方法 1.课堂讲授法：讲解和介绍圆心角、弧、弦、弦心距的定义及其性质。 2.组合法：通过组合圆的各种元素来探索它们之间的关系，引导学生自主体验和发现。 3.对话法：与学生互动，通过提问和解答来加深学生对概念和性质的理解和记忆。 4. 教学流程 1.引入 引导学生讨论：什么是圆心角、弧、弦、弦心距？这些概念有什么联系？ 2.讲授 讲授圆心角、弧、弦、弦心距的定义及其性质，帮助学生掌握这些概念。 3.组合 组合圆的各种元素，引导学生自主体验和发现它们之间的关系。 4.对话 与学生互动，通过提问和解答来加深学生对概念和性质的理解和记忆。 5.拓展

圆考点总结

第二十四章 圆 考点一：与圆有关的角 要点：1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 2．圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧 的度数的一半。 3．圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角 的一半。 4．弦切角:圆的切线与圆的弦组成的顶点在圆上的角，弦切角的度数等于它所夹得弧的度数 的一半． 弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角。 5．圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形。 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角。 题型1：圆心角、圆周角定理 例：1、（2012江苏苏州）如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上， AB=BC ，∠AOB=60° 则∠BDC 的度数是（ ） D C B A O 考点：圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。 分析：利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半， 即可求得∠BDC 的度数：∵ AB=BC ，∠AOB=60°，∴∠BDC=∠AOB=30°。 解答：C 2、（2010•扬州）如图，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC=70°，AD ∥OC ， 则∠AOD= 考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质 。 分析：首先由AD ∥OC 可以得到∠BOC=∠DAO ，又由OD=OA 得到∠ADO=∠DAO ，由此 即可求出∠AOD 的度数。 解答：∵AD ∥OC ，∴∠BOC=∠DAO=70°， 又∵OD=OA ，∴∠ADO=∠DAO=70°， ∴∠AOD=180-70°-70°=40°。

中考数学复习：圆周角弧弦的关系

圆周角、弧、弦的关系 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1.如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧BEC=弧ADF；（2）AM=BN． 例 OC相交于P点，求证：四边形OAC B是菱形．

例3.如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上． （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B 重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小． 例4.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD． 求证：∠OBA=∠ODC． 演练方阵 A档（巩固专练） 1．（2011•巴中）下列说法中，正确的有（） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线； ③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等； 2．（2013•厦门）如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（）

3．（2008•庆阳）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（） 4．（2005•茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦 6．如图，⊙O中，如果=2，那么（） 7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）

8．（2013•太仓市二模）如图，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°，交AD交于点E，则∠DEF=_________°． 9．（2013•南京二模）如图，点A1、A2、A3、A4、A5在⊙O上，且 ====，B、C分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B 与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为_________． 10．如图，AC是⊙O的直径，AB=AC，AB交⊙O于E，BC交⊙O于D，∠A=44°，则 的度数是_________度． B档（提升精练） 11．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，=2，则∠ABC=_________度．