弧弦圆周角之间的关系

圆的旋转不变性：

弧、弦、圆心角之间的关系：

1、 如图所示OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA ，OB 的中点，求证：MC=NC 。

2、如图，已知BC 为直径，BD=DE=EC ，求证：△ABC 为等边三角形。

3、下列结论中正确的是（ ）

A 、相等的圆心角所对的弧相等

B 、相等的圆心角所对的弧的长度相等

C 、相等的圆心角所对的弧的度数相等

D 、如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等 4、如图所示，在⊙O 中，弧AB=2弧CD ，那么（ ）

A 、AB>2CD

B 、AB<2CD

C 、AB=2C

D D 、AB 与2CD 的大小关系不确定 5、如图，若AB=2CD ，则（ ） A 、弧AB>弧CD B 、弧AB<2弧CD

C 、弧AB=2弧CD

D 、弧AB 与2弧CD 的大小关系不确定

6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D 。求弧AD 的度数。

7、如图，弧AB 的度数为90°，点C 、D 将弧AB 三等分，弦AB 与半径OC ，OD 交于E 、F 两点。求证：AE=CD=FB

A O

8、如图，P 是等边三角形ABC 外接圆弧BC 上任意一点，求证：PA=PB+PC 9、一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角度数为 。

10、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。 11、⊙O 中，一条弦的长度等于半径，则它所对的圆心角的度数为 。

12、下列图形即是轴对称图形，又中心对称图形的是（ ）A 、等边三角形 B 、等腰梯形 C 、角 D 、圆 13、下列说法正确的是（ ）A 、等弦所对的弧相等 B 、等弧所对的弦相等 C 、圆心角相等，所对的弦相等 D 、弦相等，所对的圆心角相等

14、⊙O 的一条弦的长与半径之比为2:1，则这条弦将圆周分成的两部分劣弧和优劣的度数比是 15、如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，若劣弧DE 的度数为40°

16、如图，⊙O 中弦AB 垂直于直径CD 于点P ，若半径OA=2cm ，OP=1cm ，则AB= cm ， ∠AOB= ，∠ADC= 。

17、如图，⊙O 中，AB 是直径，半径OC ⊥AB 、MN 过半径OC 的中点，交⊙O 于点M 、N ， MN ∥AB ，则弧MCN 的度数是

E

F

C

D

A B P · C

E

D O

D

A B

C O

P A

B

M N

C

O

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精 选例题和练习 2011-2012学年九年级数学第5课时 圆2 弧、弦、圆心角间的关系 圆周角定理及其推论 一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角． 注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数． 2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等． 3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半． 4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题． 思维导图如下： 二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例 例1 如图，AB为⊙O的弦，点C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD分别交⊙O于点E、F，试证明弧AE=弧BF．分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______”Array把证弧相等

转化为证________________． 证明： 例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．分析： 把证明弦相等转化为证明________相等． 证明： 例3（2008广东湛江）如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ． (2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______，而∠______=∠______．

圆心角、圆周角、弦、弧的关系

1 圆的基本性质 考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

2 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度） 【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等） 【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。 （1）求证：AM =BN ； （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ B A

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲

九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验 版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论. 二、知识要点： 1. 弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵ CD ，则∠AOB ＝∠COD ， AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵ CD. O A B C D 2. 圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 . ③② ① （3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 三、重点难点： 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.

【典型例题】 例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明： （1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝ AC. B 分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵ AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC. 解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵ AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC. （2）由（1）得︵BD ＝︵ AC ，∴BD ＝AC. 例2. 如图所示，C 是︵ AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. 解：B 评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求. 例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵ BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE. 分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的 弧为︵ AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.

最新中考数学：圆周角弧弦的关系

圆周角、弧、弦的关系 例1.如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧BEC=弧ADF；（2）AM=BN． 例2.已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为弧AB的中点．AB、OC相交于P点，求证：四边形OAC B是菱形． 例3.如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上． （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B 重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．

例4.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC． 演练方阵 A档（巩固专练）1．（2011?巴中）下列说法中，正确的有（） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线； ③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等；

2．（2013?厦门）如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（） A．150°B．75°C．60°D．15° 3．（2008?庆阳）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（） A．∠COE=∠DOE B．C E=DE C．O E=BE D． 4．（2005?茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（） A．①②B．②③C．①③D．①②③ 5．（2013?奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（） A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分6．如图，⊙O中，如果=2，那么（） A．A B=AC B．A B=AC C．A B＜2AC D．A B＞2AC 7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）

圆的确定圆心角圆周角弧弦弦心距之间的关系

儒洋教育学科教师辅导讲义

(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形

4、 已知。0的半径为4 cm, A为线段OP的中点，当0P=6 cm时，点A及。0的位置关系是( ) A、A在。0内 B、A在©0 上 C、A在。0外 D、不能确定 5、如图所示，有一个破残的圆片，现要制作一个及原圆片同样大小的圆形零件。请你根据所学知识，设计两种不同的方案确定这个圆的圆心及半径。 第二部分：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、知识点梳理 1、及圆有关的角——圆心角、圆周角 圆心角：顶点在圆心的角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 (1)图中的圆心角__________ ；圆周角 _____________ (2)____________________________________ 如图，已知ZA0B=50度，则ZACB= 度； 2、及圆有关的边一一弦、直径、弦心距、弧 (1)直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 (2)弦心距：从圆心到弦的距离。 (3)优弧、劣弧；同弧、等弧 3、圆心角及圆周角的关系.

2、在同圆中，弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d，如果c € d，那么（） A、a > b B、 a = b C、 a , b D、 a < b 3•圆内接/ABC中，AB=AC，圆心到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm，则腰长AB= ____________ 4、四边形ABCD内接于圆，AB，BC，CD，DA的弧长之比为5： 8： 3： 2则ZABC= __________ 5、如图，在中，ZB=10°,ZC=25°,则ZA二_______________ 6、如图，在中，AB为直径，ZACB的平分线交于D，则ZABD二______________ ° （第5题）（第6题）（第7题） 7、如图，已知AB为的直径，AC为弦，0D丄AC于D, OD = 2cm，求BC的长。 8、已知圆内接…ABC中，AB=AC，圆心0到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。

圆心角、弧、弦、圆周角

圆心角、弧、弦、圆周角 学习要求： 1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等； 2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的 知识求相关的线段长或证明比例线段。 内容分析： 1、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等。 2、圆周角 （1）定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。 （2）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角。 3、学好本单元内容的两个关键： （1）同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之 间的相互转化是解决问题的关键； （2）通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键。 例题分析： 1、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径

的长. 解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB. 则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC. ∵∠A=∠BOC，∴∠BOD=∠A=60° 在△BOD中，∠BDO=90°， ∴BO= ∴⊙O的半径的长为 解法二：作直径BE，连接CE. 则∠BCE=90°. 又∠A=∠E=60° ∴在△BCE中，BE= ∴⊙O的半径的长为. 【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题。两种解法中的基本图形同学们要牢记。 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F， 求证：∠FMC=∠AMD.

数学人教版九年级上册圆弧、弦、圆周角的关系

课题：弧、弦、圆心角 【学习目标】 1．能识别圆心角． 2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性． 3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题． 【学习重点】 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 【学习难点】 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 情景导入生成问题 1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个) 宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志： 2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化． 自学互研生成能力 知识模块一圆心角的定义 【自主探究】 阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容： 举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？ 顶点都在圆心上，两边都与圆相交． 归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角． 圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交． 范例：如图，下列各角是圆心角的是(B) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC 知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系定理

【自主探究】 阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容： 如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与OB′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′ 重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵. 归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； (2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等； (3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【合作探究】 典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？ (1)如图所示：因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵. (2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵. 解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明． 范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD. 证明：∵AD ＝BC ， ∴AD ︵＝BC ︵. ∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵. ∴DC ︵＝AB ︵.∴AB ＝CD.

圆周角与圆心角、弧的关系

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数确实是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个差不多特点： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 【2】明白得圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC.

分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情形： （1）圆心O在∠BAC的一边上 O （2）圆心O在∠BAC的内部 （3）圆心O在∠BAC的外部 B D C ●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角 形的性质即可证明 ●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述 情形的两个角的和或差即可 证明: 圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O ==>∠BAC=1/2∠BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 （2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 （3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 （4）．圆的内接四边形对角之和是180度。 （5）．弧的度数确实是圆心角的度数。 三、精讲精练 （一）选择、填空题： 1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对 2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．下列说法正确的是（） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

弧弦圆周角之间的关系

1 圆的旋转不变性： 弧、弦、圆心角之间的关系： 1、 如图所示OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA ，OB 的中 点，求证：MC=NC 。 2、如图，已知BC 为直径，BD=DE=EC ，求证：△ABC 为等边三角形。 3、下列结论中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的圆心角所对的弧的长度相等 C 、相等的圆心角所对的弧的度数相等 D 、如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等 4、如图所示，在⊙O 中，弧AB=2弧CD ，那么（ ） A 、AB>2CD B 、AB<2CD C 、AB=2C D D 、AB 与2CD 的大小关系不确定 5、如图，若AB=2CD ，则（ ） A 、弧AB>弧CD B 、弧AB<2弧CD C 、弧AB=2弧CD D 、弧AB 与2弧CD 的大小关系不确定 6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D 。求弧AD 的度数。

2 7、如图，弧AB 的度数为90°，点C 、D 将弧AB 三等分，弦AB 与半径OC ，OD 交于E 、F 两点。求证：AE=CD=FB 8、如图，P 是等边三角形ABC 外接圆弧 BC 上任意一点，求证：PA=PB+PC 9、一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角度数为 。 10、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。 11、⊙O 中，一条弦的长度等于半径，则它所对的圆心角的度数为 。 12、下列图形即是轴对称图形，又中心对称图形的是（ ） A 、等边三角形 B 、等腰梯形 C 、角 D 、圆 13、下列说法正确的是（ ） A 、等弦所对的弧相等 B 、等弧所对的弦相等 C 、圆心角相等，所对的弦相等 D 、弦相等，所对的圆心角相等 14、⊙O 的一条弦的长与半径之比为2: 1，则这条弦将圆周分成的两部分劣弧和优劣的度数比是 15、如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，若劣弧DE 的度数为40° 16、如图，⊙O 中弦AB 垂直于直径CD 于点P ，若半径OA=2cm ，OP=1cm ，则AB= cm ， ∠AOB= ，∠ADC= 。 B D

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解

弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高) 责编：常春芳 【学习目标】 1・了解圆心角、圆周角的槪念； 2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及 其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3推论： 在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.

（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4. 圆内接四边形： （1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD. :.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC. :.AD=BC ・ 证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D, V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・ ••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即 ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・ 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等 弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆 心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可. 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB. 求证：AC = BD ・ 类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用 【答案与解析】

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】 证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)

弧、弦、圆心角、圆周角

第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角 知识点一弧、弦、圆心角的关系 【定义】、如图所示，/ AOB 勺顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 _________________________ 0B 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦： __________________________ ;相等的弧： ____________________________________________________ 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的 如图1,在。0和。0中，？分别作相等的圆心角/ AOB 和/ A O' B'得到如图2，滚动一个圆，使O 与O 重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 0A 与O' A '重合. 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 __________________ ，所对的弦 __________ 。 几何语言： ____________________________________________________________ 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 _______________________ 相等，？所对的 _________ 也相等. 几何语言： ____________________________________________________________ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 _______________________ 相等，？所对的 _________ 也相等. 几何语言： ____________________________________________________________ 【辨析】 定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉？为什么？你能举岀反例吗？ 【拓展】 如图，在。0中，AB CD 是两条弦. (1) 如果AB=CD 那么 ___________ , _________ (2) 如果弧AB=< CD 那么 _____________ , ________ (3) 如果/ AOB 艺COD 那么 __________ , _________ (4) 如果 AB=CD, OE!AB, OF 丄CD,OE 与 OF 相等吗？ (5) 如果OE=OF 那么AB 与CD 的大小有什么关系？ AB 与CD 的大小有什么关系？ ？为什么？/ AOB 与 /COD 呢？ 【归纳】：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距 中有一组量相等，它们所对应的其 余各组量也 _____________ 。 【探究】如图所示的。0中，分别作相等的圆心角/

园中弧弦圆周角之间的关系

园中弧弦圆周角之间的关系 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!

【复习专题】中考数学复习：圆周角弧弦的关系

圆周角、弧、弦的关系 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1. 如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧BEC=弧ADF；（2）AM=BN．

例 交于P点，求证：四边形OAC B是菱形． 例3. 如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上． （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小． 例4. 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD． 求证：∠OBA=∠ODC． 演练方阵 A档（巩固专练） 1．（2011•巴中）下列说法中，正确的有（） ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线；

③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等； ④无理数就是无限小数． 2．（2013•厦门）如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（） 3．（2008•庆阳）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（） 4．（2005•茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（） 5．（2013•奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（） 6．如图，⊙O中，如果=2，那么（）

7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为（） 8．（2013•太仓市二模）如图，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF 经过刻度120°，交AD交于点E，则∠DEF= _________ °． 9．（2013•南京二模）如图，点A1、A2、A3、A4、A5在⊙O上，且====，B、C 分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为_________ ． 10．如图，AC是⊙O的直径，AB=AC，AB交⊙O于E，BC交⊙O于D，∠A=44°，则的度数是_________ 度．

人教版数学九年级弧、弦、圆心角、圆周角知识讲解(基础)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】